重点高中数学必修四知识点总结

重点高中数学必修四知识点总
结

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

必修四数学公式概念
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1、一般地，所有与角
?终边相同的角，连同角
?
在内，可构成一个集合

S?
?
??
?
?
?k?360?,k?Z
?
.
?
??
?
?
?90??k?180?,k?Z
?
. 与角
?
终边垂直的角的集合：
S?
1.1.2 弧度制
2、如 图，圆O的半径为1，
3、角
?
的弧度数的绝对值是：
的长等于1，
?AOB
就是1弧度的角。
?
?
l
l
r?
l?
?
?r
变形：
r
?
其中 半径
r
，圆心角
?
，弧长
l
.
4、特殊弧度数
度
弧度
度
弧度
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
0

?
12

?

6
5
?

4
?

4
4
?

3
?

3
3
?

2
5
?

12
5
?

3
?

2
7
?

4
2
?

3
11
?

6
3
?

4
5
?

6
180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
?

7
?

6
2
?

5、弧长公式：
l?
?
r

6、扇形面积公式：
S
扇形
?
11
lr?
?
r
2

22
“弧度”与“度”计
算公式：
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1、如图：
OP?r?
①正弦：
sin
?
?
x
2
?y
2
?0

yx
②余弦：
cos
?
?

rr
y
③正切：
tan
?
?(x?0)

x
2三角函数定义域 3、三角函数值的符号
三角函数

sin
?

定义域
R
必修四 数学 3

cos
?

tan
?


4、诱导公式一
R
?
?
?
2
_
_
?k
?
,k?Z

+
+
sin(
?< br>?k?2
?
)?sin
?
,
cos(
?
?k ?2
?
)?cos
?
,
tan(
?
?k?2
?
)?tan
?
,

其中k?Z.

利用公式 一，可以把任意角的三角函数值，转化为
?
0,2
?
?
内的三角函数 值。
5、三角函数线


如图，
sin
?
?y?MP,cos
?
?x?OM,tan
??AT?
6、特殊角的三角函数
y

x
角度
sin
?
正弦
0°
0
30°

45°

2

2
2

2
60°

3

2
90°

120°

135°

150°

180°

270°

360°

1

1

2
3

2
3

3
3

2
2

2
1

2
0

?1

0

cos
?
余弦
tan
?
正切
1
1

2
0

1
?

2
?
23

?

22
?1

0

1

0
1

3

不存
在
?3

?1

?
3

3
0

不存
在
0


必修四 数学 4

补充1、如图，角平分线落在一、三象限线
?
x ?y
?
上方，则
sinx?cosx
.
补充2、如图，当
?
?
?
0,
证明：
x=y
?
?
?
?
?
时，
sin
?
?
?
?tan
?

2
?
?S
?
OPA?S
扇形
OPA?S
?
OAT
111
2OAOM?
?
?OA?OAAT

222
?MP?
?
?AT
?

?sin
?
?
?
?tan
?
1.2.2 同角三角函数的基本关系
22
2222
7、平方关系：
sin
?< br>?cos
?
?1
变形：
sin
?
?1?cos
?
，
cos
?
?1?sin
?

8、商数 关系：
sin
?
sin
?
?tan
?
变形：
sin
?
?tan
?
?cos
?
，
cos
?
?

cos
?
tan
?
2
1
tan
2
?
2
9、推导公式： ①
cos
?
?
②
sin
?
?

2
2
1?tan
?
1?tan
?
③
?
sin
?
?cos
?
?
?1?2sin
?
cos
?
④
?
sin
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?cos
?
?
? 2

222
1.3 三角函数的诱导公式

公式二： 公式三： 公式四：
sin
?
?
?
?< br>?
??sin
?
,sin
?
?
?
?
??sin
?
,sin
?
?
?
?
?
?si n
?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.tan
?
?
?
?
?
??tan
?.
tan
?
?
?
?
??tan
?
.< br> 公式五： 公式六：
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
??
2
?
?
?
??
?
?

cos
?
?
?
?
?sin
?
,

cos
?
?
?
?
??sin
?
,

?
2
??
2
?
11
?
?
???
?
tan
?
?
?
?
?.tan
?< br>?
?
?
??.
2tan
?
2tan
?
????
1.4 三角函数图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象



必修四 数学 5

2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
??
??
3
?
?
y?sinx
，
x?
?
0,2
?
?
：
0,0,
?
,1
?
,
?
,0,
?
,?1
?
,2
?
,0

?
2
??
2
?
??????
?
???
3
?
?
y?cosx
，
x?
?
0 ,2
?
?
：
?
0,1
?
,
?
,0
?
,
?
?
,?1
?
,
?
,0?
,
?
2
?
,1
?

