2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1．1任意角和弧度制
1．1.1 任 意 角

角的分类
[提出问题]
问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向 转动，把时间调整准确．在调
整的过程中，分针转动的角度有什么不同？
提示：旋转方向不同．
问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾 两周半”等动作，
做上述动作时，运动员分别转体多少度？
提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.
[导入新知]
角的分类
1．按旋转方向
名称
正角
负角
零角
定义
按逆时针方向旋转形成的角
按顺时针方向旋转形成的角
一条射线没有作任何旋转形成的角
图形



2.按角的终边位置
(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；
(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．
[化解疑难]
1．任意角的概念
认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．
(1) 用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负
角和零角．

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．
①要明确旋转方向；
②要明确旋转角度的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．象限角的前提条件
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
终边相同的角
[提出问题]
在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角 ：30°，
390°，－330°.
问题1：这三个角的终边位置相同吗？
提示：相同．
问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？
提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.
问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？
提示：不唯一．
[导入新知]
终边相同的角
360°，k∈Z
}
，所有与角α终 边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝
{
β|β＝α＋k·
即任一与角α终 边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[化解疑难]
所有与角α终边相同的角 ，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时
需注意以下几点．
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°， k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，
k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的< br>角终边一定相同．

象限角的判断

[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并
指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：

(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
[类题通法]
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限
角．
(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角
就是第几象限角．
[活学活用]
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围 内，找出与其终边相同的角，并判定
它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.
解：如图所示，分别作出各角，可以发现：

(1)360°＝0°＋360°，( 2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°
角终边相同． 所以这两个角不属于任何一个象限．
(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，
所以2 012°是第三象限角．

< br>(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是 240°，所
以－120°是第三象限角．
终边相同的角的表示
[例2] (1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β
＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．

＋k·360°，k∈Z
. [解] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为
β|β＝－1 910°
∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，
1111
∴3≤k＜6，
3636
故k＝4,5,6.
k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.
k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.
k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与
0°角终边相同的角构成集合S
1
＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所 有与180°角终边相同的角构
成集合S
2
＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S
1
∪S
2
＝
{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x 上的角有两个，即135°和315°，
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝13 5°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，
{}

k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集 合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为
S＝{β|β＝45°＋k ·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k ∈Z}∪{β|β＝45°
＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈ Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝135°＋
k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
故阴影部 分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[类题通法]
1．常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界 对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的
角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
[活学活用]
1．将下列各角表示为 α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.
答案：(1)420°＝60°＋360° 第一象限角
(2)－495°＝225°－2×360° 第三象限角
(3)1 020°＝300°＋2×360° 第四象限角
2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．

答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}

α
确定nα及
n
所在的象限
α
[例3] 若α是第二象限角，则2α，
分别是第几象限角？
2
[解] (1)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
α
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
2
①当k＝2n(n∈Z)时，
α
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
2
α
即是第一象限角；
2
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，
α
225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
2
α
即是第三象限角．
2
α
故是第一或第三象限角．
2
[类题通法]
1．nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
α
2.
n
所在象限的判断方法

α
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
n
α
(1 )用不等式表示出角
n
的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；
被n除余2；……；被n除余n－1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线 ，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从
x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上 1,2,3,4.标号为几的区域，就是
αα
根据α终边所在的象限确定
n
的 终边所落在的区域．如此，
n
所在的象限就可以由标号区域所
在的象限直观地看出．
[活学活用]
α
已知角α为第三象限角，试确定角2α，分别是第几象限角．
2
答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角
象限角或第四象限角
α
可能是第二
2


1.角的概念的易错点

[典例] 下列说法中正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，
但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终
边 相同的角的概念可知正确．
[答案] D
[易错防范]
1．若三角形是直角三角 形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，
不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A .
2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不

是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.
3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.
4．解决好此类问题应注意以下三点：
(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．
(2)弄清锐角和象限角的区别．
(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.
[成功破障]
下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角大于第一象限角；
④第二象限角是钝角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确命题的序号为________．
答案：①

[随堂即时演练]
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )
A．120°
C．240°
答案：D
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
3．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
答案：①②③④
4．在0°～360°范围内与－1 050°终边相同的角是________，它是第________象限角．
答案：30° 一
B．－120°
D．－240°

5.试写出终边 在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°
的元素α写出来．
答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，
120°
[课时达标检测]
一、选择题
1．－435°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限
C．第三象限
答案：D
2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
答案：D
3．若α是第四象限角，则－α一定是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
答案：A
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )
A．x轴非负半轴上
B．y轴非负半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上
答案：C
5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
答案：B
二、填空题
6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
B．第二象限角
D．第四象限角
B．第二象限
D．第四象限

答案：240°
7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度， 分针所转成的角度是
________度．
答案：－5 －60
8．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案：一或三
三、解答题
9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的
值．
解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，
又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.
10．已知α，β都是锐角，且α ＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°
角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.

11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．

解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
1．1.2 弧 度 制

角度制与弧度制
[提出问题]
问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？
提示：1°.
问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长
为π时， 对应的圆心角是多少？
提示：180°.
问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：确定．
[导入新知]
1．角度制与弧度制
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
1
②1度的角：周角的作为一个单位．
360
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3．角的弧度数的计算
l
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
r
[化解疑难]
角度制和弧度制的比较
(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．

(3) 无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小
无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量
角时， “弧度”二字或“rad”通常省略不写.
角度与弧度的换算
[提出问题]
问题1：周角是多少度？是多少弧度？
提示：360°，2π.
问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
提示：180°，π.
问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？
提示：π＝180°.
[导入新知]
1．弧度与角度的换算
角度化弧度
360°＝2π rad
180°＝π rad
1°＝
π
rad≈0.017 45 rad
180
弧度化角度
2π rad＝360°
π rad＝180°
180
?
1 rad＝
?
≈57.30°
?
π
?
°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度

[化解疑难]
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，
充分利用1°＝
π
rad，
180
0°
0
30°
π

6
45°
π

4
60°
π

3
90°
π

2
120°
2π

3
135°
3π

4
150°
5π

6
180°
π
180
?
1 rad＝
?
进行换算．
?
π
?
°
(2)方法：
设一个角的弧度数为α，角度数为n，
180
π
α·
?
°则α rad＝
?
；n°＝n· rad.
?
π
?
180

弧度制下的扇形的弧长及面积公式
[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

扇形的弧长
扇形的面积
[化解疑难]
扇形的弧长及面积公式的记忆
l
(1 )扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝
?l＝r|α|.
r1
(2)扇形的面积公式S＝lR与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作
2
高)，可以类比记忆．
α为度数
l＝
παR

180
α为弧度数
l＝αR
11
S＝lR＝
αR
2

22
παR
2
S＝
360

角度与弧度的换算
[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－
[解] (1)72°＝72×
π2π
＝；
1805
π5π
＝－；
1803
2π
.
9
(2)－300°＝－300×
180
??
360
?
(3)2＝2×
?
＝
?
π< br>?
°；
?
π
?
°
(4)－
2π
1 80
?
2π
＝－
?
＝－40°.
?
9
×
π
?
°
9
[类题通法]
角度与弧度互化技巧
π
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由它可以得到：度数×
180
180
＝弧度数，弧度数×＝度数．
π
[活学活用]

已知α＝15°，β＝
π7π< br>，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
1012
答案：α<β<γ<θ＝φ
扇形的弧长公式及面积公式的应用
[例2] (1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm
2
.
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆 心角是多少弧
度？面积是多少？
[解] (1)4
l
(2)设扇形的弧长 为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是
R
＝2(π －1)，
1
扇形的面积是Rl＝(π－1)R
2
.
2
[类题通法]
弧度制下涉及扇形问题的攻略
11
(1)明确弧 度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r
2
(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，22
α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键 是先分析题目已知哪些量求哪
些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解 ．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
[活学活用]
已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
最大面积是多少？
15225
答案：r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm
2
.
24
用弧度制表示角的集合
[例3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

π
[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－
，
6
而75°＝75×
π5π
＝，
18012
??
π5π
??
2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z
?
. ∴终边落在阴影部分内( 不包括边界)的角的集合为
?
θ
?
612
?
π7π
(2)如题图②，∵30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线
66π
AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
6
π
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
2
??
ππ
kπ＋<θ?
. 从而终边落 在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
?
θ
?
62
?
? ?


[类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度 表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与
弧度的换算．注意单位要统 一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ ，k
∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}； 终边在相互垂直的两
??
π
x＝α＋k·，k∈Z
?
. 直线上的角的集合可以合并为
?
x
?
2
?
??

在进行区间合并时，一定要做到准确无误．
[活学活用]

以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．
3
答案：αα＝
π＋kπ，k∈Z
4


1.弧度制下的对称关系

π
[典例] 若角α的 终边与角
的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝
6
_____ ___.
π
[解析] 如图所示，设角
的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
6

π
则以OB为终边且在0到2π之间的角为，
3
π
故以OB为终边的角的集合为αα＝＋2kπ，k∈Z.
3
∵α∈(－4π，4π)，
π
∴－4π<＋2kπ<4π(k∈Z)，
3
∴－
1311
66
∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
11π5ππ7π
∴α＝－，－，，.
3333
11π5ππ7π
[答案] －
，－，，
3333
[多维探究]
在弧度制下，常见的对称关系如下
(1)若α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝2kπ(k∈Z)；
(2)若α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
1．若α和β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为( )
A．2kπ＋β (k∈Z)
B．2kπ－β (k∈Z)
C．kπ＋β (k∈Z)
D．kπ－β (k∈Z)

答案：B
2．在平面直角坐 标系中，α＝－
2π
，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.
3
(1)若α，β的终边关于x轴对称；
(2)若α，β的终边关于y轴对称；
(3)若α，β的终边关于原点对称；
(4)若α，β的终边关于直线x＋y＝0对称．
答案：(1)β＝
2π
＋2kπ，k∈Z
3
π
(2)β＝－＋2kπ，k∈Z
3
π
(3)β＝＋2kπ，k∈Z
3
π
(4)β＝＋2kπ，k∈Z
6

[随堂即时演练]
1．下列命题中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
11
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
360
2π
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
答案：D
2．若α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限
C．第三象限
答案：C
3．－135°化为弧度为______，
3
答案：－
π 660°
4
4．已知半径为12 cm，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的
角的集合为______________．
2π
??
α＝
＋2kπ，k∈Z
?
答案：
?
α
?
3
?
??
B．第二象限
D．第四象限
11π
化为角度为______．
3

5．设角α＝－570°，β＝
3π
5
.
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．
答案：(1)α＝－
19π
6
；α在第二象限；
(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
答案：D
2．1 920°化为弧度数为( )
A.
16
3
B.
32
3

C.
16π
3
D.
32π
3

答案：D
3.
29π
6
是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(
A.
π
3
B.
2π
3

C.3 D．2
答案：C
5．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α| －4≤α≤4}，则P∩Q等于( )
A．?
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
答案：B

)

二、填空题
6．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为________．
答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}
3
7．如果一个圆的半径变为原来 的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是
2
原来的________倍．
答案：3
α
8
8．若角α的终边与
π的终边相同，则在[0,2π ]上，终边与
的终边相同的角有________．
54
答案：
2π9π7π19π
，，，
510510
三、解答题
9．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
ππ
－，
?
. (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈
?
?
22
?
14
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，28 0°＝
π，
9
14π
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
9
∵α与角
14π
终边相同，∴α是第四象限角．
9
14 π
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ9
＋
14π
，k∈Z.
9
ππ
π14ππ
－ ，
?
，∴－<2kπ＋又γ∈
?
<，k∈Z，
?
22?
292
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋
14π4π
＝－.
99

π
10．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，
3
π
点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相 遇时所用的时间及P，Q点各自走过
6
的弧长．

π
?
－
π
?
＝2π， 解：设P，Q第一次相遇时所用的时 间是t，则t·＋t·
?
6
?
3
所以t＝4(s)，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
4π16π2π8π
P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.
3333

11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．

1202
解：∵120°＝
π＝π，
1803
2
∴l＝6×
π＝4π，
3
∴AB的长为4π.

