高中数学必修四教师用书

高中数学必修四教师用
第一章 三角函数

任意角和弧度制

1．1.1 任 意 角
[新知初探]

1．任意角
(1)角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表 示：如图，
OA
是角
α
的始边，
OB
是角
α
的终边，
O
是角的
顶点．角
α
可记为“角
α
”或 “∠
α
”或简记为“
α
．”
(3)角的分类：
名称

正角

负角

零角


定义

按逆时针方向旋转形成的角

按顺时针方向旋转形成的角

一条射线没有作任何旋转形成的角

- 1 -
图示

[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋
转 量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．

2．象限角
把角放在平面直角 坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，
那么，角的终边 在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为
这个角不属于任何一个象限．
[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合．
3．终边相同的角
所有与角
α
终边相同的角，连同角
α
在 内，可构成一个集合
S
＝{
β
|
β
＝
α
＋
k
·360°，
k
∈Z}，
即任一与角
α
终边相同 的角，都可以表示成角
α
与整数个周角的和．
[点睛] 对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)
k
∈Z，即
k
为整数这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．

1．终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
- 2 -

[活学活用]
分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

解：(1)在0°～360° 范围内，终边在直线
y
＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所
有与0°角终 边相同的角构成集合
S
1
＝{
β
|
β
＝0°＋k
·360°，
k
∈Z}，而所有与180°角终边相同的
角构成集合< br>S
2
＝{
β
|
β
＝180°＋
k
· 360°，
k
∈Z}，于是，终边在直线
y
＝0上的角的集合为
S< br>＝
S
1
∪
S
2
＝{
β
|
β
＝
k
·180°，
k
∈Z}．
(2)由图形易知，在0° ～360°范围内，终边在直线
y
＝－
x
上的角有两个，即135°和315 °，
因此，终边在直线
y
＝－
x
上的角的集合为
S
＝{
β
|
β
＝135°＋
k
·360°，
k
∈Z}∪{
β
|
β
＝315°＋
k
·360，
k
∈Z}＝{
β
|
β
＝135°＋
k
·180°，< br>k
∈Z}.
象限角的判断
[典例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落 在
x
轴的非负半轴上，作出下列各角，
并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：

(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．

象限角的判定方法
- 3 -

(1)根 据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标
系中过原点的射线 可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～36 0°范围内没有两个角终
边是相同的．
[活学活用]
若
α
是第四象限角，则180°－
α
一定在( )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
解析：选C ∵
α
与－
α
的终边关于
x
轴对称，且
α
是第四象限角，∴－
α
是第一象限角．
而180°－
α
可看成－
α
按逆时针旋转180°得到，
∴180°－
α
是第三象限角.
角，
nα
(
n
∈N
*
)所在象限的确定
α
n

[典例] 已知
α
是第二象限角，求角所在的象限．
2
[解] 法一：∵
α
是第二象限角，
∴
k
·3 60°＋90°<
α
<
k
·360°＋180°(
k
∈Z) ．
∴·360°＋45°<<·360°＋90°(
k
∈Z)．
222< br>当
k
为偶数时，令
k
＝2
n
(
n
∈ Z)，得
α
kαk
n
·360°＋45°<<
n
·360 °＋90°，
2
α
这表明是第一象限角；
2
当
k
为奇数时，令
k
＝2
n
＋1(
n
∈Z)，得
α
n
·360°＋225°<<
n
·360°＋270°，
2
α
- 4 -

这表明是第三象限角．
2
α
∴为第一或第三象限角．
2
法二：如图，先将各象限分成2等 份，再从
x
轴正向的上方起，
依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为 的终边所
2
α
α
在的区域，故为第一或第三象限角．
2
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求角2
α
的终边的位置．
解：∵
α
是第二象限角，
∴
k
·360°＋90°<α
<
k
·360°＋180°(
k
∈Z)．
∴
k
·720°＋180°<2
α
<
k
·720°＋360°(k
∈Z)．
∴角2
α
的终边在第三或第四象限或在
y
轴的非正半轴上．
2．[变条件]若角
α
变为第三象限角，则角是第几象限角？
2
解 ：如图所示，先将各象限分成2等份，再从
x
轴正半轴的上方
起，按逆时针方向，依次 将各区域标上一、二、三、四，则标有三的
α
α
区域即为角的终边所在的区域，故角为 第二或第四象限角．
22

倍角、分角所在象限的判定思路
(1)已知角
α
终边所在的象限，确定
nα
终边所在的象限，可依据角
α
的范围求出
nα
的范围，
再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉
nα
的终边在坐标轴上的情况．
(2)已知角
α
终边所在的象限，确定终边所在 的象限，分类讨论法要对
k
的取值分以下几
αα
α
n
- 5 -

种情况进行讨论：
k
被
n
整除 ；
k
被
n
除余1；
k
被
n
除余2，…，< br>k
被
n
除余
n
－1.然后方可
下结论．几何法依据数 形结合思想，简单直观．

层级一 学业水平达标
1．－215°是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
B．第二象限角
D．第四象限角
解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二
象限角．
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690°
C．480°，－420°
B．－330°，750°
D．3 000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°与750°终边相同．
3．若
α
＝
k
·18 0°＋45°，
k
∈Z，则
α
所在的象限是( )
A．第一、三象限
C．第二、四象限
B．第一、二象限
D．第三、四象限
解析：选A 由题意知
α
＝
k
·180°＋45°，
k
∈Z，
当
k
＝2
n
＋1，
n
∈Z，
α
＝2
n
·180°＋180°＋45°
＝
n
·360°＋225°，在第三象限，
当
k
＝2
n
，
n
∈Z，
α
＝2
n
·180°＋45°
＝
n
·360°＋45°，在第一象限．
∴
α
是第一或第三象限的角．
- 6 -

4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{
α
|90°<
α
<180°}
B．{
α< br>|90°＋
k
·180°<
α
<180°＋
k
·18 0°，
k
∈Z}
C．{
α
|－270°＋
k
·1 80°<
α
<－180°＋
k
·180°，
k
∈Z} D．{
α
|－270°＋
k
·360°<
α
<－180 °＋
k
·360°，
k
∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的 集合可表示为{
α
|90°＋
k
·360°<
α
<180° ＋
k
·360°，
k
∈
Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选 项D正确．
5．将－885°化为
α
＋
k
·360°(0°≤α
＜360°，
k
∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360°
C．195°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
6．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线
OA
绕端点
O
按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．
解析：①时钟经过两个小时 ，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以
①不正确．
②钝角
α
的取值范围为90°<
α
<180°，锐角
θ
的取值范围为0°<
θ
<90°，因此钝角一定大于
锐角，所以②正确．
③射线
OA
按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．
答案：①③
7．
α
满足180°<
α
<360°，5
α
与α
有相同的始边，且又有相同的终边，那么
α
＝________.
- 7 -

解析：5
α
＝
α
＋
k
·360°，
k
∈Z，∴
α
＝
k
·90°，< br>k
∈Z.
又∵180°<
α
<360°，∴
α
＝270°.
答案：270°
8．若角
α
＝2 016°，则与角
α
具 有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
解析：∵2 016°＝ 5×360°＋216°，∴与角
α
终边相同的角的集合为{
α
|
α
＝216°＋
k
·360°，
k
∈Z}，∴最小正角是216°，最 大负角是－144°.
答案：216° －144°
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解：(1)549°＝189 °＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～
360 °范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300 °<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～
360°范围内，与300°角有相同的终 边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<27 0°，因此，－503°36′角是第三
象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相 同的终边．
10．已知角的集合
M
＝{
α
|
α
＝ 30°＋
k
·90°，
k
∈Z}，回答下列问题：
(1)集合
M
中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合
M
中的第二象限角
β
的一般表达式．
13 11
解：(1)令－360°<30°＋
k
·90°<360°，则－<
k< br><，又∵
k
∈Z，∴
k
＝－4，－3，－2，－
33
1,0,1,2,3，∴集合
M
中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－33 0°，－240°，－150°，
－60°，30°，120°，210°，300°.
(2)集合
M
中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴
β
＝120°＋
k
·360°，
k
∈Z.
层级二 应试能力达标
- 8 -

1．给出下列四 个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象
限角；④－350° 是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选D ①－15°是第四象限角；
②180°<185°<270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．若角2
α
与240°角的终边相同，则
α
＝( )
A．120°＋
k
·360°，
k
∈Z
B．120°＋
k
·180°，
k
∈Z
C．240°＋
k
·360°，
k
∈Z
D．240°＋
k
·180°，
k
∈Z
解析：选B 角2
α
与240°角的终边相同，则2
α
＝240°＋
k
·36 0°，
k
∈Z，则
α
＝120°＋
k
·180°，
k
∈Z.选B.
3．若
α
与
β
终边相同，则
α< br>－
β
的终边落在( )
A．
x
轴的非负半轴上
B．
x
轴的非正半轴上
C．
y
轴的非负半轴上
D．
y
轴的非正半轴上
解析：选A ∵
α
＝
β
＋
k
·360°，
k
∈Z， < br>∴
α
－
β
＝
k
·360°，
k
∈Z ，
∴其终边在
x
轴的非负半轴上．
4．设集合
M
＝{< br>α
|
α
＝45°＋
k
·90°，
k
∈Z}，
N
＝{
α
|
α
＝90°＋
k
·45°，< br>k
∈Z}，则集合
M
与
N
- 9 -

