2017届高一数学必修4试题

2017届高一数学必修4试题

2017届高一数学必修4试题

本试卷共4页．满分为150分，
考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签
字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答
在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或 签字笔
作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答 案，然
后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按
以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，
只交回
答题卡
．

（注：以下黑体字母均表示向量）


一、选择题：本大题12小题，每小题 5分，满分60分。在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量＝(4，－2)，向量＝(x，5)，且∥，
那么x等于( )．
A．10 B．5 C．－
5

2

2 < br>?
a
?
b
?
a
?
b

D．－10
2．若cos
在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知扇形的圆心角为π弧度，半径为2，则
扇形的面积是( )
A．π B． C．2π
D．π
4．已知向量
( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
5．若向量
||=|
，
|=|
，满足条件++
?
?
0
，
uur
?
1
r
?
31
?
3
?
uu
BA=
?
,
?
BC=
?
,
?
?
22
??
22
?
??? ?
＞0，sin ＜0，则角 的终边
, ,则∠ABC=
|=1，则△P
1
P
2
P
3
的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等
边三角形 D．不能确定
1
,tan(
?
?
?
)
?
,
则
ta n
?
?
（ ）
6．若
tan
?
?
1
32
15
5
A．
1
B． C． D．
767
6
π
?
2x
?
7．函数
y
?
log
sin
?

??
的单调递减区间为（ ）
4
．
??
2

3

3 π
π
?
π
?
?
?
k
π
，
?
k
π
?
,
k
?
Z

??
k
π
，k
π
，k
?
Z
A．
?
B．
?
?
?
8
?
8
?
?
4
?
3ππ
π
??
π
?
C．
?
?< br>??
k
π
，
?
k
π
?
，k
?
Z
D．
?
??
k
π
，
?k
π
?
，k
?
Z

88
?
8
??
8
?
8． 对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立
的是 ( )
A．|a·b|≤|a||b| B．|a-b|≤||a|-|b||
C．(a+b)
2
=|a+b|
2
D．(a+b)·(a-b)=a
2
-b
2

9．若向量a，b的夹角为150°，|a|=，|b|=4，
则|2a+b|=( )
A．2 B．3 C．4
D．5
10．设a=cos6°-
c=，则有( )
A．cC．a11．已知函数f(x)=3sin
同，若x∈
D．
12
sin6°，b=2sin13°.cos13°，
．a(ω>0)和
g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相
，则f(x )的取值范围是( )
C．
?x
1
A．[-3，3] B．

2
12．定义区间
?
x,x
?
长度为
x
，(
x
2
?x
1
），

4

已知函数
(a
2
?
a)x
?1
f(x)
?
,(
a?R
,
a?
0)
a
2
x
的定义域与值
域都是
?
m,n
?
， 则区间
?
m,n
?
取最大长度时a的值
为（ ）
A．
23
3
B．1 或-3，
C．-1． D．3







二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
?
??
?
?
??
13.已知平面向量a,（ba
?
0,b
?
0)满 足|b|
?
1,且a与b
?
a的夹角为120
0
，则|a| 的取值范围是
.
14．函数y＝Asin（ωx
＋φ） （ω＞0，| φ|
π
＜，x∈R）的部
2
分图象如图所示，
则函数表达式
为
.


5

15．
函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是


减区间是
,单调递
.


16．如图所示，在
?ABC
中，
AD?
1
AB
，
F
在线段
CD
上，
2
设
则




三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程 或演算步骤)

uuurr
AB?a
，
uuurr
AC?b
，
uuurrr
AF?xa?yb
，
C
x
2
?y
2
的最小值
A
F
为 ．
D
B
17．(10分)已知0＜＜
?
，sin
2
4
＝
5
．
(1)求tan 的值；
(2)求cos 2＋sin(＋
?
)的值．
2
18．（12分）已知
a?1
，
b?3
，
(1) 若，的夹角为
?
，求
a?b
；
6
(2) 求
a?b
及
a?b
的取值范围；
a
与
b
的夹角
?
. (3) 若
(a?3b)?( 2a?b)?
1
，求
2
r
a
r
b



6

19．（12分）已知函数f（x）＝sin（π－ωx）cos
ωx＋cos
2
ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
(1) 求ω的值；
(2) 将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短
1
到原来的，纵坐标不变，得 到函数y＝g（x）
2
π
的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的
16< br>最小值．


20．(12分)如图，矩形ABCD的长AD=2，宽
AB=1，A，D两点分别在x轴，y轴的正半
轴上移动，B，C两点在第一象限.求OB
2
的最大值.


21．(12分)已知向量m=
设函数f(x)=m·n.
(1) 求函数f(x)的解析式.
(2) 求函数f(x)，x∈[-π，π]的单调递增区间.

7
，n=，

(3) 设函数h(x)=f(x)-k(k ∈R)在区间[-π，π]上的
零点的个数为a，试探求a的值及对应的k
的取值范围.

22．(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知
以M为圆心的圆
M：x
一点A(2,4).
(1) 设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在
直线x=6上,求圆N的标准方程.
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两
点,且BC=OA,求直线l的方程.
(3) 设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,
使得
uuruuruur
TA+T P=TQ
2
?y
2
?
12
x?
14
y?< br>60
?
0
及其上
,求实数t的取值范围.


