1——高中数学必修4的教学建议

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数学学科《必修4》的教学指导
一．课标要求
在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。
三角函 数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重
要的作用。在本模块 中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具
有周期变化规律的问题中的作 用。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运
算的 意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际
问题的能力。
三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模
块中 ，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换
公式，并能运 用这些公式进行简单的恒等变换。
内容与要求
1．三角函数（约16课时）
（1）任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出
y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在 （-π2，π2）上的性质（如
单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三 角函数的基本关系式：sin
2
x+cos
2
x=1，sin xcos x=tan x。
⑤结合具体实例，了解y=Asin（
ω
x+
φ
）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin
（
ω
x+
φ
）的图象，观察参数A，
ω
，
φ
对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模
型。
2．平面向量（约12课时）
（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的 分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向
量的几何表示。
（2）向量的线性运算
① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
① 了解平面向量的基本定理及其意义。
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② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用 < br>经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会
向量是 一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
3．三角恒等变换（约8课时）
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
（ 2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余
弦、正切公式， 了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积 、半角公式，
但不要求记忆）。
二．各章教材分析及教学建议
第8章 三角函数
1．关于教材的定位
苏教版的引言：
提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子。
提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动
明确任务：建构这样的数学模型。
教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究；
教材的定位是：展示对周期现象进行数学 研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的
（思维）过程；
2．教科书的的特点 苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保
证这个定 位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：
（1） 采用以问题链为线索的呈现方式。
既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程 就是不断地提出问题，
解决问题的过程。所以教材采用了以问题链展开的呈现方式。注意提出问题的环节 ，注意问题间
的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用；
例子：任意角三角函数
任意角三角函数概念无疑是本部的核心概念。苏教版的教材和其它的教 材一样是在讲了“任
意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概 念的。应该指
出的，尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上有些“ 微妙
“的差异，可是不应该小看了这里的差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表现。
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（2） 以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容。
教材以
为主线展开。
对数学模型
现实世界

建立数
利用数学模
教材充分发挥学习“函数”一章的 经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，
进行研究
中的问题 学模型
型解决问题
在结构上尽可能地与“函数”一章相同。
为了突出“建构—研究—应用” 这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。
如，抽出“三角变换”的内容，另立一章； 把6种三角函数减为3种等等。
这样做一方面可以让学生利用已有的经验，掌握学习的主动权，发现数 学知识的联系，加深
对知识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法，有利于 正确的数学
观念的形成。
3．突出周期性。
（1）本章的研究对象是周期性现象， 建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，
我们突出了周期性，把它看成是教材编写的出发点 和归属。
（2）例子：三角函数的性质
在很多教材中，总是通过作出三角函数的图象，然后 再由图象的观察得到三角函数的性质的。
对此，苏教版的教材做了不同的处理。
4．加强几何直观，强调形数结合的思想
(1)三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研 究方法又主要是代数的，因此三角函数集中
地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联 系。在本章中，充分渗透了数形结
合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的 作用．如在三角函数及其
性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意 角的三角函数，
理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终 边之间
的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和< br>最小值、图象与
x
轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如应用三角函数的周期性来简 化函数
图象的作图．
(2)例子：诱导公式的推导。
提出问题：由三角函数的定义 可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。除此以外还
有一些角，它们的终边具有某种特殊关系， 如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间
的三角函数值之间具有什么样的关系呢？
解决问题的程序如下：

