高中数学必修一必修四必修五知识点

高中数学必修一、必修四、必修五知识点
一、知识点梳理
必修一第一单元
1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.
2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角 形}
4.常用的数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N
*
.
5.集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
5.关系：属于∈、不属于
?
、包含于
?
( 或
?
)、真包含于、集合相等＝.
6.集合的运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合；表示为：
A?B

数学表达式：
A?B?
?
xx?A且x?B
?
性质：
A?A?A,A????,A?B?B?A

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合；表示为：
A?B

数学表达式：
A?B?
?
xx?A或x?B
?
性质：
A?A?A,A???A,A?B?B?A

（3）补集：已知全集I，集合< br>A?I
，由所有属于I且不属于A的元素组成的集合。表示：
C
I
A< br>
数学表达式：
C
I
A?
?
xx?I且x?A
?

方法：韦恩示意图, 数轴分析.
注意：① 区别∈与、与
?
、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n
(n? N)
个元素，则集合A的所有不同的子集个数为
2
，所有真子集的个数是
2< br>-1, 所有非空真子集
的个数是
2
n
nn
?2
。
④空集是指不含任何元素的集合。
{0}
、
?
和
{
?
}
的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集。 条件为
A?B
，在讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况。
⑤符号“
?,?
”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“
?,?
”是表示集合
与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
8.函数的定义：设
A
、
B
是非空的数 集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f
（
x
）和它对应 ，那么就称
f
:
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作
y
=
f
（
x
），x
∈
A
，其中
x
叫做自变量.
x
的取值
范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对应的
y
的值叫做 函数值，函数值的集合{
f
（
x
）

|
x∈
A
}叫做函数的值域.
①．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都
有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
②．求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
9.两个 函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的
字母无关）都分别相同时 ，这两个函数才是同一个函数.
10.映射的定义：一般地，设
A
、
B是两个集合，如果按照某种对应关系
f
，对于集合
A
中的任何一个元素， 在集合
B
中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集
合
A
、
B
，以及集合
A
到集合
B
的对应关系
f
）叫做集合
A
到集合
B
的映射，记作
f
:
A→
B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求
A
、
B
非空且皆为数集.
11.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法
12.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x< br>1
2
时，都有
f(x
1
)2< br>)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于 区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那 么就说
f(x)
在这个区间上
是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数
y =f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有 (严格的)单调性，在
单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
○
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○

(B)图象法(从图象上看升降)
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函 数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－
○
x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非 偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定; (3)
利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数 的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二
是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x )在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值
f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数 y=f(x)在x=b处有最小值
f(b)；
13．一些有用的结论：
(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同；
(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反； (3)若奇函数
f(x)
的定义域包含
0
，则
f(0)?0
15. 复合函数
(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x?(a,b ),u?(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是
g(x )的值域。
(2).复合函数的定义域：若已知
f(x)
的定义域
?
a,b
?
，其复合函数
f
?
g(x)
?
的定义域 应由
a?g(x)?b
解出
(3).复合函数
y?fg(x)
在公共定义域上的单调性：
①若f与g的单调性相同，则
fg(x)
为增函数；
②若f与g的单调性相反，则
fg(x)
为减函数。
??
?
?
?
?

简记为“同增异减” 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
必修一第二单元 < br>1．根式的概念:一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
．
*
n
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数 ，负数的
n
次方根是一个负数．此时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示．
式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数．
当
n
是偶数时，正数的< br>n
次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a
表示，负的
n
次方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与负的
n
次方根可以合并成±
n< br>a
（
a
>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
．
n
n
n
结论：当
n
是奇数时，
2．分数指数幂
规定：
a
m
n
a?a
当
n
是偶数时，
?
a(a?0)

a
n
? |a|?
?
?
?a(a?0)
?
n
a
m
( a?0,m,n?N
*
,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指 数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样
可以推广到有理数指数幂 ．
3．有理指数幂的运算性质
（1）
a
·
a
r
r
r
?a
r?s

rs
(a?0,r,s?Q)
； （2）
(a
r
)
s
?a
rs

(a?0,b?0,r?Q)
．
?