的关系是( )
A．
M
∩
N
＝?
C．
N
B．
MN

M
D．
M
＝
N

解析：选C 对于集合
M
，
α
＝45°＋
k
·90°＝45°＋2
k
·45°＝(2
k
＋1)·45°，即
M
＝{
α
|
α
＝
(2
k
＋1)·45°，
k
∈Z}；对于集合
N
，
α< br>＝90°＋
k
·45°＝2×45°＋
k
·45°＝(
k＋2)·45°，即
N
＝{
α
|
α
＝(
k＋2)·45°，
k
∈Z}＝{
α
|
α
＝
n< br>·45°，
n
∈Z}．∵2
k
＋1表示所有的奇数，而
n表示所有的整数，
∴
NM
，故选C.
5．从13：00到14：00， 时针转过的角为________，分针转过的角为________．
解析：经过一小时，时针顺时 针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知
时针转过的角为－30°，分针转过的角 为－360°.
答案：－30° －360°
6．已知角2
α
的终边在< br>x
轴的上方，那么
α
是第______象限角．
解析：由题意知k
·360°<2
α
<180°＋
k
·360°(
k< br>∈Z)，故
k
·180°<
α
<90°＋
k
·180 °(
k
∈Z)，按照
k
的奇偶性进行讨论．当
k
＝2
n
(
n
∈Z)时，
n
·360°<
α
<90°＋
n
·360°(
n
∈Z)，∴
α
在第一象限；当
k
＝2
n
＋1(
n
∈Z)时，180°＋
n
·360 °<
α
<270°＋
n
·360°(
n
∈Z)，∴
α
在第三象限．故
α
是第一或第三
象限角．
答案：一或三

7．试写出终边在直线
y
＝－
的元素
α
写出来．
解：终边在直线
y
＝－3
x
上的角的集合
3
x< br>上的角的集合
S
，并把
S
中适合不等式－180°≤
α
<180°
S
＝{
α
|
α
＝
k
·360 °＋120°，
k
∈Z}∪{
α
|
α
＝
k
·360°＋300°，
k
∈Z}＝{
α
|
α
＝
k
·180°＋120°，
k
∈Z}，
其中适合不等式－180°≤
α
<180°的元素
α
为－60°，120°.

8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
- 10 -

(1)终边落在射线
OB
上；
(2)终边落在直线
OA
上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)． < br>解：(1)终边落在射线
OB
上的角的集合为
S
1
＝{
α
|
α
＝60°＋
k
·360°，
k
∈Z}．
(2)终边落在直线
OA
上的角的集合为
S
2
＝{
α
|
α
＝30°＋
k
·180°，
k
∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S
3
＝{
α< br>|30°＋
k
·180°≤
α
≤60°＋
k
·180 °，
k
∈Z}．

1．1.2 弧 度 制

预习课本P6～9，思考并完成以下问题
(1)1弧度的角是如何定义的？


(2)如何求角
α
的弧度数？

(3)如何进行弧度与角度的换算？


(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？


[新知初探]

1．角的单位制
- 11 -

(1)角度制：
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
360
(2)弧度制：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度 作为单位来度量角的单位
制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．
(3)角的弧度数的求法：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度 数是0.如果半径为
r
的圆的圆心角
α
所对弧的长为
l
，那 么角
α
的弧度数的绝对值|
α
|＝.
1
l
r
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”
可省略不写，只写2.
2．角度与弧度的换算
角度化弧度

360°＝2π_rad

180°＝π_rad

1°＝ rad≈0.017 45 rad

180
π
π
弧度化角度
2π rad＝360°
π rad＝180°
?
180
?
?
°≈57.30° 1 rad＝
?
π
??
?
180
?
?
°＝度数 弧度数×
?
π
??
度数×＝弧度数

180

3．弧度制下的弧长与扇形面积公式
公式
弧长公式

度量制

角度制

扇形面积公式
l
＝
n
π
r
180
S
＝
n
π
r
2
360

- 12 -

l
＝
α
·
r

弧度制

(0<
α
<2π)


11
S
＝
lr
＝
αr
2

22
(0<
α
<2π)
[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知： 对于
α
，
r
，
l
，
S
“知二求二”，它实 质上是方程思
想的运用．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度＝1°.( )
(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
π
2．若
α
＝
k
π＋，
k
∈Z ，则
α
所在的象限是( )
3
A．第一、二象限
C．第一、三象限
答案：C
2π
3．半径为1，圆心角为的扇形的面积是( )
3
4π2ππ
A． B．π C． D．
333
答案：D
2π
4．(1)＝________；(2)－210°＝________.
3
7π
答案：(1)120° (2)－
6
B．第二、三象限
D．第一、四象限

- 13 -

角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
2π
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
9
2π
[解] (1)72°＝72×＝.
1805
5π
(2)－300°＝－300×＝－.
1803
π< br>π
?
180
??
360
?
?
°＝
? ?
°. (3)2＝2×
?
?
π
??
π
?
?
2π180
?
2π
?
°＝－40°. (4)－＝－
?
×
9π
9
??

角度与弧度互化技巧
π
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由它可以得到：度数×
180
180
＝弧度数，弧度数×＝度数．
π

[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
5117π
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
612
511511
解：(1)π＝×180°＝15 330°.
66
7π7
(2)－＝－×180°＝－105°.
1212
- 14 -

(3)10°＝10×＝.
18018
19π
(4)－855°＝－855×＝－.
1804
用弧度制表示角的集合
[典例] 已知角
α
＝2 005°.
(1)将
α
改写成
β
＋2
k
π(k
∈Z,0≤
β
＜2π)的形式，并指出
α
是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与
α
终边相同的角．
401π
[解] (1)2 005°＝2 005× rad＝ rad
1803 6
π
π
ππ
?
41π
?
41π3π
?rad，又π<＝
?
5×2π＋
<，
36
362
??
41π
∴角
α
与终边相同，是第三象限的角．
36
41π
(2)与
α
终边相同的角为2
k
π＋(
k
∈Z)，
36
41π
由－5π≤2
k
π＋＜0，
k
∈Z知< br>k
＝－1，－2，－3.
36
31π103π175π
∴在[－5π ，0)内与
α
终边相同的角是－，－，－.
363636

用弧度 制表示终边相同的角2
k
π＋
α
(
k
∈Z)时，其中2k
π是π的偶数倍，而不是整数倍，
还要注意角度制与弧度制不能混用．
[活学活用]
1．将－1 125°表示成2
k
π＋
α
， 0≤
α
<2π，
k
∈Z的形式为________．
解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°，
7π
315°＝315×＝，
1804
- 15 -
π

7π
所以－1 125°＝－8π＋.
4
7π
答案：－8π＋
4
2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

π
解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
6
5π
而75°＝75×＝，
18012
π
???
π5π
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
?
θ
?
2
k
π－<
θ
<2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
612
???

题点一：利用公式求弧长和面积
1．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
ππ10π解：已知扇形的圆心角
α
＝60°＝，半径
r
＝10 cm，则弧长l
＝
α
·
r
＝×10＝(cm)，
333
11 10π50π
于是面积
S
＝
lr
＝××10＝(cm
2)．
2233
题点二：利用公式求半径和弧度数
2．扇形
OAB
的面积是4 cm
2
，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．
解：设扇形圆心角的弧度数为
θ
(0<
θ< br><2π)，弧长为
l
cm，半径为
r
cm，
扇形的弧长公式及面积公式

- 16 -

l
＋2
r
＝8， ①
?
?
依题 意有
?
1
l
·
r
＝4， ②
?
2
?


由①②，得
r
＝2，∴l
＝8－2
r
＝4，
θ
＝＝2.
l
r
故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积
最大？最大面积是多少？
解：设 扇形的圆心角为
α
(0<
α
<2π)，半径为
r
，面积为< br>S
，弧长为
l
，则
l
＋2
r
＝30，故l
＝30－2
r
，
?
15
?
225
?
15
?
1115
22
?
<
r
<15?
，所以，当
r
＝ 从而
S
＝
lr
＝(30－ 2
r
)
r
＝－
r
＋15
r
＝－
?
r
－
?
＋
2π＋1
2242
????
22 5
cm时，
α
＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm
2
.
4




弧度制下涉及扇形问题的攻略
11< br>(1)明确弧度制下扇形的面积公式是
S
＝
lr
＝|
α
|
r
2
(其中
l
是扇形的弧长，
r
是扇形的半径 ，
22
α
是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积 等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪
些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列 方程(组)求解．
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是
α
为弧度．
- 17 -

层级一 学业水平达标
1．把50°化为弧度为( )
5π
B．
18
9 000
D．
π
π
A．50
18
C．
5π
5π
解析：选B 50°＝50×＝.
18018
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )
A．16π
C．16
B．32π
D．32
解析：选C 弧长
l
＝2
r,
4
r
＝16，
r
＝4，得
l
＝8，
1
即
S
＝
lr
＝16. 2
?
5π
?
3．角
α
的终边落在区间
?
－3π，－
?
内，则角
α
所在的象限是( )
2
??
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
5π
解析：选C －3π的终边在
x
轴的非正半轴上 ，－的终边在
y
轴的非正半轴上，故角
2
α
为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
14
A．π
3
14
B．－π
3
- 18 -

C．

π
18
7
D．－π
18
7
7
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过 了周，转过的弧度
3
714
为－×2π＝－π.
33
5．下列表示中不正确的是( )
A．终边在
x
轴上的角的 集合是{
α
|
α
＝
k
π，
k
∈Z} ??
π
B．终边在
y
轴上的角的集合是
?
αα
＝＋
k
π，
k
∈Z
?

