高中数学必修4知识点总结及练习

高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数
1、任意角的定义：正角，负角，零角
2、象限角的定义：
第一象限角的集合为_ ______________________第二象限角的集合为___________________ __;
第三象限角的集合为_______________________第四象限角的集合为_ ______________________
终边在
x
轴上的角的集合为___ __终边在
y
轴上的角的集合为________终边在坐标轴上的角的集合为
3、 与角
?
终边相同的角的集合为________________________
4、已知
?
是第几象限角，确定
?
2
?
sin
?< br>?
?
?
?
?_________
，
cos
?
?
?
?
?
?_________
，
tan
?
?
?
?
?
?________
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
?_________
，
cos
?
?
?
?
?________
，
tan
?
?
?
?
?_________
．
?4
?
sin
?
?
?
?
?
?_____ _____
，
cos
?
?
?
?
?
?___ _______
，
tan
?
?
?
?
?
?_ ______
．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?_________
，
co s
?
?
?
?
?_____--
．
?
2< br>??
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?______
，
cos
?
?
?
?
?__ _____
．口诀：奇变偶不变，符号看象限．
?
2
?
?
2
?
?
?
n??
?
所在象限的方法：
?
n
*
?
6
?
sin
?
?
?
5、长 度等于半径长的______所对的圆_____角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧 度数的绝对值是
?
?_____
．
7、弧度制与角度制的换算公式：
?
?______
,
1?_____rad,1rad?______
< br>8、若扇形的圆心角为
?
o
14正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
性
数
质
y?sinx

y?cosx

y?tanx

?
?
为弧度制?
，半径为
r
，弧长为
l
，面积为
S
，则
图象

定义域
值域


当
x?_____
?
k??
?
时，



l?__________
，
S?_________?________ _______
．
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终 边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是< br>R


当
x?_____
?
k??
?
时，
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?_ __
，
cos
?
?___
，
tan
?
?_ __(x?0)
．
特殊角的三角函数值：
?
?
y
max
?___
；
y
max
?_____
；
既无最大值也无最小值
?

sin
?

cos
?

0



?

6



?

4



?

3



?

2



?




3
?

2



最值
当
x?______
?
k??
?
时，当x?_____
?
k??
?
时，
y
min
?_ __
．
周期性
奇偶性
在_________________
y
min
??1
．

偶函数
在
?2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k???
上是
在_____________
_______；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?



tan
?

2
?

10、三角函数在各象限的符号： 11、三角函数线：
sin
?
???，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：_____________________变形：
（2）商数关系：_______________；变形 ：
13、三角函数的诱导公式：
?
k??
?
上是增函数；
单调性
在________________
?
k??
?
上是增函数．
?
1
?
sin
?
2k
?
?
??
?_________
,
cos(2k
?
?
?
)?_______
,
tan(2k
?
?
?
)?____ ___
．
- 1 -

?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是_______．

对称性
对称中心___________ 对称中心_________ 对称中心________
对称轴___________ 对称轴_________ 无对称轴
15、函数图象的变换
(1)y?sinx???y?sin(x?
?
)? ??y?sin(
?
x?
?
)???y?Asin(
?
x?
?
)

(2)y?sinx???y?sin(
?
x)?? ?y?sin(
?
x?
?
)???y?Asin(
?
x?< br>?
)


1.
sin330??
____________________________
2 .已知
cosx?
2a?3
4?a
，且x是第二、三象限角，则a的取值范围 是________
3.已知
?
是第二象限的角，
tan
?
??
1
2
，则
cos
?
?
__________ _
4.若
tan
?
?2
，则
2sin
?
?cos
?
sin
?
?2cos
?
的值为________ __________
5.已知
tan
?
?2
，则
sin
2
?
?sin
?
cos
?
?2cos
2< br>?
?
________
6.已知
cos(
?
2?
?
)?
3
2
，且
|
?
|?
?
2
，则
tan
?
?
__________
7.下列关系式中正确的是( )
A.
sin11??cos10??sin168?
B.
sin168??sin11??cos10?

C.
sin11??sin168??cos10?
D.
sin168??cos10??sin11?

8．（1）已知
sin
?
?
12
13
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
．
（2）已知
cos
?
??
4
5
，求
sin
?
,tan
?
．





9.满足函数
y?sinx
和
y?cosx
都是增函数的区间是（ ）
A．
[2k
?
,2k
?
?
?
2
]
,
k?Z
B．
[2k
?
??
2
,2k
?
?
?
]
,
k?Z

C．
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
2
]
,
k?Z
D．
[2k
?
?
?
2
,2k
?
]

k?Z


10.要得到函数
y?3sin(2x?
?4
)
的图象，只需将函数
y?3sin2x
的图象（ ）
（A）向左平移
?
4
个单位（B）向右平移
?
4
个单位（ C）向左平移
?
8
个单位（D）向右平移
?
8
个单位
11. 已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
在同 一周期内，当
x?
?
3
时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么
函数的解析式为（ ）
A．
y?2sin
3
2
x
B．
y?2sin(3x?
?
2
)
C．
y?2sin(3x?
?
2
)
D．
y?
1
2
sin3x



第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．单位向量：长度等于______的向量．
平行 向量（共线向量）：方向_____或_______的非零向量．_____向量与任一向量平行．
相等向量：______相等且_________的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：_________．⑵平行四边形法则的特点：____________．






⑶运算性质：①交换律：
a?b?b?a

②结合律：
?
a ?b
?
?c?a?
?
b?c
?
；
③
a?0?0?a?a
．
⑷ 坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?________________
．
18、向量减法运算：
C

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向__________向量．
⑵坐标运算：设
a?
?
x
a

1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，则
a?b?__________
．
?