11
∵S
扇形
OAB
＝lr＝×4π×6＝12π， < br>22
11
如图所示，作OD⊥AB，有S
△
OAB
＝×AB× OD＝×2×6cos 30°×3＝93.
22
∴S
弓形
ACB
＝S
扇形
OAB
－S
△
OAB
＝12π－93.
∴弓形ACB的面积为12π－93.
1．2任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义

任意角的三角函数的定义
[提出问题]
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴 的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM
⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.

问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
yxy
提示：sin α＝
r
，cos α＝
r
，tan α＝
x
.
问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：否．
问题3：若|OP|＝1，则P点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？
提示：P点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的单位圆，即P点是单位圆与角α终< br>边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便．
[导入新知]
1．任意角三角函数的定义
(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
(2 )单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；x叫做α的余弦，记作cos α，即
yy
cos α＝x；叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).
xx

2．三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函
数，它们统称为三角函数．
[化解疑难]

对三角函数定义的理解
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的 定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比
值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3 )三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，
只由角α的终 边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.
三角函数值的符号
[提出问题]
问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0.
问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.
问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？
提示：相等．因为它们的终边重合．
问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？
提示：不存在．
[导入新知]
1．三角函数的定义域
三角函数
sin α
cos α
tan α

2．三角函数值的符号
定义域
R
R
?
?
?
π
?
α
α≠＋kπ，k∈Z
?

2
?
?
?


[化解疑难]
巧记三角函数值的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正 、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象
限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只 有正切值为正，第四象限只
有余弦值为正.

诱导公式一
[提出问题]
问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与
cos β，tan α与tan β之间有什么关系？
提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β.
[导入新知]
终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
[化解疑难]
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k·2π，右边角为α.
(2)由公式一可知 ，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一
周，函数值将重复出现．
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)
＝tan α，其中k∈Z.


三角函数的定义及应用
[例1] (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，
tan α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
12512
[解] (1)－
－
13135
(2)直线3x＋ y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，
3)，则r＝?－1?< br>2
＋?3?
2
＝2，所以sin α＝
31
，cos α＝－，tan α＝－3；
22
1
2
＋?－3?
2
＝2，所以sin α＝－
3
，cos α
2
在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝
1
＝，tan α＝－3.
2

[类题通法]
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角
函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则
对应 角的正弦值sin α＝
b
，余弦值cos α＝
a
a
2
＋b
b
，正切值tan α＝.
a< br>2
a
2
＋b
2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给 出时，要根据问题的实际情况对参数进行分
类讨论．
[活学活用]
已知角α终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
?
－
5
，a>0，
答案：2sin α＋cos α＝
?
2
?
5
，a<0
[例2] (1)若sin αtan α<0，且
A．第一象限角
C．第三象限角
(2)判断下列各式的符号：
2


三角函数值符号的运用
cos α
<0，则角α是( )
tan α
B．第二象限角
D．第四象限角
2π
－
?
. ①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan
?
?
3
?
[解] (1)C
(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.
π
②∵<3<π，∴3是第二象限角，
2
∴cos 3<0.
2π
又∵－是第三象限角，
3

2π
?
－
2π
?
<0.
－
?
>0，∴cos 3·∴tan
?
tan
?
3
??
3
?
[类题通法]
三角函数值的符号规律
(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，
反之也成立；
(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，
反之也成立；
(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，
反之也成立；
(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，
反之也成立．
[活学活用]
已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
诱导公式一的应用
[例3] 计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°；
11π
12π
－
?
＋cos(2)sin
?
tan 4π.
?
6
?
5
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋
60°)sin(2×360° ＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝
231161
1＋6
×＋×＝＋＝.
2222444
π
2π
π
2π1
－2π＋
?
＋cos
?
2π ＋
?
·(2)原式＝sin
?
tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
6
?
5
???
652
[类题通法]

诱导公式一的应用策略
应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π 范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数
值一定要熟记．
[活学活用]

求下列各式的值：
15π
?
25π
－
(1)sin＋ta n
?
?
4
?
；
3
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.
答案：(1)
3
＋1 (2)1
2


1．应用三角函数定义求值
[典例] (12分)已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．
[解题流程]


[规范解答]
由题意可得：
由|OP|＝?－3m?
2
＋m
2
＝10|m|.(2分)
(1)当m>0时，|OP|＝10|m|＝10m，(4
分)
则sin α＝
－
3 10
，
10
－3m
m
10
＝，cos α＝＝
10m
10
10m
认为|OP|＝r(10)m，从而导致解题不完整而失分.





[名师批注]
由于题目条件中只告诉m≠0，不知道m的< br>符号，因此|OP|＝r(10)|m|.此处极易忽视此点，误

m
1
tan α＝＝－.(7分)
3
－3m
(2)当m<0时，|OP|＝10|m|＝－10m，(9分)
则sin α＝－
1
＝－.(12分)
3


[活学活用]
103 10
，cos α＝，tan α
1010


y
根据正切函数的定义tan α＝，本题中tan α的取
x
值与m的符号无关，即无论m>0还是m<0，tan α
m
1
都是＝－.
3
－3m
已知角α的终边上一点P(－3，y)(y≠0)，且sin α＝
解：当y＝5时，cos α＝－
当y＝－5时，cos α＝－
615
，tan α＝－；
43
2
y，求cos α，tan α的值．
4
615
，tan α＝.
43


[随堂即时演练]
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
4
A.
5
3
C．－
5
答案：D
2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
C．直角三角形
答案：B
19
－
π
?
＝________.
3．计算：sin
?
?
6
?
1
答案：
2
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，
且sin θ＝－
25
，则y＝________.
5
B．钝角三角形
D．以上三种情况都可能
3
B.
5
4
D．－
5
答案：－8

5．化简下列各式：
(1)acos 180°＋bsin 90°＋ctan 0°；
(2)p
2
cos 360°＋q
2
sin 450°－2pqcos 0°；
π
3π
(3)a
2
sin－b
2
cos π＋absin 2π－abcos .
22
答案：(1)－a＋b (2)(p－q)
2
(3)a
2
＋b
2

[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α的终边与单位圆交于点
－
A．－
C.
3

2
?
?
31
?
，－
，则sin α的值为( )
22
?
1
B．－
2
1
D.
2
3

2
答案：B
π
－
?
；2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos
?
其中符号为负的个数为( )
?
4
?
③tan 2，
A．0
C．2
答案：B
3．已知60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值为( )
43
A.
3
C．43
答案：C
4．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B
C．sin C与tan A
答案：D
5．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
答案：A
二、填空题
6．α是第二象限角，P(x, 5)是其终边上一点，且cos α＝
2
x，则x的值为________．
4
B．第二象限角
D．第四象限角
B．cos B与sin C
A
D．tan与sin C
2
43
B．±
3
D．±43
B．1
D．3

答案：－3
7．计算：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
答案：
3

2
sin α|sin α|
8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
|cos α|cos α
答案：0
三、解答题
9．如果角α的终边经过点M(1，3)，试 写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角
和绝对值最小的角．
解：在0°～360°范围内，tan α＝3且终边在第一象限内，可求得α＝60°.A＝{α|α ＝60°
＋k·360°，k∈Z}．所以k＝－1时，α＝－300°为最大的负角；k＝0时，α＝ 60°为绝对值最小
的角．
10．已知直线y＝x与圆x
2
＋y
2
＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
?
?
y＝x，
解：由
?
22
?
?
x＋y＝1，

?
x＝
2
2
，
得
?
2
y＝
?
2
，1
1

?
x＝－
2
2
，
或
?
2
y＝－.
?
2
2
2


∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为
(1)sin α＝
2222
，，－，－.
2222
22
，cos α＝.
22
－
2
2
(2)tan β＝＝1.
2
－
2

11
11．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
|sin α|sin α
(1)试判断角α所在的象限；
3
，m
?
，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的(2)若角α的终边上一点是M
?
?
5
?

值．
11
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
|sin α|sin α
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
3
?
22
(2)∵|OM|＝1，∴
?
＋m＝1，
?
5
?
4
解得m＝±.
5
4
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
5
4
－
5
ym
4
由正弦函数的定义可知sin α＝
r
＝＝＝－.
|OM|15
第二课时 三角函数线及其应用

[提出问题]
在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴， 过A(1,0)
作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.
问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．
提示：

问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，
AT的关系吗？
提示：可以，|sin α|＝|MP|，
|cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|.
[导入新知]
1．有向线段

带有方向的线段叫做有向线段．
2．三角函数线
图示

正弦线
余弦线
正切线
α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
有向线段OM即为余弦线
过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于 T，有向线段AT
即为正切线
[化解疑难]
三角函数线的四个注意点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂 足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线
由切点指向切线与α的终边(或其延长 线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．



三角函数线的作法

3π
[例1] 作出
的正弦线、余弦线和正切线．
4
3π
[解] 角
的终边(如图 )与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，
4
3π
垂足为M，过A(1,0)作单位 圆的切线AT，与的终边的反向延长线交
4
3π
于点T，则的正弦线为MP，余弦线为 OM，正切线为AT.
4
[类题通法]

三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此 交点作x轴的垂
线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0 )点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点
T，即可得到正切线AT.
[活学活用]
作出－
9π
的正弦线、余弦线和正切线．
4
解：如图所示，

－
9π
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
4
利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π2π4π
[例2] 分别比较sin
与sin；cos与cos；tan与tan的大小．
353535
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始
2π< br>边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆
3
与Ox正方向的交 点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，
2π2π2π
则sin＝MP，cos＝OM ，tan＝AT.
333
同理，可作出
4π4π4π4π
的正弦线、余弦线 和正切线，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
5555
2π4π2π4π
由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符号相同，则cos>c os；
3535
AT[类题通法]
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角 的位置要“对号入座”；
2π4π
35

②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
[活学活用]
πππ3π设<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长度关系
4224又如何？
ππ
解：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线 为AT，显然
42
在长度上，AT>MP>OM；

π3π
当<α <时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度
24
上，AT ′>M′P′>OM′.
利用三角函数线解不等式
[例3] 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
13
(1)sin α<－；(2)cos α>.
22
1
0，－
?
作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点， 则sin∠xOP
[解] (1)如图①，过点
?
2
??
1
11π7π
＝sin∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，
266
11π< br>?
7π
?
＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z
?
. 故α的范围是
?
α
?
6
?
6
??


(2)如图②，过点
xOP′＝
?
3
，0
?作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠
?
2
?< br>3
ππ
，∠xOP＝，∠xOP′＝－，
266

ππ
??
－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z
?
. 故α的范围是
?
α
?
6
?
6
??

[类题通法]
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通 常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一
般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆
相交，连接原点和 交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；
对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反
向延长，结合图象可得．
[活学活用]
利用三角函数线求满足tan α≥
3
的角α的范围． < br>3
??
π
π
k·π＋
≤α? 答案：
?
α
?
6
2
?
?
?