2
??
? ?
π
C．终边在坐标轴上的角的集合是
?
αα
＝
k
·，
k
∈Z
?

2
??
??
π
D ．终边在直线
y
＝
x
上的角的集合是
?
αα
＝＋2
k
π，
k
∈Z
?

4
??
??
π
解析：选D 终边在直线
y
＝
x
上的角的集合应是
?
αα
＝＋
k
π，
k
∈Z
?
.
4
??
11π
6．－135°化为弧度为__ ______，化为角度为________．
3
π3
解析：－135°＝－135×＝－π，
1804
1111
π＝×180°＝660°.
33
3
答案：－π 660°
4
7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
π 11π
2
解析：60°＝，扇形的面积公式为
S
扇形
＝
αr
＝××(
3223
答案：π
- 19 -
6)
2
＝π.

??
k
ππ< br>8．设集合
M
＝
?
αα
＝－，
k
∈Z
?
，
N
＝{
α
|－π<
α
<π}，则
M
∩
N
＝________.
23
??
48
解析：由－π<－<π，得－<
k
<.
2333
∵
k
∈Z，∴
k
＝－1,0,1,2，
k
ππ
?
5ππ2
?
∴
M
∩
N
＝
?
－π，－，，π
?
.
363
??
6
?
5ππ2
?
答案：
?
－π，－，，π
?

363
??
6
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． < br>解：设扇形的半径为
R
，弧长为
l
，则2
R
＋
l
＝4.
11
根据扇形面积公式
S
＝
lR
，得 1＝
l
·
R
.
22
2
R
＋
l< br>＝4，
?
?
联立
?
1
l
·
R
＝1，
?
?
2

解得
R
＝1，
l
＝2，
∴
α
＝＝＝2.
R
1
10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·
k
(
k
∈Z)．
5π5π
解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
1212
π
(2)－60°＋360°·
k
＝－×60＋2π·
k
＝－＋2k
π(
k
∈Z)，是第四象限角．
1803
π
l
2
层级二 应试能力达标

1．下列转化结果错误的是( )
- 20 -

π
A．60°化成弧度是
3
10
B．－π化成度是－600°
3
7
C．－150°化成弧度是－π
6
π
D．化成度是15°
12
π1010
解析：选C 对 于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，
180333
5π1
－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故C错误．
180 61212
π
π
??
ππ
2．集合
?
αk
π＋≤
α
≤
k
π＋，
k
∈Z
?
中角的终边 所在的范围(阴影部分)是( )
42
??

ππ
解析：选C 当
k
＝2
m
，
m
∈Z时，2
m
π＋≤α
≤2
m
π＋，
m
∈Z；当
k
＝2
m
＋1，
m
∈Z
42
5π3π
时，2
m
π＋ ≤
α
≤2
m
π＋，
m
∈Z，所以选C.
42ππ
3．若角
α
与角
x
＋有相同的终边，角
β
与角
x
－有相同的终边，那么
α
与
β
间的关系为
4 4
( )
A．
α
＋
β
＝0
C．
α
＋
β
＝2
k
π(
k
∈Z)
B．
α
－
β
＝0
π
D．
α
－< br>β
＝2
k
π＋(
k
∈Z)
2
πππ
解析：选D ∵
α
＝
x
＋＋2
k
1
π(
k
1
∈Z)，
β
＝
x
－＋ 2
k
2
π(
k
2
∈Z)，∴
α
－
β
＝＋2(
k
1
－
k
2
)·π
442 - 21 -

(
k
1
∈Z，
k
2
∈Z)．
∵
k
1
∈Z，
k
2
∈Z，∴
k
1
－
k
2
∈Z.
π
∴
α
－
β
＝＋2
k
π(
k
∈Z)．
2
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
π
A．
3
C．3
2π
B．
3
D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为
R
，则圆的内接正三角 形的边长为
3
R
3
R
，所以圆弧长度为
8
3
R
的圆心角的弧度数
α
＝
R
＝3.
5．若角
α
的终边与π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是
54
__ __________．
8π
α
2π
k
π
α
2π 9π7π
解析：由题意，得
α
＝＋2
k
π，∴＝＋(
k∈Z)．令
k
＝0,1,2,3，得＝，，，
545245105
19π
.
10
2π9π7π19π
答案：，，，
510510
π
6．已知一扇形的圆心角为rad，半径为
R
，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之 比为
3
________．
解析：设扇形内切圆的半径为
r
，
π
∵扇形的圆心角为，半径为
R
，
3
1ππ
2< br>∴
S
扇形
＝×
R
＝
R
2
.
236
α
- 22 -

∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴
R
＝
r
＋ 2
r
＝3
r
，∴
r
＝.
3
∵
S
内切圆
＝π
r
2
＝
π
9
R
R2
，
ππ
2
∴
S
内切圆
∶
S
扇形
＝
R
∶
R
2
＝2∶3.
96
答案：2∶3
7．已知
α
＝1 690°，
(1) 把
α
写成2
k
π＋
β
(
k
∈Z，
β
∈[0,2π))的形式；
(2)求
θ
，使
θ
与
α
终边相同，且
θ
∈(－4π，4π)．
25
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
18
25
(2)∵
θ
与
α
终边相同，∴
θ
＝2
k
π＋π(
k< br>∈Z)．
18
25
又
θ
∈(－4π，4π)，∴－4π<2
k
π＋π<4π.
18
9747
解得－<
k
<(
k
∈Z)，∴
k
＝－2，－1,0,1.
3636
47112561
∴
θ
的值是－π，－π，π，π.
18181818

8．已知扇形
AOB
的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧
AB
的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
1202
解：(1)因为120°＝π＝π，
1803
2
所以l
＝
α
·
r
＝π×6＝4π，
3
- 23 -

所以弧
AB
的长为4π.
1
(2 )因为
S
扇形
AOB
＝
lr
＝×4π×6＝12π， 22
如图所示，过点
O
作
OD
⊥
AB
，交AB
于
D
点，
11
于是有
S
△
OA B
＝
AB
·
OD
＝×2×6cos 30°×3＝9
22< br>所以弓形的面积为
S
扇形
AOB
－
S
△
OA B
＝12π－9
3.
3.
1

任意角的三角函数

1．2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义与公式一

预习课本P11～15，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？


(2)三角函数值的大小与其终边上的点
P
的位置是否有关？


(3)如何求三角函数的定义域？


(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？


- 24 -

(5)诱导公式一是什么？


[新知初探]

1．任意角的三角函数的定义
如图，设
α
是一个任意角，
前提

它的终边与单位圆交于点
P
(
x
，
y
)

正弦

余弦

正切

定义

三角

y
叫做
α
的正弦，记作sin
α
，即sin
α
＝
y

x
叫做
α
的余弦，记作cos
α
，即cos
α
＝
x

y
x
叫做
α
的正切，记作tan
α
，即tan
α
＝(
x
≠0)
y
x
正弦、余弦、正切都是以角 为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将
函数
它们统称为三角函数

[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标(坐标的比值)为函
数值的函数；三角函数值只与角
α
的大小有关，即由角
α
的终边位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
- 25 -

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

3．诱导公式一

即终边相同的角的同一三角函数值相等．
[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其 同名三角函数的值相等．因为这些角
的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数 值相等．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若
α
＝
β
＋720°，则cos
α
＝cos
β
.( )
(2)若sin
α
＝sin
β
，则
α
＝
β
.( )
(3)已知
α
是三角形的内角，则必有sin
α
>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若sin
α
<0，tan
α
>0，则
α
在( )
A．第一象限
C．第三象限
答案：C
B．第二象限
D．第四象限
?
525
?
??
，则sin
α
＋cos
α
＝( ) 3．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
?< br>，－
5
?
?
5
?
A．
5
5
B．－
5
5

2
C．
5
5

2
D．－
5
5

答案：B
- 26 -

π3π
4．sin＝________，cos＝________.
34
3
2
2
2
答案： －

三角函数的定义及应用
[典例] 设
a
<0，角
α
的终边 与单位圆的交点为
P
(－3
a,
4
a
)，那么sin
α
＋2cos
α
的值等
于( )
2
A．
5
1
C．
5
2
B．－
5
1
D．－
5
[解析] ∵点
P
在单位圆上，则|
OP
|＝1.
即－3
a
2
＋4
a
2
＝1，解得
1
a
＝±.
5
1
∵
a
<0，∴
a
＝－.
5
?
34
?
∴
P
点的坐标为
?
，－
?
.
5
??
5
43
∴sin
α
＝－，cos
α
＝.
55
432
∴sin
α
＋2cos
α
＝－＋2×＝.
555
[答案] A

利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角
α
的终边在直线上求
α
的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出
- 27 -