?
2
??
2
?

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

3、对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数、非零常数
T
就叫做这个 函数的周期。
．．．．．．
函数
y?Asin
?
?
x?< br>?
?
及函数
y?Acos
?
?
x?
?
?
的周期
T?
4、重要推论
（1）若函数
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
，则
f
?
x
?
关于
x?a
对称；
若函数
f
?
a?x
?
??f
?
a?x
?
，则
f
?
x
?
关于点
a,0
对称.
（2）与周期相关的结论
①
f
?
x?a
?
??f
?
x
?< br>，则函数
f
?
x
?
的一个周期
T?2a
；
②
f
?
x?a
?
?
2
?
?
.
??
1
，则函数
f
?
x
?
的一个周 期
T?2a
；
f
?
x
?
1
，则函数f
?
x
?
的一个周期
T?2a
；
f
?
x
?
③
f
?
x?a
?
??
④< br>f
?
x?a
?
?f
?
x?b
?
，则 函数
f
?
x
?
的一个周期
T?a?b
；
⑤
f
?
x?a
?
?
1?f
?
x
?
，则函数
f
?
x
?
的一个周期
T?4a
；
1?f
?
x
?
⑥
f
?
x
?
关于
x?a
和
x?b
对称，则
f
?
x
?
周期
T?2a?b
；
⑦
f
?
x
?
关于
a,0
和
b,0
对称，则
f
?
x
?
周期
T?2a?b
；
⑧
f
?
x
?
关于
a,0
和
x?b
对称，则
f
?
x
?
周期
T?4a?b
.
5、正弦函数
y?sinx
的定义域 为
R
；值域为
?
?1,1
?
.
当
x?
?
?
???
?
?
2
?2k
?
?< br>k?Z
?
时，
y
取最大值1；当
x??
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
时，
y
取最小值?1
.
必修四 数学 6

6、余弦函数
y ?cosx
的定义域为
R
；值域为
?
?1,1
?
.
当
x?2k
?
?
k?Z
?
时，
y
取最大值1；当
x?
?
?2k
?
?
k?Z
?时，
y
取最小值
?1
.
7、奇偶性
由诱导公式
sin
?
?x
?
??sinx
，
cos
?
?x
?
?cosx
可知：
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
．．．．．．
8、对称性
（1）正弦曲线 对称中心坐标为
k
?
,0
??
?
k?Z
?
；对称轴方程是
x?k
?
?
?
?
k?Z
?
.
2
?
,0
?
?
k?Z
?
；对称轴方程 是
x?k
?
?
k?Z
?
.
2
?
（2）余弦曲线对称中心坐标为
?
k
?
?
9、单调性
（1 ）正弦函数
y?sinx
在
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?
?
k?Z
?
上都是增函数，其值从
?1
增大
2
?2
?
到1；在
?
3
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?
?
k?Z
?
上都是 减函数，其值从1减小到
?1
.
2
?
2
?
（2） 余弦函数
y?cosx
在
?
?
?2k
?
,2k?
?
?
k?Z
?
上都是增函数，其值从
?1
增 大到1；
在
?
2k
?
,
?
?
?2k
?
?
?
k?Z
?
上都是减函数，其值从1减小到
?1.

1.4.3 正切函数的性质与图像
10、正切函数的图像 11、正切函数
y?tanx
的定义域是：

?
xx?k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?
.
2
?
12、周期性
由诱导公式
tan
?
x?< br>?
?
?tanx,x?R
,
x?
?
2
?k
?
,k?Z
可知，正切函数是周
期函数，周期是
T?
?.
13、奇偶性
由诱导公式
tan
?
?x
?
??tanx,x?R
， x?
?
2
?k
?
,k?Z
可知，正切函数是奇
函数。

必修四 数学 7

14、单调性：正切函数在开区间
?
?
15、值域：正切函数的值域为R.
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?k?Z
内都是增函数。
2
?
2
?
1.5 函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像

