(完整版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习

第一、任意角的三角函数
一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类 （正角、负角、零角和象限角），正确理解角，
与角终边相同的角的集合
?
?
|
?
?2k
?
?
?
,k?z
?
1
2
1
2

，
弧度制，弧度与角度的换算，
弧长
l ?
?
r
、扇形面积
s?lr?
?
r
2
，
二：任意角的三角函数定义：任意角
?
的终边上任意取一点p的坐标是（x，y），它 与原点的距
yxy
离是
r?x
2
?y
2
(r>0) ，那么角
?
的正弦
sina?
、余弦
cosa?
、正切tana?
，它们都是以角
rrx
为自变量，以比值为函数值的函数。
三角函数值在各象限的符号：

三：同角三角函数的关系式与诱导公式：
1.

平方关系：
sin
2
?
?cos
?
?1

2. 商数关系：

2
sin
?
?tan
?

cos
?
3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦
余弦
正切


























?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
?
4. 两角和与差公式 ：
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
m
sin
?
sin
?

?
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1
m
tan
?
tan
?
?
?
?
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?
2222cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?

?
5.二倍角公式：
?
2tan
?
?
tan2
?
?
1?tan
2
?
?
余弦二倍角公式变形：
2cos
2
?
?1?cos2
?
,
1
2sin
2
?
?1?cos2
?

第二、三角函数图象和性质
基础知识:
1、三角函数图像和性质
y=sinx
-4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-
?
2
y
1
-1
y
-5
?
2
-
?
-2
?< br>-3
?
2
-
?
2
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y=cosx
- 3
?
-4
?
-7
?
2
1
-1
o< br>?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y
y=tanx
-
3
?
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x

解析式
定义域
y=sinx

y=cosx

y?tanx

y?

y?


当
x?
，当
x?
，
值域
和最
值
y取最小值－1

当
x?
，
y取最小值－1

当
x?
，
y?


无最值
y取最大值1

周期性
y取最大值1

T?2
?

，2k
?
?
在
2k
?
?
?
2
T?2
?

偶函数
?
2
T?
?

奇函数
在
?
k
?
?
奇偶性 奇函数
??
k?Z

?
k?Z

2k
?
?
k?Z
上是增在
?
2k
?
?
?
，
函数
单调性
上是增函数
?
?
?
2
,k?
?
?
?
?
k?Z
2
?
，2k
?
?
在
2k
?
?
?
2
上是减函数 ?
3
?
2
2k
?
?
?
?
k? Z
上是减在
?
2k
?
，
函数
对称中心
(k
?
上为增函数
对称中心
(k
?
,0) k?Z

对称性
对称轴方程
对称中心
(k
?
,0) k?Z

?
?
2
,0)

k?Z

或者 对称中心
(k
?
x?k
?
?
?
2
，
对称轴方程
x?k
?
，
k?Z

k?Z


?
?
2
,0)
k?Z

2

2、
熟练求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五< br>点法作
y?Asin(
?
x?
?
)
简图：五点分别为 ：
、 、 、 、 。
3、图象的基本变换：相位变换：
y?sinx?y ?sin(x?
?
)

周期变换：
y?sin(x?
?
)?y?sin(
?x?
?
)

振幅变换：
y?sin(
?
x?
?
)?y?As in(
?
x?
?
)

4、求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式： 即求A由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
5、三角函数最值类型：（1）y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= a
2
?b
2
sin（x+
?
）
（2）y=as in
2
x+bsinx+c型：常通过换元法（令sinx=t，
t?
??1,1
?
）转化为y=at
2
+bt+c型：
（3）同一问 题中出现
sinx?cosx,sinx?cosx,sinx?cosx
，求它们的范围时， 一般是令
sinx?cosx?t
t
2
?1t
2
?1
或
sinx?cosx?t?sinx?cosx?
或
sinx?cosx??，转化为关于
t
的二次函数来解决
22
三、三角形知识：
（ 1）
?ABC
中，
a,b,c
分别为
A,B,C
的对边，< br>A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC
。
（2）在
?ABC
中，A+B+C=180°。

