高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数
?
正角 :按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的 角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、象限角：角
?< br>的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落
在第几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k ?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的 角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、终边相等的角：与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
? k?360?
?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均 分
n
等
n
*
份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次 将各区域标上一、二、三、四，则
?
原
?
来是第几象限对应的标号即为终边所 落在的区域．
n
例4．
设
?
角属于第二象限，且
cos< br>?
2
??cos
?
2
，则
?
角属于（ ）
2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解.C
2k
?
?
?
2
?
?
? 2k
?
?
?
,(k?Z),k
?
?
?
4< br>?
?
2
?k
?
?
?
2
,(k?Z) ,

当
k?2n,(n?Z)
时，
?
?
在第一象限 ；当
k?2n?1,(n?Z)
时，在第三象限；
22
?0
，?
而
cos
?
2
??cos
?
2
?c os
?
2
?
2
在第三象限；

5、1弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
- 1 -

6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
l< br>．
r
?
180
?
，
1?
??
?5 7.3
．
180
?
??
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
11
则弧长
l? r
?
，周长
C?2r?l
，面积
S?lr?
?
r< br>2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?< br>?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一 象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线 ：
sin
?
???
，
cos
?
???
，< br>tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2
? y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
y
17
?
的正弦线和余弦线，则给出的以下
18
M?0?MP
；不等式：①
MP?OM?0
；②
O
③
OM?MP?0
；
④
MP?0?OM
，其中正确的是_______________________ ______。
例
7．设
MP
和
OM
分别是角
P
T
OM
A
x
17
?
17
?
?MP ?0,cos?OM?0

1818
12、同角三角函数的基本关系：
解.②
sin
平方关系：
?
1
?
sin2
?
?cos
2
?
?1
，
?
sin< br>2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
商数关系：
?
2
?
sin
?
sin
?
??
?tan
?
，
?
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
?
．
cos
?
tan
?
? ?
13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限．
?
1
?< br>sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?< br>?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
? ?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos< br>?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
??
?sin
?
，
cos
?
?
?
??
??cos
?
，
tan
?
?
?
?< br>?
??tan
?
．
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos< br>?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?< br>．
?
2
?
?
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
- 2 -

?
?
6
?
sin
?
?
?

例
9．满足
sinx?
3
的
x
的集合为__________ _______________________。
2
14、先平移后伸缩：函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标
伸长（缩短）到原来的1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；
再将函数
y?sin
?
?
x ?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?的图象．
先伸缩后平移：函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短 ）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上
所有点向左（ 右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x??
?
的图象；再将函
?
数
y?sin
?
?x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（ 横坐标
不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
?
例
10．将函数
y?sin(x?)
的图象 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
3
?
再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ C ） < br>3
11
?
1
?
?
A
．
y?sinx
B．
y?sin(x?)
C.
y?sin(x?)
D.
y?sin(2x?)

222266
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?的性质：
（1）①振幅：
?
；②周期：
??
⑤初相：
?
．
（2）函数
y??sin
?
?
x?
?
?
? ?
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，
取得最大值为
y
m
?
?x< br>2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
2
a
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；
?2
?，则
??
x
1
?
y
ma
?
x
y
2
?
m
，
in
??
1
?
ymax
?y
min
?
，
2


- 3 -

例
11．如图，某地一天从6时到11时的温度变化 曲线近似满足函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b



(1) 求这段时间最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式
解
（1）20°； （2）
y?10sin(
?
x-
5
?
)?20

84



15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

数
y?sinx

性
质

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域
R


R


?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时，
?
2
最
值
时，
y
max
?1
；
当
x?2k
?
?
y
max
?1
；
?
2
?
k??
?
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小
值
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
2
?

y
min
??1
．
2
?

?

奇函数 偶函数 奇函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
单上是增函数；
调
?
k??
?
上是增函数； 在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

性
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数，
但在整个定义域上不
具有单调性。
?
k??
?
上是减函数．
- 4 -

?
3
?
??
在
?
2k< br>?
?,2k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是减函数．
对
对
称
对
性
称中心对称中心
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称轴
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

x?k
?
?
?
k??
?

2
?< br>??
k
?
?,0
?
?
k??
?
< br>?
2
??
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
例14 ．已知函数
y?f(x)
的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的
4
倍，横坐 标扩大到原
来的
2
倍，然后把所得的图象沿
x
轴向左平移
相 同，则已知函数
?
，这样得到的曲线和
y?2sinx
的图象
2y?f(x)
的解析式为
____
y?
1
?
sin(2 x?)
___________________________.
22
第二章 平面向量
1.平面向量的知识点：
（1）
a?b?abcos
?,
?
其中
?
?[0,
?
]
?

（2）
a?b?x
1
x
2
?y
1
y< br>2
,其中a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)

（3）
a在b方向上的投影：acos
?
?
（4）两向量的夹角：
cos
?
?
2
a?b
b

a?b
ab

（5）向量的模：
a?a?x
2
?y
2
,其中a?(x,y)

(6)
ab?a?
?
b(b?0)?x
1
y
2
?x
2
y
1ab?
?
1
?
2
?
?
2
?
1
(其中a?
?
1
e
1
?
?
1
e< br>2
,b?
?
2
e
1
?
?
2
e
2
)

(7)向量三角不等式：
|a|?|b|?a?b?|a|?|b|


第三章 三角恒等变换
- 5 -

1、
两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
t an
?
?
?
?
?
?
tan
?
?t an
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
? tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?ta n
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
ta n
?
．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
升幂公 式
1?cos
?
?2cos
2
?
22
cos2?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
,1?cos
?
?2sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?tan
?

万能公式:
α
2
α2tan1?tan
22
sinα? cosα?
αα
1?tan
2
1?tan
2
22
- 6 -