- 2 -
b

?

设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1< br>?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
( , )．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
． < br>①
若
a?
?
x,y
?
，则
a?______ ____
．设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?______________
．
a?b??C?????C
设
a< br>、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?< br>，则
cos?
a?b
ab
?_________
．
?
a?
?
a
；
1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a的方向______；当
?
?0
时，
?
a
的方向与a
的方向______；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
???
?
a
；②
?
?
?
?
?
a ?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?____ _____
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共 线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?< br>?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则 当且仅当___________时，向量
abb?0
．
21、平面向量基本定理：
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个______ _向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实
?
?
? ?
A．
a?(0,0)

b?(1,?2)
B．
a?(?1,2)

b?(2,?4)

??
?
?
??
C．
a?(3,5)

b?(6,10)
D．
a?(2,?3)

b?(6,9)

2.已知向量
a?(2,3)
，
b?(? 1,2)
，若
ma?nb
与
a?2b
共线，则
A．
?
?
?
??
??
m
等于( )
n
??
1
；
2
B．
1
； C．
?2
； D．
2
；
2
??
3.已知向量
a
=(x ,y),
b
=( -1,2 )，且
a
+
b
=（1，3），则
a
等于（ ）
A． 2 B .3 C. 5 D. 10
4. 已知向量
a,b满足|a|?2,|b|?3,|2a?b|?37,则a与b
的夹角为（ ）
数
?
1
、
?
2
，使
a?______ ______
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这 一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?x
2
,y
2
?
，当
A．30°
??
B．45° C．60°
?
D．90°
?
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
1
??
?
??
2
时， 点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
0?
?
?180
5.
a?( 2,1),b?(3,4)
，则向量
a在向量b
方向上的投影为
A．
25
B． 2 C．
（ ）
D．10
5

??
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
2
2
6 .已知
a?(3,2),b?(?6,1)
，而
(
?
a?b)?(a ?
?
b)
，则λ等于（ ）

1
A．1或2 B．2或－
2
C． 2 D．以上都不对
⑵性质：设
a
和< br>b
都是非零向量，则①
a?b?_________
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?______
；
当
a
与b
反向时，
a?b?_______
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?____ _
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?< br>?
b
；③
a?b?c?__________
．
⑷坐标运算 ：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b ?___________
．
7.
e
1
,e
2
是 平面内不共线两向量，已知
AB?e
1
?ke
2
,CB?2e
1
?e
2
,CD?3e
1
?e
2
，若
A ,B,D
三点
共线，则
k
的值是（ ）
A．2 B．
?3
C．
?2
D．
3


A
????
??
8.
?ABC
中，
AB?a,AC?b,BD ?3DC
，则
AD?
( )
- 3 -

B
D
C

A．
a?
3
4
b
B．
1
4
a?
3
4
b
C．
11
4
a?
4
b
D．
3
4
a?
1
4
b

9.设向量
a?(cos
?
,
1
2
)
的模为
2
2< br>，则
cos2
?
的值为（ ）
A.
?
1
4
B.
?
1
2
C.
1
3
2
D.
2

10. 已知
a?(sin
?
,1)
，
b?(2,3)，若
a
与
b
平行，则
cos2
?
?

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴cos
?
?
?
?
?
?_______________ ___
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?____ _____________
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?__________________
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?_________________
；
⑸tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan?
?tan
?
?____________________
）； ⑹
tan
?
?
?
?
?
?__________ ___
（
tan
?
?tan
?
?____________ ______
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?_______________
．
⑵< br>cos2
?
?_____________?________________?__ ____________
（
cos
2
?
?___________
，
sin
2
?
?____________
），重点记忆常 用．
⑶
tan2
?
?_________________
． < br>26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
ta n
?
?
?
?
．
1.函数
y?sinx?cosx
的最小正周期为（ ）
A.
?
2
B.
?
C.
2
?
D.
4
?

2.化简
cos
2
(
?
2
?
4
?
?
)?sin(
4
?
?
)
等于（ ）

A.
sin2
?
B.
?sin2
?
C.
cos2
?
D.
?cos2
?

3.
sin89cos14?sin1cos76?
（ ）
A.
6?22?66?22
4
B.
4
C.
4
D.
4

cos(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
4.化简
?
4?
4
的值等于（ ）
cos(
4
?
?
)?s in(
4
?
?
)
A.
tan
x
2
B.
tan2x
C.
?tanx
D.
tanx

5.设
0?x?2
?
，若
sinx?3cosx
.则
x
的取值范围 是（ ）
A.
(
??
?
?
3
,
2
)
B.
(
3
,
?
)
C.
(
3
,
4
?
3
)
D.
(
?
3
,
3
?
2
)

6. 在
?ABC
中，
sinBsinC?cos
2
A2
，则
?ABC
一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
7. 已知
?
,
?
为锐角 ，
cos
?
?
1
10
,cos
?
?
1
5
,
则
?
?
?
的值为
8.
2sin10?sin50
cos50
.的值为
9已知
?
?(0,
?
4
),
?
?(0,< br>?
),且tan(
?
?
?
)?
11
2
,tan
?
??
7
，求
tan(2
?
?
?
)
的值及角
2
?
?
?
．




10. 已知函数
y?sin
x
2
?3cos
x
2
,x?R.

（1）求
y
取最大值时相应的
x
的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到
y?sinx(x?R)
的图象
- 4 -