高中数学必修4全套学案含答案

第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
?1.1.1 任意角
课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI
[基础自学]
一、角的概念
1．角的概念

(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的表示
顶点：用
O
表示；
始边：用
OA
表示，用语言可表示为角的始边；
终边：用
OB
表示，用语言可表示为角的终边．

2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：

类型

定义

图示
正角

按照逆时针旋转而成的角

负角

按照顺时针旋转而成的角


零角

当射线没有旋转时，我们也把它看成
一个角，叫做零角


二、象限角
1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与
x
轴非 负半轴重合，则角的终边在第几象限，
就称这个角是第几象限角．
2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．
三、终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可
记为{β|β＝α ＋
k
·360°，
k
∈Z}．[自我小测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )
提示：(1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)下列各组角中，终边不相同的是( )
A．60°与－300°
C．1050°与－300°
答案 C
(2)将－885°化为α＋
k
·360°(0°≤α<360°，
k
∈Z )的形式是________．
答案 195°＋(－3)×360°
B．230°与950°
D．－1000°与80°

课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU

1

终边相同的角之间有什么关系？
提示：与α终边相同的角，可表示为β＝
k
·360°＋α(
k
∈Z)，即两角相差360°的
整数倍．
2

如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？
提示：终边在
x
轴非负半轴上的角 ：α＝
k
·360°(
k
∈Z)；
终边在
y
轴上 的角：α＝90°＋
k
·180°(
k
∈Z)；
第二象限角：90 °＋
k
·360°<α<180°＋
k
·360°(
k
∈Z )．
题型一 正确理解角的概念
例1 下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．
[解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所
以①正确；
②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
[答案] ①

角的概念的理解
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 钝角、平角、周角等
概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论 不正确
只需举一个反例即可．

【跟踪训练1】 (1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )
A．60°
C．30°
(2)如图
B．－60°
D．－30°

∠α＝__________，∠β＝__________.
答案 (1)B (2)－150° 210°
360°
解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中 每小时旋转－＝－30°，所以经过
12
2个小时应旋转－60°.
题型二 终边相同的角的表示及象限角
例2 已知α＝－1910°.
(1)把α写成β＋
k
·360°(
k
∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°.
[解] (1)∵－1910°÷360°＝－6余250°，
∴－1910°＝－6×360°＋250°.
相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋
k
·360°(
k
∈Z)，
取
k
＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角：
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
∴θ＝－110°或θ＝－470°.
[变式探究] 与－1560°角终边相同的角的集合 中，最小正角是________，最大负角是
________．
答案 240° －120°
解析 与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝
k
·360° ＋240°，
k
∈Z}，所以最
小正角为240°，最大负角为－120°.

怎样表示终边相同的角及象限角
(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先 写出0°～360°范围内的角，然后再加
k
·360°(
k
∈Z)组成集合即可．
(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角， 角的终边落
在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360 °
范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．

【跟踪训练2】 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是
第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.

解 (1)－120°＝－360°＋240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．
(2)640°＝360°＋280°，
∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．
(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．
题型三 区域角的表示
例3 写出终边落在阴影部分的角的集合．

[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|
k·360°＋30°≤α<
k
·360°＋105°，
k
∈Z}． ②{α|
k
·360°＋210°≤α<
k
·360°＋285°，k
∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|
k
·360°＋30°≤α<
k
·360°＋105°，
k
∈Z}∪{α|< br>k
·360°＋
210°≤α<
k
·360°＋285°，
k
∈Z}
＝{α|2
k
·180°＋30°≤α<2
k
·1 80°＋105°，
k
∈Z}∪{α|(2
k
＋1)180°＋
30 °≤α<(2
k
＋1)180°＋105°，
k
∈Z}
＝{α|2
k
·180°＋30°≤α<2
k
·180°＋105°或(2
k< br>＋1)·180°＋30°≤α<(2
k
＋
1)180°＋105°，
k
∈Z}
＝{α|
k
·180°＋30°≤α<
k
·18 0°＋105°，
k
∈Z}．
[变式探究] 将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．

解 (1){α |45°＋
k
·180°≤α≤90°＋
k
·180°，
k
∈Z}．
(2){α|－150°＋
k
·360°≤α≤150°＋
k·360°，
k
∈Z}．

表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)由小到大分别标出起始、终止边界 对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相
同的角．
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．

【跟踪训练3】 写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．

解 (1)与45°角终边相同的角 的集合为{α|α＝45°＋
k
·360°，
k
∈Z}，与30°－
180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋
k
·360°，
k
∈Z}，因此终边在
阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋
k
·360°<α≤45°＋
k
·360°，
k
∈Z}．
(2)方 法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋
k
·360°≤α≤3 00°＋
k
·360°，
k
∈Z}．


[规律小结]
1.角的概念的理解
(1)弄清角的始边与终边．
(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．
(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．
2.研究象限角时应注意的问题
(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合；
(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：
终边所在的位置

角的集合
{α|α＝
k
·360°，
k
∈Z}
{α|α＝
k
·360°＋180°，
k
∈Z}
{α|α＝
k
·360°＋90°，
k
∈Z}
{α|α＝
k
·360°＋270°，
k
∈Z}
x
轴非负半轴

x
轴非正半轴

y
轴非负半轴

y
轴非正半轴

(1)
k
是整数，这个条件不能漏掉；
3.表示与α终边相同的角时应注意的问题

(2)α是任意角；
( 3)
k
·360°与α之间是“＋”号，如
k
·360°－30°应看成k
·360°＋(－30°)(
k
∈Z)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
[走出误区]
易错点?分角所在象限及范围的确定的误区
α
[典例] 若α是第三象限的角，则是( )
3
A.第一象限的角
B.第三象限的角
C.第四象限的角
D.第一象限或第三象限或第四象限的角
α
[错解档案] 因为α是第三象限的角，所以取α＝210°，得到＝70°，是第一象限
3
的角，故选A.
α
[误区警示] 第三象限的角α有无数个，用α＝210°得到＝70°而选择答案A，犯< br>3
了以偏概全的错误．
[规范解答] 因为α是第三象限的角，所以
k
·360°＋180°<α<
k
·360°＋270°(
k
∈Z)， αα
则
k
·120°＋60°<<
k
·120°＋90°(k
∈Z)，取
k
＝0，得到可在第一象限；取
k
＝
33
αα
1，得到可在第三象限；取
k
＝2，得到可在第四象限．故选D.
33

α
矫正训练 若α为第二象限的角，则为第几象限角？
2
解 若α为第二象限角，则有

k
·360°＋90°<α <
k
·360°＋180°，
k
∈Z
α
则
k·180°＋45°<<
k
·180°＋90°，
k
∈Z
2< br>ααα
则
k
＝2
n
(
n
∈Z)时，为第一象 限角；
k
＝2
n
＋1(
n
∈Z)，为第三象限角．故为第一
222
或第三象限角.

随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU
1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．不相等的角终边一定不同
答案 B
解析 三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在
y
轴非负半轴上的角，故A错误；
钝角是第二象限角，B正确；象限角不能比较大小，故C错误；不相等的角终边也可能相同，
如 40°和400°，故D错误．
2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
答案 B
解析 因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二
象限．
3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是
__ ______度．
答案 －5 －60
360°
解析 将钟表拨快10分钟，则时 针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度
12×60
360°
是－5°；分针 按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
60
4．若α为锐角，则－α ＋
k
·360°(
k
∈Z)在第________象限．
答案 四
解析 由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋
B．第二象限角
D．第四象限角
k
·360°(
k
∈Z)在第四象限．
5．[2016·大连高一 检测]写出与下列各角终边相同的角的集合
S
，并把
S
中适合不等式
－360°≤α≤720°的元素α写出来：
(1)60°；(2)－21°.
解 第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：
(1)
S
＝{α|α＝60°＋
k
·360°，
k
∈Z}；
(2)
S
＝{α|α＝－2 1°＋
k
·360°，
k
∈Z}．
第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的
k
值分别采用赋值法求出元素α；
(1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.