2.三角函数线的概念

[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．y轴的非负半轴上
B．y轴的非正半轴上
C．x轴上
D．y轴上
[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y轴上．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A.
2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.
3．解决此类问题要正确理解有向线段的概 念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，
有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．
[成功破障]
已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )

A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
答案：C

[随堂即时演练]
1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
答案：C
2．如果MP和OM分别是角α＝
A．MPC．OM答案：D
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
答案：1
4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．
答案：sin 1>cos 1
π
0，
?
，利用单位圆证明：sin θ＋cos θ＞1. 5．若θ∈< br>?
?
2
?
7π
的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
8
B．OM>0>MP
D．MP>0>OM

证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M.因为sin θ＝MP＝
|MP|，cos θ＝OM＝|OM|，所以sin θ＋cos θ＝|MP|＋|OM|＞|OP|，而|OP|＝1，所以sin θ＋cos
θ＞1.
[课时达标检测]
一、选择题

π6π
1．角和角有相同的( )
55
A．正弦线
C．正切线
答案：C
2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( )
A．x轴上
C．直线y＝x上
答案：A
ππ
3．若＜θ＜，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )
42
A．tan θ＜cos θ＜sin θ
C．cos θ＜tan θ＜sin θ
答案：D
4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aC．c答案：C
5．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
3ππ
－，
?
A.
?
?
44
?
π3π
－，
?
C.
?
?
44
?
答案：A
二、填空题
6．利用单位圆，可得满足sin α＜
π3π
0，
?
∪
?
，π
?
答案：< br>?
?
4
??
4
?
7．若0<α<2π，且sin α<
31
，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
22
2
，且α∈(0，π)的α的集合为________．
2
ππ
－，
?
B.
?
?
22
?
D．[0，π]
B．b D．a B．sin θ＜tan θ＜cos θ
D．cos θ＜sin θ＜tan θ
B．y轴上
D．以上都不对
B．余弦线
D．不能确定
π5π
0，
?
∪
?
，2π
?
答案：?
?
3
??
3
?
3π3π
?
8．若θ ∈
?
?
4
，
2
?
，则sin θ的取值范围是________．
答案：
－1，
三、解答题
?
?
2
?

2
?

7π
9．试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
6
7π
试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
6
7π
解：如图：α＝的余弦线、正弦线和正切线分别为OM，MP和AT.
6

?
?
sin x≥0，
10．利用单位圆中的三角函数线，求满足
?
的x的取值范围．
?
2cos x－1＞0
?

?
?
?
sin x≥0，
?
sin x≥0，
解：由
?
得
?

1
?
?
?
2cos x－1＞0，
?
cos x＞
2
.


如图所示，由三角函数线可得
?
?
2kπ≤x≤2kπ＋π?k∈Z?，
?
ππ
2kπ－?
33
?


π
此交集为图形中的阴影重叠部分，即2kπ≤x＜2kπ＋(k∈Z)．
3
π
??
故x的取值范围为
?
x|2kπ≤x＜2kπ＋
3
，k∈Z
?
.
??

π
11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<时，sin α<α2
α.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x
轴 ，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥x
轴交OP于点T，则sin α＝MP，α＝AP，tan α＝AT，由S
扇形
OAP
△
O AT
，即
11
OA·AP22
α<α1．2.2 同角三角函数的基本关系

[提出问题]
y
设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，
x
＝
tan α.
问题1：能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？
提示：能 ，由x
2
＋y
2
＝1，得cos
2
α＋sin
2< br>α＝1.
ysin α
由＝tan α，得＝tan α.
x
cos α
问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？
提示：对使三角函数有意义的任意角都成立．
[导入新知]
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即si n
2
α＋cos
2
α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、 余弦的商等于这个角的正切，即
π
α≠kπ＋
(k∈Z)．
2
[化解疑难]
“同角”的含义
“同角”有两层含义：一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提
下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin< br>2
3α＋cos
2
3α＝1等．
sin α
＝tan_α其中
cos α

已知一个三角函数值求另两个三角函数值
12
[例1] (1)已知sin α＝
，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
13
4
(2)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
5
12
?
2
?
5
?
2
[解] ( 1)cos
2
α＝1－sin
2
α＝1－
?
?
13
?
＝
?
13
?
，又因为α是第二象限角，所以cos α<0，cos
sin α
512
α＝－
，tan α＝＝－.
13cos α5
43
－
?
2
＝
??
2
， (2)si n
2
α＝1－cos
2
α＝1－
?
?
5
? ?
5
?

4
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
5
sin α
333
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，
5cos α45
sin α
3
tan α＝＝.
cos α4
[类题通法]
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin
2
α，求得cos α的值，再由公式
sin α
tan α＝求得tan α的值．
cos α
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos
2
α，求得sin α的值，再由公式
sin α
tan α＝求得tan α的值．
cos α
sin α
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m?sin α＝mcos α及sin
2
α＋cos
2
α＝1，
cos α
求得cos α＝±
[活学活用]
4
已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
3
43
答案：sin α＝－；cos α＝－
55

化切求值

[例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值：
4sin α－cos α
(1)；
3sin α＋5cos α
sin
2
α－2sin α·cos α－cos
2
α
(2)；
4cos
2
α－3sin
2
α
31
(3)sin
2
α＋
cos
2
α.
42
4tan α－14×3－1
11
[解] (1)原式＝
＝＝；
3tan α＋53×3＋5
14
tan
2
α－2tan α－1
3
2
－2×3－1
2
(2)原式＝＝；
22
＝－
23
4－3tan
α
4－3×3
1
1＋m
2
，sin α＝±
m
1＋m
2
的值．

< br>3
2
131
sin
α＋
cos
2
α
tan
2
α＋
4242
(3)原式＝＝
222
sinα＋cosα
tan
α＋1
31
×3
2
＋
42
＝
2

3＋1
29
＝.
40
[类题通法]
化切求值的方法技巧
asin α＋bcos αasin
2
α＋bsin αcos α＋ccos
2
α
(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母
22
csin α＋dcos αdsin
α＋esin αcos α＋fcosα
同除以cos α或cos
2
α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin
2
α＋bsin αcos α＋ccos
2
α 的求值，可看成分母是1，利用1＝sin
2
α＋cos
2
α进
行代 替后分子分母同时除以cos
2
α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
[活学活用]
已知tan α＝2，求下列各式的值：
2sin α－3cos α
(1)；
4sin α－9cos α
(2)4sin
2
α－3sin αcos α－5cos
2
α.
答案：(1)－1 (2)1
化简三角函数式
[例3] 化简tan α
1
－1，其中α是第二象限角．
sin
2
α
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α
＝tan α
1
－1＝tan α
sin
2
α
1－sin
2
α

sin
2
α
cos
2
α
sin α
?
cos α
?
＝·
sin
2
α
cos α
?
sin α
?
sin α
－cos α
＝·＝－1.
cos αsin α
[类题通法]
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余 弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的
目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin
2
α＋cos
2
α＝1，以降
低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
sin θ－cos θ
化简：(1)；
tan θ－1
(2)sin
2
θ－sin
4
θ，θ是第二象限角．
答案：(1)cos θ (2)－sin θcos θ
证明简单的三角恒等式
tan αsin α
tan α＋sin α
[例4] 求证：
＝.
tan α－sin α
tan αsin α
tan
2
α－sin
2
α
[证明] ∵右边＝

?tan α－sin α?tan αsin α
tan
2
α－tan
2
αcos
2
α
＝
?tan α－sin α?tan αsin α
tan
2
α?1－cos
2
α?
＝
?tan α－sin α?tan αsin α
tan
2
αsin
2
α
＝
?tan α－sin α?tan αsin α
tan αsin α
＝＝左边，
tan α－sin α
∴原等式成立．
[类题通法]
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
[活学活用]
求证：
1＋2sin θcos θ1＋tan θ
＝.
cos
2
θ－sin
2
θ
1－tan θ
sin
2
θ＋cos
2
θ＋2sin θcos θ
证明：∵左边＝
?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?

＝
?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?
?sin θ＋cos θ?
2
cos θ＋sin θ
cos θ＋sin θ1＋tan θ
cos θ
＝＝＝
cos θ－sin θcos θ－sin θ1－tan θ
cos θ
＝右边，
∴原等式成立．


α±cos α，sin αcos α的关系的应用

1
[典例] 已知0<θ<π，且sin θ＋cos θ＝
，求sin θ－cos θ的值．
5
1
[解] ∵sin θ＋cos θ＝
，
5
∴(sin θ＋cos θ)
2
＝
1
，
25
12
解得sin θcos θ＝－.
25
∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，
∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0.
又∵(sin θ－cos θ)
2

＝1－2sin θcos θ
49
＝，
25
7
∴sin θ－cos θ＝.
5
[多维探究]
1．在解决本题的过程中，sin θcos θ＝－
12
<0隐含了条件sin θ>0，cos θ<0，从而得出
25
sin θ－cos θ>0的结论．若忽视该隐含条件极易造成增解的情况，从而导致解题失误．
2．本题考查了sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ以及sin θcos θ三者之间的转化．解决此类问

题常涉及以下三角恒等式：
①(sin θ＋cos θ)
2
＝1＋2sin θcos θ；
②(sin θ－cos θ)
2
＝1－2sin θcos θ；
③(sin θ＋cos θ)
2
＋(sin θ－cos θ)
2
＝2；
④(sin θ－cos θ)
2
＝(sin θ＋cos θ)
2
－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则
另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1
1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
5
74
答案：sin θ＋cos θ＝；tan θ＝
53
2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－
17
答案：
13
60
，求sin θ－cos θ的值．
169

[随堂即时演练]
π
3
，π
?
，sin α＝，则cos α等于( ) 1．已知α∈
?
?
2
?
5
4
A.
5
1
C．－
7
答案：B
2．若α为第三象限角，则
A．3
C．1
答案：B
1
3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
2
3
答案：
8
1
4．已知tan α＝，则sin αcos α的值为________．
2
2
答案：
5
cos α2sin α
＋的值为( )
1－sin
2
α
1－cos
2
α
B．－3
D．－1
4
B．－
5
3
D．
5

1－2sin 130°cos 130°
5．化简： .
sin 130°＋1－sin
2
130°
答案：1
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α是第四象限角，cos α＝
5
A.
13
5
C.
12
答案：B
2．下列结论中成立的是( )
11
A．sin α＝且cos α＝
22
cos α
1
B．tan α＝2且＝
sin α3
2
C．tan α＝1且cos α＝±
2
D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
答案：C
sin θ＋cos θ
3．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
sin θ－cos θ
3
A.
4
3
C.
10
答案：C
4．化简(1＋tan
2
α)·cos
2
α等于( )
A．－1
C．1
答案：C
ππ
5．已知－<θ<，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个
22
答案中，可能正确的是( )
A．－3
1
C．－
3
1
B．3或
3
1
D．－3或－
3
B．0
D．2
3
B．±
10
D．－
3

10
12
，则sin α＝( )
13
B．－
5

13
5

12
D．－

答案：C
二、填空题
4
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
5
3
答案：－
5
1
7．已知0<α<π，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值是________．
3
答案：
17

3
1
的值为________．
tan α
8．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋
答案：2
三、解答题
m－34－2m
π
9．已知<θ<π且sin θ＝，cos θ＝，求tan θ的值．
2
m＋5m＋5
解：∵sin
2
θ＋c os
2
θ＝1，
?
m－3
?
2
?
4－2 m
?
2
∴
??
＋
??
＝1，
m＋5m＋5
????
整理得m
2
－8m＝0，
∴m＝0或m＝8.
3
π
当m＝0时，sin θ＝－，不符合<θ<π，舍去，
52
当m＝8时，sin θ＝
512
，cos θ＝－，满足题意．
1313
sin θ
5
∴tan θ＝＝－
cos θ12
1
10．已知α是第二象限角，tan α＝－，求cos α.
2
解：∵α是第二象限角，∴cos α<0.
由tan α＝
sin α
11
＝－，得sin α＝－cos α.
cos α22
14
代入sin
2
α＋cos
2
α＝1，得
cos
2
α ＋cos
2
α＝1，cos
2
α＝
.
45
25
∴cos α＝－.
5