相应三角函数值．
法二：在
α
的终 边上任选一点
P
(
x
，
y
)，
P
到原点的 距离为
r
(
r
>0)．则sin
α
＝，cos
α
y
r
＝.已知
α
的终边求
α
的三角函数值时，用 这几个公式更方便．
x
r
(2)当角
α
的终边上点的坐标以参数形 式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类
讨论．
[活学活用]
1．如果
α
的终边过点
P
(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin
α
的值等于( )
1
A．
2
3
2
1
B．－
2
3
3
C．－ D．－
3)，

解析：选C 由题意知
P
(1，－
所以
r
＝ 1
2
＋－
3
2
3
2
＝2，
所以sin
α
＝－.
5
2．已知角
α
的终边过点
P
(12，
a
)，且tan
α
＝，求sin
α
＋cos
α
的值．
12
解：根据三角函数的定义，tan
α
＝＝，
1212
∴
a
＝5，∴
P
(1 2,5)．这时
r
＝13，
1217
∴sin
α
＝，cos
α
＝，从而sin
α
＋cos
α
＝.
131313
三角函数值符号的运用
[典例] (1)若角
θ
同时满足sin
θ
<0且tan
θ
<0，则角
θ
的终边一定位于( )
A．第一象限
C．第三象限

a
5
5
B．第二象限
D．第四象限
- 28 -

?
α
?
αα
??
cos
(2)设
α
是第三象限角，且＝－cos， 则所在象限是( )
2
22
??
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
[解析] (1)由sin
θ
<0 ，可知
θ
的终边可能位于第三或第四象限，也可能与
y
轴的负半轴
重 合．由tan
θ
<0，可知
θ
的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ
的终边只能位于第四象
限．
(2)∵
α
是第三象限角， < br>3π
∴2
k
π＋π<
α
<2
k
π＋，
k
∈Z.
2
π
α
3π
∴
k
π＋<<< br>k
π＋.
224
∴在第二、四象限．
2
α
?
α
?
αα
??
cos
又∵＝－cos ，∴cos <0.
2
22
??
∴在第二象限．
2
[答案] (1)D (2)B

对于已知角
α
，判断
α
的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口
诀“一全正、二正 弦、三正切、四余弦”来处理．

[活学活用]
1．设△
ABC
的三个内角为
A
，
B
，
C
，则下列各组数中有意义且均为正 值的是( )
A．tan
A
与cos
B
B．cos
B
与sin
C

α
- 29 -

C．sin
C
与tan
A
D．tan与sin
C

2
A
解析：选D ∵0＜
A
＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
222
又∵0＜
C
＜π，∴sin
C
＞0.
2．若角
α
是第二象限角，则点
P
(sin
α
，cos
α
)在第________象限．
解析：∵
α
为第二象限角，
∴sin
α
＞0，cos
α
＜0.
∴
P
(sin
α
，cos
α
)位于第四象限．
答案：四
诱导公式一的应用
[典例] 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
A
π
A
?
11π
?
12π
?
＋cos(2)sin
?
－
·tan 4π.
6
5
??
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos( 3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×
360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
11
＝×＋×
2222
61
＝＋
44
1＋
4
6
. < br>23
＝
??
π
?
2π
?
π2π1
? ???
－2π＋2π＋
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos× 0＝.
6
?
5
?
652
??

- 30 -

利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤

[活学活用]
求下列各式的值：
?
15π
?
25π
?
； (1)sin＋tan
?
－
4
3
??
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.
?
15π
?
25π
?
解：(1)sin ＋tan
?
－
4
3
??
??
π
?
π
?< br>＝sin
?
8π＋
?
＋tan
?
－4π＋
?

3
?
4
???
ππ
＝sin＋tan
34
3
2
＝＋1.
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°
＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)
＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°
＝1＋1－1
＝1.

层级一 学业水平达标
2π
1．若
α
＝，则
α
的终边与单位圆的交点
P
的坐标是( )
3
- 31 -

?
13
?
??
A．< br>?
，
?
?
22
?
?
31
?
??
C．
?
－，
?

?
22
?
?
13
?
??
B．
?
－，
?
?
22
?
?
13
?
??< br> D．
?
，－
2
?
?
2
?
2π解析：选B 设
P
(
x
，
y
)，∵角
α
＝在第二象限，
3
1
∴
x
＝－，
y
＝
2
?
1
?
3
2
??
－
1－＝，
2
2
??
?
13
?
??
. ∴
P
?
－，
?
?
22
?
2．若角
α
的 终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos
α
为( )
A．1
2
2
B．－1
2
2
C． D．－
解析：选C ∵角
α
的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离
r
＝1
2
＋－1
2
＝2，∴cos
α
＝＝
x
r
1
2
＝
2
2
.
3．若三角形的两内角
α
，
β
满足sin
α
cos
β
<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin
α
cos
β
<0，
α
，
β
∈(0，π)，
∴sin
α
>0，cos
β
<0，∴
β
为钝角．


4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )
- 32 -

3
A．－
4
3
C．－
2
B．
3
4

1
D．
4
3
2
解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝，
3
?
3
3
?
??
cos 210°＝－，∴sin 120°cos 210°＝×
－
＝－，故选A.
?
22
?
4
?
2
?
3
5．若角
α
的终边在直线
y
＝－2
x
上，则sin
α
等于( )
1
A．±
5
2
C．±
5

5
5
B．±
5
1
D．±
2
解析：选C 在
α
的终边上任取一点(－1,2)，则
r
＝1＋4＝5，所以sin α
＝＝
y
r
2
5
＝
2
5
5. 或者取
P
(1，－2)，则
r
＝1＋4＝5，所以sin
α
＝＝－
y
r
22
＝－
5
5
5.
?
17π
?
?
＝________. 6．tan
?
－
3
??
?
17π
??
π
?
π
????
－－6π＋
解析：tan＝tan＝tan ＝3.
33
3
????
答案：3
12
7．已知角
α的终边过点
P
(5，
a
)，且tan
α
＝－，则sin
α
＋cos
α
＝________.
5
12
解析：∵tan
α
＝＝－，∴
a
＝－12.
55
∴
r
＝ 25＋
a
2
＝13.
a
- 33 -

125
∴sin
α
＝－，cos
α
＝.
1313
7
∴sin
α
＋cos
α
＝－.
13
7
答案：－
13
|sin
α
|
8 ．若角
α
的终边落在直线
x
＋
y
＝0上，则＋＝_____ ___.
|cos
α
|cos
α
|sin
α
|sin
α
sin
α
解析：当
α
在 第二象限时，＋＝－＋＝0；当
α
在第四象限时，
|cos
α
|cos
α
cos
α
cos
α
|sin
α
|sin
α
sin
α
＋＝－＝0.
|cos
α
|cos
α
cos
α
cos
α
|sin
α
|
综上，＋＝0.
|cos
α
|cos
α
答案：0
9．求下列三角函数值：
sin
α
sin
α
sin
α
sin
α
?
31π
?
19π
?
. (1)cos(－1 050°)；(2)tan；(3)sin
?
－
4
3
??
解 ：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，
3
2
∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝
19ππ
(2)∵＝3×2π＋，
33
.
?
π
?
19ππ
∴tan＝tan
?
3×2π＋
?
＝t an＝
3
?
33
?
31ππ
(3)∵－＝－4×2π＋，
44
3.
?
31π
??
π
?
π2
????
－－4×2π＋
∴sin＝sin＝sin＝.
44
42
????
- 34 -

10．已知点
M
是圆
cos
α
和tan
α
的值．
x
2
＋
y
2
＝1上的点，以射 线
OM
为终边的角
α
的正弦值为－
2
2
，求
解：设点
M
的坐标为(
x
1
，
y
1
)．
2
2
2
2
由题意，可知sin
α
＝－，即
y
1
＝－.
∵点
M
在圆
x
2
＋
y
2
＝1上，
∴
x
2
1
＋
y
2
1
＝1，
?
2
?
??
2
＝1，
2
＋
－< br>即
x
1
?
2
?
??
解得
x
1
＝
2
2
或
x
2
＝－
2
2
.
∴cos
α
＝
2
2
或cos
α
＝－
2
2
，
∴tan
α
＝－1或tan
α
＝1.
层级二 应试能力达标
1 ．已知角
α
的终边经过点(3
a
－9，
a
＋2)，且cos
α
≤0，sin
α
>0，则实数
a
的取值范围
是( )
A．(－2,3]
C．[－2,3)


解析：选A 由cos
α
≤0，sin
α
>0可知，角
α
的终边落在第二象限内或
y
轴的正半轴上，
B．(－2,3)
D．[－2,3]
?
?
3
a
－9≤0，
所以有
?