课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN
时间：25分钟
一、选择题(每小题5分，共25分)
满分：60分

1．已知α＝－130°，则α的终边落在( )
A．第一象限
C．第三象限
答案 C
解析 ∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．
2．已 知角α的终边落在直线
y
＝
x
上，则角α的集合
S
＝( )
A．{α|α＝
k
·360°＋45°，
k
∈Z}
B．{α|α＝
k
·90°＋45°，
k
∈Z}
C．{α|α＝
k
·360°＋225°，
k
∈Z}
D．{α|α＝
k
·180°＋45°，
k
∈Z}
答案 D
解析 本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在
直线
y
＝
x
上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225 °，从而角α的
集合
S
＝{α|α＝
k
·360°＋45°或α＝< br>k
·360°＋225°，
k
∈Z}＝{α|α＝
k
·180 °＋
45°，
k
∈Z}，故选D.
3．若α是钝角，则θ＝
k
·180°＋α，
k
∈Z是( )
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二象限角或第三象限角
D．第二象限角或第四象限角
答案 D
解析 当
k
为偶数时，θ ＝
k
·180°＋α，
k
∈Z是第二象限角，当
k
为奇数时 ，θ＝
B．第二象限
D．第四象限
k
·180°＋α，
k
∈Z是第四象限角．
4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在( )
A．
x
轴的非负半轴上
C．
x
轴的非正半轴上
答案 C
解析 由题意知β＋180°应与α终边相同，
即α＝β＋180°＋
k
·360°(
k
∈Z)，
∴α－β＝180°＋
k
·360°.故选C.
5．已知角2α的终边在
x
轴上方，那么α是( )
A．第一象限角
C．第一或第三象限角
答案 C
解析 由条件知
k
·360 °<2α<
k
·360°＋180°，(
k
∈Z)，∴
k
· 180°<α<
k
·180°＋
90°(
k
∈Z)，当
k< br>为偶数时，α在第一象限，当
k
为奇数时，α在第三象限．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．[2016·广东佛山一中期中]终边在
x
轴上的角β的集合是________．
答案 {β|β＝180°·
k
，
k
∈Z}
B．第一或第二象限角
D．第一或第四象限角
B．
y
轴的非负半轴上
D．
y
轴的非正半轴上

解析 本题考查终边相同的角的概念 ．终边在
x
轴正半轴上的角的集合为{β|β＝
360°·
k
，k
∈Z}，终边在
x
轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2
k
＋1)，
k
∈Z}，所
以终边在
x
轴上的角β的集合为{ β|β＝180°·
k
，
k
∈Z}．
7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________．
答案 －480°
4
解析 时针走过了1小时20分钟，则分针转了圈，又因顺时针旋转的角为负角 ，∴分
3
4
针转过的角为－×360°＝－480°.
3
8．若集 合
M
＝{
x
|
x
＝
k
·90°＋45°，
k
∈Z}，
N
＝{
x
|
x
＝
k< br>·45°＋90°，
k
∈Z}，则
M
________
N．(填
答案

解析
M
＝{
x
|
x
＝
k
·90°＋45°，
k
∈Z}
＝{
x|
x
＝45°·(2
k
＋1)，
k
∈Z}，
N
＝{
x
|
x
＝
k
·45°＋90°，
k
∈Z}
＝{
x
|
x
＝45°·(
k
＋2 )，
k
∈Z}，
∵
k
∈Z，∴
k
＋2∈Z，且2
k
＋1为奇数，∴
MN
.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合
S
(包括边界)，并指出－95 0°12′
是否是该集合中的角．

解 由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合
S
＝{β|120°＋
k
·3 60°≤β≤250°＋
k
·360°，
k
∈Z}．
∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角．
α
10．已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？
2
解 ∵α是第二象限角，

∴90°＋
k
·360°<α<180°＋k
·360°，
k
∈Z，
∴180°＋2
k
·360 °<2α<360°＋2
k
·360°，
k
∈Z.
∴2α是第三或 第四象限角，或是终边落在
y
轴的非正半轴上的角．同理45°＋
k
α
k
·360°<<90°＋·360°.
222
α
当
k
为偶数时，不妨令
k
＝2
n
，
n
∈Z，则45°＋
n
·360°<<90°＋
n
·360°，此时，
2
α
为第 一象限角；
2
α
当
k
为奇数时，令
k
＝2
n
＋1，
n
∈Z，则225°＋
n
·360°<<270°＋n
·360°，此时，
2
α
为第三象限角．
2
α
∴为第一或第三象限角．
2
?1.1.2 弧度制
课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI
[基础自学]
一、弧度的概念
单位制

角度制

弧度制

周角的
内容
1
为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制
360
规 定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来
度量角的制度叫做弧度制；在弧 度制下，1弧度记作1 rad
角α的弧度数的绝对值|α|＝(其中
l
是以角α作 为圆心角时所对的弧
l
r
弧度数

长，
r
是圆的半 径)，一般地，正角、负角和零角对应的弧度数分别是正数、
负数和零
二、角度与弧度的换算
角度化弧度

360°＝2π rad

180°＝π rad

π
1°＝ rad≈0.01745 rad

180
一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度

弧度

0°

0

30°

π

6
45°

π

4
60°

π

3
90°

π

2
120°

2
π

3
135°

3
π

4
150°

5
π

6
180°
π
弧度化角度
2π rad＝360°
π rad＝180°
1 rad＝
?
?
180
?
°≈57.30°
?
?
π
?
三、扇形弧长及面积公式
设扇形的半径为
r
，弧长为
l
，α为其圆心角，则

度量单位

类别

扇形的弧长

扇形的面积

α为角度制

α为弧度制
l
＝π
r
·
?
S
＝π
r
2
?
?
α
?

?
?
180
?
l
＝
r
|α|
S
＝
r
2
|α|＝
rl

11
?
α
?

?
?
360
?
2
[自我小测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．( )
(2)终边落在
x
轴非正半轴上的角可表示为α＝
k
·360°＋π(
k
∈Z)． (
(3)1 rad的角和1°的角大小一样．( )
(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)√


2．做一做
(1)半径为2，圆心角为
π
3
的扇形的面积是( )
A.
4π
3
B．π
C.
2π
3
D.
π
3

答案 C
解析 由扇形面积公式
S
＝
1
2
r
2
·|α|可得 S
＝
1
×4×
π
＝
2π
233
，故选 C.
(2)角度与弧度互化：
①
7π
6
＝________；②－75°＝________.
答案 ①210° ②－
5π
12

课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU

1

角度制与弧度制如何换算？
提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝
π
180
rad，
2
)

1 rad＝
?
?
180
?
°≈57.30°.
?
?
π
?
2

扇形的弧长与面积的计算公式是什么？
11
2
提示：
l
＝ |α|·
r
，
S
＝
l
·
r
＝|α|·r
.
22
题型一 弧度制的概念
例1 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
11
B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
3602π
C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
[解析] 根据角度和 弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径
长短无关，而是与弧长与半径的比值有 关，所以D是假命题．选项A、B、C均为真命题．
[答案] D

“度”与“弧度”的区别和联系
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制 是以“度”为单位来度量角的
单位制．
(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或 这条弧)的大小，而1°的角是周角的
1
.
360
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．


【跟踪训练1】 下列命题中，真命题是( )
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧

B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
答案 D
解析 根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对
照各选 项，可知D为真命题．故选D.
题型二 弧度和角度的换算
例2 将下列角度与弧度进行互化．
7π11
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
125
ππ
[解] (1)20°＝20×＝.
1809
ππ
(2)－15°＝－15×＝－.
18012
77< br>?
180
?
(3)π＝π×
??
°＝105°.
1 212
?
π
?
1111
?
180
?
(4) －π＝－π×
??
°＝－396°.
55
?
π
?

角度制与弧度制互化的注意事项
(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧 度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不
必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．

【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________．
7
(2)π化成角度是________．
5
5
答案 (1)－π (2)252°
2
π5
解析 (1)－450°＝－450×＝－π.
1802
77
?
180
?
(2)π＝π×
??
°＝252°.
55
?
π
?
题型三 用弧度表示角
例3 (1)把下列角化为2
k
π＋α(0≤α<2π，
k
∈Z)的形式：

①
16π
；②－315°.
3
(2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
16π4π
[解] (1)①＝4π＋.
33
4π16π4π
∵0≤<2π，∴＝4π＋.
333
π7ππ
②－315°＝－315×＝－＝－2π＋.
18044
ππ
∵0≤<2π，∴－315°＝－2π＋.
44
ππ
(2)330°＝360°－30°＝2π－，而60°＝，
63
ππ
它所表示的区域位于－与之间且跨越
x
轴的正半轴． 63
?
?
所以
?
θ
?
?
?
2
k
π－
π
<θ<2
k
π＋
π
，
k
∈Z
?
63
?

?
?
?
.
?
?

弧度制表示角的注意事项
(1)用弧度表示区域角，实质是 角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度
与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－ π，π)或(0,2π)内的角，再加上2
k
π，
k
∈
Z.
(2)终边在同一直线上的角可以合并为{
x
|
x
＝α＋
k
π，
k
∈Z}；终边在相互垂直的两直
?
?
?
π
线上的角可以合并为
?
x
?
x
＝α＋
k
·，
k
∈Z
2
?
?
?

?
?
?
.
?
?

【跟踪训练3】 (1 )把－1480°写成α＋2
k
π(
k
∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
1480π74π
解 (1)∵－1480°＝－＝－
1809
16π
＝－10π＋，
9

16π
又0≤<2π，
9
16π16π
∴－1480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
99
16π
(2)由(1)可知α＝.∵β与α终边相同，
9
16π
∴β＝2
k
π＋，
k
∈Z.
9
2π
又∵β∈[－4π，0]，令
k
＝－1，则β＝－.
9
20π
令
k
＝－2, 则β＝－，
9
2π20π
∴β的值是－，－.
99
题型四 扇形的弧长与面积
例4 扇形
AOB
的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm，求圆心角的大小；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长
AB
.
[解] 设这个扇形的半径为
R
，弧长为
l
，圆心角为α(α>0)．
2< br>R
＋
l
＝8，
?
?
(1)由已知，得
?1
lR
＝3，
?
?
2
2

?
?
R
＝3，
解得
?
?
l
＝2.
?

