高中数学必修四《三角函数》知识点(精华集锦)

高中数学必修4第一章三角函数知识点总结
文献编辑者——周俞江
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时 针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则< br>称
?
为第几象限角．
第一象限角的集合为
?
?
k? 360?
?
?k?360?90,k??
?

第二象限角的集合为< br>?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第 三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?27 0,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?27 0?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边 在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

4、已知
?
是第几象限角，确定?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份 ，再
n
*
从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、 四，则
?
原来是第几象限
对应的标号即为终边所落在的区域．

?
n

“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”

等分角所在象限的判断方法，在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也< br>可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对角所在的象限做出正确判断。
一、代数法
就是利用已知条件写出
?
的范围，由此确定角的范围，再根据角的范围确定所
在的象限 ；
【例1】已知
?
为第一象限角，求角所在的象限。
解：∵
?
为第一项限角
∴
k?360＜
?
＜k?360?90

(k?Z)

???
?
n
?
n
?
n
?
2
??
k?180＜＜k?180?45

(k?Z)

2
?
?
若
k
为偶数时：
???
n?360＜＜n?360?45
k?2n(n?Z)
则,则
(n?Z)

2
?
∴ 角是第一象限角；
若
k
为奇数时：
?
则
k?2n?1(n?Z)
， 则
n?360
?
?180
?
＜＜n?
360
??
225
?
(
n?Z
)

2
?
2
∴ 角是第三象限角；
因此，角是第一象限或第三象限角
【例2】已知
?
为第二项限角，求角所在的象限。
解：∵
?
为第二项限角
∴
k?360?90?
?
?k?360?180

(k?Z)


k?180?45?
??
????
?
2
?
2
?
2
?
2
?k?180
?
?90
?

(k?Z)

n?360
?
?45
?
?
若
k
为偶数时：
k?2n(n?Z)
,则
∴ 角是第一象限角；
?
2
?
2
?n?360
?
?9 0
?

(n?Z)

若
k
为奇数时：
k?2n?1(n?Z)
，则n?360
?
?225
?
?
?
?n?
360< br>?
?
270
?
(
n?Z
)

2
∴ 角是第三象限角；
因此，角是第一象限或第三象限角
二、图示法
就是在平面直角坐标系中，将坐标系的每个象限
n
等分 ，通过“标号”、“选
号”和“定象限”几个步骤最后确定角所在的象限；
【例3】已知
?
为第三项限角，求角所在的象限。

1 4 3 2
2 1
3 O 4
4 1 2 3


（图1）
?
2
?
2
?
n
?
3
解 ：第一步：因为要求角所在的象限，所以画出直角坐标系，如图1所示，把每个
象限等分三等份； 第二步：标号，如图所示，从靠近
x
轴非负半轴的第一项限内区域开始，按逆时针
方向，在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4；
第三步：因为
?
为第三项限角，所以在图中将数字3的范围画出，可用阴影表示；
第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，角的终边就在那个象限；
由以上步骤可知，
?
为第三项限角，角为第一、第三或第四象限角。
【例4】已知
?
为第四项限角，求角所在的象限。

3 2
4 1
1 o 4
2 3
?
3
?
3
?
3
?
2

解：第一步：因为要求角所在的象限，所以画出直角坐标系，
（图2）
?
2

如图2所示，把每个象限等分二等份；
第二步：标号， 如图所示，从靠近
x
轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针
方向，在图中依次标 上1,2,3,4,1,2,3,4；
第三步：因为
?
为第四项限角，所以在图中将数字4的范围画出，可用阴影表示；
第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，角的终边就在那个象限；

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
．
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1
?
?
180
l
r
?
2
，
1?
?
?
180
?
?
?57 .3
．
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为< br>C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
11
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的 坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离
ni
?
?，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
是
rr?x
2
?y
2
?0< br>，则
s
若在单位圆中，则有
sin
?
?y
，
cos
?
?x
，
tan
?
?
?
?
y
r
x
r
y
x
y
。
x
10、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切
为正，第四象限余弦为正 ．

