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高中数学必修4-三角函数的图像与性质

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 14:45
tags:高中数学必修4

高等数学 高中数学-高中数学小组活动


三角函数的图像和性质
课 题
学情分析
三角函数的图像和性质
三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容,学生刚刚刚学到,对好多概念还
不很清楚,理解也不够透彻,需要及时加强巩固。
1.掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用;
教学目标与
2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、
考点分析
求单调区间等问题中的应用.
教学重点
教学方法
三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
导入法、讲授法、归纳总结法

基础梳理
1.“五点法”描图
(1)y=sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
3
?
,?1)
(0,0) ,
(,1)
,(π,0),
2
,(2π,0).
2
?
(
(2)y=cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
?
3
?
(0,1),
(,0)
,(π,-1),
( ,0)
,(2π,1).
2
2
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
定义域
y=sin x y=cos x y=tan x
R R
π
{x|x≠kπ+
2
,k∈Z}
图象

值域 [-1,1] [-1,1]

R


对称性
π
对称轴:x=kπ(k∈Z)
对称轴:x=kπ+
2
(k∈Z)
对称中心:
对称中心:
?
(k
?
?,0)k?Z

(kπ,0)(k∈Z)
2
2π 2π
无对称轴
对称中心:
(
k
?
,0)k?Z

2
周期
π
单调增区间
[2k
?
?
?
2
单调性
[2k
?
?

,2k
?
?]k?Z

[2kπ-π,2kπ](k∈Z);
2
单调减区间
?
单调增区间
单调增区间
(k
?
?
单调减区间
?
,k
?
?)k?Z

22
?
?
2
,2k
?
?
3
?
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
]k?Z

2
奇偶性
两条性质
(1)周期性
奇 偶 奇

函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小 正周期为
|ω|
,y=tan(ωx+φ)的最小正周
π
期为
|ω|
.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos
ωx+b的形式.
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法:
(1)利用sin x、cos x的有界性;
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正
弦 函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.





双基自测
1.函数
y?cos(x?)
,x∈R( ).
3
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
y?tan(?x)
2.函数的定义域为( ). < br>4
?
?
A.
{x|x?k
?
?
?
4
,k?Z}
B.
{x|x?2k
?
?
D.
{ x|x?2k
?
?
?
4
,k?Z}

,k?Z}
C.
{x|x?k
?
?
?
4
,k?Z}

?
4
3.
y?sin(x?)
的图象的一个对称中心是( ).
4
A.(-π,0)
C.
(
3
?
,0)

2
?
B.
(?
3
?
,0)

4
D.
(,0)

2
?
4.函数f(x)=cos
(2x?)
的最小正周期为________.
6
考向一 三角函数的周期
【例1】?求下列函数的周期:
?
?
y?sin(?x)
y?tan(3x?)
(1);(2)
32
6

考向二 三角函数的定义域与值域
(1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数
图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
??


①形如y=asin
2
x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求
值域(最值);
②形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关
于t的二次函数求值域(最值).

【例2】?(1)求函数y=lg sin 2x+9-x
2
的定义域.
(2)求函数y=cos
2
x+sin x
(|x|?







【训练2】 (1)求函数y=sin x-cos x的定义域;
tan(x?)sinx
4
y?
(2)
lg(2cosx?1)
的定义域
?
4
)
的最大值与最小值.
?
(3)已知
f(x)
的定义域为
[0,1]
,求
f(cosx)
的定义域.








考向三 三角函数的单调性
求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x
的相应单调区间内即可,若ω为负则要先把ω化为正数.
【例3】?求下列函数的单调递增区间.


?
1
?
2
?
(1)
y?cos(?2x)
,(2)
y?sin(?x)
,(3)
y?tan(3x?)
.

243
33





【训练3】 函数f(x)=sin
(?2x?)
的单调减区间为______.
3





考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象 既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心
对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中 心,并注意数形结合思想的应用.
【例4】?(1)函数y=cos
(2x?)
图象的对称轴方程可能是( ).
3
ππππ
A.x=-
6
B.x=-
12
C.x=
6
D.x=
12

π
?
(2)若0< α<
2

g(x)?sin(2x??
?
)
是偶函数,则α 的值为________.
4




【训练4】 (1 )函数y=2sin(3x+φ)
(|
?
|?
?
?
?
π
)
的一条对称轴为x=,则φ=________.
12
2
( 2)函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ=________.


难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属 于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用


三角函数的性质解答此类问题,是以熟 练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时
通常将方程的思想与待定系数法相结合.
?
5
??
【示例】? 已知函数f(x)=sin
(
?x?)
(ω>0)的单调递增区间为
[k
?
?,k
?
? ]
(k∈
31212
?
7
?
Z),单调递减区间为
[k
?
?,k
?
?]
(k∈Z),则ω的值为________.
1212
练一练:
1、已知函数
f(x)?sin(3x?)

3
(1)判断函数的奇偶性;(2)判断函数的对称性.






2、设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?
?
?
?0)
的图象的一条对称轴是直线
x?
?
?
8
,则
?
?
______.
课后练习:
三角函数的图象与性质·练习题

一、选择题
(1)下列各命题中正确的
是 [
]


(2)下列四个命题中,正确的
是 [ ]
A.函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B.y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C.函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π,2kπ)(k∈Z)

(3)下列命题中,不正确的

]


D.函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中,非奇非偶的函数
是 [ ]


(5)给出下列命题:
①函数y=-1-4sinx- sin
2
x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R
-
)的最大值是a-b
[



以上命题中正确命题的个数
是 [ ]
A.1
B.2
C.3
D.4


A.sinα<cosα<tgα
B.cosα>tgα>sinα
C.sinα>tgα>cosα
D.tgα>sinα>cosα
(7)设x为第二象限角,则必



二、填空题
(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______.


[
]
[


]



[
]



的值是______.
(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个 单位,所得到的图象为C,
又设图象C
1
与C关于原点对称,那么C
1
所对应的函数是______.
(12)给出下列命题:
①存在实数α,使sinαcosα=1

⑤若α,β是第一象限角,α>β则tgα>tgβ
其中正确命题的序号是______.
三、解答题
(14)已知函数y=cos
2
x+asinx-a
2
+2a+5有最大值2,试求实数a的值.











答案与提示
一、
(1)B (2)D (3)D
提示
(4)B (5)D (6)D (7)A (8)D


(2)y=ctgx在(kπ,kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数.

y=c os(-x)=cosx在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数,而在[2kπ,2kπ+π]
上是减函数.

(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之.



(5)①=-y(sinx+2)
2
+3 sinx=-1时,y
max
=2
②当cosx=-1时,f(x)
max
=a-b



∴cosα<sinα<tgα




二、(9)[-2,2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④
提示


(11)C:y=arctg(x-2),C1
:-y=arctg(-x-2),∴y=arctg(x+2)






由390°>45°,但tg390°=tg30°<tg45°,故⑤不正确.
综上,③④正确.
三、





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