?
?
R
＝1，
或
?
?
l
＝6.< br>?


l
2
由|α|＝可得：α＝或α＝6.
R
3
(2)扇形的面积
1
2
1
2
S＝
lR
＝(8－2
R
)
R
＝－(
R
－ 2)
2
＋4(0<
R
<4)，
所以，当且仅当
R
＝2时，
S
取得最大值4.
这时，
l
＝8－2
R
＝4，可求出：α＝＝2.
α
又∵0<2<π，∴|
AB
|＝2
R
·sin＝4sin1.
2
[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm，面积改为2 cm，求圆心角的大小．
2
R
＋
l
＝6
?
?
解 设扇形的半径为< br>R
，弧长为
l
，圆心角为α(α>0)，则有
?
1
l R
＝2
?
?
2
?
?
R
＝2
或?
?
l
＝2
?
2
l
R

?< br>?
R
＝1
解得
?
?
l
＝4
?


，
由|α|＝得α＝4或α＝1.

l
R

扇形周长及面积的最值
(1)当扇形周长一定时，扇形 的面积有最大值．其求法是把面积
S
转化为关于
r
的二次函
数，但要 注意
r
的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<
l
<2π
r
.
(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长
L
转化为关于
r
的函
数，但要注意
r
的取值范围．

【跟踪训练4】 已知扇形
AOB
的圆心角为120°，半径长为6，求：
︵
(1)
AB
的长；
(2)弓形
AOB
的面积．
1202
解 (1)∵120°＝π＝π，
1803
︵
2
∴
l
＝6×π ＝4π，∴
AB
的长为4π.
3
11
(2)∵
S
扇形
OAB
＝
lr
＝×4π×6＝12π，如图所示．
22

1
又
S
△
OAB
＝×
AB
×
OD
(
D
为
AB
中点)
2
1
＝×2×6cos30°×6×sin30°＝93.
2
∴< br>S
弓形
OAB
＝
S
扇形
OAB
－
S
△
OAB
＝12π－93.

[规律小结]
1.弧度制与角度制的区别与联系
(1)区别
①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
②定义不同．
(2)联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
2.角度制与弧度制换算时应注意的问题
π
(1)弧度制与角度制的互化是一种比例 关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：＝
180

弧度
，只要将已 知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可；
角度
(2)如无特别要求，不必把π写成小数；
(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度；
(4)同一个式子中角度和弧度不能混用．
[走出误区]
易错点?角度制与弧度制的应用误区
[典例] 将－1485°化成2
k
π ＋α(0≤α<2π，
k
∈Z)的形式为________．
[错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45°
＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，
所以－1485°化为2
k
π＋α形式应为－10π＋315°.
[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2
k
π”的组合形式，而忽视了对α 的要求，
忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．
[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°，
7
所以－1485°可以表示为－10π＋π.
4
17π
矫正训练 将化成
k
·360°＋α(0°≤α<360°，
k
∈Z)的形式为____ ____．
4
答案 2·360°＋45°
解析
故

随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU
1．1920°转化为弧度数为( )
16
A.
3
C.
16π

3
32
B.
3
32π
D.
3
17π
＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°，
4
17π
＝2·360°＋45°.
4
答案 D
π
解析 ∵1°＝弧度，
180
π32
∴1920°＝1920×＝π.
1803
2．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限
C．第三象限
答案 C
解析 ∵－3≈－171.9°，
B．第二象限
D．第四象限

∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．
3．[2016·南昌市高一月考] 已知扇形的半径为
R
，面积为
R
，那么这个扇形中心角的弧
度数是_ _______．
答案 2
11
2
解析 由
l
＝|α| ·
R
及
S
＝
lR
，得
S
＝|α|
R
.
22
2
S
2
R
∴|α|＝
2
＝
2
＝2.
2
2
RR
4．用弧度制表示终边落在第二象 限的角的集合为________．
?
答案
?
α
?
?< br>2
k
π＋
π
<α<2
k
π＋π，
k
∈Z
?
?
?
2
?
?


解析 若角α的终边落在第二象限，则
π
2
k
π＋<α<2
k
π＋π，
k
∈Z.
2
5．将下列各角转化成2
k
π＋α(
k
∈Z)，且0≤α <2π的形式，并指出它们是第几象限
角：
64π
(1)－1725°；(2).
3
5π
解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋，
12
5π
∴－1725°角与角的终边相同．
12
5π
又∵是第一象限角，
12
∴－1725°是第一象限角．
64π4π
(2)∵＝20π＋，
33
64π4π
∴角与角的终边相同．
33
4π
又∵是第三象限角，
3
∴
64π
是第三象限角．
3
,
课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN
时间：25分钟
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．－300°化为弧度是( )
4π
A．－
3
7π
C．－
4
5π
B．－
3
7π
D．－
6
满分：60分

答案 B
π5π
解析 ∵1°＝ rad，∴－300°＝－ rad.
1803
2.
8π
弧度化为角度是( )
5
B．280°
D．318°
A．278°
C．288°
答案 C
解析 ∵1 rad＝
?
?
180
?
°，∴
8π
＝
8π
×
?
180< br>?
°＝288°.
???
55
?
π
??
π
?
3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于
y
轴对称，则α， β的关系一定是( )
A．α＋β＝π
π
B．α－β＝
2
C．α－β＝(2
k
＋1)π(
k
∈Z)
D．α＋β＝(2
k
＋1)π(
k
∈Z)
答案 D
解析 本题考查关于
y
轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于
y< br>轴对称，则
π
画图可知α＋β＝(2
k
＋1)π(
k
∈Z)，D选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝，
4
3ππ3π
β＝或α＝－ ，β＝－，结合选项可知D正确．故选D.
444
4．[2016·兰州一中高一期末]已知 扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇
形的面积为( )
A．2
C．8
答案 B
1
l
1
l
14
解析 由
S
＝
lR
及|α|＝，得
S
＝＝·＝4.
2< br>R
2|α|22
?
?
5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合
?
α
?
?
22
B．4
D．16
?
k
π＋
π
≤α≤
k
π＋
π
，
?
42
?
)





k
∈Z

}
中的角所表示的范围(阴影部分)是(

答案 C

ππ
解析 当
k
＝2
m
，
m
∈Z时，2
m
π＋≤α≤2
m
π＋，
m
∈Z；
42
5π3π
当
k
＝2
m
＋1，
m
∈Z时，2
m
π＋≤α≤2
m
π＋，
m
∈Z， 所以选C.
42
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．角度制与弧度制间的互化：
9
(1)1095°＝__________rad；(2)－π＝__________.
4
73
答案 (1)π (2)－405°
12
π73π
解析 (1)1095°＝1095×＝.
18012
99
?
180
?
(2)－π＝－π×
??
°＝－405° .
44
?
π
?
7．若圆的半径为6 cm，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用
π表示)
答案
π3
2
cm π cm
22
ππ
解析 15°＝15×＝，
18012
l
＝|α|·
r
＝×6＝ cm，
S
＝
l
·
r
＝××6＝π cm
2
. < br>8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心
角的__ ______．
1
答案
3
解析 本题考查弧长公式的应用．设原来圆的 半径为
r
，弧长为
l
，圆心角为α，则
l
1
21π
22
3
2
π
12
π
2
l
α
r
αα
1
1
＝α
r
，设将圆的半径变为原来的3 倍后圆心角为α
1
，则α
1
＝＝＝，故＝.
3
r
3
r
3α3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2
k
π(
k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
ππ
??
－，
?
. (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈
?
?
22
?
14
解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
9
14
∴α＝－800°＝π＋(－3)×2π.
9
14π
∵角α与终边相同，
9

∴角α是第四象限角．
14π
(2)∵与角α终边相同的 角可写为2
k
π＋，
k
∈Z的形式，而γ与α终边相同，
9
14π
∴γ＝2
k
π＋，
k
∈Z.
9
π14ππ
?
ππ
?
又γ∈
?
－，
?
，∴－<2k
π＋<，
k
∈Z，
292
?
22
?
14π4π
解得
k
＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.
99
10．已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积
最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为α，半径为
R
cm，面积为
S
cm，弧长为
l
cm，则有
l
＋2
R
＝20，
∴
l
＝20－2
R
，
11
22
∴
S
＝
lR
＝(20－2
R
)
R
＝－
R
＋1 0
R
＝－(
R
－5)＋25.故当半径
R
＝5时，扇形的面 积有
22
2
l
20－2×5
2
最大值25 cm.此时扇形的圆心角为α＝＝＝2.
R
5

1.2 任意角的三角函数
?1.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数的定义
课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI
[基础自学]
一、三角函数的定义
1．单位圆中三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与 单位圆交于点
P
(
x
，
y
)，那么：
①
y
叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝
y
；
②
x
叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝
x
；
③叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(
x
≠0)．
2．任意角的三角函数的定义
直角坐标系中任意大小的角α终边上一点
P
的 坐标(
x
，
y
)，它到原点的距离是
r
(
r
>0)，
y
x
y
x
r
＝
x
2
＋
y
2
，那么任意角的三角函数的定义：

三角函数

sinα

cosα

定义

表示式

sinα＝

cosα＝

定义域
R
R
y

r
x

r
y
r
x
r

tanα

y

x
y
tanα＝

x
?
?< br>?
α
?
?
?
α≠
k
π＋
π
，
k
∈Z
?
2
?