基础练习：
1、
tan(?600
o
)?
.
sin225?
?
。
2、
?
的终边与的终边关于直线
y?x
对称，则
?
＝_____。
?
6
3、已知扇形AOB的周长是6cm，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm
2
.
4、
设a<0,角α的终边经过点P（－3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于
5、函数
y?2cosx?1
的定义域是_____ __
6、．化简
1?sin150?
的结果是 。
7、 已知
cos
?
?
2
123
?
?
,
?
?(,2
?
)
，则
cos(
?
?)?
。
1324
253
,sin(
?
?
?
)?,则c os
?
?
。
55
8、若均
?
,
?
为锐角，
sin
?
?
3

9、化简
(cos)(cos?sin)?

12121212
?
?
??
?
?
?
???
?
?
10、 根据
sin
?
?sin
?< br>?2sin
及
cos
?
?cos
?
??2sin，若
cossin
2222
sin
?
?sin
??
3
(cos
?
?cos
?
),且
?
?(0,
?
),
?
?(0,
?
)
，计算
?
3
?
?sin
???
?
?
? ____.

11、集合{
?
|kπ?
yyy

y


oooo
xxxx


（A） （B） （C） （D）
?
12、函数
y?3sin2x
的图象可以看成是将函数
y?3sin(2x?)
的图象- ------------（ ）
3
????
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
6633
13、已知
sin
?
?0,tan
?
?0
，那么
?
是 。
14.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在
ππ
?
?
?kπ?
，
k?
Z}中的角所表示的范围 （阴影部分）是（ ）
42
15.若
cos
?
?0,tan
?
?0
，化简
16.已知
?
是第二象限角，那么
1
?1
= 。
2
cos
?
?
是 （ ）
2
A．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D．第一或第三象限角
17.已知
sin
?3?4
?,cos??
，则角
?
终边所在象限是------------------------------- -（ ）
2525
（A） 第三象限 （B）第四象限 （C）第三或第四象限 （D）以上都不对
18.已知
?
是锐角，则下列各式成 立的是----------------------------------------------- -------（ ）
145
（B）
sin??cos??1
（C）
sin??cos??
（D）
sin??cos??

233
?
19.右图是函数
y?2sin(?x??)(|?|?)
的图象，那么---- ---------------（ ）
2
10?
10?
y
,??
（B）
??,???
（A）
??
116116
11?

1
?
?
12
（C）
??2,??
（D）
??2,???

66
o
（A）
sin??cos??


x
20、已知
f(x)
是奇函数，且
x?0
时，
f(x)?cosx?sin2x
，则当
x?0
时，
f(x)
的表达式是
------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------（ ）
（A）
cosx?sin2x
（B）
?cosx?sin2x
（C）
cosx?sin2x
（D）
?cosx?sin2x

4

21、已知
f(tanx)?sin2x
，则
f(?1)
的值是 。

22.已知
f(cosx)?cos3x
，则
f(sinx)
等于（ ）
（A）
sin3x
（B）
cos3x
（C）
?sin3x
（D）
?cos3x

1?
1
?
23、已知
tan(
?
?
?
) ?,tan(
?
?)??
，则
tan(
?
?)
的值 为

2434
?
24、下列函数中，最小正周期为
?
，且图象关于直线
x?
对称的是（ ）
3
???x?
A．
y?sin(2x?)
B.
y?sin(2x?)
C.
y?sin(2x?)
D.
y?sin(?)