11．已知关于x的方程2x
2
－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
sin θcos θ
(1)＋的值；
1
1－tan θ
1－
tan θ
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
?
?
m
所以
?
sin θcos θ＝， ②
2
?
?
Δ＝4＋23－8m≥0. ③
sin θ＋cos θ＝
3＋1
， ①
2


sin
2
θ－cos
2
θ
sin θcos θsin
2
θ
cos
2
θ
(1)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝
1
1－tan θsin θ－cos θcos θ－sin θsin θ－cos θ
1－
tan θ
3＋1
.
2
2＋3
(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
2
所以sin θcos θ＝
3
.
4
m
33
由②，得＝，所以m＝.
242
2＋3
3
由③，得m≤，所以m＝.
42
(3)因为m＝
3
，
2
3
＝0.
2
所以原方程为2x
2
－(3＋1)x＋
解得x
1
＝
31
，x
2
＝，
22
?
sin θ＝
2
3
，
所以
?
1
cos θ＝
?
2

?
cos θ＝
2
3
，
或
?
1
sin θ＝.
?
2

ππ
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.
36
1．3三角函数的诱导公式
第一课时 三角函数的诱导公式(一)


[提出问题]
问题1：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？ 它们与单位圆的交点的位置关
系如何？任意角α与π＋α呢？
提示：无论α是锐角还是任意角 ，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交
点关于原点对称．
问题2：任意角α 与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置
关系？试用三角函数的定义验证－α 与α的三角函数值的关系．
提示：α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P
1< br>与P
2
关于x轴对称，设
P
1
的坐标为(x，y)，则P2
的坐标为(x，－y)．sin(－α)＝－y＝－sin α，cos(－α)＝x＝cos α，
y
tan(－α)＝－＝－tan α.
x
问题3：任意角α与π－α 的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？
试用三角函数定义验证α与π－α的各三角 函数值的关系．
提示：

α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P
1
(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则
π－α与单位圆的交点为P′(－x，y)，P
1
，P′关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)
＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α，tan(π－α)＝
[导入新知]
1．诱导公式二
＝－tan α.
－x
y

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
[化解疑难]
对诱导公式一～四的理解
(1)公式两边的三角函数名称应一致．
(2)符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数 值的符号决定．但应注意，将α看成锐
角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.

给角求值问题
[例1] 求下列三角函数值：
119π
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos.
6
[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－
60°)＝－sin 60°＝－
3
；
2
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
ππ
119π
π< br>3
20π－
?
＝cos
?
－
?
＝cos＝. (3)cos＝cos
?
6
???
6
?
662
[类 题通法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

[活学活用]
求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
答案：tan θ
化简求值问题
cos?－α?tan?7π＋α?
[例2] 化简：(1)
＝________；
sin?π－α?
sin?1 440°＋α?·cos?α－1 080°?
(2)＝________.
cos?－180°－α?·sin?－α－180°?
[答案] (1)1 (2)－1
[类题通法]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]

化简：
tan?2π－θ?sin?2π－θ?cos?6π－θ?
.
?－cos θ?sin?5π＋θ?
答案：tan θ
给值(或式)求值问题
1
[例3] (1)已知sin β＝
，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
3
A．1
1
C.
3
B．－1
1
D．－
3
1
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
3
[解] (1)D
1
(2)∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角，
3
∴α－55°是第三象限角，
∴sin(α－55°)＝－
22
1－cos
2
?α－55°?＝－.
3
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(
α
－55°)]
22
＝－sin(α－55°)＝.
3
[类题通法]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之
间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[活学活用]
1
已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
3
解：当α是第一象限角时，cos(5π＋α)＝－
2222
；当α是第二象限角 时，cos(5π＋α)＝.
33

3.忽视对参数的讨论导致错误

?4n＋1?π?4n－1?π
[典例] 化简：cos
?
＋α
?
＋cos
?
－α
?
(n∈Z)＝________.
?
4
??
4
?
ππnπ＋＋α
?
＋cos
?
nπ－
?
＋α
??< br>.
[解析] 原式＝cos
?
4
????
4
??< br>当n＝2k(k∈Z)时，
π
π
＋α
?
＋cos－＋α 原式＝cos
?
?
4
?
4
π
＝2cos＋α.
4
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
?
π
＋α
??
＋cos
?
π－
?
π
＋α
??
原式＝cos?
π＋
??
4
????
4
??
π
?< br>＝－2cos
?
?
4
＋α
?
.
?
故原式＝
?
?
π
＋α
?
，n为奇数.－2cos
?
?
4
?
?
[答案]
?
?
π
＋α
?
，n为奇数－2cos
?
?
4
?
[易错防范]
π
?
2cos
?
?
4
＋α
?
，n 为偶数，
π
?
2cos
?
?
4
＋α
?，n为偶数，




1．本题易混淆nπ＋α(n∈Z)和2 kπ＋α(k∈Z)的区别，不对n进行奇偶性的讨论，错用
π
＋α
?
的错误 答案． 诱导公式一，得出2cos
?
4
??
2．在化简三角函数式时，若含 有参数，要注意是否需要进行分情况讨论．
[成功破障]
化简：
sin?α＋nπ?＋sin?α－nπ?
(n∈Z)．
sin?α＋nπ?cos?α－nπ?
2
?n为偶数?，
cos α
?
答案：原式＝
?
2
－
?
cos α
?n为奇数?

[随堂即时演练]
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P
－
?
525
?
，则cos(π－θ)
，
?
55
?
的值为( )
A．－
25
5
B．－
5
5

C.
5
D．
25
5

5

答案：C
2．已知sin(π＋α)＝
4
5
，且α是第四象限角， 则cos(α－2π)的值是(
A．－
33
5
B.
5

C．±
3
5
D.
4
5

答案：B < br>3．设tan(5π＋α)＝m，则
sin?α－3π?＋cos?π－α?
sin?－ α?－cos?π＋α?
＝______.
答案：
m＋1
m－1

4.
cos?－585°?
sin 495°＋sin?－570°?
的值是________．
答案：2－2
5．已 知cos
?
π
?
6
－α
?
?
＝
3
5π
3
，求cos
?
?
α＋
6
?
?
的值．
答案：－
3
3

[课时达标检测]
一、选择题
1．sin(－225°)＝( )
A.
22
2
B．－
2

C.
1
2
D.
3
2

答案：A
2．已知sin(π＋α)＝－
1
2
，那么cos α的值为( )
)

11
A．± B.
22
C.
3

2
3
D．±
2
答案：D
3．若cos(－80°)＝k，则tan 100°＝( )
1－k
2
A.
k

1－k
2
B．－
k

C.
k

1－k
2
k

1－k
2
D．－
答案：B
π2π
1
－α
?
＝，则tan
?
＋α
?< br>＝( ) 4．已知tan
?
?
3
?
3
?
3
?
1
A.
3
23
C.
3
答案：B
π3π
?
3
，
，tan(α－7π)＝－，则sin α＋cos α的值为( ) 5．若α∈
?
?
22
?
4
1
A．±
5
1
C.
5
答案：B
二、填空题
12
6．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
13
12
答案：
13
7．设函数f(x)＝asin(πx＋α) ＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
016)＝－1，则f(2 017)的值为________．
答案：1
?
?
sin πx ?x<0?，
1111
－
?
＋f
??
的值为________． 8．已知f(x)＝
?
则f
?
?
6
??
6
?
?
?
f?x－1?－1 ?x>0?，
1
B．－
3
D．－
23

3
1
B．－
5
7
D．－
5

答案：－2
三、解答题
9．化简：
1＋2sin 280°·cos 440°
.
sin 260°＋cos 800°
1＋2sin?360°－80°?·cos?360°＋80°?

sin ?180°＋80°?＋cos?720°＋80°?
解：原式＝
＝
1－2sin 80°·cos 80°

－sin 80°＋cos 80°
sin
2
80°＋cos
2
80°－2sin 80°·cos 80°

－sin 80°＋cos 80°
＝
?sin 80°－cos 80°?
2
＝
－sin 80°＋cos 80°
|cos 80°－sin 80°|
＝
cos 80°－sin 80°
sin 80°－cos 80°
＝－1.
cos 80°－sin 80°
＝
1
10．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105° ＋α)的值．
3
1
解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
3
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－
1－cos
2
?α－75°?
1
22
－
?
2
＝－1－
?
.
?
3
?
3
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(
α
－75°)]
22
＝－sin(α－75°)＝.
3

1＋tan?θ＋720°?
11．已知＝3＋22，
1－tan?θ－360°?
1
求[cos
2
(π－
θ
)＋sin(π＋
θ)·cos(π－
θ
)＋2sin
2
(
θ
－π)]·< br>2
的值．
cos?－θ－2π?

1＋tan?θ＋720°?
解：由＝3＋22，
1－tan?θ－360°?
得(4＋22)tan θ＝2＋22，
2＋22
2
所以tan θ＝＝，
4＋22
2
1
故[cos
2
(π－
θ
)＋sin(π＋
θ
)·cos(π －
θ
)＋2sin
2
(
θ
－π)]·
2

cos?－θ－2π?
1
＝(cos
2
θ＋sin θcos θ＋2sin
2
θ)·
2

cos
θ
＝1＋tan θ＋2tan
2
θ
＝1＋
2
?
2
?
2
＝2＋
2
. ＋2×
22
?
2
?
第二课时 三角函数的诱导公式(二)

[提出问题]
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P
1(x，y)，与角α
的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P
2
.
问题1：P
2
点的坐标是什么？
提示：P
2
(y，x)．
π
问题2：－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关
2
系？
ππ
－α
?
＝cos α，cos
?
－α
?
＝sin α. 提示：对称．sin
?
?
2
??
2
?
[导入新知]
诱导公式五和公式六

[化解疑难]
诱导公式的巧记
π
诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
2
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
π
(2)“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
2
ππ< br>(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，再根据“一全正，二正
2 2
弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
ππ
＋α
?写成cos
?
1·＋α
?
，因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符 号“sin”，例如，将cos
?
?
2
??
2
?
π π
π
＋α
?
符号为“－”，故有cos
?
＋α
?< br>＝又将α看成第一象限角时，＋α是第二象限角，cos
?
?
2
??< br>2
?
2
－sin α.

给角求值问题
[例1] (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
1－m
2
A.
m
B.1－m
2

1－m
2
C．－
m
D．－1－m
2

ππ
1
－α
?
＝，求cos
?
＋α
?
的 值． (2)已知sin
?
?
3
?
2
?
6
?
[解] (1)B
π
π
π
－α
?
?

＋α
?
＝cos
?
－
?
(2)cos
?< br>3
??
?
?
6
?
?
2
π
1
－α
?
＝. ＝sin
?
?
3
?
2

[类题通法]
角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三 ，化为正角的三角函数．若转化之后
的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的 角的三角函数．
(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为 0°到90°间的角
的三角函数．
(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用 360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°
间的角的三角函数．
[活学活用]
π
1
＋α
?
的值． 已知cos(π＋α)＝－，求cos
?
2
??
2
ππ
33
＋α
?
＝－；若α为 第四象限角，cos
?
＋α
?
＝. 解：若α为第一象限角，cos
?
?
2
??
2
?
22
化简求值问题
[例2]
3π
－α＋
?
sin?π－α?cos?2π－α?co s
?
2
??
已知f(α)＝.
π
??
cos?
2
－α
?
sin?－π－α?
(1)化简f(α)；
3π
1
α－
?
＝，求f(α)的值； (2)若α为第三象限角，且 cos
?
2
?
5
?
(3)若α＝－
31π
，求f(α)的值．
3
sin αcos α?－sin α?
＝－cos α.
sin αsin α
[解] (1)f(α)＝
3π
11
α－
?
＝－sin α＝，∴sin α＝－. (2)∵cos
?
2
??
55
26
又∵α为第三 象限角，∴cos α＝－1－sin
2
α＝－
，
5
∴f(α)＝
26
.
5
31π
??
－
31π
?