1、
?
对
y?sin
?
x?
?
?
，
x?
R图像的影响
函数
y?sin
?
x?
?
?
（
?
?0
）的图像，可以看做是把
y?sinx
的图像上各点向左（
?
?0
）
或向右（
?
?0
） 平移
?
个单位得到的。（可简记为左“
?
”右“
?
”） < br>2、
?
?
?
?0
?
对
y?sin
?
?
x?
?
?
图像的影响
函数
y?sin(x ?
?
)
的图像上点的横坐标缩短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1
?
到原来的
（纵坐标不变） 而得到的。
3、
A
?
A?0
?
对
y?Asin< br>?
?
x?
?
?
图像的影响
函数
y?A sin
?
?
x?
?
?
的图像，可以看做是把
y?s in
?
?
x?
?
?
上所有点的纵坐标伸长
1
?
倍
(A?1)
或缩短
(0?A?1)
到原来的
A
倍（横坐标不变）而得到。
4、
y?Asin
?
?
x?
?
?
，x?
?
0,??
?
，
A?0,
?
?0
的性质
?
2
（1）对称轴：令
sin
?
?
x?< br>?
?
??1
，即
?
x?
?
?
k?
?
?k
?
，
?x?
k
?
?
?
?
2
?
?
(k?Z)

?
，（2）对称 中心：令
sin
?
?
x?
?
?
?0
，?
?
x?
?
?k
?
，
?x?
?
?
k
?
?
?
?
??,0?
?
?
?
?
k?Z
?

??
（3）最值：
?
y< br>max
?1,
?
x?
?
?
（4）单调区间：
A,
?
?
?
2
?2k
?
,y
min
??1,
?
x?
?
??
?
2
?2k
?< br>
?
均大于0以后，将
?
x?
?
整体代入
2
?
T?
5、当函数
y?Asin
?
?
x?
?
??
x?0
??
A?0,
?
?0
?
表 示一个振动量时，
A
为振幅，
．．．．．
是周期，
f??
是 频率，
?
x?
?
为相位，
?
为初相。
．．．．．．．．
T2
?
?
1
?
必修四 数学 8

第二章 平面向量
2.1 平面向量的基本概念
2.1.1 平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2 向量的几何表示
3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段
包含三个要素：起点、方向、长度。
uuur
4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向 量
AB
的大小，也
uuur
uuur
就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
或者
a
.
5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。
6、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：向量在 印刷体时，用黑体小写字母
a、b、c
、…表示向量；手写时，
rrr
写成带 箭头的小写字母
a、、、bc…
表示。
8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量 叫做平行向量。通常记
作
a

b
。零向量与任一向量平行，即对于任意 向量
a
，都有
0

a
.
平行向量也叫做共线向量。

2.1.3 相等向量与共线向量
9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。
10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。

2.2 平面向量的线性运算

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：如图，已知非零向量
a
、
b< br>，在平面内任
uuur
uuuruuur
取一点
A
，作
AB?a
，
BC?b
，则向量
AC
叫做
a
与b
uuuruuuruuur
的和，记作
a?b
，即
a?b?A B?BC?AC
.
对于零向量与任一向量
a
，仍然有
0+a=a+0=a

2、平行四 边形法则：如图，以同一点
O
为起点的两个已知向
uuur
量
a、
b
为邻边作
YOACB
，则以
O
为起点的对角线OC
就
uuur
是
a
与
b
的和。记作
a?b=AC
.
3、向量
a
、
b
、
a?b
的关系
（1）
a
、
b
都为非零向量
（Ⅰ）当
a
、
b
不共线时，
必修四 数学 9

a?b?a?b?a?b

（Ⅱ）当
a
、
b
共线时，①同向，则
a?b?a?b
；②反向，则
a?b?a? b

（2）当
a
、
b
至少有一个为零向量时，
a? b?a?b?a?b

综上所述：当
a
、
b
不共线时，一般地，我们有
a?b?a?b?a?b
.
4、向量加法（1）交换律：
a?b?b?a
（2）结合律：
?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?


2.2.2 向量减法运算及其几何意义

5、相反向量：与
a
长 度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量，记作
?a
.
若< br>a
、
b
是互为相反的向量，则
a??b
，
b??a< br>，
a?b?0
.
6、向量的减法：如图，已知向量
a
于b
，在平面
uuuruuur
内任取一点O，作
OA?a
，OB?b
，则
uuur
BA?a?b
，即
a?b
表示的 向量从向量
b
的终点
指向向量
a
的终点的向量。
7、向量
a
、
b
、
a?b
的关系
（1）
a
、
b
都为非零向量，
（Ⅰ）当
a
、
b
不共线时：
a?b?a?b?a?b

（Ⅱ）当
a
、
b
共线时，①同向，则
a?b?a?b< br>；②方向，则
a?b?a?b

（2）当
a
、
b少有一个为零向量时，
a?b?a?b?a?b

综上所述：当< br>a
、
b
不共线时，一般地，我们有
a?b?a?b?a?b
.

