(word完整版)高一数学必修四综合试题及详细答案

1．下列命题中正确的是
A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
（ ）
3m
?
，
?m?0
?
，则
2sin
?
?cos
?
的值是 2．已知角
?
的终边过点
P
?
?4m，
A．1或－1
3．下列命题正确的是


?
（ ）
B．

222
或
?
C．1或
?

555

?
D．－1或

??
2

5
（ ）
A．若
a
·
b
=
a·
c
，则
b
=
c

??????
????
B．若
|a?b|?|a?b|
，则
a
·
b=0
????
C．若
a

b
，
b
< br>c
，则
a

c
D．若
a
与
b
是单位向量，则
a
·
b
=1
??
4．计算下列几个式子，①
tan25?tan35?
1?tan15< br>1?tan15
?
3tan25
?
tan35
?
,
tan
?
6
2
?
②2(sin35?cos25?+sin 55?cos65?), ③
?
, ④ ，结果为
3
的是（ ）
1?tan
6
A．①② B．③ C．①②③ D．②③④
?
－2x)的单调递增区间是 （ ）
4
53
??
A．[kπ＋，kπ＋
π] B．[kπ－π，kπ＋
]
88
88
53
??
C．[2kπ＋，2kπ＋
π] D．[2kπ－π，2kπ＋
]（以上k∈Z）
88
88
5．函数y＝co s(
22
x?xcosAcosB?cos
6．△ABC中三个内角为A、B、C，若 关于x的方程
C
?0
有一根为1，则△ABC一定是
2
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．将函数
f(x)?sin(2x?


?
3
)
的图像左移
?
，再将图像上各点横坐标压缩到原来的
1
，则所得到 的图象的解析式为
3
2
（ ）
?
?
2
?
A．
y?sinx
B．
y?sin(4x?)
C．
y?sin(4x?)
D．
y?sin(x?)

3
3
3
8. 化简
1?sin10
+
1?sin10
，得到
D．2cos5

（ ）
（ ）
A．－2sin5 B．－2cos5 C．2sin5
9．函数f(x)=sin2x·cos2x是
A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数 C．周期为
??
的偶函数 D．周期为的奇函数.
22
10．若|
a|?
A．
2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是
B．
（ ）
?

6
?

4
??
?
C．
??
?

3
?
D．
?
5
?

12
11．正 方形ABCD的边长为1，记
AB
＝
a
，
BC
＝
b
，
AC
＝
c
，则下列结论错误的是（ ）
．．
1
??

A．(
a
－
b
)·
c
＝0 B．(
a
＋
b
－
c
)·
a
＝0 C．(|
a
－
c
| －|
b
|)
a
＝
0

???? ????????
D．|
a
＋
b
＋
c
|＝
???
2

13．已知曲线y=Asin(?x＋?)＋k （A>0,?>0,|?|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(
2)，此曲线的函数表达式是 ．
1
1
14．设sin?－sin?=，cos?+cos?=,则cos(?+?)= ．
2

3
?
5
?
, 4)，最低点的坐标为(, －
88
15．已知向量
OP?(2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设 X是直线OP
上的一点（O为坐标原点），那么
小值是___________．
1 6．关于下列命题：①函数
y?tanx
在第一象限是增函数；②函数
y?cos2(
XA?XB
的最
?
?x)
是偶函数； ③函数
4
y?4sin(2x?
?
3
)
的一个对称中心是（
?
，0） ；④函数
y?sin(x?
6
?
4
)
在闭区间
[?
?
,
?
]
上是增函数; 写出所有
22
正确的命题的题号： 。
17．已知
?
?
?
?
3
?
，
0???
?
，
cos(
?
?
?
)??
3
，
sin(3?
??)?
5
，求
sin
?
?
?
?
?
的值.
44
4
45
413


18．已知函数
f(x)?sinx?3cosx
。
（I）求
f( x)
的周期和振幅；（II）用五点作图法作出
f(x)
在一个周期内的图象;（II I）写出函数
f(x)
的递减区间.



2
1 9．已知关于x的方程
2x?(3?1)x?m?0
的两根为
sin
?
和
cos
?
，
?
∈（0，π）. 求：
（I）m的值；（II）

tan
?
sin
?
co s
?
的值；（III）方程的两根及此时
?
的值.
?
ta n
?
?11?tan
?
20．已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、 B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(
?
3
?
,).
2
2
2sin
2
?
?sin2
?
（I）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；（II）若
AC
·
BC
=-1，求的值.
1?tan
?