36623
25、函数
y?sinx?cosx
的最大值为
26、函数
y?3sinx?cosx
，
x?[?
??
,]
的最大值为

22
27、下列函数中,周期为
?
的偶函数是（ ）
A.
y?cosx
B.
y?sin2x
C.
y?tanx
D.
y?sin(2x?
28、 已知函数
f(x)?xsinx
，则
f(x)
( )
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
29、函数
y?1?2sin(x?
2
?
2
)

?
4
)
是（ ）
A．最小正周期为
?
的偶函数 B. 最小正周期为
?
的奇函数
??
的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数
2
2
30、函数y=cos
2
x –3cosx+2的最小值是 。
C. 最小正周期为
31、、若方程
cos2x?23sinxcosx?k?1
有解，则k的取值范围是
解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
cos(?
?
)si n(?
?
?
?
)
2
第一类型：
1、已知角
?
终边上一点P（－4，3），求的值
11
?
9
?
cos (?
?
)sin(?
?
)
22


2、求证：
?
sin(2
?
?
?
)sin
?< br>?2cos(
?
?
?
)?

sin
?
sin
?


1
sin
?
?,
?
是第二象限角，求cos
?
?tan
?
的 值。
3、已知
3
5

4、已知
0?x ?
?
?
?
?
5
,sin
?
?x
?
?,
求
?
4
?
134
cos2x
的值.
?
??
cos
?
?x
?
?
4
?< br>

5、已知
tan
?


6、已知
tan(
??2,求sin
?
+cos
?
的值。

?
4
?
?
)?2
.
求
sin
?
?cos
?
1
和的值。

sin
?
?cos
?
sin
2
?
-cos
2
?


7、已知
tan
?
、tan
?
是方程
x?33x?4?0
的两根，且
?
、
?
?(?
2
??
,)，求
?
?
?
的值
22



8、已知
?
,
?
为锐角，且cos
?
=



9、△ABC中，已知
cosA?




第二类型： 1． 已知函数
f(x)?2cosxsin(
1
10
,cos
?
=
1
5
，求
?
?
?
的值.
35
,sinB?,求sinC的值

513
?
2
?x)
.
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求
f(x)
在区间
[




2. 已知函数
f(x)?2cosx?2sinxcosx?1
．
2?
2
?
6
,
3
]
上的最大值和最小值. （Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求函数
f(x)
在
[0,

?
2
]
上的最大值与最小值．
6

2
3、设函数
f(x)?3sinxcosx?cosx
．
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）当
x?[0,




?
2
]
时，求函数
f(x)
的最大值和最小值．
22
4. 已知函数
f(x)?cosx?sinx?2sinxcosx
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期；
（Ⅱ）当
x?
?
?






?
??
?
,
?
时，求函数
f(x)的最大值，并写出
x
相应的取值.
?
44
?
5、已知 函数
f(x)?2asin
xxxx
cos?sin
2
?cos2
(a?R).

2222
（I）当a=1时，求函数
f(x)
的最小正周期及图象的对称轴方程式；
（II）当a=2时，在
f(x)?0
的条件下，求




第三类型：1、如下图为函数
y?Asin(
?
x?
?
)? c(A?0,
?
?0,
?
?0)
图像的一部分
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线
x?2
对称的函数解析式
cos2x
的值.
1?sin2x

7

2、已知函数
f
?
x< br>?
?Asin
?
?
x?
?
?
,x?R
(其中
A?0,
?
?0,?
?
2
?
?
?
?
2
),其部分图象如图所示.
(I)求
f
?
x
?
的解析式;(II)求函数
g(x)?f(x?







??
?
?
?
)?f(x ?)
在区间
?
0,
?
上的最大值及相应的
x
值.
44
?
2
?
第四类型：1. 已知向量
a?(cos
?
,1)
，
b?(?2,sin
?
)
，
?
?(
?
,
（Ⅰ）求
sin
?
的值；（Ⅱ）求
ta n(
?
?






3
?
)
，且
a?b
．
2
?
4
)
的值．
2 已知向量
a?(sinx, cosx)
，
b?(cosx,sinx?2cosx)
，
0?x?
?
2
.
（Ⅰ）若
a∥b
，求
x
； （Ⅱ）设f(x)?a?b
，（1）求
f(x)
的单调增区间；（2）函数
f(x )
经过怎样的平移
才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？





8