?
?
?

?
?
二、三角函数值的符号

记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
三、诱导公式(一)
名称

诱导
公式
(一)

符号语言

sin(2
k
π＋α)＝sinα (
k
∈Z)
cos(2
k
π＋α)＝cosα (
k
∈Z)
tan(2
k
π＋α)＝tanα (
k
∈Z)

[自我小测]
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sinα，cosα，tanα中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( )
(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )
25π3
?
π
?
(3)sinπ＝sin
?
＋8π
?
＝sin＝.( )
332
?
3
?
提示：(1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)若sinα<0，且tanα<0，则角α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
答案 D
解析 若sinα<0，则α为第三或第四象限角．
若tanα<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.
(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________．
答案 0
解析 sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.
(3)tan390°的值为________．
答案
3

3
3
.
3
B．第二象限角
D．第四象限角
文字语言
终边相同的角的同名
三角函数值相等
解析 tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝

课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU

1

三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？
提示：由三角函数的定义知sinα＝，cosα ＝，tanα＝(
r
>0)，可知角的三角函数
值的符号是由角终边上任一点
P
(
x
，
y
)的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，
四余弦．
2

诱导公式一的作用是什么？
提示：公式一的作用： 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三
角函数值．
题型一 求任意角的三角函数值
例1 [2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点
P(－3，
m
)，且sinθ＝
求cosθ与tanθ 的值．
[解] 由已知有
2
m
m
＝，
2
4
3＋
m
2
m
，
4
y
r
x
r
y
x
得
m
＝0，或
m
＝±5.
(1)当
m
＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
(2)当
m
＝5时，cosθ＝－
615
，tanθ＝－；
43
615
，tanθ＝.
43
(3)当
m
＝－5时，cosθ＝－
[变式探究] 将例1中的
P
点坐标改为(3，
m
)再去求解．
解 ∵
2
m
m
＝
2
，∴
m
＝0或
m
＝±5 ，
4
m
＋3
当
m
＝0时，cosθ＝1，tanθ＝0；
当
m
＝5时，cosθ＝
615
，tanθ＝；
43
615
，tanθ＝－.
43

利用三角函数的定义求值的策略
(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异 于原点的点的横、纵坐标及其
到原点的距离．
(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
当
m
＝－5时，cosθ＝

(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．

【跟踪训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与
x
轴的非负半轴重合 ，终边在直
线
y
＝2
x
上，则2cosθ－1＝( )
4
A．－
5
3
C.
5
答案 B
解析 设
P
(
t,
2
t
)(
t
≠ 0)为角θ终边上任意一点，则
cosθ＝.
5|
t
|
55
；当
t
<0时，cosθ＝－.
55
3
B．－
5
4
D.
5
2
t
当
t
>0时，cosθ＝
23
2
∴2cosθ－1＝－1 ＝－.
55
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)α是第四象限角，判断sinα·tanα的符号；
sinα|cosα|
(2)若＋＝0，试判断α所在象限．
|sinα|cosα
[解] (1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.
(2)由条件知，sinα与cosα异号．
∴α是第二象限角或第四象限角．
[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sinα·tanα的符号如何？
解 ∵α是第三象限角，
∴sinα<0，tanα>0，∴sinα·tanα<0.

熟记各象限函数值的符号
准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限 的符号并牢记记忆
口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．

【跟踪训练2】 (1)若sinα＝－2cosα，判断sinα·tanα的符号；
?
23π
?
. (2)判断符号：sin3·cos4·tan
?< br>－
4
?
??
解 (1)∵sinα＝－2cosα，∴sinα与cosα异号．
∴α是第二或第四象限角．
当α是第二象限角时，tanα<0，sinα>0，∴sinα·tanα<0.
当α是第四象限角时，tanα<0，sinα<0，∴sinα·tanα>0.

π3π
(2)∵<3<π，π<4<，∴sin3>0，cos4<0.
22
23ππ
?
23π
?
>0. ∵－＝－6π＋，∴ta n
?
－
?
4
?
44
?
?
23?
∴sin3·cos4·tan
?
－π
?
<0.
?
4
?
题型三 诱导公式(一)的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；
?
11π
?
＋cos
12π
·tan4π. (2)sin
?
－
?
6
?
5
?
[解] ( 1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋< br>60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝< br>＝
1＋6
.
4
π
?
2π
?
π2π 1
??
(2)原式＝sin
?
－2π＋
?
＋cos
?
2π＋
?
·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
6
?
5
?
652
??

利用诱导公式化简
(1)将已知角化为
k
·360°＋α(
k
为整数，0°≤α<36 0°)或2
k
π＋β(
k
为整数，
0≤β<2π)的形式．
(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．
(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．

【跟踪训练3】 求值：
25π
?
15
?
(1)cos＋ tan
?
－π
?
；
3
?
4
?
( 2)sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.
π
?
π
?
解 (1)原式＝cos(8π＋)＋tan
?
－4π＋
?

4
?
3
?
ππ13
＝cos＋tan＝＋1＝.
3422
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan( 3×360°＋45°)＋
cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋ cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.


[规律小结]
1.对三角函数定义的理解
(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从 一个角的集合(弧度制)到
231161
×＋×＝＋
222244

一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三
角函数的 自变量是角α，比值是角α的函数．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比 值有意义的角的范围．如
在求正切时，若点
P
的横坐标
x
等于0，则 tanα无意义．
(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点
P
(
x
，
y
)在终边上的位置无关，
只由角α的终边位置确定．即三角函 数值的大小只与角有关．
2.三角函数值在各象限内的符号
(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的．
(2) 对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，
四余弦”，该口诀表 示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，
第四象限余弦是正值．
3.诱导公式一的理解及其应用
(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋
k
·2π ，右边
的角为α.
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0° ～360°)范围内角
的三角函数值．
[走出误区]
易错点?求三角函数定义域的误区
[典例] 求满足
y
＝sin
x
·tan
x
的
x
的取值范围．
[错解档案] 由题意知，只需要sin
x
·tan
x
≥0.
?
?
sin
x
≥0
即
?
?
tan
x
≥0?

?
?
sin
x
≤0
①或
?
?
tan
x
≤0
?

②
对①可知
x< br>为第一象限角或终边在
x
轴或
y
轴上的角．
对②可知
x
为第四象限角或终边在
x
轴或
y
轴上的角．
因此x
?
?
?
π
的取值范围为
?
x
?2
k
π－
2
?
?
?
?
?


≤
x
<2
k
π或2
k
π<
x< br>≤2
k
π＋
π
或
x
＝
2

k
π
2
，
k
∈Z
?
.
[误区警示] 求
y
＝sin
x
·tan
x
的x
取值范围时没有考虑tan
x
的条件，致使思考问题
不周全而出错．
sin
x
·tan
x
≥0，
?
?
[规范解 答] 所求
x
应满足
?
π
x
≠
k
π＋k
∈Z，
?
2
?

sin< br>x
≥0，
?
?
tan
x
≥0，
即
?
π
x
≠
k
π＋
?
?
2
k
∈Z，

sin
x
≤0，
?
?
tan
x< br>≤0，
或
?
π
x
≠
k
π＋
?
?
2
k
∈Z


根据
x
所在象限情况可判断
x
的取值范围是
??
ππ
?
x
2
k
π－<
x
<2
k
π 或2
k
π<
x
<2
k
π＋或
x
＝
k
π，
k
∈Z
?
.
22
??
矫正训练 求
y
＝
解 ∵cos
x
≥0
cos
x
的
x
的取值范围．
sin
x
∴
x
为第一、四象限角或
x
轴非负半轴上的角或
y
轴上
又∵sin
x
≠0
∴
x
不能在
x
轴上
∴
x
为第一或第四象限角或
y
轴上．
?
?
?
π
x
的取值范围是
?
x
?
－
?
?
2
?


＋2
k
π≤
x
<2
k
π或2
k
π<
x
≤2
k
π＋

?
π
，
k
∈Z
?

2
?

随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU
1．已知角α终边经过
P
?
1
A.
2
C.
3

3
?
31
?
，
?
，则cosα等于( )
?
22
?
B.
3

2
1
D．±
2
答案 B
解析
r
＝1，cosα＝＝
x
r
3
.
2
B．第二、三象限角
D．第一、四象限角
2．[2016·安徽中学高一段考]已知cosθ·tanθ>0，那么角θ是( )
A．第一、二象限角
C．第三、四象限角
答案 A
?
?
cosθ>0，
解析 由cosθ·tanθ>0，得
?
?
tanθ>0，
?

?
?
cosθ<0，
或
?
?
tanθ<0.
?