8

数学参考答案
一、选择题（5*12=60分）
1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
12.D
二、填空题（4*5=20分）
?
π
π
?
?
23
?
3
?
7
?
?
?
13.
?
0，
?
14.y＝－4sin
8
x＋
4
?
15.
?
;
[?k
?
,?k
?
]
,k∈Z
??
3
?
88
?
16.
三、解答题（70分）
1
5
17.（10分）
(1)因为0＜＜
?
，sin
2
3
5
4
＝
5
， 故cos ＝
，所以tan ＝
4
． -------5分
3
(2)cos 2
＝
＋sin(
?
＋
2
)＝1－2sin
2
＋cos
3
8
－
32
＋＝．-----------5分
2525
5


18.（12分）
rr
?
b
的夹角为，解：（1）∵
a
， ∴
6
＝
3
， ……1分
2
∴|-|＝（-）
2
……2分
r
2
r
2
＝
a
＋
b
-2
a?b
＝1＋3－3＝1，
……3分 ∴
a?b?1
……4分

9
a?b
＝ |
|?|
|?cos
?
6
r
a
r
b
rr
2
ab
rr
ab

（2）由
a?b?a?b?a?b
得
a?b?[
由
a?b?a?b
得
a?b?[0,
（3）
r
a
?
cos
?
?
3?1,3?1]
……6分
3]
……7分
2
又||＝1，||＝，
?a?b??
3
．……9分
2< br>a·b1
3
??
ab2
2
1
(a?3b)?(2a? b)?
2
r
3
b
，
?
2
a
2?
5
a?b?
3
b?
1
2
．……8分
． ……10分
?
?
?[0,
?
]
……没有此
?
说明扣1分
?
?
?
5
6
． ……12分



19．（12分）

解：（1）因为（fx）＝sin（π－ωx）cos ωx＋cos
2
ωx，
1＋cos 2ωx
1
所以f（x）＝sin ωxcos ωx＋＝
22
?
π
112
?
1
??
sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin
?
2ωx＋
4
?
＋．
2222
??
2π
由于ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝
2ω
1．- ------------------4
?
π
2
?
1
? ?
（2）由（1）知f（x）＝sin
?
2x＋
4
?
＋，
22
??
?
π
2
?
1
??
所以g （x）＝f（2x）＝sin
?
4x＋
4
?
＋．
22
??
ππππ
当0≤x≤时，
≤4x＋≤
，
16442

10

?
所以
2< br>2
≤sin
?
?
?
4x＋
π
?
?< br>1＋
4
?
?
≤1．因此1≤g（x）≤
2
??
故g（x）在区间
?
?
?
0，
π
?
16
?
?
上的最小值为
1．-----------------------6



20．（12分）
解:过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ
-------------------------- 2
OA=2cosθ
------------------------------- -------------------3
BH=sin=cosθ
---------- -----------------------------4
AH=cos=sinθ
-----------------------------------------5
< br>所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)
----------------------- ----7

11
2
．
，
，
，
，
，

OB
2
=(2cosθ+sinθ)
2
+cos
2
θ
=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin
----------------9
由0<θ<，知<2θ+<，
所以当

21.（12分）
θ=< br>.--------------
时，OB
2
取得最大值
7+4. ---------------------------------------12
解：(1)f(x)=m·n=4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx
=4sin .----3
，x∈[-π，π]， (2)由(1)，知f(x)=4sin
所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x≤，
所以函数f(x)的单调递增区间为
. ------------------------------7
(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点讨论
如下：
当k >4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；
------------------------- ---------8
当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；
------ -------------------------10

12

当-4---------------------------11
当

22.（12分）
解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为
(x- 6)
2
+(y-n)
2
=n
2
,n>0,
又圆N 与圆M外切,圆M:(x-6)
2
+(y-7)
2
=25,则
|7- n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为
(x-6)
2
+(y-1)2
=1.---------------------------------------< br>-----4
(2)由题意得OA=2
5
,k
OA
=2,设l:y=2x+b,
则圆心M到直线l的距离d=
12
?
7
5
?
b=
5
?
5
b
,
则BC=2
即2
25
?
5
2
?d
2
k=-2时，h(x)有三个零点，
a=3.--------------------------------------12
= 2
?
5
?
b
?
25
?
5
2
,BC=2
5
,
?
5
?
b
?
5
2
=2
5
?b=5或b=-15,即l:y=2x+5或
,所以
?
t?2
?
2
y=2x-15.------------8
(3) 因为
uuruur
TA=PQ
uuruuruur
TA+TP=TQ
uuruuruuruur
TA=TQ-TP=PQ
,
21
?
uu uruuur
uuur
TA=PQ
TA=
,
?4
2
2
,
≤10?t∈[2-2
13
根据|
|≤10,即

uur
PQ
?
t?2
?
?4
2
,2+2< br>21
],

所以t的取值范围为[2-2
对于任意t ∈[2-2
uur
2
TA
4
21
21
,2+221
].
,此时|
|≤10,
uuuruuur
TA=PQ< br>uur
TA
,2+2
21
],欲使
uuruur
TA =PQ
只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距
离为
即
uuruur< br>TA=PQ
25
?
,必然与圆交于P,Q两点,此时
21
,< br>,因此对于任意t∈[2-2,2+2
21
],均满足
题意,
综上
t∈[2-2
-----12


21
,2 +2
21
].------------------------------------ -






14