(a?0,r,s?Q)
；

（3）
(ab)?aa
< br>一般地，无理数指数幂
a(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数． 有理数指数幂的运
算性质同样适用于无理数指数幂．
4.一般地，函数
y?a(a? 0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域
为R．
5.指数函数的性质
图象特征

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方

函数性质

函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
x

函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降

增函数


减函数
一象限内的图象纵坐标都大第一象限内的图象纵坐标都小
二象限内的图象纵坐标都小第二象限内的图象纵坐标都大
数值开始增长较慢，到了某一数值开始减小极快，到了某一
上升趋势是越来越陡象 上升趋势是越来越缓
长速度极快； 小速度较慢；
．．．
6.对数的概念：一般地 ，如果
a?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
a为底
N
的对数，记作：
x?log
a
N

x

a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式
1
注意底数的限制
a
说明：○
?0
，且
a?1
；
2

a
x
?N?log
a
N?x
； ○
3
注意对数的书写格式． ○
两个重要对数：
1
常用对数：以10为底的对数
lgN
； ○
2
自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
． ○
7.对数式与指数式的互化：
log
a
N?x

?

a?N

8.对数的性质
（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：
log
a
1?0
；
（3）底数的对数是1：
log
a
a?1
；（4）对数恒等式：
a
（5）
l og
a
a?n
．
9.如果
a
n
x
log
a
N
?N
；
?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
（1）
loga
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； （2）
log
a
（3）
log
a
M
10.换底公式
n
?n
log
a
M

(n?R)
．
log
c
b
log
a
b?
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
n
（1）
log
a
m
b?
1
n
log
a
b
； （2）
log
a
b?
log
b
a
m
．
11.对数函数的概念
1．定义：函数
y?log
a
x(a?0< br>，且
a?1)
叫做对数函数。其中
x
是自变量，函数的定义域是（0， +∞）．

1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如 ：
y?2log
2
x
，
y
注意：○
数，而只能称其 为对数型函数．
对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
2
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： ○
图象特征

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降

增函数


减函数

函数性质

函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
?log
5
x
都不是对数函
5
象限的图象纵坐标都大于一象限的图象纵坐标都大于
象限的图象纵坐标都小于二象限的图象纵坐标都小于
规律：在第一象限内，自左向右，
图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
12.幂函数：一般地，形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
幂函数性质归纳：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是 增函数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在 区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象 在
y
轴右方无
限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
必修一第三单元
1.函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)( x?D)
的零点．
函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就 是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x轴交点的横坐标．
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点． 即：方程
2.函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
f(x)?0
的实数根；
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
（代数法）求方程（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

3.零点存在性定理： < br>如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0， 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有
零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.二分法及步骤：
对于在区间
[ a
，
b]
上连续不断，且满足
f(a)
·
f(b)
?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的 区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度
?
，用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)
·
f(b)
2．求区间
(a
，
b)
的中点
x
1；
1
若
f(x
1
)
=
0
，则x
1
就是函数的零点； 3．计算
f(x
1
)
：○
2
若
f(a)
·
f(x
1
)
<
0
，则令
b
=
x
1
（此时零点
x
0
?(a,x
1
)
）； ○
3
若
f(x
1
)
·
f(b)
<
0
，则令
a
=
x
1
（此时零点
x
0?(x
1
,b)
）； ○
4．判断是否达到精度
?
；
即若
|a?b|?
?
，则得到零点零点值
a
（或
b
）；否则重复步骤2~4．
?0
，给定精度
?
；
必修四第一单元
1.任意角的三角函数的意义及其求法：在角
?
上的终边上 任取一点
P(x,y)
，记
r
则
sin
?
?OP? x
2
?y
2


?
yxy
,
cos
?
?
,
tan
?
?
.
rrx
2.三角函数值在各个象限内的符号：
正弦：上正下负; 余弦：左负右正； 正切：一、三正，二、四负
3.同角三角函数间的关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
tan??
sin?
;
cos?
cot??
cos?
si n?
.
4.诱导公式
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
??
?
?
?
??cos
?
，
tan
?< br>?
?
?
?
?tan
?
．
?
3?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，< br>cos
?
?
?
?
?cos
?
，
ta n
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan?
．

