高中数学必修2专题辅导-高中数学教师优秀教案
高中数学必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆
时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与
原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第
几
象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?9
0?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第
四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?36
0,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为?
??
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数
的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?3
60
,
1?
l
.
r
?
180
?
,
1?
??
?57.3
.
180
?
??
?
7、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径
为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S
,
则
l?r
?
,
C?2r?l
,
S?
11
l
r?
?
r
2
.
22
8、设
?
是一个任意
大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
yxy
,
cos
?
?
,<
br>tan
?
?
?
x?0
?
.
rrx
9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角函数线:
sin
????
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
y
P
T
OMA
x
1
11、角三角函数的基本关系:<
br>?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?<
br>?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
12、函数的诱导公式:
?
1
?<
br>sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?co
s
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?<
br>?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos<
br>?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
??
?sin
?
,
cos
?
?
?
??
??cos
?
,
tan
?
?
?
?<
br>?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?<
br>?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?.
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
13、①的图象上所有点向左
(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?<
br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y
?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短
)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
②数
y?sinx
的图象上所有点的
横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所
有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?<
br>x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍
(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?的图象.
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①
振幅:?
;
②
周期:
??
2
?
?
;
③
频率:
f?
1
?
?
;
④
相位:
?
x?
?
;
⑤
初相:
?
.
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??<
br>,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当x?x
2
时,取得最大值为
y
max
,则
??
1
?
y
max
?y
min
2
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
1
2
?
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
2
2
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?sinx
数
性
质
y?tanx
图象
定义域
值域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
R
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
?
2
?
k??
?
时,
?
2
最值
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
既无最大值也无最小值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周期性
奇偶性
2
?
奇函数
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
偶函数
?
奇函数
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
??
?
k??
?
上是增函数;在
单调性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
??
k??
?
上是
增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?
22
??
?
3
?
??
2k
?<
br>?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称性
对称轴
x
?k
?
?
?
2
?
k??
?
?<
br>??
对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k
??
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?
?
k
?
?
对称中心
?
,0
?
?
k??
?
?
2
?
无对称轴
3
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;
②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
. <
br>⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
????
C
a
?
b
?
?,
1
?y
2
?
x
1
x
2
y
?
.
a?b??C?????C
19、向量数乘运算: ⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;
当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反
;当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,<
br>b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共线.
21、平面
向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线
向量,那么对于这一平面内的任意向量
a
,有
且只有一对实数
?
1<
br>、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底)
4
??
??
??
*22、分点坐标公式:
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y<
br>1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的
坐标是
?
?
x
1
?
?
x
2
y1
?
?
y
2
?
时,就为中点公式。)
(当?
?1
,
?
.
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?
b?0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当<
br>a
与
b
反向
2
时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
2<
br>??
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?
a?c?b?c
.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y<
br>2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
22
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
2
??????
x
2
?y
2
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,则
a?b?xx
12
?yy
12
?
b?
?
x
2
,y
2
?
,
0
.
.
?
是
a
与
b
的夹角,设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2<
br>1
2
1
x?y
2
2
2
2
第三章
三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?<
br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s
in
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
s
in
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
⑸<
br>tan
?
?
?
?
?
?
tan
??tan
?
?
(
tan
?
?tan<
br>?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
?
(
t
an
?
?tan
?
?tan
?
?
?
???
1?tan
?
tan
?
?
).
1?ta
n
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
222
⑴
s
in2
?
?2sin
?
cos
?
.
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
c
os
?
?(sin
?
?cos
?
)
⑵<
br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?co
s
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
?1
1?cos2
?
2
,
sin
?
?
.
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
5
⑶
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?
*
万能公式:
α
2tan
2
sinα?
2
α
1?tan
2
:
26、
半角公式
α
1?tan
2
2
;cosα?
2
α
1?tan
2
α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??
2222
α
1
?
cos
sin
1
?
cos
α
αα
tan????
2
1
?
cos
α
1
?
cos
α
sin
α
?
(后两个不用判断符号,更加好用)
?
x?
?
)?B<
br>27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
y?Asin(
形式。
?sin
?
??cos
?
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?<
br>,其中
tan
?
?
?
.
?
28、三角变换
是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,
掌握运
算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求
值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍
半,互补,互余的关系,运
用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①
2
?是
?
的二倍;
4
?
是
2
?
的二倍;<
br>?
是
?
?
?
的二倍;是的二倍;
224
?
?
30
o
?
;
cos?
; ②
15?45?30?60?45?
;
问:
sin
1212
2
ooooo
③
?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?<
br>?
?
2
?(
?
4
?
?
)
;
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?<
br>?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4?
?
)
;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称
为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切
为弦,变异名为同名。
(3)常数代换
:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换
变形有:
1?sin
?
?cos
?
?tan
?<
br>cot
?
?sin90?tan45
(4)幂的变换:降幂是三角变
换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂
公式有:
; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ;
;
6
22oo
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
1?tan
?
1?tan
?
?_______
________
;
?______________
;
1?tan?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?___
_________
;
1?tan
?
tan
?
?_____
______
;
tan
?
?tan
?
?________
____
;
1?tan
?
tan
?
?__________
_
;
2tan
?
?
;
1?tan
2
?
?
; tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan
40
o
?
;
sin
?
?cos
?
?
= ;
asin
?
?bcos
?
?
= ;(其中
tan
?
?
;)
1?cos
?
?
;
1?cos
?
?
;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化
弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特
殊角的三角函数互化
。
如:
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
;
tan
?
?cot
?
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