高中数学必修四教学重难点

第一章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于
360
?角和负角；（2）理解并掌握正
角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4 )掌
握所有与
?
角终边相同的角（包括
?
角）的表示方法；（5）树 立运动
变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学
生学习兴趣.（7 ）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，
强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体
720
?
，逆（顺）时针旋转”，角有大于
3 60
?
角、
零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；
角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非
象限角的概念及象限角的判定方法 ；列出几个终边相同的角，画出终
边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲< br>解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概 念有了一个新的认识，即有
正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解
掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.

1.1.2弧度制
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度 制定义的合理性；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练
地进行 角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集
R
之间建立的
一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制
与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不 是孤立、割
裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过 探究理解并掌握弧度
制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公
式和扇 形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正
确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度
制，理解并认识到角度制与弧 度制都是对角度量的方法，二者是辨证
统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制 下,
角的集合与实数集
R
之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一

的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都
有唯一的一个角（即弧 度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节
学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互
化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.


1.2.1任意角的三角函数(一)
一、教学目标：
1、知识与技能
（ 1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函
数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数
不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表
示出来；（4）掌握并能初步运 用公式一；（5）树立映射观点，正确理
解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值
的函 数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,
探讨任意角的三角函数值的求法,最终 得到任意角三角函数的定义.
根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种
函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角

函数.讲解例题， 总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种 定义都有自
己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这
种定义方法能够 表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，
有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函 数，但它对准确
把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”
的对应关 系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关
系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得 到，这与函数值是一个
确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节 利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个
定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自 变量到函数值之间的对应关
系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数
的定义域和函数值在各象限的 符号）；终边相同的角的同一三角函数
值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正 切的定义（包括这三种三角函数
的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.



1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某 角的一个
三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系
式化简三角函数 式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵 活运用于解题，提
高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系
式的不 同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三
角函 数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函
数值；利用同角三角函数关系式化简三角 函数式；利用同角三角函数
关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩
固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能 灵活
运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归
思想方法和证明三角恒 等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：公式
sin
2
?< br>?cos
2
?
?1
及
sin
?
?tan?
的推导及运用：（1）已
cos
?
知某任意角的正弦、余弦、正切值中 的一个，求其余两个；（2）化简
三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证
明三角恒等式.

第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽 象出来的，是近代数学中
重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的
有 力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股
定理就可转化为向量的加（减）法、 数乘向量、数量积运算，从而把
图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的
实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解 平面向
量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理
及坐标表示、平面向 量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向
量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与
数量的区别，然后介绍了向 量的一些基本概念. （让学生对整章有个
初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背 景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向 量、相等向量、共线
向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的
数学本质的能力
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向
量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.


第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的
和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量
加法运算的交换律和结合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类
比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两
个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.


第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理
解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.



2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 来表示，
初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底
来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.


第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性



§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂
直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积
的应用


第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有
关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂
直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用



第9课时

三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公
式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用



第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向
量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾
相接）。
4. 了解向量形式的 三角形不等式：||
a
|-|
b
|≤|
a
±
b|≤
|
a
|+|
b
|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形 式的平行四

边形定理：2(|
a
|
2
+|
b
|
2
)=|
a
－
b
|
2
+|a
+
b
|
2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
?
=x
1
x
2
+y
1
y
2
注
意区 别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”



§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公 式，通过探索证明和初步
应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、
证明及初步应用，和差公式的探索、证 明和初步应用，倍角公式的探
索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重 点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角
函数的十一个公式，并了解它们的内在联系 ，为运用这些公式进行简
单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 < br>掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生
初步理解公式的结构及其功能，为 建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅 有学习积极
性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用
已学知识和方法 的能力问题，等等.


§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应
用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.


§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标
以两 角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦
和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正
弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.


3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及
三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变