2.2.3 向量乘法运算及其几何意义

8、向量的数乘：实数
?
于向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
?
a
，
它的长度与方向规定如下：

?
a?
?
a ???
?
?
?
a
a

?
a
结果也是向量
当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，?
a?0
.
9、向量满足的运算律
设
?
、
?
为实数，则有 结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；
第一分配律：
?
?
?
?
?
a?
?a?
?
a
；第二分配律：
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
.
特别的，我们有
?
?
?
?
a??
?
?
a
?
?
??
?a
?
；
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
.
必修四 数学 10

10、数乘向量与原向量之间的位置关系
（1）当
a?0
时，
?
a
与
a
共线； < br>（2）当
a?0
时，
?
a
与
a
同向，则?
?0
；反向，则
?
?0
.
11、对于向量
a
?
a?0
?
、
b
，如果有一个实数
?
， 使
b?
?
a
，那么由向量数乘的定义知，
a
与
b< br>共线。
12、共线向量定理
（1）判定定理：如果
b?
?
a
?
?
?R
?
，那么
a

b
（2）性质定理：如果
a

b
，
a?0
，那么存在唯一一 个实数
?
，使得
b?
?
a

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理
1、平面向量 基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量 ，那么对于这一平面内
的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对 实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1< br>e
1
?
?
2
e
2
.我们把不共线的向量e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、两向量的夹角
uuuruuur
如图，非零向量
a
、b
中，作
OA?a
，
OB?b
，则
?AOB?
?
?
0
o
?
?
?108
o
?
叫做 向量
a
与
b
的夹角。如果
a
与
b
的夹角是90°，我们说
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
.
2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示

3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正
交分解
4、如 图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实
x
、
y
使得
a?xi ?yj
.
把
a?
?
x,y
?
叫做向量的坐标表示。

2.3.3 平面向量的坐标运算
5、向量的加减法运算
若
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?

两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
6、实数于向量的积
若
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
?
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
uu ur
7、若
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?< br>?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

必修四 数学 11

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
8、设
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
b
共线。
即
a

b
（
b?0
）
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
2.4 平面向量的数量积

2.4.1 平面向量数量积的含义

1、数量积： 已知两个非零向量
a
与
b
，我们把数量
abcos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或内
积），记作
agb
， 即
agb?abcos
?
.其中，
?
是
a
与
b
的夹角。
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即
0?a?0
.
注意：（1）
a
、
b
运算结果是数量；（2）它在
?
0,
2、根据向量 数量积的定义得出的结论
（1）
a?b?agb?0

（2）当
a
与
b
同向时，
agb?ab
；当
a
与
b< br>反向时，
agb??ab
. 特别的，
?
?
?
?2
?
?
为正，
?
?
?
?
,
?
?
为负。
?
2
?
a
.
aga?a?a
2
或
a?a
2
?ag
（3）
agb?ab
（共线时取等号）
（4）求投影，由
agb?abcos
?
?acos?
?
2
agb
.
b
求夹角，由
agb?abcos
?
?cos?
3、平面向量数量积的几何意义
agb

ab
数量积
agb
等于
a
的 长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos
?
的乘积。
4、向量的运算律
（1）交换律：
agb?bga
（2）结合律：
?
?
a
?
gb?
?
?
ag b
?
?ag
?
?
b
?

（3）分配律：
?
a?b
?
gc?agc?bgc

b?b
（5）
?
a?b
?
g
（4）
?
a?b
?
?a?2ag
?
a?b
?
?a
2
?b
2

22
2
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

5、平面向量数量积的坐标表示
b?x
1
x
2
?y
1
y
2
. 设
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，则
ag
必修四 数学 12

也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
6、向量的长度（模）的坐标表示
（1）向量的长度（模）：若
a?
?x,y
?
，则有
a?x?y
，
a?
22
2x
2
?y
2
.
（2）两点间的距离公式：设
A
、
B
两点坐标分别为
x
A
,y
A
，
x< br>B
,y
B
，则
??
??
AB?
?
x
A
?x
A
?
?
?
y
B
?y
B
?
22

7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

8、两向量夹角的坐标表示
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
a
，
b
的夹角为
?
，则有
cos< br>?
?
agb
?
ab
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x
2
?y
2
22

平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为
O,A,B,C
，则
uuuruuuruuur

A,B,C
三点共线
?
O C?
?
OA?
?
OB
?
?
?
?
? 1
?
或
uuuruuuruuur
OC?
?
OA?
?
1?
?
?
OB
.
uuur
1
uuuruuur
1
OA?OB
. 特别 的，当
?
?
时，
C
为
AB
中点，
OC?< br>2
2
uuuruuuruuur
补充2、（1）若
GA?GB?GC? 0
，则
G
为△
ABC
的重心。
??
（2）若
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，
Cx
3
,y< br>3
，则
G
坐标为
??
x
1
?x
2
?x
3
?
x?
?
?
3

?

y?y?y
3
?
y?
12
?
3
?
uuuruuur
补充3、当
PP?
?
PP
2
时，则
?
x?x
1
,y?y
1
?
?
?
?
x
2
?x,y
2
?y
?