?
?
22．已知向量
a?
?
2cos(?
?
),2sin(?
?
)
?
,b?cos(90
?
?
?
),sin(9 0
?
?
?
)

??
?
????
?
?
?
??
2
（I）求证：
a?b
； （II） 若存在不等于
0
的实数
k
和
t
，使
x?a?(t? 3)b,y??ka?tb
满足
x?y
。试求
k?t
2
此时 的最小值。
t

2

1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.D
6、-cosAcosB-12-(-cosAcosB+sinAsinB)2 =12-(cosAcosB+sinAsinB)2=0 cosAcosB+sinAsinB=1 cos(A-B)=1
13．
y?3sin(2x?
?
4
)?1
14．
?
59
15．－8 16．③
72
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
?3????3?4
∴
?????
又
cos(??)??
∴
sin(??)?

???
45
442445

?3?3?3?53?12
∵
0???
∴
?????
又
sin(??)?
∴
cos(??)??

444
413413
?3?
∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] =
?sin[(??)?(??)]

44
?3??3?
??[sin(??)cos(??)?cos(??)sin(??)]
44 44

4123563

??[?(?)??]?
5135 1365
解：∵
18．（本小题满分12分）
??
13
?
解：（I）
y?2(sinx?cosx)
＝
2(sinxcos?cosxsin)
＝
2sin(x?)

22
33
3
函数
f(x)
的周期为T＝
2
?
，振幅为2。
（II）列表：

?
2
?

?

x

?

3
6
3


?
?

?

x?

0

2
3


?
y?2sin(x?)

0 2 0
3


图象如上。
（III）由
2k
?
?
7
?

6
3
?

2
5
?

3
2
?

-2 0
?
2
?x?
?
3
?2k
?
?
3
?
(k?Z)
解得： ---------10分
2
2k
?
?
?
6
?x ?2k
?
?
7
?
(k?Z)

6
所以函数 的递减区间为
[2k
?
?
19．（本小题满分12分）
?
6
,2k
?
?
7
?
],(k?Z)
-------12分
6
（I）由韦达定理得：
sin
?
?cos
?
?
23?4
3?13
∴
1?2sin
?
cos
?
?
∴
2sin
?
cos
?
?

4
22
3
1?3
2
3
)
∴m?
（II）∵
1?2sin
?
cos
?
?(
2
4
2
由韦达定理得
sin
?
?cos
?
?
m
=
2
sin
2
?
cos
2
?
3?1
tan
?
sin
?
cos
?
??
∴
sin
?
?cos
?
??
∵= 2
tan
?
?11?tan
?
sin
?
?co s
?
cos
?
?sin
?
sin
2
??cos
2
?
3?1
?sin
?
?cos
?< br> ∴原式=
sin
?
?cos
?
?
=
2
sin
?
?cos
?
3

（I II）
2sin
?
cos
?
?
3
>0 ∵
sin
?
与
cos
?
同号，又∵
sin
?
?cos
?
>0
2
∴
sin
?
与
cos
?
同正号 ∵
?
∈（0，π） ∴
?
∈（0，
?
）
2
∵
sin
?
?cos
?
?
3?1
3?1
，且
sin
?
?cos
?
??

22
∴
sin
?
=
3
3
?
11
?
，
cos
?
=；或
sin
?
=，
cos
?
= ∴
?
=或
?
=.
2
2
22
6
3
20．（本小题满分12分）
解： （I）∵
AC
=(cosα-3,sinα)，
BC
=(cosα,sinα -3), --2分
∴|
AC
|=
(cos
?
?3)2
?sin
2
?
?10?6cos
?
,
|< br>BC
|=
cos
2
?
?(sin
?
?3)< br>2
?10?6sin
?
. 由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα.
又∵α∈(
5
?
?
3
?
,)，∴α=.
4
2
2
BC
=-1, （II）由
AC
·
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=
24
由上式两边平方得1+2sinαcosα=,
3

9
2
5
2sin
2
?
?sin2
?
5
2sin
?
?sin2
?
2sin
?
(sin
?
? cos
?
)
∴2sinαcosα=
?
. 又
=2sinαcosα. ∴
??
.
?
9
1?tan
?
9
sin
?
1?tan
?
1?cos
?
22．（本小题满分14分）
?
?
?
解：由诱导公式得：
a?
?
2cos?
,?2sin
?
?
,b?
?
sin
?
,cos
?
)
?

a?2
?
?< br>?
?
（I）
a?b?2cos
?
?sin
?
?(?2sin
?
)?cos
?
?0
则
a?b

?
b?1

?
?
?
??
??
?
???
?
??
2
2
（II）
x?a?(t?3)b,y??ka?tb


?x?y

?x?y?0
即：
[a?(t?3)b]?[?ka?tb]?0

?
2
?< br>2
?
?
22
?ka?[t?(t?3)(?k)]a?b?(t?3) tb?0

∴
?4k?(t?3)t?0
2
(t
2
?3)t

k?
4
k?t
2
7
k?t
2
t
2
?4t?3117
22
∴
f(t)?
的最小值为
?
.
??[(t?2)?7]?(t?2)?
即当
t??2
时，
t
4
t4444
4