a
＋2>0，
?
?
即－2<
a
≤3.
- 35 -

?
π
?
2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos
?
－
?
；③tan 2，其中符号为负的个数为( )
4
??
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；
?
π
?
π∵－是第四象限角，∴cos
?
－
?
>0；
4
?
4
?
∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B.
3．若tan
x
<0，且sin
x
－cos
x
<0，则角
x
的终边在( )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
解析：选D ∵tan
x
<0，∴角
x
的终边在第二、四象限，又sin
x
－cos
x
<0，∴角
x
的终
边在第四象限．
4
4．已知角
α
的终边经过点
P
(
m
，－ 6)，且cos
α
＝－，则
m
＝( )
5
A．8
C．4
解析：选B 由题意
r
＝|
OP
|＝
B．－8
D．－4
m
2
＋－6
2
＝
m
2
＋36，故cos
α
＝
m
m
2
＋36
＝－
4
5，解得
m
＝－8.
5．已知角
θ
的顶点为坐标原点，始边为< br>x
轴的正半轴，若
P
(4，
y
)是角
θ
终边 上一点，且
2
sin
θ
＝－
5
5
，则
y
＝________.
解析：|
OP
|＝4
2
＋
y
2
.根据任意角三角 函数的定义得，
y
4
2
＋
y
2
＝－
2
5
5
，解得
y
＝±
- 36 -

2
8.又∵sin
θ
＝－
答案：－8
5
5
＜0及
P
(4，
y
)是角
θ
终边上一点，可知
θ
为第四象限角，∴
y
＝－8.
6．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋
cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
3
2
3
2
＝1－1＋
3
2
＝.
答案：
7．判断下列各式的符号：
?
23π
?
?
. (1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan
?
－
4
??
解：(1)∵340 °是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0，
∴sin 340°cos 265°>0.
3π
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
2
23ππ
∵－＝－6π＋，
44
23π
∴－是第一象限角．
4
?
23π
?
?
>0， ∴sin 4<0，tan
?
－
4
??
?
23π
?
?
<0. ∴sin 4tan
?
－
4
??

8．已知＝－，且lg(cos
α
)有意义．
|sin
α
|sin
α
- 37 -
11

(1)试判断角
α
所在的象限．
?
3
?
(2)若 角
α
的终边上一点是
M
?
，
m
?
，且|< br>OM
|＝1(
O
为坐标原点)，求
m
的值及sin
α
的值．
5
??
解：(1)由＝－，所以sin
α
<0，
|sin
α
|sin
α
由lg(cos
α
)有意义，可知cos
α
>0，
所以
α
是第四象限角．
11
?
3
?
(2 )因为|
OM
|＝1，所以
??
2
＋
m
2
＝1，
?
5
?
4
得
m
＝±.
5
又
α
为第四象限角，故
m
<0，
4
从而
m
＝－，
5
4
－
5
ym
4
sin
α
＝＝＝＝－.
r
|
OM
|15

第二课时 三角函数线

预习课本P15～17，思考并完成以下问题
(1)有向线段是如何定义的？

(2)三角函数线是如何定义的？



[新知初探]

- 38 -

1．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段．
2．三角函数线
图示


正弦线

余弦线

α
的 终边与单位圆交于
P
，过
P
作
PM
垂直于
x
轴，有向线段
MP
即为正弦线
有向线段
OM
即为余弦线
过
A
(1,0)作
x
轴的垂线，交
α
的终边或其终边的反 向延长线于
T
，有向线段
AT
正切线

即为正切线
[点睛] 三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方
向，分 清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×

2．已知角
α
的正弦线的长度为单位长度，那么角
α
的终边( )
A．在
x
轴上
C．在直线
y
＝
x
上
B．在
y
轴上
D．在直线
y
＝－
x
上
- 39 -

答案：B
3．角
α
(0<
α
<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么
α
的值为( )
π
A．
4
7π
C．
4
答案：D
4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)
答案：>
3π
B．
4
3π7π
D．或
44

三角函数线的作法

3π
[典例] 作出的正弦线、余弦线和正切线．
4
3π
[解] 角的终边(如图)与单位圆的交点为
P
.作
PM
垂直于
x
轴，
4
3π
垂足为
M
，过< br>A
(1,0)作单位圆的切线
AT
，与的终边的反向延长线交
4
3π
于点
T
，则的正弦线为
MP
，余弦线为
OM
，正切线为
AT
.
4


三角函数线的画法
( 1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
x
轴的垂
线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从
A
(1,0)点 引
x
轴的垂线，交
α
的终边(
α
为第一或第四象限角)或< br>α
终
边的反向延长线(
α
为第二或第三象限角)于点
T
，即可得到正切线
AT
.
- 40 -

[活学活用]
9π
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
4
解：如图所示，

9π
－的正弦线为
MP
，余 弦线为
OM
，正切线为
AT
.
4

题点一：利用三角函数线比较大小
1．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
2π4π2π4π
①sin 与sin ；②tan 与tan .
3535
2π
解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为
P
，其反向延长线与
32π
单位圆的过点
A
的切线的交点为
T
，作
PM
⊥
x
轴，垂足为
M
，sin ＝
3
2π
MP
，tan ＝
AT
；
3
4 π
的终边与单位圆的交点为
P
′，其反向延长线与单位圆的过点
A
的 切线的交点为
T
′，
5
4π4π
作
P
′
M
′⊥
x
轴，垂足为
M
′，则sin ＝
M
′
P
′，tan ＝
AT
′，
55
由图可见，
MP
>
M
′
P
′>0，
AT
<
AT
′<0，
2π4π2π4π
所以①sin >sin ，②tan 3535
三角函数线的应用
- 41 -

题点二：利用三角函数线解不等式
2．在单位圆中画出适合下列 条件的角
α
的终边的范围，并由此写出角
α
的集合：
1
(1)sin
α
≥；(2)cos
α
≤－.
22
3
2
3
解：(1)作直线
y
＝交单位圆于
A
，
B
两点，连接
OA
，
OB
，则
OA与
OB
围成的区域
(图①阴影部分)即为角
α
的终边的范围，故 满足条件的角
α
的集合为
?
?
?
π2π
2
k
π＋≤
α
≤2
k
π＋，
k
∈Z
?.
?
α
?
33
?
??


1
(2)作直线
x
＝－交单位圆于
C
，
D
两点，连 接
OC
，
OD
，则
OC
与
OD
围成的区域 (图
2
②中阴影部分)即为角
α
终边的范围，故满足条件的角
α的集合为
?
?
?
2π4π
2
k
π＋ ≤
α
≤2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
?
α
?
33
?
??

题点三：利用三角函数线求函数的定义域
?
2
?
??
的定义域． 3．求函数
f
(
x
)＝1－2cos
x
＋ln
?
sin
x
－
2
?
? ?
解：由题意，得自变量
x
应满足不等式组
- 42 -

?
?
?
sin
x
－
?
?
1－2cos
x
≥0，
2
2
>0，

?
?
即
?
2
?
?
sin
x
>
2
.
1
cos
x
≤，
2


则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

?
?
?
π3π
即定义域为
?
x
?
2
k
π＋≤
x< br><2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
34
?
??


1．利用三角函数线比较大小的两个关注点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值
的正 负，其长度是三角函数值的绝对值．
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法．
对于sin
x
≥
b
，cos
x
≥
a
(sin
x
≤
b
，cos x
≤
a
)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线
y
＝
b
或
x
＝
a
与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置 ，此时再根据方向即可确
定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法．
对于tan
x
≥
c
，取点(1，
c
)连接该点和原点并反向延长，即得 角的终边所在的位置，结合
图象可确定相应的范围．
3．利用三角函数线求函数的定义域 < br>解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角
α
的三角函数线，然后运用< br> - 43 -

运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解 题过程中实现了一个转化，即把代数问题
几何化，体现了数形结合的思想．

层级一 学业水平达标
π6π
1．角和角有相同的( )
55
A．正弦线
C．正切线
B．余弦线
D．不能确定
π6π
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相
55
反，而正切线相等．
2．已知角
α
的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角
α
的终 边在( )
A．直线
y
＝
x
上
B．直线
y
＝－
x
上
C．直线
y
＝x
上或直线
y
＝－
x
上
D．
x
轴上或
y
轴上
解析：选C 由角
α
的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan
α
＝±1，故角< br>α
的终
边在直线
y
＝
x
上或直线
y
＝－
x
上．
7π
3．如果
MP
和
OM
分 别是角
α
＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
8
A．
MP
<
OM
<0
C．
OM
<
MP
<0
7π
解析：选D ∵是第二象限角，
8
7π7π
∴sin >0，cos <0，
88
∴
MP
>0，
OM
<0，
B．
OM
>0>
MP

D．
MP
>0>
OM

- 44 -

∴
MP
>0>
OM
.
4．已 知角
α
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则
α
的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：选C 作图(图略)可知角
α
的终边在直线
y
＝－
x
上，∴
α
的终边在第二、第四象限
的角平分线上，故选C.
5．若
α
是第一象限角，则sin
α
＋cos
α
的值与1的大小关系是( )
A．sin
α
＋cos
α
>1
C．sin
α
＋cos
α
<1
B．sin
α
＋cos
α
＝1
D．不能确定
解析：选A 作出
α
的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知
sin
α
＋cos
α
>1.
6．若角
α
的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
解析 ：若角
α
的余弦线长度为0，则
α
的终边落在
y
轴上，所以 它的正弦线的长度为1.
答案：1
7．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________．
解析：如图，sin 1＝
MP
，cos 1＝
OM
.