－
( 3)f
?
＝－cos
?
3
??
3
?
5π< br>5π
－6×2π＋
?
＝－cos ＝－cos
?
3
??
3

π
1
＝－cos＝－.
32
[类题通法]
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同 角三角函
数的基本关系式变形求解．
[活学活用]
π
?
sin? －α?cos?π＋α?cos
?
?
2
－α
?
cos?π－ α?sin?2π＋α?tan?π＋α?
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
3
(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝，求f(α)．
5
4
答案：(1)－cos α (2)
5
三角恒等式的证明
[例3] 求证：
3
π
θ－π
?
cos
?
θ＋
?
－1
tan?9π＋θ?＋1
2sin
?
?
2
??
2
?
＝.
1－2sin
2
θ
tan?π＋θ?－1
－2cos θ·sin θ－1
[证明] 左边＝

2
cos
θ－sin
2
θ
－?sin θ＋cos θ?
2
＝
?cos θ－sin θ??cos θ＋sin θ?
sin θ＋cos θtan θ＋1
＝＝，
sin θ－cos θtan θ－1
tan θ＋1
右边＝，所以原等式成立．
tan θ－1
[类题通法]
三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为 简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，
也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦 法、拆项拆角法、“1”的代换法、
公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[活学活用]

求证：
cos?2π－θ?
＋ < br>π3π
????
cos?π＋θ?sin
?
2
＋θ
?
－sin
?
2
＋θ
?
cos?π－θ?
2
＝
2
.
?
3
π－θ
?
－1
?
s in
θ
cos θ
?
sin
??
2
??
证明：左边＝＋
－cos θcos θ＋cos θcos θ?－cos θ－1?
11
1＋cos θ＋1－cos θ
cos θ
－cos θ
＝＋＝
1－cos θ1＋cos θ?1－cos θ??1＋cos θ?
2
＝
2
＝右边，
1－c os
2
θ
sin
θ
2
＝
∴原式成立．


2.给值?式?求值问题的求解

[典例] (12分)若sin α ＝
5
，求
5
cos?3π－α?
＋
π7π
???? ??
sin
?
2
＋α
??
sin
?
2＋α
?
－1
?
5π
?
sin
?
?2
－α
?
5π7π
＋α
?
－sin
?
＋α
?
cos?3π＋α?sin
?
?
2
??
2< br>?
[解题流程]
的值．

[规范解答]
cos?3π－α?
＋
π7π5π7π
??????????
si n
?
2
＋α
??
sin
?
2
＋α
?
－1
?
cos?3π＋α?sin
?
2
＋α
?< br>－sin
?
2
＋α
?
5π
－α
?
s in
?
?
2
?

cos[2π＋?π－α?]
＝＋
π
????
cos α
?
sin
?
3π＋
2
＋α
?
－1
?
?
π
－α
??
sin
?
2π＋
??
2< br>??
?
π
＋α
??
－sin
?
3π＋
?
π
＋α
??
cos?π＋α?sin
?
2π＋
??
2
????
2
??
＝
＝
(3分)
－cos α
cos α
＋ (6分)
cos α?－cos α－1?－cos αcos α＋cos α
112
＋＝
2
. (9分)
1＋cos α1－cos α
sin
α
5
，
5
∵sin α＝
∴
2
＝10，(11分)
sin
2
α
即原式＝10. (12分)


[名师批注]
[名师批注]
结合诱导公式的特点，可考虑利用公式一、二、四将c os(3π－α)和cos(3π＋α)化简；利
用公式一、五、六将其他三角函数式化简．化简过程中 要牢记诱导公式，否则极易搞错符号
或三角函数名称而导致解题错误．

此处应进行通分化简，要注意公式sin
2
α＋cos
2
α＝1的应用.
此处极易被忽视，造成解题步骤缺失而失分.

[活学活用]
已知sin α是方程5x
2
－7x－6＝0的根，且α为第 三象限角，求
3π
2
?
3π
－α
?
·
α＋
?
·sin
?
sintan?2π－α?·tan?π－α?
2???
2
?
的值．
ππ
????
cos
?< br>2
－α
?
·cos
?
2
＋α
?

3
答案：
4

[随堂即时演练] ππ
＋θ
?
<0，且cos
?
－θ
?
>0，则 θ是( ) 1．若sin
?
?
2
??
2
?
A．第一象限角
C．第三象限角
答案：B
π
3
π
＋φ
?
＝，且|φ|<，则tan φ＝( ) 2．已知cos
?
?
2
?
22
A．－
33
B.
33
B．第二象限角
D．第四象限角
C．－3 D.3
答案：C
3π
α－
?
＝________. 3．化简：sin( －α－7π)·cos
?
2
??
答案：－sin
2
α 4．sin
2
1°＋sin
2
2°＋sin
2
3°＋… ＋sin
2
89°＝________.
答案：
89

2
π
?
5．已知cos
?
?
6
－θ
?
＝a(|a|≤1)，
5π2π
＋θ
?
－sin
?
－θ
?
＝－2a. 求证：cos
?
?
6
??
3
?
π
5π2ππ
π
－θ
?
，－θ＝＋
?
－θ
?
， 证明：∵＋θ＝π－
?
?
6
?
3
?
62
?
6
5π
?
2π
＋θ
－sin< br>?
－θ
?
∴cos
?
?
6
??
3
?
?
π
－θ
??
－sin
?
π
＋
?
π
－θ
?
?
＝cos
?
π－
??
6
??
?
2
?
6
?
?
ππ< br>－θ
?
－cos
?
－θ
?
＝－a－a＝－2a. ＝－cos
?
?
6
??
6
?
[课时达标检测]
一、选择题
π
θ－
?
的值相等的式子为( ) 1．下列与sin
?
?
2
?
π
＋θ
?
A．sin
?
?
2
?
3π
?
C．cos
?
?
2
－θ
?

答案：D
π
＋θ
?
B．cos
?
?
2
?
3π
＋θ
?
D．sin
?
?
2
?

π
1
π
α＋
?
＝，α∈
?
－，0
?
，则tan α的值为( ) 2．已知sin
?
?
2
?
3
?
2
?
A．－22
C．－
22
D.
44
B．22
答案：A
π
3π
＋α
?
＝－m，则cos?
－α
?
＋2sin(6π－α)的值为( ) 3．若sin(π＋α)＋c os
?
?
2
??
2
?
2
A．－m
3
23
C.m D.m
32
答案：B
1
4．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
3
11
A．－ B.
33
C．－
2222
D.
33
3
B．－m
2
答案：B
5．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos(B＋C)－cos A
A＋B
C
C．sin
2
＋sin
2

22
A＋B
C
D．sinsin
22
答案：C
二、填空题
5π
1
α＋
?
＝________. 6．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos
?
2
??
5
答案 ：
26

5
π
?
π
－x
＋sin
2
?
＋x
?
＝________. 7．sin
2
?
?
3
??
6
?
答案：1
8．已知tan(3π＋α)＝2，
ππ
－α
?
－2cos
?
＋α
?
sin?α－3π?＋cos?π－α?＋sin
?
?< br>2
??
2
?
－sin?－α?＋cos?π＋α?
则 ＝________.

答案：2
三、解答题
3
9．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，求
5
tan?435°－α?＋sin?α－165°?
的值．
cos?195°＋α?·sin?105°＋α?
解：原式＝
cos?180°＋ 15°＋α?·sin[180°＋?α－75°?]
tan?360°＋75°－α?－sin?α＋ 15°?
＝
tan?75°－α?－sin?α＋15°?
－cos?15°＋α?· [－sin?α－75°?]

＝
sin?75°－α?
cos?75°－α ?[－cos?15°＋α?sin?75°－α?]
－
sin?α＋15°?
－cos?15°＋α?sin?75°－α?

＝－
1
cos?15°＋α?·sin?15°＋α?
＋
sin?α＋15°?
cos?15°＋α?·cos?15°＋α?
.
∵α为锐角，即0°<α<90°，
∴15°<α＋15°<105°，
又cos (15°＋α)＝
34
5
，∴sin(15°＋α)＝
5
，
4
∴原式＝－
1
5
34
＋＝
5
.
5
×
3336
55
×
5
10．求证：
cos?π －θ?
cos θ[sin
?
3π
?
2
－θ
?
＋
?－1]
cos?2π－θ?
cos?π＋θ?sin
?
π
?2
＋θ
?
?
－sin
?
3π
＝
2?
2
＋θ
?
sin
2
θ
.
?
证明：左边＝
－cos θ
cos θ?－cos θ－1?
＋

－cos θcos θ＋cos θ
1－cos θ＋1＋cos θ
11
＋＝
1＋cos θ1－cos θ?1＋cos θ??1－cos θ?
22
＝
2
＝右边．
2
sin
θ
1－cos
θ
cos θ
＝
＝

πππ
－，
?
，β∈(0，π)，使等式 sin(3π－α)＝2cos
?
－β
?
，311．是否存在角α，β，α∈
?
?
22
??
2
?
cos(－α)＝－2cos( π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
?
?
sin α＝2sin β， ①
则
?

?
?
3cos α＝2cos β， ②
由①
2
＋②
2
得sin
2
α＋3cos
2
α＝2.
12
∴sin
2
α＝
，∴sin α＝±.
22
ππ
π
－，
?
，∴α＝±. ∵α∈
?
?
22
?
4
π
3
π
当α＝时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝；
426
π
3
π
当α＝－时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
426
ππ
∴存在α＝，β＝满足条件.
46


1．4三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象


正弦函数的图象
[提出问题]

问题1：如何用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象？
提示：列表取值→描点→连线．
问题2：如何较准确地画出y＝sin x在[0,2π]上的图象？
提示：利用正弦线．
问题3：如果有了正弦函数在[0,2π]上的图象，怎样才能得到在R上的图象？
提示：因为sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，所以只需将这段图象向左、右两方向平移(每次2π
个单位长度)即可得到．
[导入新知]
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．

2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
π
?
3π
，1
，(π，0)，
?
，－1
?
，(2π，①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0) ，
?
?
2
??
2
?
0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
[化解疑难]
y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈R的图象的关系
(1)y＝sin x，x∈[0,2π]的图象是y＝sin x，x∈R的图象的一部分．
(2)y＝sin x，x∈R的图象可由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象左右平移(每次2 π个单位长度)
得到，因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sin x，x∈[2
k
π，2(
k
＋1)π]，k∈Z
且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同.
余弦函数的图象
[提出问题]
问题1：根据诱导公式能得到某一角的正弦与余弦之间的等量关系吗？
π
?
提示：能， sin
?
?
2
＋x
?
＝cos x.