“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”；
第三象 限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，
其余全部是“-”。

11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos< br>?
???
，
tan
?
???
．
O
y
P
T
M
A
x

12、同角三角函数的基本关 系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?；
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名不变，符号看象限．（注意：这 里都是以“π”“
2k
?
”开始的）
?
5
?
si n
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?
sin< br>?
．
?
2
??
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??
sin
?
．
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?< br>?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（注意：都是以“”开始的）
特别注意：以上 两个口诀可以合二为一“奇变偶不变，符号看象限”（其中奇偶是“”
的奇数倍还是偶数倍），对于太大 的角，可以先化小在利用“奇变偶不变，符号看象
限”。
推算公式：3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
3
?
3
?
+α）=－cosα sin（
－α）=－cosα
22
3
?
3
?
cos（+α）=sinα cos（
－α）=－sinα
22
?
2
?
2
si n（
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶 ，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”
是指正弦变余弦，余弦变正弦”。（反之亦然成立 ）“符号看象限”的含义是：把角α看
做锐角，不管α是多大的角，都必须“看成锐角”，不考虑α角所 在象限，看n·(π2)±α
是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

14、


函
数
y?Asin(wx?
?
)
的性质：
①振幅：
A
；②周期：
T?

w
1
2?
；③频率：
f??
；④相位：
?
x?
?
；⑤ 初相：
?
．
T2
?
W

“终有一天，你会特别感谢今天努力的你”
16、正弦，余弦，正切函数总结

y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象



?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
定义域
x?R

x?R


值域
当
x?
最值
?
2
y?
?
?1,1
?

y?
?
?1,1
?

y?
R

+
2k
?
(k?Z)
时，
当
x?2k
?
?< br>k??
?
时，
y
max
?1
；
y
max
?1
；
既无最大值也无
最小值
当
x?-
+
2k
?
(k?Z)
时，
当
x?
?
+
2k
?
(k?Z)
时，
2
y
min
??1
．
y
min
??1
．
?
周期性
奇偶性
在
T?
2
?

T?
2
?

T?
?

奇函数 偶函数
在
?
-
??2k
?
,2k
?
?
（k?Z)
上
是增函数；
在
?
2k
?
,
?
?2k
?
?（k?Z)
是减
函数
奇函数
?
?
?
?-?2k
?
,?2k
?
?
2
?
（k?Z)
2
??
?
在
?
?
-?k
?
,?k
?
?

?
22
?
??
单调性 上是增函数；
在
?
?
?2k
?
,
?
2< br>?
k??
?
上是增函
数．
?
3
?
?
?2k
?
?
(k?Z)
2
?


x?k
?
(
k?Z
)
上是减函数．
对称轴
x?
对称中
心
?
2
?kπ
（k?Z）


k
?
,0)

(k?Z)

2
(k
?
,0)
（k?Z)

(?k
?
,0)

(k?Z)

2
?
(

1.求下三角函数求值域问题：
1.
y?cos(x?
π
πππ
?
π
?
，x??
0,
?
； 2.
y?sin(2x?），x?(，）；

）
2
6363
??




2.用换元法变成二次函数,再去求值域
2
1.
y?cosx?4cosx?5.

y??2cos?2sinx?3,x?
?
，
?

66
2
?
π5π
?
??

3.求下列函数的对称轴：
1.
y?sinx
2.
y?2sin(x?）

y?2cos(?2x?)
3

6


4.求下列函数的单调区间：
1.
y?sinx

y?sin(x?）

y?2sin(?2x?），x?(0,2π）
2

3

2.
y?cosx

y?cos(?2x?），x?
?
0,2π
?

5.三角函数变换问题：
ππ
ππ
π
3
π

y??3tan(x?）
2

π
2
ππ
2.
y?cosx

y?cos(x?）

y?cos(2x?）

33
3（易错）
1.
y?sinx

y?sin(x?）

y?sin(2x?）

π
2
π
?
?
y?sin2x

y?sin(2x?）y?sin(2x?)y?cos(2x?)

4

3

6