所以θ是第一、二象限角．
3．在△
ABC
中，若sin< br>A
cos
B
tan
C
<0，则△
ABC
是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
答案 C
解析 因为si n
A
>0，所以cos
B
，tan
C
中一定有一个小于0， 即
B
，
C
中有一个钝角．
4．填空：(填“>”“<”或“＝”)
44
(1)sinπ__________0; (2)cosπ__________0；
33
4
(3)tanπ__________0; (4)sin360°__________0.
3
答案 (1)< (2)< (3)> (4)＝
5．[2016·长春外国语学校期中]已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点B．直角三角形
D．锐角或钝角三角形
P
?
a
，
?
，求出
a
，sinα，cosα，tanα的值．
5
?
?
3
?
?
解 由角α的终边与单位圆相交，得
4
所以
a
＝－.
5
343
∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
554
a
2
＋
??
2
＝1，即
a
＝±，又角α在第二象限，
5
?
3
?
??
4
5
课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN
时间：25分钟 满分：60分

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2016·南昌市高一月考]sin420°＝( )
A．－
3

2
1
B．－
2
D.
3

2
1
C.
2
答案 D
解析 sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝
3
.
2
3 π
??
3π
2．[2016·山东烟台二中检测]已知点
P
?
sin，cos
?
落在角θ的终边上，且θ∈
44
??
[0,2π )，则θ的值为( )
π
A.
4
C.
5π

4
3π
B.
4
7π
D.
4
答案 D
解析 本题主要考查三角函数的定义．由任意角的三角函数的定义，得tanθ＝＝
3π2cos－
42
3π3π7π
＝＝－1.∵sin>0，cos<0，∴点
P
在第四象限，∴θ＝.故选D.
3π444
2
sin
4
2
3．sin4·tan7的值( )
A．大于0
C．等于0
答案 B
解析 ∵4弧度角的终边 在第三象限，∴sin4<0,7弧度角的终边在第一象限，∴tan7>0，
∴sin4·tan7< 0，故选B.
4．点
P
(tan2014°，cos2014°)位于( )
A．第一象限
C．第三象限
答案 D
解析 2014°＝6×360°－146°，
∴tan2014°＝tan(－146°)>0，cos2014°＝cos(－146°)<0，
∴
P
在第四象限．
5．[2016·威远县高一检测]已知tan
x
>0，且sin
x
＋cos
x
>0，那么角
x
是 ( )
A．第一象限角
C．第三象限角
答案 A
B．第二象限角
D．第四象限角
B．第二象限
D．第四象限
B．小于0
D．不大于0
y
x

解析 ∵tan< br>x
>0，∴
x
在第一或第三象限．若
x
在第一象限，则sin
x
>0，cos
x
>0.
∴sin
x
＋cos
x
>0.
若
x
在第 三象限，则sin
x
<0，cos
x
<0，与sin
x
＋c os
x
>0矛盾．故
x
只能在第一象限．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________.
答案 0
解析 原式＝5＋2＋3－10＝0.
7．[2016·安徽师大附中月 考]已知角α终边上一个点的坐标为(5
a
，－12
a
)(
a
>0)，则
sinα＋2cosα的值为________．
2
答案 －
13
解析 本题主要考查三角函数的定义．点(5
a
，－12
a)到原点的距离为13
a
，∴sinα＝
－12
a
125
a
52
＝－，cosα＝＝，∴sinα＋2cosα＝－.
13
a1313
a
1313
|cos
x
|tan
x
8 ．函数
y
＝＋的值域是__________．
cos
x
|tan
x
|
答案 {－2,0,2}
|cos
x
|tan
x
解析 要使函数
y
＝＋有意义，
cos
x
|tan
x
|
π
x
≠
k
π＋
?
2
?
需
?
cos
x
≠0
?
?
tan
x
≠0
k
∈Z

，即角
x
的终边不在坐标轴上．
当
x
为第一象限角时，
y
＝1＋1＝2；
当
x
为第二象限角时，
y
＝－1－1＝－2；
当
x
为第三象限角时，
y
＝－1＋1＝0；
当
x
为第四象限角时，
y
＝1－1＝0.
|cos
x
|tan
x
∴函数
y
＝＋的值域为{－2，0,2}．
cos
x
|tan
x
|
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边在直线3
x
－
y
＝0上，求sinα，cosα ，tanα的值．
解 解法一：设α的终边与单位圆的交点为
P
(
x
，
y
)， < br>则
?
?
3
x
－
y
＝0，
?
x
2
＋
y
2
＝1，

1
x
＝，< br>?
?
2
∴
?
3
y
＝，
?
?
2

1
x
＝－，
?
?
2
或
?
3
y
＝－.
?
?
2


3< br>??
1
当
P
点坐标为
?
，
?
，即α 的终边在第一象限时，
?
22
?

sinα＝
31< br>，cosα＝，tanα＝3；
22
3
??
1
当
P
点坐标为
?
－，－
?
，即α的终边在第三象限时，
2??
2
sinα＝－
31
，cosα＝－，tanα＝3.
2 2
解法二：直线3
x
－
y
＝0，即
y
＝3
x
，
当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点(1，3)，
则sinα＝
31
，cosα＝，tanα＝3；
22
当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点(－1，－3)，
则sinα＝－
31
，cosα＝－，tanα＝3.
22
11
10．已知＝－，且lg (cosα)有意义．
|sinα|sinα
(1)试判断角α所在的象限；
?
3
?(2)若角α的终边上一点是
M
?
，
m
?
，且|
OM
|＝1(
O
为坐标原点)，求
m
的值及sinα的
?
5
?
值．
11
解 (1)由＝－，可知sinα<0,
|sinα|sinα
由lg (cosα)有意义可知cosα>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|
OM
|＝1，
4
?
3
?
22
∴
??
＋
m
＝1，解得
m
＝±.
5
?
5
?
4
又α是第四象限角，故m
<0，从而
m
＝－.
5
由正弦函数的定义可知
4
－
5
ym
4
sinα＝＝＝＝－.
r
|
OM
|15
第2课时 单位圆与三角函数线
课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI
[基础自学]
一、有向线段
1．定义：带有方向的线段．
2．表示：用大写字母表示起点、终点，如有向线段
OM
，
MP
.
二、三角函数线

图示


续表
正弦线

余弦线

正切线

如上图，α终边与单位 圆交于
P
，过
P
作
PM
垂直
x
轴，有向线 段
MP
即为正弦线
如上图，有向线段
OM
即为余弦线
如 上图，过(1,0)作
x
轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于
T
， 有向
线段
AT
即为正切线
特别地，当角α的终边落在
x
轴 上时，
M
与
P
重合，
A
与
T
重合，这时正 弦线和正切线
都变成一个点；当角α的终边落在
y
轴上时，
M
与O
重合，这时余弦线变成一个点，过点
A
的切线与角α的终边所在直线不会相交， 这时，正切线不存在．
[自我小测]
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)若角α的正弦线的长度为1，则sinα＝1.( )
(4)若角α的余弦线的长度为0，则此时角α的终边在
x
轴上．( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．做一做
(1)已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．
x
轴上
C．直线
y
＝
x
上
答案 B
解析 由正弦线的定义及角α的正弦线是单位长度的有向线段，知角α的终边在
y
轴
上．
π8π
(2)角和角有相同的( )
77
A．正弦线
C．正切线
答案 C
B．余弦线
D．不能确定
B．
y
轴上
D．直线
y
＝－
x
上

解析 由正切线的定义可知
π8
与π有相同的正切线．
77
ππ
(3)如果<α<，那么sinα，tanα，cosα按从小到大的顺序排列为____ ____．
42

答案 cosα解析 如图所示 ，在单位圆中分别作出α的正弦线
MP
、余弦线
OM
、正切线
AT< br>，很容易
地观察出
OM
<
MP
<
AT
，即c osα
课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU

1

作三角函数应当注意哪些问题？
提示：(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．
(2)方向：正弦 线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切
线由切点指向切线与α的终边(或 其延长线)的交点．
(3)正负：三条有向线段中与
x
轴或
y
轴同 向的为正值，与
x
轴或
y
轴反向的为负值．
(4)书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
2

如何利用三角函数线解正、余弦型不等式？
提示：对于sin
x
≥
b
，cos
x
≥
a
(sin
x
≤
b
，cos
x
≤
a
)，求解关键是恰当地寻求点，只需作
直线
y
＝
b
或
x
＝
a
与单位圆相交，连接原点与交点 即得角的终边所在的位置，此时再根据方
向即可确定相应的范围．
题型一 作三角函数线

3π
例1 作出的正弦线、余弦线和正切线．
4

3
[解] 在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以
Ox
轴为始边作π角，角的终边与单位
4
圆交于点
P
，作
PM
⊥
Ox
轴，垂足为
M
，由单位圆与
Ox
轴正方向的交点A
作
Ox
轴的垂线与
OP
3333
的反向延长线交于< br>T
点，则sinπ＝
MP
，cosπ＝
OM
，tanπ＝AT
，即π的正弦线为
MP
，
4444
余弦线为
OM< br>，正切线为
AT
.
3π5
[变式探究] 将例1中的变为π，作出三个三角函数线．
44
555
解 sinπ＝
MP
，cosπ＝
OM
，tanπ＝
AT
.
444

三角函数线的画法
(1)作正弦线、余 弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
x
轴的垂
线，得到垂足， 从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从
A
(1,0)点引
x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)
或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角) 于点
T
，即可得到正切线
AT
.