π
x＋
?
＝cos x怎样才能得到y＝cos x的图象？ 问题2：根据关系式sin
?
?
2
?
π
提示： 将正弦曲线向左平移个单位长度即可．
2
[导入新知]
1．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．

2．余弦函数图象的画法
π
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由
2
π
x＋
?
. 于cos x＝sin
?
?
2
?
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为
π
?
3π
，0
，(π，－1)，
?
，0
?
，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． (0,1)，
?
?
2
??
2
?
[化解疑难]
正弦函数、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x ，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴
的交点；②图象上的最高点和最低点． 其中y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，
π
?
3π
，1
，一个最低点
?
，－1
?
；y＝cos x，x∈ [0,2π]与x0)，(2π，0)，图象上有一个最高点
?
?
2
??2
?
π
??
3π
?
轴有两个交点：
?

?
2
，0
?
，
?
2
，0
?
，图象上有两个最高点(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．

用“五点法”作简
图
[例1] 作出下列函数在[－2π，2π]上的图象：
1
?
x＋
3π
??
. (1)y＝1－cos x；(2) y＝
?
sin
2
????
3
2
π
4
3π
2
0，
?
，
?
，1
?
，
?
π，
?
，
?
，1
?
，
?
2π，< br>?
，连线可得函数在[0,2π]上的
[解] (1)描点
?
3
??
3
??
2
??
3
??
2
??
图象，关于y轴作对称图形即得函数在[－2π，2π]上的图象，所得图象如图所示：

?
x＋
3π
??
＝|cos x|，所以只需作出函数y＝|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即(2)由于y＝
?
sin
2
????
可．而函数y＝|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y＝cos x，x∈[－2π，2π]的图象在
x轴 下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如图中实线所示：

[类题通法]
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
如下：
(1)列表：
x
sin x(或cos x)
y
0


π

2


π


3π

2


2π


π
?
3π，y
，(π，y)，
?
，y
?
，(2π，(2)描点：在平面直 角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，
?
?
2
??
2
?
y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
1．画出函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的简图．
解：列表：
x
cos x
3＋2cos x

0
1
5
π

2
0
3
π
－1
1
3π

2
0
3
2π
1
5

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)．

2．画出函数y＝sin x－1在[0,2π]上的简图．
解：列表：
x
sin x
sin x－1
0
0
－1
π

2
1
0
0
π
[来源:]
3π

2

－1
－2
2π
0
－1 －1
描点连线可得y＝sin x－1在[0,2π]上的图象(如图所示)．


正、余弦函数图象的简单应用
[例2] 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
11
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
22
[解] (1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件
π 5π
＋2kπ，＋2kπ
?
，k∈Z. 的x的集合为
?
6
?
6
?

(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 x
π5π
＋2kπ，＋2kπ
?
，k∈Z. 的集合为
?
3
?
3
?

[类题通法]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[活学活用]
1．在[0,2π]内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )
ππ
??
5ππ
，
∪
π，
?
B.
?
，π
?
A.
?
4
??
42
???
4
?
π5π
?
π5π3π
，
D.
?
，π
?
∪
?
，
?
C.
?
?
44
??
4
??
42
?
答案：C
13
2．利用正弦曲线，求满足22
ππ2 π5π
答案：x＋2kπ6336


3.与正、余弦函数图象有关的零点问题

x
[典例] 判断方程
－cos x＝0的根的个数．
4
x
[解] 设f(x)＝
，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图：
4

x
由图可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程－cos x＝0有三个根．
4
[多维探究]
1．求f(x)－Asin x＝0(A≠0)或f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化
为函数图 象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只
需考虑－A≤f(x )≤A 的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin x或Acos x图象交点的个
数即方程根的个数．
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
[活学活用]
1．方程cos x＝lg x的实根的个数是( )
A．1
C．3
答案：C
2．函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
C．有且仅有两个零点
答案：B
1
3．函数y＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点共有________个．
2
答案：4
B．有且仅有一个零点
D．有无穷多个零点
B．2
D．无数

[随堂即时演练]
1．函数y＝－cos x的图象与余弦函数图象( )
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称
D．关于原点和坐标轴对称
答案：C
2．与图中曲线对应的函数是( )

A．y＝sin x
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x|
答案：C
3
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
2
答案：2
4．函数y＝2cos x－2的定义域是________．
ππ
－＋2kπ，＋2kπ
?
，k∈Z 答案：
?
4
?
4
?
5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
解：列表：
x
sin x
1＋2sin x

0
0
1
π

2
1
3
π
0
1
3π

2
－1
－1
2π
0
1

π?
3π
，3
，(π，1)，
?
，－1
?
，(2 π，1)，然后用光滑曲线在直角坐标系中描出五点(0,1)，
?
?
2
??
2
?
顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
ππ
x－
?
与g(x)＝sin
?
－x
?
B．f(x)＝sin
?
?
2
??
2
?
C．f(x )＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
答案：D
2．对余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述：

①向左向右无限延伸；②与y＝sin x的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有
无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个
C．3个
答案：D
π
x＋
?
的图象是( ) 3．函数y＝cos
?
?
2
?
B．2个
D．4个

答案：B
4．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为( )
π3π
?
π3π
，
B.
?
，
?
A.
?
?
22
??
22
?
ππ
0，
?
D.
?
，2π
?
C.
?
?
2
??
2
?
答案：A
5．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线( )
π
A．向右平移个单位长度
2
π
B．向左平移个单位长度
2
3π
C．向右平移个单位长度
2
D．向左平移π个单位长度
答案：A
二、填空题
1
6．当x∈[－π，π]时，y＝x与y＝sin x的图象交点的个数为________．
2
答案：3
7．函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是

________．
答案：4π
8．方程sin x＝lg x的解有________个．
答案：3
三、解答题
ππ5π
x－
??
x∈
?
，
??
的图象． 9．利用“五点法”作出y＝sin
?
?
2
???
22
??
解：列表如下.
x
π
x－
?
sin
?
?
2
?
描点连线如图．
π

2
0
π
1
3π

2
0
2π
－1
5π

2
0

10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x>0，②sin x<0.
1
(2)直线y＝与y＝－sin x的图象有几个交点？
2
解：利用五点法作图．

(1)根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x>0，
在x轴下方时，－sin x<0，
所以当x∈(－π，0)时，－sin x>0，sin x<0；
当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x>0.
1
(2)画出直线y＝，由图象可知有两个交点．
2

11．方程sin x＝
1－a
π
?
在x∈
?
?< br>3
，π
?
上有两个实数根，求a的取值范围．
2

1－a
π
??
解：首先作出y＝sin x，x∈
?
3
，π
?
的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝si n x，
2
1－a1－a
π
?
π
，π
?
就 有两个实数根．
，π
?
与y＝x∈
?
的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈< br>?
3
??
3
?
22
1－a
π
，π< br>?
，y
2
＝设y
1
＝sin x，x∈
?
.
?
3
?
2
π
?
y
1
＝sin x，x∈
?
?
3
，π
?
的图象如图．

1－a
π
3
1－a
??
，π
由图象可知，当≤<1，即－1 ?
3
?
的图象与y＝
222
1－a
π
，π
?
上有两个实根． 的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈
?
?
3
?
2
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦、余弦函数的周期性
[提出问题]
问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？
提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)．
问题2：正弦曲线具有什么特点？
提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．
问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？
提示：是．
[导入新知]
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内 的每一个值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函 数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)
的最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)
都是它们的周期．最小正周期为2π.
[化解疑难]
细解周期函数
(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x ＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不
能说y＝f(x)是周期函数．
(2)并非所 有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，
所有非零实数T 都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．
(3)在周期函数y＝f(x)中， 若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一
定为无限集，且无上下界.
正弦、余弦函数的奇偶性
[提出问题]
问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？
提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．
问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x体现了函数的什么性质？
提示：奇偶性．
[导入新知]
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
[化解疑难]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)奇偶性的判断方 法
由于函数y＝Asin ωx(Aω≠0)是奇函数，y＝Acos ωx(Aω≠0)是偶函数， 因此判断函数y
＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具 备奇偶性，关键是看它们能否通过
诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)．

函数的周期
[例1] 求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x，x∈R；
1
π
?
(3)y＝sin
?
?
3
x－
4
?
，x∈R；

(4)y＝|cos x|，x∈R.
[解] (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
1
π
1
π
?x＋6π?－
?
＝sinx＋2π－ (3)因为sin
?
4
??
3
34
1
π
x －
?
， ＝sin
?
?
34
?
1
π
?
由周期函数的定义知，y＝sin
?
?
3
x－
4
?
的周期为6π.
(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
[类题通法]
求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋b或
2π
y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得 ；②图象法，利用变换的方法或作出函数的
|ω|
图象，通过观察得到最小正周期．
[活学活用]

求下列函数的最小正周期：
πx
?
(1 )y＝3sin
?
?
2
＋3
?
；(2)y＝cos|x|.
答案：(1)4 (2)2π
三角函数的奇偶性
[例2] (1)函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3
3π
?
(2)判断函数f(x)＝sin
?
?
4
x＋
2
?
的奇偶性．

[解析] (1)(1)A
3
3π
?
3
x＋
(2)∵f(x)＝sin
?
＝－cosx，
2
??
4
4
3
3
－x
?
＝－cosx， ∴ f(－x)＝－cos
?
?
4
?
4
3
3π
?
∴函数f(x)＝sin
?
?
4
x＋
2
?
为偶函数．
[类题通法]
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
π
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
2
π
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k ∈Z)；
2
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
x
π
－＋
?
的奇偶性是( ) 1．函数y＝cos
?
?
22
?
A．奇函数
C．非奇非偶函数
答案：A
2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
ππ
A．0 B. C. D．π
42
答案：C
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[例3] 已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈
B．偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
?
－
π
，0
?
时，f(x)＝sin x，则f
?
－
5
π
?
的值为( )
?
2
??
3
?
11
A．－ B.
22
C．－
33
D.
22
[答案] D
[类题通法]
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法

< br>利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以
找 到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
[活学活用]
π
?
5 π
，3π
?
时，
0，
?
时，已知f(x)是以π为周期的偶 函数且x∈
?
f(x)＝1－sin x，求x∈f(x)
?
2
??
2
?
的解析式．
5π
，3π
?
答案：f(x)＝1－sin x，x∈
?
?
2
?


4.三角函数周期性的应用误区

π
ax＋
?
的最小正周期是π，则a＝______.
[典例] 函数y＝3sin
?
6
??
2π
[解析] ∵
＝π，∴|a|＝2，∴a＝±2.
|a|
[答案] ±2
[易错防范]
2π
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为，若忽视这一 点，则易得出a＝2的错误答案．
|ω|
2．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Ac os(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)，T＝
[成功破障]
π
－ωx
?
的最小正周期为4π，则ω＝______. 函数y＝2cos
?
?
3
?
1
答案：±
2
2π
.
|ω|

[随堂即时演练]
3
π－x
?
的奇偶性为( )
1．函数y＝－cos
?
?
2
?
A．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
答案：A
2
15π
?
2．函 数f(x)＝7sin
?
?
3
x＋
2
?
是( )
B．偶函数
D．非奇非偶函数

A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为
4π
3
的偶函数
答案：A
3．f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
4．函数y＝cos
?1－x?π
2
的最小正周期是________．
答案：4
5．求y＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期，并判断其奇偶性．
答案：最小正周期为
π
2
；偶函数
[课时达标检测]
一、选择题
1．(陕西高考)函数f(x)＝cos
?
?
2x＋< br>π
4
?
?
的最小正周期是( )
A.
π
2
B．π
C．2π D．4π
答案：B
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝
π
2
对称
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin
?
?
πx－
π< br>2
?
?
－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案：B
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于(
A．0 B．1
C．－1 D．±1

)

答案：A
k
π
?5．函数y＝cos
?
?
4
x＋
3
?
(k>0 )的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10
C．12
答案：D
二、填空题
π
π
ωx＋
?
(ω>0)的周期为，则ω＝________. 6．函数f(x)＝sin
?
4
??
4
答案：8
1＋sin x－cos
2
x
7．函数f(x)＝的奇偶性为________．
1＋sin x
答案：非奇非偶函数
π
?
?
cos x， －
2
≤x＜0，
3π
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满 足f(x)＝
?
2
?
?
sin x，0≤x＜π，
15π< br>?
－
f
?
?
4
?
＝________.
答案：
2

2
B．11
D．13

则
三、解答题
11
9．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
22
(1)画出函数的简图．
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
11
解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝
22
?
?
sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]?k∈Z?，
?

