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高中数学必修四综合试题(一)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 14:59
tags:高中数学必修4

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非常之役·非常之时数学学科巩固诊断试卷(五)
时间:
120
分钟

满分:
150


一、选择题:本大题共
12
小题 ,每小题
5
分,共
60
分.

1
.设集合
A?{1,2,4}

B?{x|x
2
?4x?m?0}
,若
A?B?{1}
,则
B?




A

{1,?3}
B

{1,3}
C

{1,0}
D

{1,5}

2
.函数
f(x)?
1
(log
2
x)
2
?1
的定义域为(



A

(0,)
B

(2,??)
C

(0,]?[2,??)
D

(0,)?(2,??)

3
.已知角
?
的顶 点与坐标原点重合,始边与
x
轴的非负半轴重合,终边在直线
y?3x
上,则

1
2
1
2
1
2
cos2
??




A

?
4

5
B

?

3
5
C

3

5
D

4

5
4
.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》
[
三 三
] “
今有宛田,下周六步,
径四步问为田几何?

译成现代汉语 其意思为:有一块扇形的田,弧长
6
步,其所在圆的直径是
4
步,问这块田的 面积是
( )
平方步?

A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5.
要得到函数
y?4sin(3x?
A< br>.向左平移
C
.向左平移
?
3
)
的图像,只需要将函 数
y?4sin3x
的图像(







B
.向右平移
D
.向右平移
?

个单位

9
?
3
个单位

?
个单位

9
?
3
个单位

6
.已知函数
f(x)?()?4
,则(



A

f(x)
是奇函数,且在
R
上是增函数
B

f(x)
是偶函数,且在
R
上是增函数

C

f(x)
是奇函数,且在
R
上是减函数
D

f(x)
是偶函数,且在
R
上是减函数

1< br>4
xx
uuuruuuruuur
2
uuuruuur
7.在
?ABC
中,已知
D

AB
边上一点,若
DB?2AD,CD?CA?
?
CB
,则
?
?




3
A.
1133
B.
?
C. D.
?

3355



1



e
x
?e
?x
8
.函 数
f(x)?
的图像大致为(



2
x

9
.设函数
f(x)?cos
2
x ?bcosx?c
,则
f(x)
的最小正周期(



A
.与
b
有关,但与
c
无关

C
.与
b
无关,且与
c
无关



B
.与
b
有关,且与
c
有关

D
.与
b
无关,但与
c
有关

10.已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)?A?0,
?
?
0,|
?
|?
?
2
)
在一个周期内的 图象如下图.若
方程
f(x)?m
在区间
[0,
?
]
上有两个不同的实数解
x
1
,x
2
,则
x
1?x
2
的值为( )

A

?
24
?
4
B

?
C

?
D
.或
?

33333
?
?x
2
?3x, x?0
11
.已知函数
f(x)?
?
,若
f(x)?ax< br>,则
a
的取值范围是(



?
ln(x?1),x?0
A

(??,0]
B

(??,1]
C

[?3,1]
D

[?3,0]

12
.已知定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(?x)?4?f(x)
,若函数
y?
m< br>2x?1

y?f(x)


x
象的交点为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),?, (x
m
,y
m
)
,则
A

0
B

m

?
(x?y)?




ii
i?1
C

2m
D

4m

二、填空题:本大题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.请将答案填写在答题卷相应位置上.

13
.已知函数
f(x)?ln(1?4x
2
?2x)?2
,则
f(l g5)?f(lg)?
__________.

1
5



2



sin(
?
?5
?
)cos(8
?
?
?
)tan(?
??
?
)
14
.已知,其中
?
是第三象限角,且
?
3
?
sin(
?
?)cos(?
?
)
2 2
3
?
1
cos(
?
?)?
,则
f(?
)?
______________


25
f(< br>?
)?
15
.若
0?
?
?
?
4,?
?
?
?
1
??
3

cos(?
?)?
_______.
?
?
?0,cos(?
?
)?,cos(?)?
3
443433
16
.已知定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(x)?f(?x)

f(x)? f(2?x)
,且当
x?[0,1]
时,
13
?
x)
,则函数
h(x)?g(x)?f(x)

[?,]
上的零点个数
f(x)?x
3
.又函数
g(x)?xcos(
22

__ _____.
三、解答题:

17
.(本小题满分
10
分 )已知函数
f(x)?sin
2
x?cos
2
x?23sinxco sx(x?R)



1
)求
f()
的值;

?
3

2
)求
f(x)
的最小正周期及单调递增区间.








18
.(本小题满分
12
分)


?ABC
中,三个内角分别为
A、B、C
,已知
sin
?
A?
?< br>?
?
?
?
?2cosA
.

6
?

1
)求角
A
的值;

4< br>?
?
?

2
)若
B?
?
0,
?
,且
cos
?
A?B
?
?
,求
sin B
.

5
?
3
?







3



19 .
(本小题满分
12
分)若函数
y?f(x)
是周期为
2< br>的偶函数
,

x?[1,2]

,
f(x)??x? 3
;在
y?f(x)
的图象上有两点
A、B
,
它们的纵坐标 相等
,
横坐标都在区间
[1,3]

.


1
)求当
x?[2,3]

,
f(x)
的解析式;


2
)定点
C
的坐标为
(0,3)
,

?ABC
面积的最大值
.







20
.(本小题满分
12
分)

如图 ,一个半圆和长方形组成的木块,长方形的边
CD

半圆的直径,
O
为半圆的圆心,
AB?2,AD?1
,现要将此
木块锯出一个等腰三角形
EF G
,其底边
EF?AB
,点
E

半圆上.


1
)设
?EOC?
?
6
,
求三角形木块
EFG
的面积;


2
)设
?EOC?
?
,试用
?
表示三角形木块
EFG
的面

S
,并求
S
的最大值
.