显然
MP
>
OM
，即sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
?
3π3π
?
8．若
θ< br>∈
?
，
?
，则sin
θ
的取值范围是________．
?
42
?
3π2
解析：由图可知sin＝，
42
- 45 -

3π2
sin＝－1，>sin
θ
>－1，
22
?
2
?
??
. 即sin
θ
∈
?
－1，
2
?
??
?2
?
??
答案：
?
－1，
2
?
??
9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
5π2π
(1)；(2)－. 63
?
5π
?
π
5π
解：(1)因为∈
?，π
?
，所以作出角的终边如图(1)所示，交单位
6
?
26
?
5π
圆于点
P
，作
PM
⊥
x轴于点
M
，则有向线段
MP
＝sin ，有向线段
OM
6
5π
＝cos ，设过
A
(1,0)垂直 于
x
轴的直线交
OP
的反向延长线于
T
，则
65π5π
有向线段
AT
＝tan .综上所述，图(1)中的有向线段
M P
，
OM
，
AT
分别为角的正弦线、
66
余弦线、 正切线．
π
?
2π
?
2π
(2)因为－∈
?－π，－
?
，所以在第三象限内作出－角的终边如
2
?
3
?
3
图(2)所示．
交单位圆于点
P
′用类似(1)的方法作图 ，可得图(2)中的有向线段
M
′
2π
P
′，
OM
′，
A
′
T
′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．
3
10．求下列函数的定义域．
?
2
?
??
(1 )
y
＝lg
?
－sin
x
?
.
?
2
?
(2)
y
＝3tan
x
－3.
- 46 -

?
2
?
2
? ?
解：(1)为使
y
＝lg
?
－sin
x
>0，所以
－sin
x
?
有意义，则
2
2
??
x
<
2
2
，所以角
x
终边所在区 域如图所示，
sin
5ππ
所以2
k
π－<
x
<2
k
π＋，
k
∈Z.
44
所以原函数的定义域是
?
?
?
5ππ
2
k
π－ <
x
<2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
?
x
?
44
?
??

3
(2)为使
y
＝3tan
x
－3有意义，
3
则3tan
x
－3≥0，所以tan
x
≥，
所以角
x
终边所在区域如图所示，
ππ
所以
k
π ＋≤
x
<
k
π＋，
k
∈Z，
62
所以原函数的定义域是
?
?
π
?
π
k
π－≤
x
<
k
π＋，
k
∈Z
?
.
?
x
?
62
?
??

层级二 应试能力达标

1．下列三个命题：
π5ππ4π
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；
6633
π5π
③与的余弦线相等．
44
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
- 47 -

C．3 D．0
π5ππ4π
解析：选B 和的正弦线关于
y
轴 对称，大小相等，方向相同；和两角的终边
6633
π5π
在同一条直线上，因而所作 正切线相等；和的余弦线方向不同．
44
2
2．若
α
是三角形的内角，且sin
α
＋cos
α
＝，则这个三角形是( )
3
A．等边三角形
C．锐角三角形
B．直角三角形
D．钝角三角形
π
解析：选D 当0<
α
≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin
α
＋cos
α
≥1，而sin
α
＋
2
2
cos
α
＝，
3
∴
α
必为钝角．
ππ
3．如果<
α
<，那么下列不等式成立的是( )
42
A．cos
α
α
α

C．sin
α
α
α

B．tan
α
α
α

D．cos
α
α
α

解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出
α
的正弦线
MP
、余弦线
OM
、正切线
AT
，很容易地观察出
OM< br><
MP
<
AT
，即cos
α
α
α
.
4．使sin
x
≤cos
x
成立的
x
的一个变化区间是( )
?
3ππ
?
A．
?
－，
?

?
44
?
?
π3π
?
C．
?
－，
?

?
44
?
?
ππ
?
B．
?
－，
?

?
22
?
D．[0，π]
?
3π
?
解析：选A 如图，画出三角函数线sin
x
＝
MP
，cos
x
＝
OM
，由于si n
?
－
?
＝
?
4
?
- 48 -

?
3π
?
cos
?
－
?
，
?
4
?

ππ
sin ＝cos ，
44
为使sin
x
≤cos
x
成立，
3ππ
则由图可得－≤
x
≤.
44
2π6π2π
5．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________．
555

解析：由图可知：
6π2π2π
cos <0，tan >0，sin >0.
555
∵|
MP
|<|
AT
|，
2π2π
∴sin 55
6π2π2π
故cos 555
6π2π2π
答案：cos 555
1
6．若0<
α
<2π，且sin
α
<，cos
α
>.利用三角函数线，得到
α
的取值范围是________．
22
解析：利用三角函数线得
α
的终边落在如图所示∠
AOB
区域内 ，
3
- 49 -

?
π
??
5π
?
所以
α
的取值范围是
?
0，
?
∪
?
，2π
?
.
?
3
??
3
?< br>?
π
??
5π
?
答案：
?
0，
?< br>∪
?
，2π
?

?
3
??
3
?
7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角
θ
的取值范围．
113
(1)sin
θ
<－；(2)－≤cos
θ
<.
222
解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角
θ
的范围，
?
?
5π
?
π
即
?
θ
?
－ ＋2< br>k
π<
θ
<－＋2
k
π，
k
∈Z

?
.
6
?
6
??


(2)图②中阴影部分就是满足条件的角
θ
的范围，
?
?
?
2πππ2π
即
?
θ
?
2
k
π－ ≤
θ
<2
k
π－ 或2
k
π＋ <
θ
≤2
k
π＋ ，
k
∈Z
?
.
3663
?
??


π
8．若0<
α
<，证明：sin
α
<
α
α
.
2
证明：如图所 示，连接
AP
，设弧
AP
的长为
l
，
∵
S
△
OAP
<
S
扇形
OAP
<
S
△
OAT
，
111
∴|
OA
|·|
MP
|<
l
·|
OA
|<|
OA
|·|
AT
| ，
222
∴|
MP
|<
l
<|
AT
|，
∴sin
α
<
α
α
.
- 50 -

1．2.2 同角三角函数的基本关系

预习课本P18～20，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？


(2)已知sin
α
，cos
α
和tan
α
其中的一个值，如何求其余两个值？



[新知初探]

同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin
2
α
＋cos
2
α
＝1.
?
π
?
α
≠
k
π＋，
k
∈Z?
. (2)商数关系：tan_
α
＝
2
cos
α< br>??
??
π
这就是说，同一个角
α
的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角
α
的正切
?
α
≠
k
π＋，
k
∈Z
?
.
2
??
[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭 示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里
“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意 ”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成
sin
α
?
- 51 -

立与角的表达形式无关，如sin
2
3
α< br>＋cos
2
3
α
＝1.
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角
α
，sin
2
α
3
＋cos
2
α
3
＝1都成立．( )
(2)对任意角
α
，＝tan 2
α
都成立．( )
cos 2
α
(3)若cos
α
＝0，则sin
α
＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
sin 2
α
?
π
?
3
2．已知
α
∈
?
0，
?
，sin
α
＝，则cos
α
＝( )
5
?
2
?
4
A．
5
1
C．－
7
答案：A
1
3．已知cos
α
＝，且
α
是第四象限角，则sin
α
＝( )
2
1
A．±
2
3
2
3
2
4
B．－
5
3
D．
5
B．±
C．－
1
D．－
2
答案：C
?
π
?
4．已知sin
α
＝，
α
∈
?
，π
?
，则tan
α
＝________.
13
?
2
?
5
答案：－
12
5

- 52 -

利用同角基本关系式求值
12
[典例] (1)已知sin
α
＝，并且
α
是第二象限角，求cos
α
和tan
α
.
13
(2)已知sin
α
＋2cos
α
＝0，求2sin
α
cos
α
－cos
2
α
的值．
[解]
5
(1 )cos
2
α
＝1－sin
2
α
＝1－
sin < br>α
?
12
??
5
?
??
2
＝
??
2
，又
α
是第二象限角，所以cos
α
<0，cos
α
?
13
??
13
?
12
＝－，tan
α
＝＝－.
13cos
α
5
(2)由sin
α
＋2cos
α
＝0，得tan
α
＝－2.
2sin
α
cos
α
－cos
2
α
2tan
α
－1－4－1
所以2sin
α
cos
α
－cos
2
α
＝＝＝＝－1.
sin
2
α
＋cos
2
α
tan
2
α
＋14＋1

1．求三角函数值的方法
(1)已知sin
θ
(或cos
θ
)求tan
θ
常用以下方式求解

(2)已知tan
θ
求sin
θ
(或cos
θ
)常用以下方式求解

当角
θ
的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ
分区间(象限)讨
论．
2．已知角
α
的正切求关于sin
α
，cos
α
的齐次式的方法
(1)关于sin
α
，cos
α
的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α
，cos
α
的式子且它
们的次数之和相同，设为
n次，将分子、分母同除以cos
α
的
n
次幂，其式子可化为关于tan
α
的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin
2
α
＋cos
2
α
来代换，将分子、分母同除以cos
2
α
，可化为关于tan
α
的式子，再代入求值．
[活学活用]
- 53 -

