人教版高中数学必修4三角函数

任意角
一、知识概述
1、角的分类：正角、负角、零角.
2、象限角：（1）象限角.
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.

3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同．
4、准确区分几种角
锐角：0°<α<90°；
0°～90°：0°≤α<90°；
第一象限角：．
5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）.
1 rad=，1°=rad.
6、弧长公式：l=αR.
7、扇形面积公式：
二、例题讲解
.
例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式
来：
（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′．
解：
（1）
S中满足的元素是
，
的元素写出

1

（2） ，
S中满足的元素是

（3） ，
S中满足的元素是

例2、写出终边在y轴上的角的集合.
解析：

∴.
注：
终边在x轴非负半轴：.
终边在x轴上：.
终边在y=x上：.
终边在坐标轴上：.
变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.

2

答案：.
角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.
答案：
任意角的三角函数
一、知识概述
1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的 单位圆交于
点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=.

注：①对于确定的角α，其终边上取点
.
，令，则
②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角
所在的位置.
2、公式一：


3、三角函数线
角α的终边与单位圆交 于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM
（余弦线）.过A作单 位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT
（正切线）.
，
，其中.
，
注：若，则.

3

二、例题讲解
例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．
解：
，
∴，.
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴．
例2、化简下列各式
（1）；

4

（2）
解：
（1）
．

（2）


同角三角函数的基本关系
一、知识概述
1、平方关系：．


2、商数关系：
二、例题讲解
．
例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．
解：
∵，，∴.

5

∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角．
当在第一、四象限时，即有，
从而，
；
当在第二、三象限时，即有，
从而，
．
例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．

例3、已知，求sinx，cosx的值．
解：

6

由等式两边平方：
．
∴，即，
∴为一元二次方程的两个根，
解得．
又∵，∴．因此．
例4、化简：.
解法一：
原式=

.
解法二：
原式=.
解法三：

7

原式
=
例5、已知，则
.
（1）____________________．
(2)
(3)
解：
____________________．
____________________．
（1）；
（2）；

三角函数的诱导公式

一、知识概述
诱导公式一：
.
诱导公式二：
.
诱导公式三：
，，．

8

诱导公式四：
，，.
诱导公式五：
，．
诱导公式六：
，．
引申：
诱导公式七：
，．
诱导公式八：
，．
记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．
二、例题讲解
例1、化简：
（1）；
（2）
（3）．
（4）

9

（5）．
解：
（1）原式．
（2）原式=.


（5）
例2、已知求的值．
解：
由得，所以

例3、已知则________．

10

解：
．
正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）


一、知识概述
1、正弦函数、余弦函数的图象

2、性质：①定义域：x∈R
②值域：[－1，1]
③周期性：都是周期函数，且最小正周期为
二、例题讲解
.
例1、作函数的简图．

（2）描点连线（图象见视频）.
例2、求下列函数的周期
（1）
解：
；（2）；（3）；（4）．

11

（1）令，则.
∵f(x＋T)=f(x)恒成立，
∴周期为4.
.
注：.
（2）.
注：
（3）T=π．
.
（4）T=
得< br>．假设
，
，使
，与时
令x=0，
矛盾．
∴T=.
例3、求下列函数的定义域：
（1）
解：
； (2) y=lg(2sinx＋1)＋．
（1），∴，∴．
(2) ，∴.
∴其定义域为.

12

正弦函数与余弦函数的图象与性质（二）
一、知识概述
1、图象（见视频）
2、性质：（1）定义域：都为R.
（2）值域：都为[－1，1].
（3）周期性：都是周期函数，且T=2π.
（4）奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.

（5）对称性：y=sinx的对称中心为(kπ，0)（k∈Z），对称轴为.
y=cosx的对称中心为，对称轴为.
（6）单调性：y=sinx在
上单调递减.
y=cosx在
递增.
二、例题讲解
上单调递减；在
上单调递增；在
上单调
例1、在
是（ ）
A．
C．
解：
中，，若函数y=f(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的
B．
D．


∵，∴，.
所以．

13

答案：C
例2、求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）；
（3）；（4）y=－|sin（x＋）|
解：
（1）法一：图象法（图象见视频）.
法二：令，
∴.
所以，函数单调递增区间为．
（2）令，∴，
所以，函数单调递增区间是．
（3）令.
所以，函数单调递增区间是.
法二：∵，
令，，
所以，函数的递增区间是．

14

（4）函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）．（图象见视频）
法二：
令.
解得.
∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.