口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
?
?
?
?
cos?
?
5sin?
?
?c os
?
??
?
??
?sin
?
?
?
2
?
?
2
?
，．
?
6
?
si n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
?
2
?
?
2
?
，
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
?
5. 三角函数的图像与性质：
名称
定义域
值 域
图象
奇偶性




奇函数
单调增区间:




偶函数




奇函数
[2k
?
?
单
调
性
?
,2k
?
?]
(
22
?
单调增区间:
k?Z
)
单调减区间:
[2k
?
?
?
,2k
?
]
(
k?Z
)
单调减区间: (
k?Z
)
单调增区间：
(k
?
?
k?Z
)
?
,k
?
? )
(
22
?
[2k
?
?
k?Z
)
周期性
对
称
性

?
2
,2k
?
?
3
?
]

2

[2k
?
,2k
?
?
?
]< br>(
k?Z
)

对称中对称中
对称中心:
对称轴:
(k
?
,0)
,
k?Z

x?k
?
?
?
2
，
心:
(k
?
?
?
2< br>,0)
,
k?Z
心:
(
k
?
,0)
,
k?Z

2
对称轴：无
k?Z

对称轴:
x?k
?
,
k?Z

x?2k
?
?
y
max
?1
；
最值 < br>?
2
,k?z
时，
x?2k
?
,k?z
时，
y
max
?1
；
无
3
?
x?2k?
?,k?z
2
时，
y
min
??1
x?2k
?
?
?
,k?z
时，
y
min
??1

6.得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象的方法：

方法1、函数
y?sinx
的图 象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
（缩短）到
y?sin< br>?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长
1
倍（纵坐标不变），得到函 数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数y?sin
?
?
x?
?
?
?
的图象上所有点的 纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
原来的
y??s in
?
?
x?
?
?
的图象．
方法2、函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不
?
变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y? sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上
?
所 有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin?
?
x?
?
?
的图象．
7.函数
y??si n
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；
②
周期：
? ?
2
?
?
；
③
频率：
f?
1
?< br>；
④
相位：
?
x?
?
；
⑤
初相：< br>?
．
?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得 最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值
为
y
max
，则
??
必修四第二单元
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不 等式：
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?< br>．
222
r
r
r
r
r
r
a?b? a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：
r
rr
r
a?b?b?a
；

r
r
r
rr
rr
r
r
rr②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?
r
?
x
1
,y
1
?
，
b
r
?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b
r
r
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y< br>1
?
，
?
x
2
,y
2
?
， 则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向 量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
rr
?
a?
?
a
rr
；
②当
?
rrrr
?0
时，
?
a
的方向与
a的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a< br>的方向相反；当
?
?0
时，
r
r
?
a?0< br>．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?< br>?
?
a
?
?
?
??
?
a
； ②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
． < br>??
⑶坐标运算：设
a?
rr
，则
x,y
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
??
r
r
r
rr
r20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r< br>r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、bb?0
共
??
线．
uruur
21、平面向量基本定理：如 果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任意向
uruur
uruur
r
r
量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线 的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向
量的一组 基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是< br>?
1
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与 任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2< br>r
2
rrr
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．

r
r
rr
r
r
r
r
r
r r
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
??????
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1y
2
．
若
a?
设
a?
r
r
r
2
22
，则，或
a?x
2
?y
2
． < br>a?x?y
x,y
??
r
?
x
1
,y
1
?
，
b
r
?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b
r
r
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r< br>?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
必修四第三单元
1.三角恒等变换公式
正弦的两角和、差公式：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β
余弦的两角和、差公式：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
正切的两角和、差公式： tan（α＋β）＝
tan
?
＋tan
?

1－tan?
tan
?
tan（α－β）＝
tan
?
－tan?

1＋tan
?
tan
?
正弦的二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α
余弦的二倍角公式：cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α ＝2cos
2
α－1 ＝1－2sin
2
α
正切的二倍角公式：tan 2α＝
2tan
?

