高中数学必修四综合试题(一)

非常之役·非常之时数学学科巩固诊断试卷（五）
时间：
120
分钟

满分：
150
分

一、选择题：本大题共
12
小题 ，每小题
5
分，共
60
分．

1
．设集合
A?{1,2,4}
，
B?{x|x
2
?4x?m?0}
，若
A?B?{1}
，则
B?
（

）

A
．
{1,?3}
B
．
{1,3}
C
．
{1,0}
D
．
{1,5}

2
．函数
f(x)?
1
(log
2
x)
2
?1
的定义域为（

）

A
．
(0,)
B
．
(2,??)
C
．
(0,]?[2,??)
D
．
(0,)?(2,??)

3
．已知角
?
的顶 点与坐标原点重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边在直线
y?3x
上，则

1
2
1
2
1
2
cos2
??
（

）

A
．
?
4

5
B
．
?

3
5
C
．
3

5
D
．
4

5
4
．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》
[
三 三
] “
今有宛田，下周六步，
径四步问为田几何？
”
译成现代汉语 其意思为：有一块扇形的田，弧长
6
步，其所在圆的直径是
4
步，问这块田的 面积是
( )
平方步？

A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5.
要得到函数
y?4sin(3x?
A< br>．向左平移
C
．向左平移
?
3
)
的图像，只需要将函 数
y?4sin3x
的图像（

）





B
．向右平移
D
．向右平移
?

个单位

9
?
3
个单位

?
个单位

9
?
3
个单位

6
．已知函数
f(x)?()?4
，则（

）

A
．
f(x)
是奇函数，且在
R
上是增函数
B
．
f(x)
是偶函数，且在
R
上是增函数

C
．
f(x)
是奇函数，且在
R
上是减函数
D
．
f(x)
是偶函数，且在
R
上是减函数

1< br>4
xx
uuuruuuruuur
2
uuuruuur
7．在
?ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
DB?2AD,CD?CA?
?
CB
，则
?
?
（

）

3
A.
1133
B.
?
C. D.
?

3355



1

e
x
?e
?x
8
．函 数
f(x)?
的图像大致为（

）

2
x

9
．设函数
f(x)?cos
2
x ?bcosx?c
，则
f(x)
的最小正周期（

）

A
．与
b
有关，但与
c
无关

C
．与
b
无关，且与
c
无关



B
．与
b
有关，且与
c
有关

D
．与
b
无关，但与
c
有关

10．已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)?A?0,
?
?
0,|
?
|?
?
2
)
在一个周期内的 图象如下图．若
方程
f(x)?m
在区间
[0,
?
]
上有两个不同的实数解
x
1
,x
2
，则
x
1?x
2
的值为（ ）

A
．
?
24
?
4
B
．
?
C
．
?
D
．或
?

33333
?
?x
2
?3x, x?0
11
．已知函数
f(x)?
?
，若
f(x)?ax< br>，则
a
的取值范围是（

）

?
ln(x?1),x?0
A
．
(??,0]
B
．
(??,1]
C
．
[?3,1]
D
．
[?3,0]

12
．已知定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(?x)?4?f(x)
，若函数
y?
m< br>2x?1
与
y?f(x)
图

x
象的交点为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),?, (x
m
,y
m
)
，则
A
．
0
B
．
m

?
(x?y)?
（

）

ii
i?1
C
．
2m
D
．
4m

二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．请将答案填写在答题卷相应位置上．

13
．已知函数
f(x)?ln(1?4x
2
?2x)?2
，则
f(l g5)?f(lg)?
__________.