4



21
.(本小题满分
12
分)对于函数
f (x)
,若在定义域内存在实数
x
,满足
f(?x)?2?f(x)
,则


局部中心函数
”.

2

1)已知二次函数
f(x)?ax?2x?4a?1(a?R)
,试判断
f(x)< br>是否为

局部中心函数

,并
说明理由;

xx?12

2
)若
f(x)?4?m?2?m?3
是定义在
R
上的

局部中心函数

,求实数
m
的取值范围
.








22
.(本小题满分
12
分)已知
a?R
,函数
f(x)? log
2
(

1
)当
a?9
时,解关于
x
的不等式
f(x)?0



2
)设
a? 0
,若对任意
t?[,1]
,函数
f(x)
在区间
[t,t ?1]
上的最大值与最小值的差不超过
1
?a)
.

x
1
2
1
,求
a
的取值范围
.









5



高一数学(一)参考答案

第Ⅰ卷(选择题每题
5
分共
60
分)

1
B
1

B
【解析】
2
D
3
A
4
C
5
B
6
C
7
A
8
B
9
A
10 11 12
A

B


D C
2

D
【解析】

解得
上可得,,



3

A
【解析】由角的终边在直线


4

C
【解析】弧长
6
步,其所在圆的直径是
4< br>步,半径为
2
步,面积(平方步).

5

B
【解析】,只需将函数的图像向右平移个单位.

6

C
【解析】∵

C


,所 以在
R
上是减函数且是奇函数,
uuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur
2
uuuruuurur
1
uuur
2
uu
7

A
因为
CD?CB?BD?CB?BA?CB?(CA?C B)?CA?CB
.
3333
所以
?
?
1
,答案应选
A


3
时,因为,所以此时,故排除
A
D
;又
8

B
【解析】当
,故排除
C
,选
B


9

A
【解析】由于.

当时,的最小正周期为;




6



当时,的最小正周期;

的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选
A


10.A
【解析】考查三角函数对称轴

11

D
【解析】∵,∴由
|f(x)
得,,

且,由,可得,则,排除
A

B


当时,取
,不恒成立,故不适合,排除
C
,故选
D


,可知关于
(0,2)
对称,
12

C
【解析】 由
而也关于
(0,2)
对称,∴对于每一组对称点
,

,∴ ,故选
C

第Ⅱ卷(非选择题共
90
分)

二、填空题
.

13

4
【解析】,,





14
.【解析】
=
,

因为是第三象限角,且,



7



所以,所以.

15


【解析】
,而
,,

因此
16

6
【解析】由题意

知,所以函数
,所以函数
为偶函数,且
为偶函数 ,所以



为周期为
2
的周期函数,且,而
,< br>在同一坐标系下作出两函数在
内图像共有
6
个公共点,则函数在在上的上的图像 ,发现在
零点个数为
6



三、解答题
.

17
.【解析】(Ⅰ)由.

(Ⅱ)化简得
由正弦函数的性质得
,解得
,
所以的最小正周期是
,




8



所以的单调递增区间是.
< br>18.【解析】(1)因为
sin
?
A?
?
?
??
31
?2cosA
,得
sinA?cosA?2cosA
,即
sinA?3cosA

?
6
?
22
因为
A?
?
0,
?
?
,且
cosA?0
,所以
tanA?
(2 )因为
B?
?
0,
因为
sin
2
3
,所以
A?
?
3
.
?
?
?
?
3
?
?
,所以
A?B?
?
?
?
?
?B?
?
0,
?
, < br>3
?
3
?
?
A?B
?
?cos
2< br>?
A?B
?
?1
,所以
sin
?
A?B?
?
3

5
所以
sinB?sinA?
?< br>A?B
?
?sinAcos
?
A?B
?
?cosAs in
?
A?B
?
?
19
.【解析】
(1)

∴当


(2)


,
是偶函数
,
∴当

,
的纵坐标为
,
横坐标分别为

,

,


是以
2
为周期的周期函数
,



,
??
43?3
.
10


∴的面积为
t
2
(t-2)
2


t=2

,S
最大值
=1
20
.【解析】(1):由题意可知,,所以
.所以,

即三角形铁皮的面积为.
(2)
设,则,,




9



所以,

令,因为,所以,所以.

因为,所以,

故,

而函数在区间上单调递增,故当,即时,取最大值,即


所以剪下的铁皮三 角形
GEF
的面积的最大值为
21
.【解析】(
1


.

∴当
(2)
时,,是“局部中心函数”。


有解;

∴则
,则在时有解;
是上“局部中心函数”,∴
;
令,则
则由可知.



10



22
.【解析】(
1
)由,得,解得.


2)当
0?x
1
?x
2
时,
11
?
1< br>??
1
?
?a??a

log
2
?
?a
?
?log
2
?
?a
?


x
1
x
2
?
x
1
??
x
2
?
所以
f
?
x
?

?
0,??
?
上单调递减.

函数
f
?
x
?
在区间< br>?
t,t?1
?
上的最大值与最小值分别为
f
?
t< br>?

f
?
t?1
?


?
1
??
1
?
f
?
t
?
?f
?t?1
?
?log
2
?
?a
?
?log
2
?
?a
?
?1

at
2
?
?
a?1
?
t?1?0


?
t
??
t?1
?
对任意
t?
?
,1
?
成立.

?
1
?
?
2
?
2
因为
a?0,所以函数
y?at?
?
a?1
?
t?1
在区间
?
,1
?
上单调递增,

?
1
?
?2
?
t?
131312
时,
y
有最小值
a?< br>,由
a??0
,得
a?


242423
?
2
?
3
?
?

a
的取值范围为
?
,??
?






11

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