正切函数的图象与性质
一、知识概述
1、图象：

2、性质：
（1）定义域：
（2）值域：R；
（3）周期性：

；
；
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（4）奇偶性：奇函数；
（5）对称性：y=tanx的对称中心为.
（6）单调性：在
二、例题讲解
例1、求下列函数的定义域：
内单调递增．
（1）
解：
；（2）；（3）．
（1）由，得，∴．
∴的定义域为．
（2）令
∴定义域为R.
，∵sinx∈[－1，1]且，
（3）由已知，得，∴，
∴原函数的定义域为
写有误，后面一个应该是半开半闭区间）．
（备注：视频中区间书
例2、求函数的定义域，周期和单调区间．

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函数y=Asin（ωx＋φ）的图象
一、知识概述
的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到：
①将y=sinx的图象向左（右）平移个单位得到的图象；

②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的
的图象；
倍，得到
③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍，得到
的图象.
A表示振幅，
二、例题讲解
为周期，为频率，为初相，为相位.
例1、函数
解：
的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．
①将的图象向左平移个单位，得到的图象；

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②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
的图象；
，得到
③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到
的图象．
变式1：y=sinx的图象由
解：
的图象经过怎样的变换得到.
横坐标不变 ，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；
再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2x的图象；再将y =sin2x的图
象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sinx的图象.
变式2：函数y=f(x)的图象先向右平移
原来的，得到
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标 缩短到
的图象，求f(x)的解析式.
答案：
例2、已知函数
求函数的一个解析式．
.
（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，

解：

18

由图知：函数最大值为
又∵，∴
，最小值为
，
，
由图知，
∴，∴，
法一：∴，∴，
∴.

，代入上面两式检验，得满足条件.
∴．
法二：.
.
法三：令，.
三角函数模型的简单应用

例1、已知电流
（1）根据图中数据求的解析式．
在一个周期内的图象如图：

19

（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流
那么ω的最小正整数值是多少？
都能取得最大值和最小值，


例2、某港口水的深度y（米）是时间
下面是某日水深的数据：
，单位：时）的函数，记作，
t时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，的曲线可以近似地看成函数
的近似表达式；
的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数
（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以 上时认为是安全的（船
舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6. 5米，如果
该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时< br>间）？
解：
（1）由已知数据，易知函数
（视频板书中应为f(t)）．
的周期T=12，振幅A=3，b=10，
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米，

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，解得:
，在同一天内，取

.
∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时．
例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按
逆时针方向 每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）
时开始计时：
（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．

解：
（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的
角 为，∴此人相对于地面的高度为（米）．
（2）令
，
，则
，
，
故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．
例4、某商品一年 内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高
价格8元，7月份价格最低为4 元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦
曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9 月份销售价最低为6元．
（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．

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三角函数的综合应用
例1、求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；
（4）
解：
（1）∵
；（5）．
，
∴，∴，
所以，值域为．
（2）.
.
另解：，∴，∴，

22

解得，．
（3）

（4）由题意
，
，
.
，
∴，
∵，∴时，，但，∴，
∴原函数的值域为．
（5）∵，又∵，
∴，∴，
∴函数的值域为．
例2、是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）， 使等式sin（3π－α）=
cos（π＋β）同时成立?若存在，求出α、β的值；cos（－β）， cos（－α）=－
若不存在，请说明理由．
解：
由条件得

①＋②得sinα＋3cosα=2，∴cosα=
22222
，∴.

23

∵α∈（－，），∴，α=或－．
由②得cosβ=．又β∈（0，π），∴β=，又.

∴存在α=
例3、已知函数
，β=满足条件．
上的偶函数，其图象关于点
上是单调函数，求的值． 对称，且在区间
解：
由

是偶函数，得
或
，即，
对任意x∈R恒成立.
，，.
又f(x)图象关于对称，.
，则k=1时，，满足条件.
当k=2时，，此时，满足条件.
当k≥3时，不合要求.
综上.

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