?
0，x∈[2kπ－π，2kπ]?k∈Z?，
?
图象如图所示：


(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
ππ
kx －
?
和函数g(x)＝bcos
?
2kx－
?
(a>0，b >0，k>0)，若它们的10．设有函数f(x)＝asin
?
3
?
6???

π
??
π
??
π
?< br>3π
?
π
?
－1，求这两个函数的解析式． 最小正周期之和为，且f
?
＝g，f＝－3g
?
2
??
2
??
4< br>??
4
?
2
3π
解：∵f(x)和g(x)的最小正周期和为 ，
2
2π2π3π
∴＋＝，解得k＝2.
k
2k2
π
??
π
?
， ∵f
?
＝g
?
2
??
2
?
ππππ
2×－
?＝bcos
?
4×－
?
， ∴asin
?
?
2 3
??
26
?
π
?
2π－
π
?
.
π－
?
＝b·即a·sin
?
cos
6
??
3
??
∴
33
a＝b，即a＝b.①
22
π
??
π
?
－1， 又f
?
＝－3g
?
4
??
4
?
π5π
则有a·sin＝－3b·c os－1，
66
13
即a＝b－1.②
22
由①②解得a＝b＝1，
ππ
2x－
?
，g(x)＝ cos
?
4x－
?
. ∴f(x)＝sin
?
3
?
6
???

2k＋1< br>π
?
11．已知函数y＝5cos
?
πx－
(其中k∈N)， 对任意实数a，在区间[
a
，
a
＋3]上要使
6
??
3
5
函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
4
?
2k＋1
5
π
?
解：由5cos
?
＝，
??
3
πx－
6
?
4
?
2k＋1
1π
?
得cos
?
＝.
?
?
3
πx－
6
?
4
1
∵函数y＝cos x在每个周期内出现函数值有两次，而 区间[
a
，
a
＋3]长度为3，为了使长
4
1
度为 3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不
4
大于4个 周期长度．

即2×
2π
≤3，且4×≥3.
2 k＋12k＋1
ππ
33
2π
37
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2, 3.
22
第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)

[提出问题]
下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图象回答以下问题：

问题1：正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？
提示：R.
问题2：正弦函数、余弦函数的值域各是什么？
提示：[－1,1]．
π3π－，
?
上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值问题3：正弦函数在
?
?
22
?
的变化有什么特点？
ππ
?
π
，
3π
?
－，
?
上，提示：y＝sin x在
?
曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1；在
?
22
??
2 2
?
上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1.
y＝cos x在[0 ，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，
曲线逐渐上升，是增 函数，函数值由－1增大到1.

[导入新知]
正弦函数、余弦函数的性质
函数
定义域
值域
图象

单调性

在[－π＋2
k
π，2
k
π]，k∈Z上递增；
ππ在－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递增；
22
在[2
k
π，π＋2k
π]，k∈Z上递减
y＝sin x
R
[－1,1]
y＝cos x

π3π
在＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递减
22
π
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y
min
＝－1；
2
当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，y
min
＝－1；
π
当x＝＋ 2kπ，k∈Z时，y
max
＝1
2
π
x＝＋kπ，k∈Z
2
(kπ，0)，k∈Z
当x＝2kπ，k∈Z时，y
max
＝1
x＝kπ，k∈Z
最值
对称轴
对称中心
[化解疑难]
?
π
＋kπ，0
?
，k∈Z
?
2
?
理解正、余弦函数的性质应关注三点
(1)正弦函数(余弦 函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第
一象限内是增(减)函数”也是 错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可
以相差2π的整数倍．
(2)正 弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时
的正弦值(余弦值 )取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的 交点，即此时的
正弦值(余弦值)为0.

正、余弦函数的单调性

π
x－
?
的单调区间．
[例1] 求函数y＝2sin
?
?
3
?
π
[解] 令z＝x－
，则y＝2sin z.
3
π
∵z＝x－是增函数，
3
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
π
x－
?
也单调递增(减)． 函数y＝2sin
?
?3
?
ππ
2kπ－，2kπ＋
?
(k∈Z)， 由z∈
?
22
??
ππ
π
2kπ－，2kπ＋
?
(k∈Z )， 得x－∈
?
22
?
3
?
π5π
2kπ－，2 kπ＋
?
(k∈Z)， 即x∈
?
66
??

π
x－
?
的单调递增区间为 故函数y＝2sin
?
?3
?
?
2kπ－
π
，2kπ＋
5π
?
(k∈Z)．
66
??
π5π
11
x－
?
的单调 递减区间为
?
2kπ＋，2kπ＋
π
?
(k∈Z)．
同理 可求函数y＝2sin
?
66
??
3
??
[类题通法]
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ω x＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将
ωx＋φ看作一个整体，可 令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单
调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
[活学活用]
π
－2x
?
的单调递减区间． 求函数y＝3sin
?
?
3
?
π5π
－＋kπ，＋kπ
?
(k ∈Z) 答案：
?
12
?
12
?
三角函数值的大小比较
[例2] 比较下列各组数的大小：
15π14π
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.
89
[解] (1)∵函数y＝sin x在90°＜x＜270°时单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
π
15π
π
2π－
?
＝cos， (2)cos＝cos< br>?
8
??
88
4π
14π4π
2π－
?＝cos. cos＝cos
?
9
??
99
π4π
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<
<π，
89
π4π15π14π
∴cos>cos，∴cos>cos.
8989
[类题通法]
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三 角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的
角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用]
317
1．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
2104
317
A．cos>sin>－cos
2104
371
B．cos>－cos>sin
2410
317
C．cos2104
731
D．－cos4210
答案：C
2．比较下列各组数的大小．
π
13π
－
?
与cos(1)cos
?
；
?
8
?
7
(2)sin 194°与cos 160°.
π
13π
－
?
＞cos答案：(1)cos
?

?
8
?
7
(2)sin 194°＞cos 160°
正、余弦函数的最值问题

[例3] 求下列函数的值域：
ππ
x＋
?
，x∈
?
0，
?
； (1)y ＝cos
?
?
6
??
2
?
(2)y＝cos
2
x－4cos x＋5.
ππ
x＋
?
，x∈
?
0，
?
可得
[解] (1)由y＝cos
?
?
6
??
2
?π
π2π
?
，
， x＋∈
?
6
?
63
?
π2π
?
函数y＝cos x在区间
?
?
6
，
3
?
上单调递减，
?
13
?
. ∴函数的值域为
－，
?
22
?
(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.
∴y＝t
2
－4t＋5＝(t－2)
2
＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10；

t＝1时，y取得最小值2.
∴y＝cos
2
x－4cos x＋5的值域为[2,10]．
[类题通法]
求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函
数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注
意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin
2
x＋bsin x＋c(或y＝acos
2
x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值
时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域
或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
[活学活用]
π5π
?
求函数y＝－2cos
2
x＋2sin x＋3，x∈
?
?
6
，
6
?
的最大值和最小值．
5
答案：y
max
＝5 y
min
＝
2


5.忽视正、余弦函数的有界性致误

1
[典例] 设sin x＋sin y＝
，则M＝sin x－cos
2
y的最大值为________，最小值为________．
3
1
[解析] 由题意，得sin x＝
－sin y.
3
1
?
?
－1≤
3
－sin y≤1，
由sin x∈[－1,1]，得
?

?
?
－1≤sin y≤1.
2
解得－≤sin y≤1.
3
1
∴M＝－sin y－cos
2
y
3
2
＝sin
2
y－sin y－
3
1
11
sin y－
?
2
－. ＝
?
2
?
12
?

111
则当sin y＝时，M
min
＝－；
212
24
当sin y＝－时，M
max
＝.
39
411
[答案]
－
912
[易错防范]
2
1．本题易忽视隐含条件“－≤sin y≤1”的挖掘，误认为sin y∈[－1,1]而导致解题错误．
3
2．解决此类问题时要注意正、余弦函数的有界性，解 题时千万不能忽略转化后的条件
限制而扩大取值范围导致错误．
[成功破障]
ππ
设－≤x≤，则函数y＝log
2
(1＋sin x)＋log
2
(1－sin x)的最大值为________，最小值为
64
________．
答案：0 －1

[随堂即时演练]
1．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
π
A．y
max
＝3，x＝
2
π
B．y
max
＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
2
π
C．y
max
＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
2
π
D．y
max
＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
2
答案：C
π
x－
?
在[0，π]上的递减区间为( ) 2．y＝cos
?
?
4
?
π3π
?
A.
?
?
4
，
4
?

3
π，π
?

C.
?
?
4
?
答案：D
75
3．比较大小：sin ________cos .(填“>”“<”或“＝”)
43
答案：>
π
0，
?
B.
?
?
4
?
π
，π
?

D.
?
?
4
?

4．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
答案：±2
π
?
1
－x
，x∈[0，π]的单调递增区间． 5．求函数y＝s in
?
?
3
?
6
2π
?
答案：
?
?
3
，π
?

[课时达标检测]
一、选择题
5π
2x＋
?
的一个对称中心是( ) 1．函数y＝sin
?
2
??
π
?
π
，0
B.
?
，0
?
A.
?
?
8
??
4
?
π3π
－，0
?
D.
?
，0
?
C.
?
?
3
??
8
?
答案：B
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
答案：C
3．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为( )
A．[－1,1]
C．[－2,0]
答案：D
π
x－
?
(x∈R)，下面结论错误的是( ) 4．已知函数f(x)＝ sin
?
?
2
?
A．函数f(x)的最小正周期为2π
π
0，
?
上是增函数 B．函数f(x)在区间
?
?
2
?
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案：D
π
5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；② 图象关于直线x＝对
3
ππ
－，
?
上是增函数．则y＝f(x)的解 析式可以是( ) 称；③在区间
?
?
63
?
B．[－2,2]
D．[0,2]

π
2x－
?
A．y＝sin
?
6
??
π
2x－
?
C．y＝cos
?
6
??
答案：A
二、填空题
x
π
?
B．y＝sin
?
?
2
＋
6
?

π
2x＋
?
D．y＝cos
?
3
??
6．设x∈(0，π)，则f(x)＝cos
2
x＋sin x的最大值是________．
5
答案：
4
π
x－
?
的图象的对称轴是________． 7．函数f(x )＝sin
?
?
4
?
3π
答案：x＝kπ＋，k∈Z 4
x
π
?
8．函数y＝－cos
?
?
2
－
3
?
的单调递增区间是________．
2π8π
＋4kπ，＋4kπ
?
，k∈Z 答案：
?
3
?
3
?
三、解答题
ππ
－，
?
上是增函数，求ω的取值范围．9．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间
?