1
5



2

sin(
?
?5
?
)cos(8
?
?
?
)tan(?
??
?
)
14
．已知，其中
?
是第三象限角，且
?
3
?
sin(
?
?)cos(?
?
)
2 2
3
?
1
cos(
?
?)?
，则
f(?
)?
______________
．

25
f(< br>?
)?
15
．若
0?
?
?
?
4,?
?
?
?
1
??
3
则
cos(?
?)?
_______.
?
?
?0,cos(?
?
)?,cos(?)?
3
443433
16
．已知定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(x)?f(?x)
，
f(x)? f(2?x)
，且当
x?[0,1]
时，
13
?
x)
，则函数
h(x)?g(x)?f(x)
在
[?,]
上的零点个数
f(x)?x
3
．又函数
g(x)?xcos(
22
为
__ _____.
三、解答题：

17
．（本小题满分
10
分 ）已知函数
f(x)?sin
2
x?cos
2
x?23sinxco sx(x?R)
．

（
1
）求
f()
的值；

?
3
（
2
）求
f(x)
的最小正周期及单调递增区间．








18
．（本小题满分
12
分）

在
?ABC
中，三个内角分别为
A、B、C
，已知
sin
?
A?
?< br>?
?
?
?
?2cosA
.

6
?
（
1
）求角
A
的值；

4< br>?
?
?
（
2
）若
B?
?
0,
?
，且
cos
?
A?B
?
?
，求
sin B
.

5
?
3
?







3

19 .
（本小题满分
12
分）若函数
y?f(x)
是周期为
2< br>的偶函数
,
当
x?[1,2]
时
,
f(x)??x? 3
；在
y?f(x)
的图象上有两点
A、B
,
它们的纵坐标 相等
,
横坐标都在区间
[1,3]
上
.

（
1
）求当
x?[2,3]
时
,
f(x)
的解析式；

（
2
）定点
C
的坐标为
(0,3)
,
求
?ABC
面积的最大值
.







20
．（本小题满分
12
分）

如图 ，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边
CD
为
半圆的直径，
O
为半圆的圆心，
AB?2,AD?1
，现要将此
木块锯出一个等腰三角形
EF G
，其底边
EF?AB
，点
E
在
半圆上．

（
1
）设
?EOC?
?
6
,
求三角形木块
EFG
的面积；

（
2
）设
?EOC?
?
，试用
?
表示三角形木块
EFG
的面
积
S
，并求
S
的最大值
.














4

21
．（本小题满分
12
分）对于函数
f (x)
，若在定义域内存在实数
x
，满足
f(?x)?2?f(x)
，则
称
“
局部中心函数
”.

2
（
1）已知二次函数
f(x)?ax?2x?4a?1(a?R)
，试判断
f(x)< br>是否为
“
局部中心函数
”
，并
说明理由；

xx?12
（
2
）若
f(x)?4?m?2?m?3
是定义在
R
上的
“
局部中心函数
”
，求实数
m
的取值范围
.








22
．（本小题满分
12
分）已知
a?R
，函数
f(x)? log
2
(
（
1
）当
a?9
时，解关于
x
的不等式
f(x)?0
；

（
2
）设
a? 0
，若对任意
t?[,1]
，函数
f(x)
在区间
[t,t ?1]
上的最大值与最小值的差不超过
1
?a)
.

x
1
2
1
，求
a
的取值范围
.









5

高一数学(一)参考答案

第Ⅰ卷（选择题每题
5
分共
60
分）

1
B
1
．
B
【解析】
2
D
3
A
4
C
5
B
6
C
7
A
8
B
9
A
10 11 12
A
选
B
．

D C
2
．
D
【解析】
，
解得
上可得，，

．

3
．
A
【解析】由角的终边在直线
．

4
．
C
【解析】弧长
6
步，其所在圆的直径是
4< br>步，半径为
2
步，面积(平方步)．

5
．
B
【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位．

6
．
C
【解析】∵
选
C
．

，所 以在
R
上是减函数且是奇函数,
uuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur
2
uuuruuurur
1
uuur
2
uu
7
．
A
因为
CD?CB?BD?CB?BA?CB?(CA?C B)?CA?CB
.
3333
所以
?
?
1
,答案应选
A
．

3
时，因为，所以此时，故排除
A．
D
；又
8
．
B
【解析】当
，故排除
C
，选
B
．

9
．
A
【解析】由于．

当时，的最小正周期为；




6

当时，的最小正周期；

的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选
A
．

10.A
【解析】考查三角函数对称轴

11
．
D
【解析】∵，∴由
|f(x)
得，，

且，由，可得，则，排除
A
，
B
，

当时，取得
，不恒成立，故不适合，排除
C
，故选
D
．

，可知关于
(0,2)
对称，
12
．
C
【解析】 由
而也关于
(0,2)
对称，∴对于每一组对称点
,
，
,∴ ，故选
C
．
第Ⅱ卷（非选择题共
90
分）

二、填空题
.