终边的位置关

系（对称）

终边的的诱导公式
问题

位置关系

三角函数值之
教学建议
间的关系
1． 准确把握教学要求
(1)与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是一种“数学模型”
(2)与以往的三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认
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识的要求，加强了 对借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实
际问题等内容。标准删减了 任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号
等内容。降低了对任意角概念，弧度制 概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数
的奇偶性的要求。这样的处理，把重点放在使学 生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在
解决具有周期变化规律的问题中的作用上，而对一些细枝 末节的内容不再作过多要求。教学时应
当把握好这种变化，遵循 标准所规定的内容和要求，不要随意补 充已被删减的知识点。也不
要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知sin a=m求的其他三角函数值;
用诱导公式进行复杂变换的问题等)。
(3)但是也不能放松基 本的技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数
关系式，能用五点法画出正（余） 弦函数的图象等，因为这是利用三角函数解决问题的基础。
2． 注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。
(1)要突出数 学模型思想。教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生利用学习《函数》
的经验，自觉地参与建 构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模
型的角度看三角函数的意识，在 此基础上，要充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学，
使学生经历运用三角函数模型描述周期现 象、解决实际问题的全过程。
(2)要充分发挥形数结合思想方法在本章的运用。发挥单位圆、三角函数线、图象的作用。
(3)运用和深化函数思想方法。
三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数 ，教学中应当注意引导学生以数
学l中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指 导下，学习三角函数，
这对进一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提高学生在学习过程中的数学 思维水平都是
十分重要的。
(4)例：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对 一”的函数；用函数研究中的
基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学 习三角函数的进程；
在讨论y=Asin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换 (平移、伸)的关系。（需要注意分寸）
3．以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。
4．恰当地使用信息技术。
第9章 平面向量
教材定位
对一种具有丰富的几何背景与物理背景的近代数学模型的研究。
（1）向量是具有深刻的几何背景和物理背景的数学模型；
（2）向量是近代数学中重要的、基本的概念，也是一种基本的重要的数学工具；
①向量既是 代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。作为几何对象，
向量有方向，可以刻画直 线、平面等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何
度量问题。向量由大小和方向两个 因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特
征，因此，向量是集数形于一身的数学概念 ，是数学中数形结合思想的典型体现。
②向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型，是理解这些数学内容的基础：
③ 向量也是重要的物理模型。平面力场、平面位移场以及二者混合产生的做功问题，都可以
用向量空间来刻 画和描述。
向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且，体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重
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要地位是不言而喻的。
教材特点：
按照数学模型研究的一般程序展开教材； （1）和《函数》、《三角函数》类似，本章也是对一种数学模型的研究。教材也是按照对数
学模型 研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的。这样的编写顺
序不仅符合向量 知识的发展过程，而且可以唤起学生在《函数》、《三角函数》学习中获得的经验，
在助于发挥学生在学 习中的主动权。
（2）本章首先现实根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际
背景中抽象出向量的概念（数学模型），然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，最后
再运用数学模 型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来
龙去脉，有助于学生理 解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性
思维的目的，同时也有助于数学 应用意识的发展．
（3）以问题为中心，用问题链为线索揭示知识的发生过程。
● 突出向量的物理背景和几何背景；
（1） 教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念。
接着教材又以位移为原型，建立了向量 的概念，接着用有向线段给出了向量的儿何背景，并
定义向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以 使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问
题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念 的背景支撑。
（2）在有关向量的运算中，教材也注意突出向量运算的原型。
如：以位移的 “积累“为原型定义向量的加法和数乘；以功为原型定义向量的数量积。在研
究向量的线性运算时，充分 发挥有向线段几何背景的作用。如用有向线段来解释数乘的几何意义。
在向量基本定理中，提供力的分解 和速度分解的背景。
（3）在向量的应用中，揭示它丰富的背景。
● 突出运算的核心地位；
（1）运算是向量的核心内容，对中学生来说，根据现实的原型，自觉地“构造 ”运算，还
是第一次。虽然学生对运算并不陌生，但是，他们眼中的运算只有数的运算、字母（式）的运 算。
现在要学习向量的运算，这对于运算的理解时一个突破；
（2）教材在处理向量运算的内 容时，注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用学
生有关数的运算的经验，而且可以帮助学生发 展对运算的认识。
例如：和数进行类比，在建立了向量的运算以后，研究向量的运算（加、减、数乘等 等）和
它们满足的运算律，在定义了运算以后，探讨运算的应用，就都是很自然的了。
（3） 和数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，
它同样是从原型中抽 象出来的。教材特别注意展示这个建构过程。
如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的。
特别地，向量的数量积是以功为原型抽象出来的。
（4）我们知道，只有建立了数的表示方法 ，才能讨论数的运算问题。类似地，在讨论向量
的运算之前，必须先要解决向量表示的问题。由于向量既 是代数对象，又是几何对象，因而向量
具有多种表示方法。作为代数对象，向量可以用一个“符号”表示 ；作为几何对象，向量可以用
有向线段表示。在学习了向量基本定理以后，还可以用坐标来表示。实际上 ，向量的每一种表示
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方法，都建立了一种语言。对向量的运算也可以用不同的语言来表示。在教材中 ，先用几何语言
即有向线段来表示向量的线性运算。然后再用代数语言来坐标语言来表示。这样就使向量 成为联
系代数和几何的桥梁，成为解决现实问题和数学问题的工具。
（5）向量是通过运算来解决问题的。
向量之所以能解决几何问题，是是因为向量具有明确的 几何背景，向量的运算及运算律具有
明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向蛩及其 运算得到解决。几何图形的
性质，也可以在向量的运算律中得到反映。例如，平行四边形可以看成表示向 景加法和减法的几
何模型，而向量的加法及其交换律 又可以表示平行四边形的性质 (在平行四边形A BCD中，AB
∥CD，AD∥BC，所以△ABD≌△CDB。这样，建立了向量运算 (包括运算律)，与几何图形之
间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算 (运算律，把向量与几何、代
数有机地联系在一起。
● 突出向量与相关知识的联系。突出向量的工具作用；
（1）教材特别注意联系实际，注意向量与相关学 科（如：力学、物理学、几何、代数、三
角）的联系。注意用向量方法解决各类问题。
（2）在例题和习题中都安排了向量在相邻领域内的应用题。
教学建议：
1．明确教学要求；
2．让学生参与建构活动；
（1）要让学生参与建构向量及其 运算的活动，经历建构过程，引导学生认识到向量是一种
描述现实问题的数学模型。
（2）要让学生了解向量的物理背景、几何背景，知道它的原型。
（3）通过建构活动，让学 生熟悉向量及其运算的几何意义，物理意义，这是灵活运用向量
解决问题的基础。
3． 让学生明确研究向量问题的基本思路。
（1）向虽是代数的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且 正是因为有了运算，向量的
威力才得到充分的发挥：
（2）向量又是几何对象，所以向量可以刻画儿何元素 (点、线、面，利用向量的方向可以
与三角函数发生联系：
（3）正因为，向量“一身二任” ，所以几何图形的许多性质会表现为向量的运算性质，这样
我们就可以通过向量的运算来描述和研究几何 元素之间的关系（如直线的平行、垂直等），确定
几何图形的长度、面积、夹角等等：
例子： 在贯穿向量教学的全过程中，都要向学生讲清本章研究的总思路，让学生明确向量研
究的基本思路。特别 是在学完本章后，更应引导学生反思，因为这对于向量方法的理解 是至关
重要的。
（4）让学生理解向量方法的实质。
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面儿何问题抟化为
向量问题;
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题;
③把运算结果翻译成几何关系。
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第10章．三角变换
教材的定位:
本章的主要教学内容是 三角函数式的恒等变换。其实只涉及一个角的恒等变换在《三角函数》
中已经做了研究。
（1）是（在第8章的基础上）对三角函数这一数学模型（运算）性质的进一步研究；
（2）是用演绎方法（借助于运算），建立数学知识体系的一个范例。
说明要点：
（1）三角恒等变换公式实质上是三角函数的运算性质，而运算性质是函数的重要性质；是
对函数研究的 一个方面（可以和对数函数、指数函数类比）；
（2）如果不研究三角变形就不能发挥三角的工具价值；
（3）三角变换公式繁多，但相互之 间存在着紧密的逻辑联系，从一个公式出发，就可以推
出其它的公式。这种类似于公理化的结构，在中学 数学中是不可多得的。另一方面，三角恒等变
换也是一种演绎推理的方式，应该充分发挥它在培养学生推 理能力
教材特点
●把演绎的知识结构放在“对周期性现象作数学研究”的大背景下展开。
本章的教学内容是按照三角变换公式之间的逻辑联系展开的。