1
【跟踪训练1】 在单位圆中画出满足cosα＝的角的终边．
2
1
解 如下图作直线
x
＝交单位圆于
M
、
N
，则
OM
、
ON
为角α的终边．
2

题型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
2π4π2π4π2π4π
(1)sin与sin；(2)tan与tan；(3)cos与cos.
353535
2π4π
[解] 如图，画出角与的正弦线、余弦线、正切线，由图形观察可得：
35

|
M
1
P
1
|>|
M
2
P
2< br>|，|
AT
1
|>|
AT
2
|，|
OM1
|<|
OM
2
|，结合有向线段的方向，我们可得
M
1
P
1
>
M
2
P
2
，
AT1
<
AT
2
，
OM
1
>
OM
2
，
2π4π2π
又∵sin＝
M
1
P
1
，sin＝
M
2
P
2
，tan＝
AT
1
，
353
4π2π4π
tan＝
AT
2
，cos＝
OM
1
，cos＝
OM
2
，
535
2π4π2π4π
∴(1)sin>sin；(2)tan3535
2π4π
(3)cos>cos.
35

三角函数线比较大小的注意点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线 的方向可以看出三角函数值
的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．

【跟踪训练2】 比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．
解 sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，
sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°，
在单位圆中，分别作出75°和146°的正弦线
M
1
P
1
，< br>M
2
P
2
(如右图)．

∵
M
1
P
1
>
M
2
P
2
，
∴sin1155°>sin(－1654°)．
题型三 利用三角函数线解不等式
例3 求下列函数的定义域：
(1)
y
＝2cos
x
－1；
(2)
y
＝lg (3－4sin
x
)．
2

[解] (1)要使函数有意义，
1
须使2cos
x
－1≥0，∴cos
x
≥.
2
如右图，
ππ
??
∴
x
∈
?
2
k
π－，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)．
33
??
(2)要使函数有意义，
3
22
须使3－4sin
x
>0，∴sin
x
<.
4
∴－
33
x
<.
22

如图，
ππ
??
2π4π
??
∴
x
∈< br>?
2
k
π－，2
k
π＋
?
∪
?2
k
π＋，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)．
33
??
33
??
ππ
??
即
x
∈
?
k
π－，
k
π＋
?
(
k
∈Z )．
33
??
[变式探究] 将例3(1)改为
y
＝1－2cos
x
，求其定义域．
1
解 ∵1－2cos
x
≥0，∴cos
x
≤，如图：
2

π5
??
∴
x
∈
?< br>2
k
π＋，2
k
π＋π
?
(
k
∈Z )．
33
??

数形结合思想求三角函数值的范围
解答此类题目 的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用
运动的观点，找出符合条件的角 的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题
几何化，体现了数形结合的思想．

【跟踪训练3】 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合．
1
(1)tanα＝－1；(2)sinα<－.
2
解 (1)如图①所示 ，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点
P
和
P
′，则
OP< br>和
OP
′
就是角α的终边．
3ππ
∴∠
xOP
＝π＝π－，∠
xOP
′＝－.
444

?
?
?
π
∴满足条件的所有角α的集合是
?
α
?
α＝－＋
k
π，
k
∈Z
?
4
?
?
?

.
1
??
(2)如 图②所示，过点
?
0，－
?
作
x
轴的平行线，交单位圆于点
P
和
P
′，则sin∠
xOP
2
??
1< br>＝sin∠
xOP
′＝－.
2
117π
∴∠
xOP
＝π，∠
xOP
′＝.
66
∴满足条件的所有角α的集合是
?
?
α
?
?
7π
＋2
k
π<α<
11π
＋2
k
π，< br>k
∈Z
?
?
?
66
?
?

.

[规律小结]
1.三角函数线的意义
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂 足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切
线由切点指向切线与α的终边(或其延长 线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与
x
轴或
y
轴同向的为 正值，与
x
轴或
y
轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
2.三角函数线的画法
定 义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的
画法即先找到
P
、
M
、
T
点，再画出
MP
、
OM、
AT
.
3.三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等 式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是
以后学习三角函数的图象与性质的基础．
[走出误区]
易错点?解三角不等式的误区

[典例] 设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则角α的取值范围是( )
?
ππ
?
A.
?
，
?
< br>?
32
?
?
π4π
?
C.
?
，?

3
??
3
B.
?
D.
??
π
，π
?

?
?
3
?
?
π
，
2π
?

?
3
??
3
sinα
[错解档案] 因为sinα>3co sα，所以>3，即tanα>3.在单位圆中画出满足
cosα
tanα>3的三角函数线， 可知选A.
[误区警示] 对不等式变形时，要注意应是同解变形，而由sinα>3cosα
sinα
>3不是同解变形．
cosα
[规范解答] 因为sinα>3cosα ，且0≤α<2π.所以当cosα>0时，可得tanα>3，
在单位圆中画出满足tanα>3的三 角函数线，可知此时
角α的范围；
ππ
<α<，图中的浅色阴影区域为
32
得到

当cosα<0，可得tanα<3，此时借助单位圆中的三角函数线，
π4π
可知 此时<α<，图中的深色阴影区域为角α的范围；当cosα＝0时，sinα＝±1，
23
π π4π
只有sinα＝1满足条件sinα>3cosα，此时α＝.综上可得，<α<，故选C.
233
矫正训练 已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )
A.若α，β是第一象限角，则cosα>cosβ
B.若α，β是第二象限角，则tanα>tanβ
C.若α，β是第三象限角，则cosα>cosβ
D.若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ
答案 D
解析 作三角函数线可知，选D.


随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU
1. 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A．正弦线
PM
，正切线
A
′
T
′
B．正弦线
MP
，正切线
A
′
T
′
C．正弦线
MP
，正切线
AT

D．正弦线
PM
，正切线
AT

答案 C
解析 正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；正切线由切点指向切线与α的终
边(或其延长线)的交点．

2．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不止一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
答案 D
解析 本题主要考查三角函数线的概念．由三角函数线的概念及三角函数的定义可知D
正确．故选D.
π5ππ4π
3．[2016·深圳高一检测]有三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相6633
π5π
等；③与的余弦线相等．其中真命题为________．
44
答案 ①②
π5ππ4ππ5π
解析 根据三角函数线定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与
663344
的余弦线相反．
4．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________．
答案 [2
k
π，2
k
π＋π](
k
∈Z)
解析 由s inθ≥0知θ角的终边落在
x
轴及
x
轴上方，故θ的取值范围是[2
k
π，2
k
π
＋π](
k
∈Z)．
5．[2015·广东中学高一期中]若集合
M
＝
?
?
?
θ
?
?
?
sinθ≥
1
?
2
?< br>
??
??
，0≤θ≤π
?
，
N
＝
?
θ
??
??
?
cosθ≤
1
?
2
?

?
?
，0≤θ≤π
?
，求
M
∩N
.
?
?
1
解 由sinθ≥，0≤θ≤π及三角函数线(如图)
2
π5
得≤θ≤π，
6 6
?
?
即
M
＝
?
θ
?
?
?
π
≤θ≤
5
π
?
66
?

?
?
?
.
?
?

1
由cosθ≤，0≤θ≤π及三角函数线(如图)
2
?
π
?
π
??
.
θ≤θ≤π
得≤θ≤π，即
N
＝
3
?
3
?

所以
M
∩
N
＝
?
θ
π5
?
≤θ≤π< br>?
.
6
??
3
?

课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN
时间：25分钟
一、选择题(每小题5分，共25分)
π
1．如果
OM
，
MP
分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )
5
A．
MP
<
OM
<0
C．
MP
>
OM
>0
答案 D
ππππ
解析 由于0<<，所以cos>sin>0，即
OM
>
MP
>0.
54 55
2．[2016·广州高一检测]角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那
么α的值为( )
π3
A.或π
44
π5π
C.或
44
答案 C
解析 α的终边应在第一、三象限的角平分线上．
3．函数
y
＝sin
x
＋－cos
x
的定义域是( )
A．(2
k
π，(2
k
＋1)π)，
k
∈Z
π
?
B.
?
2
k
π＋，
2
?π
?
C.
?
k
π＋，
2
?
答案 B
解析 由sin
x
≥0，－cos
x
≥0，得
x
为 第二象限角或
y
轴正半轴上的角或
x
轴负半轴上
的角，
π
∴2
k
π＋≤
x
≤2
k
π＋π，
k
∈Z.
2
4．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是( )
A．sinα＋cosα>1
C．sinα＋cosα<1
B．sinα＋cosα＝1
D．不能确定
π
?
?
，
k
∈Z
5π7π
B.或
44
π7π
D.或
44
B．
MP
<0<
OM

D．
OM
>
MP
>0
满分：60分
k＋
k
＋
?
π
?
?
，
k
∈Z
?
D．[2
k
π，(2
k
＋1)π]，
k
∈Z

答案 A
解析 如图所示可知，sinα＝
MP< br>，cosα＝
OM
，在Rt△
PMO
中，
OM
＋MP
>
OP
＝1，即sinα
＋cosα>1.
ππ
5．若 <α<，则下列不等式正确的是( )
42
A．sinα>cosα>tanα
C．sinα>tanα>cosα
答案 D
解析 如图所示，可知
AT
>
MP
>
O M
，即tanα>sinα>cosα.
B．cosα>tanα>sinα
D．tanα>sinα>cosα

二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
答案 1
解析 若角α的余弦线长度为0，则终边与
y
轴重合，此时正弦线的长度为1. 1
7．[2015·黑龙江哈师大月考]在[－π，π]上，满足sin
x
≤的< br>x
的取值范围是________．
2
π
??
5
??
答案
?
－π，
?
∪
?
π，π
?