2
1－tan
?
必修五第一单元
1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abc
???2R
sinAsinBsinC
形式一： (解三角形的重要工具)
?
a?2RsinA
?
?
b?2Rsin B
?
c?2RsinC
形式二：
?
(边化正弦)
形式三：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
（比的性质）
sin A?
形式四：
abc
,sinB?,sinC?
2R2R2R
（正弦 化边）
利用正弦定理能够解两类三角形：

1、已知三角形的任意两角与任意一边.其步骤是：
（1）利用三角形内角和定理求出第三个角；
（2）利用正弦定理求出另两边.
2、已知三角形的任意两边与其中一边的对角.其步骤是：
（1）利用正弦定理求出另一边的对角；
（2）利用三角形内角和定理求出第三个内角；
（3）利用正弦定理求出第三边.
此时，可能无解或仅有一解或有两解.
判断有多少个解的方法：
在
?ABC
中，已知a,b和A，解三角形时，由 正弦定理得
sinB?
bsinAbsinAbsinAbsinA
,当?1时，则无 解；当?1时，则有一解；当?1时，
aaaa

如果a?b,即A?B,则B一定为 锐角，有一解，如果a?b,即A?B，
则有两
解.
2.余弦定理：三角形任何一边 的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两
倍.
(遇见二次想余弦)形式一：
a?b?c?2bccosA

b?c?a?2cacosB

形式二：
222222
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
? b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?cos B?
cosC?
2bc2ac
2ab
，，
利用余弦定理能够解三类三角形：
1、已知三角形的三边，求三个角.其步骤是：
（1）利用余弦定理求出两个角；
（2）利用三角形的内角和定理求出第三个角.
2、已知三角形的两边及其夹角，求第三边和另外两个角，其步骤是：
方法一：（1）利用余弦定理求出第三边；
（2）利用余弦定理求出一个角；
（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.
方法二：（1）利用余弦定理求出第三边；
（2）利用正弦定理求出一个角；
（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.
解的个数.

3、已知三角形的任意两边与其中一边的对角：用余弦定理求出第三边 ，此时第三边的个数即为三角形
必修五第二单元
1．数列的概念：数列是一个定义域为正整数 集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，
数列的通项公式也就是相应函数的解析 式。
2．等差数列的有关概念：
(1）等差数列的判断方法：定义法
a
n?1
?a
n
?d(d
为常数
）
或
a
n? 1
?a
n
?a
n
?a
n?1
(n?2)
。
(2）等差数列的通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
。

(3）等差数列的前
n
和：
S
n
?
n(a
1?a
n
)n(n?1)
，
S
n
?na
1
?d
。
22
a?b
。
2
(4）等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A ?
提醒：
[1]等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只 要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2
个，即知3求2。
[2]为减少运算量，要 注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d
… （公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d< br>,…（公差为2
d
）
3．等差数列的性质：
(1）
．当公 差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?( n?1)d?dn?a
1
?d
是关于
n
的一次函
n(n?1 )dd
数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?)n
是关于
n
的二次函
222
数且常数项为0.
(2）
．若公差
d ?0
，则为递增等差数列，若公差
d?0
，则为递减等差数列，若公差
d?0
，则为常数列。
(3）
．当
m?n?p?q
时,则有
a< br>m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p.
(4）
．若
{a
n
}
、
{b
n< br>}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n< br>?pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
S
n,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，…也成等差数列，而
{a
a
n
}
成等比数列；若
{an
}
是等比数列，且
a
n
?0
，则
{lga< br>n
}
是等差数列.
(5）
．在等差数列
{a
n< br>}
中，当项数为偶数
2n
时，
S
偶
－S
奇< br>?nd
；项数为奇数
2n?1
时，
S
奇
?S
偶
?a
中
，
S
2n?1
?(2n?1)?a
中（这里
a
中
即
a
n
）；
S
奇
:S
偶
?(k?1):k
。
4．等比数列的有关概念：
(1）< br>等比数列的判断方法：定义法
a
n?1
，其中
q?0,a
n< br>?0
或
?q(q
为常数
）
a
n
a
n ?1
a
?
n
(n?2)
。
a
n
a
n?1
(2）．等比数列的通项：
a
n
?a
1
q
n?1
或
a
n
?a
m
q
n?m
。 (3）
．等比数列的前
n
和：当
q?1
时，
S
n
?na
1
；当
q?1
时，
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
S
n
?
?
。
1?q
1?q
特别提醒：等比数列前
n
项 和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n
项和时，首
先要判断公比
q
是否为1，再由
q
的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比
q
是否为1时，要对
q
分
q?1
和
q?1
两种情形讨论求解。
(4）．等比中项：若
a,A,b
成等比数列，那么A叫做
a
与b
的等比中项。提醒：不是任
何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两 个
?ab
。