S
?
?
?

T
?
?
?

C
?
?
?




C
?
+
?

S
?
+
?

T
?
+
?




C
2
?

S
2
?

T
2
?



这是一个逻辑的演绎的体系，为了突 出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述
周期变化的数学模型这一本质，在教科书中，这个 演绎的体系是放在对周期现象进行研究的大背
景下建立的。首先，在引言中就从周期运动合成的角度提出 三角变换的课题，在讨论了和差角公
式以后，教科书又通过《链接》，给出了正弦函数、余弦函数叠加的 问题的结论。本章就构成了
一个相对完整的数学发现和应用的过程。这样的安排，有助于学生从总体上理 解三角变换。
●运用问题链，展现公式的发现和推导过程。
在传统的教学中，往往把三角变 换单纯地视为基本的技能训练，强调反复的练习和操作，强
调三角变换的具体方法和技巧，造成了公式头 绪多，练习习题难，技巧方法刁的现象。和过去相
比，教科书更重视公式的发现和推导过程，重视学生在 三角变换中的思维过程，重视这些过程中
的思维活动，和指导这些活动的思想方法。这和传统的教学是有 明显的区别的。
根据《课程标准》的要求，教科书降低了对三角变换的要求。特别是不再要求用积化和 差、
和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒 匠心教育文档系列
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等变换的基本训练，避免任意加大三角变换的难度，防止在三角变换中深挖洞的现象。
●注意从运算的角度看待三角变换。
注意从运算的角度看待三角变换。把三角变换看成是三角 函数的运算。这样就使的三角变换
和运算（包括向量的运算）发生了联系。在教科书中，三角变换的公式 都是通过运算的方法推导
和证明的。在本章最后更从运算的角度提出和差化积、积化和差的研究课题。
●注意突出向量和三角函数的联系。
教科书利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程 ，并由此公式作为出发点，推导出
两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 。
8．本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出来的，化归思想是推导这些公式的
主导思想。在教学中，不任是在推导公式时，还是在应用公式时，都应该自始至终地贯彻这一思
想。
教学建议
1．准确地把握教学要求。
课程标准对本章提出了下面的要求：
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
（ 2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余
弦、正切公式， 了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括尝试导出积化和差、和差化 积、半角公式，
但不要求记忆，，通过这些基本训练，使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方 法处理
问题的自觉性，体会一般与特殊的关系与转化、换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。
（4）在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力。
根据《课 程标准》的要求，教科书降低了对三角变换的要求。特别是不再要求用积化和差、
和差化积、半角公式等 作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒
等变换的基本训练，避免任意加 大三角变换的难度，不要随意补充已被删减的内容，也不要引进
那些繁琐的，技巧性高的难题，更不要一 味在细微耒节上做文章。但要注意基础训练。
2．对公式asinx+bcosx的处理。有关形如a sinx+bcosx的三角函数式化简的一般结论，是超
出教学的一般要求的。而课本第102页的例 3到思考是作为和差角公式的逆向应用，因此在习题
中的处理也仅仅作为差角公式的应用，不宜过多地加 深拓宽。
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