6
??
6
??

π
?
π5π11
?
解析 如图所示，由于sin＝sin＝，所以满 足sin
x
≤的
x
的解为
?
－π，
?
∪< br>6
?
6622
?
?
5
π，π
?
.
?
6
?
??
8．若0≤sinθ<
3
，则θ的取值 范围是________．
2
π
??
2π
??
答案 ?
2
k
π，2
k
π＋
?
∪
?
2
k
π＋，2
k
π＋π
?
(
k
∈Z)
3
??
3
??
解析 sin
π2π3π
＝sin＝ ，结合单位圆中的三角函数线可知，2
k
π≤θ<2
k
π＋或
332 3
2π
2
k
π＋<θ≤2
k
π＋π，
k
∈ Z.
3
π
??
2π
??
即θ∈
?
2k
π，2
k
π＋
?
∪
?
2
k
π＋，2
k
π＋π
?
(
k
∈Z)．
3
??
3
??
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：
(1)sinθ≥
313
；(2)－≤cosθ<.
222
π
解 (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的取值范围，即2
k
π＋≤θ≤2
k
π＋
3
2π
，(
k
∈Z) ．
3
π2π
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的取值范围，即2
k
π＋<θ≤2
k
π＋或
63
2ππ
2
k
π －≤θ<2
k
π－(
k
∈Z)．
36

< br>?
π
?
10．用三角函数线证明：若α∈
?
0，
?< br>，则sinα<α2
??

证明 如图，设角α的终边 与单位圆相交于点
P
，单位圆与
x
轴正半轴交点为
A
，过点
A
作圆的切线交
OP
的延长线于
T
，过
P
作
PM
⊥
OA
于
M
，连接
AP
，则：
在Rt△
POM
中，sinα＝
MP
；
在Rt△
AOT
中，tanα＝
AT
；
︵
又根据弧度制的定义，有
AP
＝α·
OP
＝α，
易知
S
△
POA
<
S
扇形
POA
<S
△
AOT
，
︵
111
即
OA
·< br>MP
<
AP
·
OA
<
OA
·
AT< br>，
222
即sinα<α
?1.2.2 同角三角函数的基本关系
课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI
[基础自学]
1．同角三角函数的基本关系式
sinα
22
平方关系：sinα＋cosα＝1，商数关系：tanα＝.
cosα

2．同角三角函数的基本关系式还有几个常见的等价变形
如：sinα＝1－cosα，sinα＝±1－cosα，cosα＝1－sinα，cosα＝±1－sinα，sinα＝cosα·tanα，cosα＝
使用．
3．约定：教材中 给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下
的恒等式．
[自我小测]
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立，则sinα＋cosβ＝1也成立．( )
(2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．( )
(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sinα＋cosα＝1也成立．( )
(4)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
1
(1)已知cosα＝，且角α在第四象限，则sinα＝_______.
2
答案 －
3

2
22
22
2
2 2222
sinα
，它们在三角函数求值、化简中经常
tanα
1
解 析 由于cosα＝，且角α在第四象限，
2
所以sinα＝－
(2)化简
3
?
1
?
2
1－
??
＝－.
2
?
2
?
2
1－sin
π
的结果是________ ．
5
π
答案 cos
5

πππ
解析 因为0<<，所以cos>0.
525
所以 1－sin
2
π
＝
5
cos
2
ππ
＝cos.
55
sinα－2cosα
(3)已知＝－5，则tanα＝________.
3sinα＋5cosα
23
答案 －
16
sinα－2cosαtanα－2
解析 由＝－5得＝－5，
3sinα＋5cosα3tanα＋5
23
解得tanα＝－.
16

课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU

1

sinα
22
对于平方关系sinα＋cosα＝1 可作哪些变形？对于商数关系＝tanα可作哪些
cosα
变形？
提示：sinα＝ 1－cosα，cosα＝1－sinα，(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα，
sin α
2
(sinα＋cosα)＝1＋2sinαcosα，sinα＝cosα·tanα，c osα＝.
tanα
2

sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ及sinθcosθ之间的关系是怎样的？
提示：①(sinθ＋cosθ)＝1＋2sinθcosθ；
②(sinθ－cosθ)＝1－2sinθcosθ；
③(sinθ＋cosθ)＋(sinθ－cosθ)＝2；
④(sinθ－cosθ)＝(sinθ＋cosθ)－4sinθcosθ.
上述三角恒等 式告诉我们已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，
则另两个 式子的值均可求出．
题型一 三角函数求值
4
例1 (1)若sinα＝－，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；
5
2sinα－2cosα
(2)已知tanα＝2，求的值．
4sinα－9cosα
4
[解] (1)∵sinα＝－，α是第三象限角， 5
∴cosα＝－1－sinα＝－
2
22
22
2
2< br>22222
3
?
4
?
2
1－
?
－< br>?
＝－，
5
?
5
?
sinα4
?
5
?
4
tanα＝＝－×
?
－
?
＝.
cosα5
?
3
?
3
(2)∵tanα＝2，
∴
2sinα－2cosα2tanα－22×2－2
＝＝＝－2.
4sinα－9cosα4tanα－94×2－9
[变式探究] 将例1(1)中角α改为第四象限角再求cosα，tanα值．
4
2
解 ∵sin α＝－且α是第四象限角，∴cosα＝1－sinα＝
5
sinα4
tanα＝＝－ .
cosα3

三角函数求值中应注意的几点
?
4
?< br>2
3
1－
?
－
?
＝，∴
?
5
?
5

(1)根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值(可简 称“知一求二”)
时，是两个公式最基本的应用．要注意这个角所在的象限，一般涉及开方运算时，注意 符号
的选取．
(2)在已知tanα＝
m
的条件下，求关于sinα，co sα的齐次式的整体代入的问题，解题
需注意以下两点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式的三 角函数式；②cosα≠0，这样分
子，分母才能同除以cosα(
n
∈N)，将被求 式化为关于tanα的表达式，然后将tanα＝
m
代入，从而使问题获解．

【跟踪训练1】 (1)本例中的第(1)题把“α是第三象限角”去掉，求cosα，tanα； < br>(2)本例中的第(2)小题在条件不变的情况下，求函数式4sinα－3sinαcosα－5cos α
的值．
4
解 (1)∵sinα＝－<0，
5
∴α是第三或第四象限角．
34
当α是第三象限角时，cosα＝－，tanα＝.
53
34
当α是第四象限角时，cosα＝，tanα＝－.
53
(2)4sinα－3sinαcosα－5cosα
4sinα－3sinαcosα－5cosα
＝
22
sinα＋cosα
4tanα－3tanα－54×4－3×2－5
＝＝＝1.
2
tanα＋14＋1
题型二 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用
1
例2 已知在△
ABC
中，sin
A
＋cos
A
＝.
5
(1)求sin
A
·cos
A
；
(2)判断△
ABC
是锐角还是钝角三角形．
1
[解] (1)∵sin
A
＋cos
A
＝，
5
1
∴两边平方得1＋2sin
A
·cos
A
＝.
25
12
∴sin
A
·cos
A
＝－.
25
12
(2)由(1)sin
A
·cos
A
＝－<0，且 0<
A
<π.
25
可知cos
A
<0，∴
A
为钝角．
∴△
ABC
是钝角三角形．

三角函数求值中常见的变形公式 < br>(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求 其
2
22
22
22
n
*

他两个，即 “知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)＝1＋2sinαcosα；(sinα－
co sα)＝1－2sinαcosα.
(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．

π1
【跟踪训练2】 已知－<
x
<0，sin
x
＋cos
x
＝， 求sin
x
－cos
x
的值．
25
1124
22
解 由sin
x
＋cos
x＝，平方得sin
x
＋2sin
x
cos
x
＋cos< br>x
＝，即2sin
x
cos
x
＝－.
52525< br>49
2
∴(sin
x
－cos
x
)＝1－2sin< br>x
cos
x
＝.
25
π
又∵－<
x
<0，∴sin
x
<0，cos
x
>0.
2
7
∴sin
x
－cos
x
<0.∴sin
x
－cos
x
＝－.
5
题型三 三角函数式的化简与证明
1－2sin130°cos130°
例3 (1)化简：.
2
sin13 0°＋1－sin130°
cosαsinαα－sinα
(2)求证：－＝.
1＋sinα1＋cosα1＋sinα＋cosα
[解] (1)原式＝
＝
sin130°－2sin130°cos130°＋cos130°
sin130°＋cos130°
2
22
2
2

|sin130°－cos130°|sin130°－cos130°
＝＝1.
s in130°＋|cos130°|sin130°－cos130°
＋cosα－sinα＋sinα
＋sinα＋cosα

cosα
(2)证明：左边＝
22
cosα－sinα＋cosα－sinα
＝
1＋sinα＋cosα＋sinαcosα< br>＝
α－sinα
1
2
α＋sinα
2
α＋sinα＋
1
＋sinα＋cosα＋
2

＝
＝
α－sinα α＋sinα＋
2
α＋cosα＋
α－sinα
＝右边．
1＋sinα＋cosα

∴原式成立．
1＋2sin130°cos130°
[变式探究] 将例3(1)改为化简 .
2
sin130°－1－sin130°
解 原式＝
＋cosin130°＋cos130°
＝＝1.
sin130°－|cos130°|sin130°＋cos130°

三角函数式的化简与证明的常用方法与技巧
2

在化简或恒等式证明时 ，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少
三角函数的个数(化切为弦、化弦为切 等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想
等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便 于应用同角三角函数关系来求解．

【跟踪训练3】 化简下列各式：
2cosα－1
(1)；
2
1－2sinα
(2) －tanθ< br>22
2
2
1
?
θ＋
?
1＋
?
tanθ
2
?
·sin
2
θ.
?
?
2
2cosα－12cosα－α＋cosα
解 (1)＝ < br>2222
1－2sinαα＋cosα－2sinα
cosα－sinα
＝＝1 .
22
cosα－sinα
(2)原式＝
2
22
cosθ －sinθsinθ＋cosθ
22
·cosθ＋·sinθ
cosθsinθ
2
＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＋sinθcosθ
＝cosθ＋sinθ＝1.