4
(1)已知cos
α
＝－，求sin
α
和tan
α
.
5
2sin
α
－3cos
α
(2)已知tan
α
＝2，试求的值．
cos
α
＋sin
α
解 ：(1)sin
2
α
＝1－cos
2
α
＝1－
?< br>4
??
3
?
?
－
?
2
＝
? ?
2
，
?
5
??
5
?
4
因为cos
α
＝－<0，所以
α
是第二或第三象限角，
5
3sin
α
3
当
α
是第二象限角时，sin
α
＝，tan
α
＝＝－；
5cos
α
4
3sin
α
3
当
α
是第三象限角时，sin
α
＝－，tan
α
＝＝.
5cos
α
4
(2)由tan
α
＝2可得sin
α
＝2cos
α
，
2sin
α
－3cos
α
4cos
α
－3cos
α
cos
α
1
故＝＝＝.
cos
α
＋sin
α
cos
α
＋2cos
α
3cos
α
3
三角函数式的化简
1－2sin 130°cos 130°
[典例] (1)化简：
sin 130°＋1－sin
2
130°
.
(2)若角
α
是第二象限角，化简：tan
α

[解] (1)原式＝
－1.
sin
2
α
1
sin
2
130°－2sin 130°cos 130°＋cos
2
130°

sin 130°＋cos
2
130°
|sin 130°－cos 130°|
＝
sin 130°＋|cos 130°|
sin 130°－cos 130°
＝＝1.
sin 130°－cos 130°
1－sin
2α
sin
2
α
cos
2
α
sin
α
|cos
α
|
＝×，因为
α
是第二象限
sin
2
α
cos
α
|sin
α
|
(2)原式＝tan
α
＝tan
α

角，所以sin
α
>0，cos
α
<0，
- 54 -

sin
α
|cos
α
|sin
α
－cos
α
所以原式＝×＝×＝－1.
cos
α
|sin
α
|cos
α
sin
α

三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名 称，达到化繁为简的
目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin
2
α
＋co s
2
α
＝1，以
降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
sin
α
tan
α
－sin
α
；
tan
α
＋sin
α
化简：(1)·
1－cos
α
(2) 1－tan
θ
sin
α
·cos
2
θ
＋
?
1
?
?
1＋
?
·sin< br>2
θ
.
?
tan
θ
?
解：(1)原式＝·
1－cos
α
sin
α
1－cos
α
1－cos
α

1＋cos
α
2
＝·
1－cos
α
sin
α
1－cos
2
α

1－cos
α
＝·＝±1.
1－cos
α
|sin
α
|
(2)原式＝
cos
θ
－sin
θ
sin
θ
＋cos
θ
2
·cos
θ
＋·sin
2
θ

cos
θ
sin
θ
＝
＝
cos
2
θ
－sin
θ
cos
θ
＋sin
2
θ
＋sin
θ
cos
θ

cos
2
θ
＋sin
2
θ
＝1.
证明简单的三角恒等式
tan
α
＋sin
α
[典例] 求证：＝.
tan
α
－sin
α
tan
α
sin
α
- 55 -
tan
α
·sin
α

tan
α
·sin
α
tan
α
＋sin
α
[证明] 法一：左边＝
tan
2
α
－sin
2
α
tan
α
·sin
α
tan
α
＋sin
α
＝
tan
2
α
－tan
2
α
·cos
2< br>α
tan
α
·sin
α
tan
2
α
tan
α
·sin
α
tan
α
＋sin
α
1－cos
2
α
tan
α
＋sin
α

＝
＝
tan
2
α
·sin
2
α

tan
α
＋sin
α
＝＝右边，
tan
α
·sin
α
∴原等式成立．
法二：右边＝
tan2
α
－sin
2
α
tan
α
－sin
α
·tan
α
·sin
α

＝
tan
2
α
－tan
2
α
cos
2
α
t an
α
－sin
α
tan
2
α

·tan
α
sin
α
tan
2
α
sin
2
α
tan
α
－sin
α
tan
α
sin
α
＝
1－cos
2
α
tan
α
sin
α
tan
α
－sin
α
tan
α
sin
α
＝
＝＝左边，
tan
α
－sin
α
∴原等式成立．
法三：左边＝＝，
tan
α
－tan
α
cos
α
1－cos
α
tan
α
＋tan
α
cos
α
1＋cos
α
右边＝＝
tan
α
sin
α
sin
α
＝
1－cos
2
α
sin
α
1－cos
α
＝＝，
sin
α
1－cos
α
1－cos
α
sin
2
α
sin
α
tan
α
·sin
α
sin
α
∴左边＝右边，原等式成立．
tan
α
＋sin
α
法四：∵－
tan
α
－sin
α
tan
α
·sin
α
tan
α
·sin
α
- 56 -

＝
tan
2
α
·sin
2
α
－tan
2
α
－sin
2
α
tan
α
sin
α
tan
α
－sin
α


＝
tan
2
α
·sin
2
α
－tan
2
α
＋sin
2
α
tan
α
sin
α
tan
2
α
tan
α
－sin
α
＋sin
2
α
＝
sin< br>2
α
－1
tan
α
·sin
α
tan
α
－sin
α

＝
－tan
2
α
cos
2
α
＋sin
2
α
tan
α
·sin
α
tan
α
－sin
α

＝
－sin
2
α
＋sin
2
α
tan
α
sin
α
tan
α
－sin
α

＝0，
tan
α
＋sin
α
∴＝.
tan
α
－sin
α
tan
α
·sin
α
法五：∵(tan
α
－sin
α
)(tan
α
＋sin
α
)
＝tan
2
α
－sin
2
α

＝tan< br>2
α
－tan
2
α
·cos
2
α

＝tan
2
α
(1－cos
2
α
)
＝tan
2
α
·sin
2
α
，
tan
α
＋sin
α
∴＝.
tan
α
－sin
α
tan
α
sin
α

证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边 开始化简到另一边，其依
据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相
等．
(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据
是 等价转化的思想．
tan
α
sin
α
tan
α
sin
α
- 57 -

左边
(4)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.
右边

[活学活用]
求证：2(1－sin
α
)(1＋cos
α
)＝(1－sin
α
＋cos
α
)
2
.
证明：法一：左边＝2－2sin
α
＋2cos
α
－2sin
α
cos
α

＝1＋sin
2
α
＋cos
2
α
－2sin
α
cos
α
＋2(cos
α
－sin
α
)
＝1＋2(cos
α
－sin
α
)＋(cos
α
－sin
α
)
2

＝(1－sin
α
＋cos
α
)
2
＝右边．
法二：∵左边＝2－2sin
α
＋2cos
α
－2sin
α
cos
α
，
右边＝1＋sin
2
α
＋cos
2
α
－2sin
α
＋2cos
α
－2sin
α
cos
α
＝2－2sin
α
＋2cos
α
－2sin
α
cos
α
，
∴左边＝右边.
sin
α
±cos
α
型求值
1
[典例] 已知sin
θ
＋cos
θ
＝(0<
θ
<π)，求sin
θ
cos
θ
和sin
θ
－cos
θ
的值．
2
1
[解] 因为sin
θ
＋cos
θ
＝(0<
θ
<π)，
2
1
4
所以(sin
θ
＋cos
θ
)
2
＝，
1
即sin
2
θ
＋2sin
θ
cos
θ
＋cos
2
θ
＝，
4
3
所以sin
θ
cos
θ
＝－.
8
由上知，
θ
为第二象限的角，
所以sin
θ
－cos
θ
>0，
所以sin
θ
－cos
θ

- 58 -

＝ sin
θ
＋cos
θ
2
－4sin
θ
cos
θ

＝
?
1
??
3
?
7
2
??
－4×
?
－
?
＝.
?
2
??
8
?
2

已知sin
α
±cos
α
，sin
α
cos
α
求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法
求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin
θ
＋cos
θ
)
2
＝1＋2sin
θ
cos
θ
；
②(sin
θ
－cos
θ
)
2
＝1－2sin
θ
cos
θ
；
③(sin
θ
＋cos
θ
)
2
＋(sin
θ
－cos
θ
)
2
＝2；
④(sin
θ
－cos
θ
)
2
＝(sin
θ
＋cos
θ
)
2
－4sin
θ
cos
θ
.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin
θ
＋cos
θ
，sin
θ
－cos
θ
，sin
θ
cos
θ
中的任何一
个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1
1．已知0<
θ
<π，且sin
θ
－cos
θ
＝，求sin
θ
＋cos
θ
，tan
θ
的值．
5
11
2
解：∵sin
θ
－cos
θ
＝，∴(sin
θ
－cos
θ
)＝.
525
12
解得sin
θ
cos
θ
＝.
25
12
∵0<
θ
<π，且sin
θ
·cos
θ
＝>0，
25
∴sin
θ
>0，cos
θ
>0.
∴sin
θ
＋cos
θ
＝
247
1＋＝.
255
sin
θ
＋cos
θ
2
＝1＋2sin
θ
cos
θ

＝
- 59 -

?
?
由
?
7
?
?
sin
θ
＋cos
θ
＝
5
，
4
∴tan
θ
＝＝.
cos
θ
3
sin
θ
1
sin
θ
－cos
θ
＝，
5

?
?
得
?
3
?
?
cos
θ
＝
5
，
4
sin
θ
＝，
5
60
60

2．若0<
θ
<π，sin
θ
cos
θ
＝－，求sin
θ
－cos
θ
.
169
解：∵0<
θ
<π，sin
θ
cos
θ
＝－<0，
169
∴sin
θ
>0，cos
θ
<0.∴sin
θ
－cos
θ
>0.
∴sin
θ
－cos
θ
＝
28917
＝.
16913
sin
θ
－cos
θ
2
＝1－2sin
θ
cos
θ
＝
?
60
?
?
＝ 1－2×
?
－
169
??