?
34
?
ππ
解：由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得
22
－
π
2kπ
π
2kπ
＋≤x≤＋(k∈Z)．
2ω
ω
2ω
ω
π
2kπ
π
2kπ
－＋
ω
，＋
ω
?
∴f(x)的单调递增区间是
?
2ω
?
2ω
?
(k∈Z)．
πππ
2kπ
π
2kπ
?
－，
?
?
?
－＋
据题意：
?
?
34
??
2ω
ω< br>，
2ω
＋
ω
?
(k∈Z)．
?
从而有?
π
≥
π
，
2ω4
?
ω>0，
－ππ
≤－，
2ω3

3
解得0<ω≤.
2
3
0，
?
故ω的取值范围是
?
?
2< br>?
πππ
2x＋
?
，x∈
?
－，
?
的最大值、最小值及相应的x值． 10．求函数y＝3－4cos
?
3
???
36
?
πππ2π
π
－，
?
，∴2x＋∈
?－，
?
， 解：∵x∈
?
?
36
?
3
?
33
?

π
1
2x＋
?
≤1. 从而－≤cos
?
3
??
2
π
π
2x＋
?
＝1，即2x＋＝0， ∴当cos
?
3
??
3
π
即x＝－时，y
min
＝3 －4＝－1.
6
π
1
π2π
2x＋
?
＝－，即2x＋＝， 当c os
?
3
??
233
1
π
－
?
＝ 5. 即x＝时，y
max
＝3－4×
?
?
2
?
6

ππ3π
2x＋
?
＋2a＋b，x∈
?
，
?
，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)11．已知f(x)＝－2asin
?
6
???
44
?
的值域为{y|－3≤y≤3－1}？若存在，求出a，b的 值；若不存在，请说明理由．
π3π
解：∵≤x≤，
44
2ππ5π
∴≤2x＋≤，
363
π
3
2x＋
?
≤. ∴－1≤sin
?6
?
2
?
假设存在这样的有理数a，b，则
?
?
－3a＋2a＋b＝－3，
当a>0时，
?

?
2a＋2a＋b＝3－1，
?
?
?
a＝1，
解得
?
(不合题意，舍去)；
?
b＝3－5
?
?
?
2 a＋2a＋b＝－3，
当a<0时，
?

?
?
－3a＋2a ＋b＝3－1，
?
?
a＝－1，
解得
?

?
?
b＝1.
故a，b存在，且a＝－1，b＝1.
1.4.3 正切函数的性质与图象

正切函数的性质
[提出问题]
问题1：正切函数y＝tan x的定义域是什么？
π
??
x≠kπ＋，k∈Z
?
. 提示：
?
x
?
2
?
??

问题2：诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan
x的关系怎样？
提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
问题3：诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性．
问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？
提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．
π
0，
?
上是增大的吗？ 问题5：从正切线上观察，正切函数值在
?
?
2
?
提示：是的．
[导入新知]
正切函数的性质
函数
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
[化解疑难]
细解正切函数的性质
π
(1)正切函数y＝tan x的定义域是xx∈R且x≠＋kπ，k∈Z，值域是全体实数．
2
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ) ＋B(A>0，ω>0)
ππ
的最小正周期是T＝
ω
.若不知ω正负，则该函 数的最小正周期为T＝.
|ω|
(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递 增的，并且每个单调区间均为
开区间，不能写成闭区间．
y＝tan x
π
?
?
?
?
x
x≠kπ＋，k∈Z
?

2
?
?
?
R
T＝π
奇函数
ππ
kπ－，kπ＋
?
(k∈Z)上都是增函数 在每个开区间
?
22
??

正切函数的图象
[提出问题]
问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？
提示：过单位圆与x正半轴的交 点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其反向延长
线于点T，则有向线段AT即为该角的正切线．
问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？
提示：能．
[导入新知]
正切函数的图象
(1)正切函数的图象：

(2)正切函数的图象叫做正切曲线．
(3)正切函数的图象特征：
π
正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
2
[化解疑难]
正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x轴有无数个交点，因此 有无穷多个对称中
kπ
?
心，对称中心坐标是
?
?
2
，0
?
，k∈Z，正切函数的图象无对称轴.

正切函数的定义域、值域问题
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
π
x＋
?
；(2)y＝(1)y＝tan
?
?
4
?
3 －tan x.
ππ
[解] (1)由x＋
≠kπ＋(k∈Z)得，
42
π
x≠kπ＋，k∈Z，
4
π
π
x＋
?
的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)． 所以函数y＝tan
?
?
4
?
4
(2)由3－tan x≥0得，tan x≤3.

ππ
－，
?
上， 结合y＝tan x的图象可知，在
?
?
22
?
ππ
满足tan x≤3的角x应满足－23
所以函数y＝3－tan x的定义域为
ππ
?
?
?
?
x
kπ－?
，其值域为[0，＋∞)．
23
?
?
?
[类题通法]
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数 定义域的一般要求外，还要保证正切
π
函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而 对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象
2
求解．解形如tan x>a的不等式的步骤：


[活学活用]
求函数y＝
1
的定义域．
1＋tan x
?
ππ
??
x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z
?
答案：
?
x
?
42
?
?

正切函数的单调性及应用
1
π
?
[例2] (1)求函数y＝ta n
?
?
2
x－
4
?
的单调区间；
13π
??
－
12π
?
的大小．
－
(2 )比较tan
?
与tan
?
4
??
5
?
π
1
ππ
[解] (1)由kπ－
2242
π3π
2kπ－22
1
π
?
π3π
x－
的单调递增区间是
?
2kπ－，2kπ＋
?
(k∈Z)． 所以函数y＝tan
?
22
??
24??
13π
??
－4π＋
3π
?
＝tan
3π
＝－tan
π
，tan－
12π
＝－tan2π＋
2π＝－
－
(2)由于tan
?
＝tan
4
??
4
??
4455

2π
tan，
5
π2ππ
又因为0<<<，
452
π
0，
?
上单调递增， 而y＝tan x在
??
2
?
π
2π
π
2π
所以tan－tan，
4545
13π
??
－
12π
?
.
－< br>即tan
?
>tan
?
4
??
5
?
[类题通法]
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，< br>ππ
令kπ－<ωx＋φ22
(2)若ω<0 ，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ω
x
－φ)]＝ －
Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
[活学活用]
1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
答案：tan 2π
?
2．求函数y＝3tan
?
?
4
－2x
?
的单调区间．
π
kπ
3π
kπ
－＋，＋
?
(k∈Z) 答案：单 调递减区间为
?
?
8282
?
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
π
2x＋
?
的最小正周期；
[例3] (1)求f(x)＝tan
?
3
??
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
ππ
2x＋＋π
?
＝tan
?
2x＋
?
，
[解] (1)∵tan
?
33
????
π
π
π< br>x＋
?
＋
?
＝tan
?
2x＋
?
，
2
?
即tan
?
3
??
?
?
2< br>?
3
?

π
π
2x＋
?
的周期是. ∴f(x)＝tan
?
3
??
2
??
π
x≠kπ＋，k∈Z
?
，关于原点 对称， (2)定义域为
?
x
?
2
?
??

∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
[类题通法]
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
π
(1)一般地，函数y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
|ω|
(2)判断函 数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该
函数无奇偶性；若对称，再 判断f(－x)与f(x)的关系．
[活学活用]
关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
π
?
②f(x)的图象关于< br>?
?
2
－φ，0
?
对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
答案：①


4.三角函数解析式与图象的对应

[典例] (山东高考)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )

[解析] 由函数y＝xcos x＋sin x是奇函数，排除B.当x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π，
ππππ
排除A.当x＝时，y＝cos ＋sin >0，排除C.故选D.
4444
[答案] D
[多维探究]
函数图象与解析式的对应在近几年高 考中出现得并不频繁，多以选择题的形式出现，解
题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手 逐一排除错误选项，从而得出正确结
论．
[活学活用]
1
x－
?
cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( ) 1．(浙江高考)函数f(x)＝
?
?
x
?

答案：D
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )

答案：D
3．(浙江高考)函数y＝sin x
2
的图象是( )

答案：D


[随堂即时演练]
π
0，
?
上的增函数的是( ) 1．下列函 数中，既是以π为周期的奇函数，又是
?
?
2
?
A．y＝tan x
B．y＝tan 2x
x
C．y＝tan
2
D．y＝|sin x|
答案：A
2．函数y＝tan(cos x)的值域是( )
ππ
－，
?
A.
?
?
44
?
B .
－
?
?
22
?

，
22
?
C．[－tan 1，tan 1]
D．以上均不对
答案：C
x
－
?
的最小正周期是________． 3．函数y＝5tan
?
?
2
?
答案：2π
ππ
－，
?
的值域为________． 4．函数y＝tan x－1，x∈
?
?
43
?
答案：[－2，3－1]
1π
?
5．求函数y＝tan
?
?
2
x－
6?
的定义域、最小正周期及单调区间．

??
4π2π
x≠＋2kπ，k∈Z
?
；答案：定义域为
?
x
?
最小正周期为2π；单调递增区间为－＋2kπ，
3
3
?
?
?

4π
＋2kπ(k∈Z)
3
[课时达标检测]
一、选择题
π
2x＋
?
的图象不相交的一条直线是( ) 1．与函数y＝tan
?
4
??
π
A．x＝
2
π
C．x＝
4
答案：D
3π3π
－，
?
内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为( ) 2．在区间
?
?
22
?
A．1
C．3
答案：C
3．函数y＝
1
logtan x的定义域是( )
2
B．2
D．4
π
B．x＝－
2
π
D．x＝
8
π
x≤
＋kπ，k∈Z A．x
?
?
4
π
2kπ，k∈Z B．x
?
4
?
π
kπ，k∈Z C．x
?
4
?
π
π
2kπ－
?
2
?
4
答案：C
3π3π
－，
?
4．下列图形分别是①y＝|tan x|，②y＝tan x，③y＝tan(－x)，④y＝tan |x|在x∈
?
?
22
?
内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )

A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
答案：D
π
x＋
?
的说法正确的是( ) 5．下列关于函数y＝tan
?
?
3
?
π5π
－，?
上单调递增 A．在区间
?
?
66
?
B．最小正周期是π
π
?
C．图象关于点
?
?
4
，0
?
成中心对称
π
D．图象关于直线x＝成轴对称
6
答案：B
二、填空题
π
?
π
6．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝1所得线段长为，则f
?
?
12
?
的值
4
是_ _______．
答案：3
ππ
－，
?
内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 7．已知函数y＝tan ωx在
?
?
22
?
答案：[－1,0)
8．若直线x＝
13
答案：或－
44
三、解答题
π
kπ
2x＋
?
的图象不相交，则k＝________. (|k|≤1)与函数y＝tan
?
4
??
2

9．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
?
?
2tan x，tan x≥0，
解：y＝tan x＋|tan x|＝
?

?
?
0，tan x<0.
其图象如图所示，


ππ
kπ－，kπ＋
?
(k∈Z)；值域是[0，＋∞ )；单调递增区间是由图象可知，其定义域是
?
22
??
?
kπ，k π＋
π
?
(k∈Z)；最小正周期T＝π.
2
??
ππ< br>1
10．若x∈[－，]，求函数y＝
2
＋2tan x＋1的最值及相应的x值．
34cosx
1
解：y＝
2
＋2tan x＋1
cosx
cos
2
x＋sin
2
x
＝＋2tan x＋1
cos
2
x
＝tan
2
x＋2tan x＋2
＝(tan x＋1)
2
＋1.
ππ
∵x∈[－，]，∴tan x∈[－3，1]．
34
π
故当tan x＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
4
π
当tan x＝1，即x＝时，y取最大值5.
4

ππ
11．已知－≤x≤，f(x)＝tan
2
x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
34
ππ
解：∵－≤x≤，∴－3≤tan x≤1，
34
f(x)＝tan
2
x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)
2
＋1，
π
当tan x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
4