13
．
4
【解析】，,





14
．【解析】
=
,

因为是第三象限角，且，



7

所以，所以．

15
．

【解析】
，而
，，

因此
16
．
6
【解析】由题意
则
知，所以函数
，所以函数
为偶函数，且
为偶函数 ，所以

．

为周期为
2
的周期函数，且，而
，< br>在同一坐标系下作出两函数在
内图像共有
6
个公共点，则函数在在上的上的图像 ，发现在
零点个数为
6
．


三、解答题
.

17
．【解析】（Ⅰ）由．

（Ⅱ）化简得
由正弦函数的性质得
,解得
,
所以的最小正周期是
,




8

所以的单调递增区间是．
< br>18．【解析】（1）因为
sin
?
A?
?
?
??
31
?2cosA
，得
sinA?cosA?2cosA
，即
sinA?3cosA
，
?
6
?
22
因为
A?
?
0,
?
?
，且
cosA?0
，所以
tanA?
（2 ）因为
B?
?
0,
因为
sin
2
3
，所以
A?
?
3
.
?
?
?
?
3
?
?
，所以
A?B?
?
?
?
?
?B?
?
0,
?
， < br>3
?
3
?
?
A?B
?
?cos
2< br>?
A?B
?
?1
，所以
sin
?
A?B?
?
3
，
5
所以
sinB?sinA?
?< br>A?B
?
?sinAcos
?
A?B
?
?cosAs in
?
A?B
?
?
19
．【解析】
(1)
∵
∴当
∵
当
(2)
设
时
,
是偶函数
,
∴当
时
,
的纵坐标为
,
横坐标分别为
时
,

,
则

是以
2
为周期的周期函数
,
当

时
,
??
43?3
.
10


∴的面积为
t
2
(t-2)
2

当
t=2
时
,S
最大值
=1
20
．【解析】(1)：由题意可知，，所以
．所以，

即三角形铁皮的面积为．
(2)
设，则，，




9

所以，

令，因为，所以，所以．

因为，所以，

故，

而函数在区间上单调递增，故当，即时，取最大值，即
，

所以剪下的铁皮三 角形
GEF
的面积的最大值为
21
．【解析】（
1
）
．
.

∴当
（2）
时，，是“局部中心函数”。


有解；
令
∴则
，则在时有解；
是上“局部中心函数”，∴
;
令,则
则由可知.



10

22
．【解析】（
1
）由，得，解得．

（
2）当
0?x
1
?x
2
时，
11
?
1< br>??
1
?
?a??a
，
log
2
?
?a
?
?log
2
?
?a
?
，

x
1
x
2
?
x
1
??
x
2
?
所以
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递减．

函数
f
?
x
?
在区间< br>?
t,t?1
?
上的最大值与最小值分别为
f
?
t< br>?
，
f
?
t?1
?
．

?
1
??
1
?
f
?
t
?
?f
?t?1
?
?log
2
?
?a
?
?log
2
?
?a
?
?1
即
at
2
?
?
a?1
?
t?1?0
，

?
t
??
t?1
?
对任意
t?
?
,1
?
成立．

?
1
?
?
2
?
2
因为
a?0，所以函数
y?at?
?
a?1
?
t?1
在区间
?
,1
?
上单调递增，

?
1
?
?2
?
t?
131312
时，
y
有最小值
a?< br>，由
a??0
，得
a?
．

242423
?
2
?
3
?
?
故
a
的取值范围为
?
,??
?
．





11