层级一 学业水平达标
1．(福建高考)若sin
α
＝－
12
A．
5
5
，且
α
为第四象限角，则tan
α
的值等于( )
13
12
B．－
5
5
5
C．
12
5
D．－
12
解析：选D 因为sin
α
＝－，且
α
为第四象限角，
13
125
所以cos
α
＝，所以tan
α
＝－，故选D.
1312
- 60 -

2．若
α
为第三象限角，则
cos
α
1－sin
2
α
＋
2sin
α
1－cos
2
α
的值为( )
A．3
C．1
解析：选B ∵
α
为第三象限角，
cos
α
2sin
α
B．－3
D．－1
∴原式＝＋＝－3.
－cos
α
－sin
α
3．下列四个结论中可能成立的是( )
11
A．sin
α
＝且cos
α
＝
22
B．sin
α
＝0且cos
α
＝－1
C．tan
α
＝1且cos
α
＝－1
D．
α
是第二象限角时，tan
α
＝－
cos
α
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当
α
＝π时，sin
α
＝0且cos
sin
α
α
＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
5
5
4．已知sin
α
＝
3
A．－
5
1
C．
5
，则sin
4
α
－cos
4
α
的值为( )
1
B．－
5
3
D．
5
解析：选A sin
4
α
－cos
4
α
＝(sin
2
α
＋cos
2
α
)(sin
2
α
－cos
2
α
)＝sin
2
α
－(1－sin
2
α
)＝2s in
2
α
?
5
?
3
??
2
－1＝ 2×
??
－1＝－
5
.
5
??
3
5．若
α
是三角形的最大内角，且sin
α
－cos
α
＝，则三角形是( )
5
A．钝角三角形

B．锐角三角形
- 61 -

C．直角三角形 D．等腰三角形
39
解析：选B 将sin
α
－cos
α
＝两边平方，得1－2sin
α
cos
α
＝，即2sin
α
cos
α
525
16
＝.又
α
是三角形的内角，∴sin
α
>0，cos
α
>0，∴
α
为锐角．
25
2
2
6．若sin
θ
＝－，tan
θ
>0，则cos
θ
＝________.
解析：由已知得
θ
是第三象限角，
所以cos
θ
＝－1 －sin
2
θ
＝－
?
2
2
?
??
2
1－
?
－
?
＝－
2
.
2
??
答案：－
2
2

7．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________.
sin
2
40°＋cos
2
40°－2sin 40°cos 40°
2
＝|cos 40°－sin 40°|
解析：原式＝
＝ sin 40°－cos 40°
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
11＋2sin
α
cos
α
8．已知tan
α
＝－，则＝________.
2sin
2
α
－cos
2
α
1＋2sin
α
cos
α
sin
α
＋cos
α
解 析：＝
sin
2
α
－cos
2
α
sin
2
α
－cos
2
α
11
2

sin
α
＋cos
α
tan
α
＋1
＝＝＝
sin
α
－cos
α
tan
α
－1
－＋1
22
1
＝＝－.
133
－－1－
22
1
答案：－
3
- 62 -

cos 36°－1－cos
2
36°
9．化简：(1)；
1－2sin 36°cos 36°
sin
θ
－cos
θ
(2).
tan
θ
－1
cos 36°－sin
2
36°
解：(1)原式＝
sin
2
36°＋cos
2
36°－2sin 36°cos 36°

＝
cos 36°－sin 36°
cos 36°－sin 36°
cos 36°－sin 36°
2

＝
|cos 36°－sin 36°|
cos 36°－sin 36°
＝＝1.
cos 36°－sin 36°
sin
θ
－cos
θ
cos
θ
sin
θ
－cos
θ
(2)原式＝＝＝cos
θ
.
sin
θ
sin
θ
－cos
θ
－1
cos
θ
3
3
1
10．已知sin
α
＋cos
α
＝
3
3
，求tan
α
＋及sin
α
－cos
α
的值．
tan
α
1
解：将sin
α
＋cos
α
＝
11
两边平方，得sin
α
cos
α
＝－.
3
∴tan
α
＋＝＝－3，
tan
α
sin
α
cos
α
(sin
α
－cos
α
)
2
＝1－2sin
15
3
25
α
cos
α
＝1＋＝，
33
∴sin
α
－cos
α
＝±

.
层级二 应试能力达标
?
3π
?
1
1．已知tan
α
＝，且
α
∈
?
π，
?
，则sin
α
的值是( )
2
?
2
?
- 63 -

A．－
2
C．
5
5
5
B．
5
5

5
55

2
D．－
?
3π
?
解析：选A ∵
α
∈
?
π，
?
，∴sin
α
<0.
2
??
由tan
α
＝＝，sin
2
α
＋cos
2
α
＝1，
cos
α
2
5
5
sin
α
1
得sin
α
＝－.
?
11
?
?
(1－cos
α
)的结果是( )
＋
2．化简
?
sin
α
tan
α
??
A．sin
α

C．1＋sin
α

B．cos
α

D．1＋cos
α

?
1
?
11
?
cos
α
?
?
(1－cos
α
)＝
??
·(1－cos
α
)＝
＋＋
解析：选A
?
sin
α
tan
α
sin
α
sin
α
????
1＋cos
α
sin
α
1－cos
2
α
sin
2
α
·(1－cos
α
)＝＝＝sin
α
.
sin
α
sin < br>α
sin
4
θ
＋cos
4
θ
＝
5< br>9
，则sin
θ
cos
θ
的值为( )
2< br>3
3．已知
θ
是第三象限角，且
2
3
A． B．－
1
C．
3
解析：选A 由sin
4
θ
＋cos
4
θ
＝
5
9
1
D．－
3
，得
(sin
2
θ
＋cos
2
θ
)
2
－2sin
2
θ
cos
2
θ
＝
2
9
5
9
.
∴sin
2
θ
cos
2
θ＝.∵
θ
是第三象限角，
- 64 -

∴sin
θ
＜0，cos
θ
＜0，∴sin
θ
cos
θ
＝
2
3
.
sin
θ
＋cos
θ
4．已知＝2，则sin
θ
cos
θ
的值是( )
sin
θ
－cos
θ
3
A．
4
3
3
B．±
10
3
C．


10
D．－
10
解析：选C 由条件得sin
θ
＋cos
θ
＝2sin
θ
－2cos
θ
，
即3cos
θ
＝sin
θ
，tan
θ
＝3，
∴sin
θ
cos
θ
＝＝＝＝.
sin
2
θ
＋ cos
2
θ
1＋tan
2
θ
1＋3
2
10
15π
5．已知sin
α
cos
α
＝，且π<
α
<，则cos
α
－sin
α
＝________.
84
5π
解析：因为π<
α
<，所以cos
α
<0，sin
α
<0.利用三角函数线，知cos
α
α
，所以
4
13
1－2×＝－.
82
sin
θ
cos
θ
tan
θ
33
cos
α
－sin
α
<0，所以cos
α
－sin
α
＝－cos
α
－sin
α
2
＝－
答案：－
3
2

6．若sin
α
＋cos
α
＝1，则sin
n
α
＋cosn
α
(
n
∈Z)的值为________．
解析：∵sin
α
＋cos
α
＝1，
∴(sin
α
＋cos
α
)
2
＝1，又sin
2
α
＋cos
2< br>α
＝1，
∴sin
α
cos
α
＝0，∴sin
α
＝0或cos
α
＝0，
当sin
α
＝0时，cos
α
＝1，此时有sin
n
α
＋ cos
n
α
＝1；
当cos
α
＝0时，sin
α
＝1，也有sin
n
α
＋cos
n
α
＝1，
∴sin
n
α
＋cos
n
α
＝1.
- 65 -

答案：1
?
π
?
7．已知 ＝，
α
∈
?
，π
?
.
1＋2tan
α
3
?
2
?
tan
2
α
1
(1)求 tan
α
的值；
sin
α
＋2cos
α
(2)求的值．
5cos
α
－sin
α
1
解：(1)由＝，得3tan
2
α
－2tan
α
－1＝0，
1＋2tan
α
3
即(3tan
α
＋1)(tan
α
－1)＝0，
1
解得tan
α
＝－或tan
α
＝1.
3
tan
2
α
?
π
?
1
因为
α
∈
?
，π?
，所以tan
α
<0，所以tan
α
＝－.
3
?
2
?
1
－＋2
3
1sin
α
＋2cos
α
tan
α
＋25
(2)由(1)，得tan
α
＝－，所以＝＝＝.
?
1
?
1635cos
α
－sin
α
5－tan
α
5－
?
－
?
?
3
?




8．求证：－＝.
1＋sin
α
1＋cos
α
1＋sin
α
＋cos
α
cos
α
证明：左边＝
1＋cos
α
－sin
α
1＋sin
α
1＋sin
α
cos
α
sin
α
2cos
α
－sin
α
1＋cos
α

＝
cos
2
α
－sin
2
α
＋cos
α
－sin
α
1＋sin
α
＋cos
α
＋sin
α
cos
α

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