提醒： [1]等比数列的通项公式及前
n和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出
其余2个，即知3求2；[ 2]为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，
aa
可设为…，
2
,,a,aq,aq
2
…（公比为
q
）；但偶数个数成等比时，不能设为…
qq
aa
3
,,aq,aq
，…，因公比不一定为正数，只有公比为 正时才可如此设，且公比为
3
q
q
q
2
。
5.等比数列的性质：
（1）当
m?n?p?q
时，则有
a
m
ga
n
?a
p
ga
q
，特别地，当
m ?n?2p
时，则有
a
m
ga
n
?a
p
2
.
(2) 若
{a
n
}
是等比数列，则
{|a
n
|}
、
{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
{ka
n
}
成等比数列；若
a
{a
n
}、{b
n
}
成等比数列，则
{a
n
b
n
}
、
{
n
}
成等比数列； 若
{a
n}
是等比数列，且公比
b
n
q??1
，则数列
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n< br> ，…也是等比数列。当
q??1
，且
n
为偶数时，
数列S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S< br>2n
，…是常数数列0，它不是等比数列.
(3)若
a
1?0,q?1
，则
{a
n
}
为递增数列；若
a
1
?0,q?1
, 则
{a
n
}
为递减数列；若
a
1
?0,0?q?1
，则
{a
n
}
为递减数列； 若
a
1
?0,0?q?1
, 则
{a
n
}
为递增数列；若
q?0
，则
{a
n
}
为摆动数列；若
q?1
，则
{a
n
}
为常数列.
五.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
S,(n?1)
⑵已知
S
n
（即
a
1
?a
2
?L?a
n
?f(n)
）求
a
n
，用作差法：< br>a
n
?
1
。
S
n
?S
n?1,(n?2)
?
f(1),(n?1)
?
?
f(n)
L ga
n
?f(n)
求
a
n
，用作商法：
a
n
?
?
⑶已知
a
1
ga
2
g
。
,(n?2)
?
?
f(n?1)
⑷若
a
n?1?a
n
?f(n)
求
a
n
用累加法：
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?an?2
)?L?(a
2
?a
1
)?a
1
(n? 2)
。
aaaa
⑸已知
n?1
?f(n)
求
a< br>n
，用累乘法：
a
n
?
n
?
n?1
?L?
2
?a
1
(n?2)
。
a
n
a< br>n?1
a
n?2
a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如
a
n
?ka
n?1
?b
、
a
n
?ka
n?1
?b
n
（
k,b
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比
为
k< br>的等比数列后，再求
a
n
。
注意：（1）用
a
n< br>?S
n
?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了
吗？（
n?2
，当
n?1
时，
a
1
?S< br>1
）；（2）一般地当已知条件中含有
a
n
与
S
n< br>的混合关
系时，常需运用关系式
a
n
?S
n
?Sn?1
，先将已知条件转化为只含
a
n
或
S
n
的关系式，然
后再求解。
六.数列求和的常用方法：
1．公式法：①等差数列求和 公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数
列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需 分类讨论.；③常用公式：

1?2?3?L?n?
1
n(n?1)，
1
2
?2
2
?L?n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)
，
26
n(n?1)
2
1
3< br>?2
3
?3
3
?L?n
3
?[]
.
2
2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先
合并在一 起，再运用公式法求和.
3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合
数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n< br>和公式的推导方法）.
4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比 数列的通项
相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法 ）.
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相
关联， 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
1
①
1
?
1
?
1
； ②
?
1
(
1
?
1
)
；
n(n? 1)nn?1n(n?k)knn?k
1111111
11111
??
2???
； ③
2
?
2
?(?)
，
?
k k?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
kk?12k?1k?1
n11
1111
??
?[?]
；⑤④；
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1 )(n?2)
(n?1)!n!(n?1)!
22
⑥
2(n?1?n)??< br>1
??2(n?n?1)
.
n?n?1nn?n?1
6．通项转换法 ：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。