[规律小结]
1.对同角三角函数基本关系式的理解
同角的两层含义：一是“角相同”，如sinα＋co sβ＝1就不一定成立；二是对任意一
个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达 式形式无关，如sin15°＋
cos15°＝1，sin
2
2
22
22
π
2
π
＋cos＝1等．
1919
2.利用平方关系的注意事项
2
利用平方关系进行开方运算时，要 注意结果的符号，其正负号由角α所在象限决定，必
要的时候，要进行分类讨论．另外，sinα是(s inα)的简写，读作“sinα的平方”，不
能将sinα写成sinα.
[走出误区]
易错点?同角三角函数的平方关系的应用误区

45sin
A
＋8
[典例] 若sin
A
＝，且
A
是三角形的一个内角，求的值．
515cos
A
－7
4
2
[错解档案] 因为sin
A
＝，所以cos
A
＝1－sin
A
＝
5
4
5×＋8
5
35sin
A
＋8
，所以＝＝6 .
515cos
A
－73
15×－7
5
22
22

4
[误区警示] 由sin
A
＝说明
A
是锐 角或钝角，那么cos
A
就有正、负之分，常见解法中
5
忽视开方的符号而出 现疏漏，上面解法就犯了此种错误．
4
[规范解答] ∵sin
A
＝>0，∴
A
为锐角或钝角．
5
3
2
当
A
为锐角时，cos
A
＝1－sin
A
＝，∴原 式＝6.
5
3
2
当
A
为钝角时，cos
A
＝－1－sin
A
＝－，
5
4
5×＋8
5
3
∴原式＝＝－.
4
?
3
?
15×
?
－
?
－7
?
5?
12
矫正训练 若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
13
5
答案 －
13
解析 因为sinθ<0，tanθ>0，
所以θ是第三象限角，
所以cosθ＝－1－sinθ＝－
2
1445
1－＝－.
16913

随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU
4
1．已知sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值为( )
5
4
A．－
3
3
C．－
4
答案 A
4
解析 由sinα＝，且α是第二象限角，
5
3sinα4
2
得cosα＝－1－sinα＝－.所以tanα＝＝－.
5cosα3
2．已知sinα＝
1
A．－
5
1
C.
5
答案 B
解析 sinα－cosα＝(sinα＋cosα)(sinα－cosα)
442222
3
B.
4
4
D．±
3
5
44
，则sinα－cosα的值为( )
5
3
B．－
5
3
D.
5

3
222
＝sinα－cosα＝2sinα－1＝－.
5
5
3．[2016·浙江嘉兴一中期中]已知角α的终边在第四象限，tanα＝－ ，则sinα＝
12
________.
5
答案 －
13
sinα5
解析 由tanα＝＝－
cosα12
sinα5
?
?
＝－
12
得
?
cosα
?
?
sin
2
α＋cos
2
α＝1

5
?sinα＝±
.
13
5
又α是第四象限角，∴sinα<0，即sinα＝－.
13
cos
x
＋sin
x
4．[2016·天津四校联考]已知tan
x
＝2，则＝________.
cos
x
－sin
x
答案 －3
解析 由tan
x
＝2，得cos
x
≠0，
cos
x
s in
x
＋
cos
x
＋sin
x
cos
x< br>cos
x
1＋tan
x
1＋2
则＝＝＝＝－3.
c os
x
－sin
x
cos
x
sin
x
1－ tan
x
1－2
－
cos
x
cos
x
1－ 2sinαcosα1＋2sinαcosα
5．化简：·.
222
cosα－sinα1－2sinα
α－cosα
解 原式＝
22
cosα－sinα
22
2
α＋cosα
·
2

22
sinα＋cosα－2sinα
2
2
＝
α－cosα
2222
α－sinαα－sinα
＝1.
课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN
时间：25分钟
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列等式中恒成立的个数为( )
①sin1＝1－cos1；
②sinα＋cosα＝sin3＋cos3；
③( sin2
x
＋cos2
x
)＝1＋2sin2
x
cos2< br>x
；
π
??
④sinα＝tanαcosα
?
α≠
k
π＋，
k
∈Z
?
.
2
??
A．1
C．3
答案 D
解析 ①②③运用平方关系，正确；④运用商数关系变形，正确．
B．2
D．4
2
2222
22
满分：60分

1π
2 ．[2016·广东中学高一期中]已知tanα＝－，<α<π，则sinα等于( )
22
A.
25

5
B．－
D.
5

5
5

5
25
C．－
5
答案 D
sinα1
解析 由tanα＝＝－，得cosα＝－2sinα.
cosα2
1
22222
又sinα＋cosα＝1，得sinα＋4sinα＝1，即sinα＝.
5
π5
∵<α<π，∴sinα＝.
25
1
??
2
3.
?
tan
x
＋
cos
x
＝( )
?
tan
x
??
A．tan
x

C．cos
x

答案 D
解析 原式＝
?
22
B．sin
x

D.
1
< br>tan
x
?
sin
x
＋
cos
x
?
cos
2
x

?
?
cos
x
si n
x
?
sin
x
＋cos
x
2
＝·cos
x

sin
x
cos
x
＝
1cos
x
1
2
·cos
x
＝＝.
sin
x
c os
x
sin
x
tan
x
2
4．[2016·浙江 学军中学测试]已知
A
是三角形的一个内角，sin
A
＋cos
A< br>＝，则这个三
3
角形是( )
A．锐角三角形
C．直角三角形
答案 B
24
解析 ∵sin
A
＋ cos
A
＝，∴1＋2sin
A
cos
A
＝，
3 9
5
∴sin
A
cos
A
＝－<0，而
A
是三角形的内角，
18
∴
A
∈(0，π)，sin
A
>0 ，∴cos
A
<0，
A
为钝角，故选B.
5．[2016·福建福州一中期中]若θ
θθθ
1－2sincos，那么是( )
222
A．第一象限角
C．第三象限角
B．第二象限角
D．第四象限角
为第二象限角，且cos
θθ
－sin＝
22
B．钝角三角形
D．等腰直角三角形

答案 C
θθ
解析 ∵cos－sin＝
22
＝
θθ
1－2sincos
22
?
cos
θ
－sin
θ
?
2
＝
?
cos
θ
－sin
θ
?
，
????
22
??
22
??
θθθθπ
∴cos－sin≥0，cos≥sin.又θ为 第二象限角，∴2
k
π＋<θ<2
k
π＋π(
k
22222
πθπθ
∈Z)，∴
k
π＋<<
k
π＋(
k
∈Z)．当
k
为偶数时，是第一象限角，利用三角函数线得
4222
θθθ θθ
cosk
为奇数时，是第三象限角，此时cos>sin ，故选C.
22222
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．[2016·长春外国语学校月考]化简：(1＋tanα)·cosα＝________.
答案 1
22
?
sinα
?
2
解析 原式＝
?
1＋
2
?
·cosα
?
cosα
?
cosα＋sinα
2
＝·cosα＝1.
2
cosα
7．[2016·德州月考]在△
ABC
中，2sin< br>A
＝3cos
A
，则角
A
＝________.
答案
π

3
22
2
解析 由2sin
A
＝3cos
A
，得cos
A
>0.
∴2sin
A
＝3cos
A
，
2(1－cos
A
)＝3cos
A
，
2cos
A
＋3cos
A
－2＝0，
1
解得cos
A
＝或cos
A
＝－2(舍去)．
2
π
又∵0<
A
<π，∴
A
＝.
3sinα＋cosα
8．[2016·南京外国语学校期中]已知＝2，则sinαcosα的值为 ________．
sinα－cosα
答案
3

10
2
2
2
sinα＋cosα
解析 本题主要考查同角三 角函数的关系以及简单的三角变换．由＝2，等
sinα－cosα
式左边的分子分母同除以c osα，得
sinαcosαtanα3
＝＝.
222
sinα＋cosαtanα＋110
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知sinθ＋sinθ＝1，求3cosθ＋cosθ－2sinθ＋1的值．
224
tanα＋1
＝2，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝
tanα－1