1
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
?
?
?
x?x
1
?
?
?
x
2< br>?x
?
1?
?

?
?

??
y?
?
y
y?y?
?
y?y
?
2< br>?
2
?
1
?
y?
1
?
?
1 ?
?
?
必修四 数学 13

uuuuuruuu uur
?
x
起
?
?
x
终
y
起?
?
y
终
?
总结：若
P
，则.
P? PP
?
1?
?
,
?
起分分终
1?
?
??

第三章 三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
（
C
?
?
?
?
?
）
给出任意角
?
，
?
的正弦、余弦值与其夹角
?
?
?
的余弦值 之间的关系.称为差角的余弦公
式。简记作
C
?
?
?
??
.

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、两角和的余弦公式

cos
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
（
C
?
?
?
?
?
）
3、两角和（差）的正弦公式

sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?
（
S
?
?
?
?
?
）

sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
（
S
?
?
?
?
?
）
4、两角和（差）的正切公式

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
（
T
?
?
?
?
?
）
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
（
T
?
?
?
?
?
）
1?tan
?
tan
?

tan
?
?
?
?
?
?
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、二倍角的正弦、余弦、正切公式


sin2
?
?2sin
?
cos
?
（
S
2
?
）

cos2
?
?cos

tan2
?
?
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1 ?2sin
2
?
（
C
2
?
）
2tan
?
（
T
2
?
）
2
1?tan
?
2
8、公式的逆运算即变形公式
（1）< br>1?sin2
?
?sin
?
?cos
2
?
? 2sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?co s
?
?

2
2
（2）升幂公式：
1?cos
?
?2cos
?
2

1?cos
?
?2sin
2
?
2

必修四 数学 14

降幂公式：
cos
2
?< br>?
1?cos2
?
1?cos2
?
2

sin
?
?

2
2
??
ab
a< br>2
?b
2
?
sin
?
?cos
?
?

22
a
2
?b
2
?
a?b
?< br>补充1：辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
?
补 充2：若在三角形“△”中，
sinA?a,cosB?b
，
则
a?b?A?B?sinA?sinB
.
3.2 简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式

sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?

cos??

2
22
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??

1?cos
?
1?cos
?
sin
?

tan
?
2
??
7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式

sin
2
?
2
?
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
2
?
2
?
??

cos

tan

22221?cos
?
8、象限角符号的判定
?

第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
?

2
第一、三象限
第一、三象限
第二、四象限
第二、四象限
2
?
、
?

?
、
?

?
、
?

?
、
?

sin
?

2
?
、
?

?
、
?

?
、
?

?
、
?

cos
?

tan
?
2

?

?

?

?

若给出角
?
的范围（某一区间）时 ，可先求出
??
的范围，然后再根据所在的范围来
22
确定符号。如果没有决 定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式
1

sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
??
??
2
1

cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?

2
?
1
cos
?
?
?
?< br>?
?cos
?
?
?
?
?
?

cos
?
cos
?
?
?
?

2< br>?
1
cos
?
?
?
?
?
?cos< br>?
?
?
?
?
?

sin
?
sin
?
??
?

??
2

sin
?
cos
?
?
10、三角函数的和差化积公式

sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?
??
?
?

sin
?
?sin
?
?2cos

?sin
22
必修四 数学 15
?cos
?
?
?

cos
?
?cos
?
?2cos
?
?
?
2 2
?
?
??
?
?

cos
?
?cos
?
??2sin

?sin
22



11、三倍角的正弦、余弦、正切公式

sin3
?
?3sin
?
?4sin
?

cos3
?
?4cos
?
?3cos
?

3
?cos
?
?
?

3
3tan
?
?tan
3
?

tan3
?
?

2
1?3tan
?
12、其他一些恒等变换
2tan

sin
?
?
?
2

cos
??
1?tan
2
1?tan
2
?
?
2

tan
?
?
2
2tan
?
2

1?tan
2

?
2
1?tan
2
?
2
必修四 数学 16