高中数学立体几何线面角度公式-大学教授做高中数学
高一数学上学期期末考试试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.
1、
若
sin
?
?
?
?
?
?
A.第一象限
4
?
?
?
3
,sin
?
?
??
?
,则
?
角的终边在 (
)
5
?
2
?
5
B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
2、若
a?(1,2)
,
b?(4,k)
,
c?0
,则
(a?b)c?
(
)
A.
0
B.
0
C.
4?2k
D.
8?k
3、已知
a,b
为非零实数,且
a?b
,则下列不等式一定成立的是
( )
A.
a?b
22
B.
11
?
ab
C.
|a|?|b|
D.
2?2
ab
4、若向量
a
与
b
不共
线,
a?b?0
,且
c?a?
A.
(a?a)b
,则向量
a
与
c
的夹角为( )
a?b
π
2
B.
π
6
C.
π
3
D.0
5、若
a≥0,b≥0
,且
a?b?2
,则下列不等式一定成立的是
( )
A.
ab≤
2
1
2222
B.
ab≥
C.
a?b≤2
D.
a?b≥2
2
2
6、函数
y?2sin
?
xcos
?
x
(
?
?0)
的最小正周
期为
?
,则函数
f(x)?2sin(
?
x?
是(
)
A.
[?,]
?
2
?
2
)
的一个单调增区间
??
22
B.
[,??
?
2
C.
[?,]
D.
[0,]
??
2
7、已知函数
f(x)
?tan(2x?b
?
)
的图象的一个对称中心为
(
A.
t
an(2x?
?
3
若
|b|?,0)
,
1
,则
f(x)
的解析式为( )
2
?
)
B.
tan(2x?)
C.
tan(2x?)
或
tan(2x?)
D.
tan(2x?)
或
tan(2x?)
366363
1
在
y
2
?
?
?
?
?
8、已知偶
函数
f(x)
满足:
f(x)?f(x?2)
,且当
x?[0,1]
时,
f(x)?sinx
,其图象与直线
y?
轴右侧的交点按横坐标
从小到大依次记为
P
1
,P
2
A.
2
B.
4
22
,则
PP
13
?P
2
P
4
等于( )
D.
16
C.
8
9、设
m,x?R,M?x?2mx?2m,N?x?2
,则
M,N
的关系
为( )
A.
M?N
B.
M?N
C.
M≥N
D.
M≤N
快乐的学习,快乐的考试!
1
10、设
S是
?ABC
的面积,
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
2SsinA?(BA?BC)sinB
,则( )
A、
?ABC
是钝角三角形
B、
?ABC
是锐角三角形
C、
?ABC
可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D、无法判断
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11、在平行四边形ABCD中,若
AB?(2,4)
,
AC?(1,3)
,则
AD?
. (用坐标表示)
12、已知三点
A(1,2),B(2,?1),C(2,2)
,
E,F
为线段
BC
的三等分点,则
AE?AF
=
.
13、若函数
f(x)?
x
(x≥1)
能用均值不等式求最大值,则需要补充
a
的取值范围是
2
x?2(a?2)x?3a
______ .
1
4、已知关于
x
的方程
sinx?cosx?a
与
tanx?cot
x?a
的解集都是空集,则实数
a
的取值范围是_____
.
15、已知实数
a、b、c
满足条件
ab?bc?ca?1
,给
出下列不等式:①
ab?bc?ca≥1
;
②
222222
11≥23
;③
(a?b?c)
2
?2
;④
a
2
bc?ab
2
c?abc
2
≤
;其中一定成立的式子有__
_______.
abc3
答题卡
题号
答案
题号
答案
1
11
2
3
12
4
5
13
6
7
14
8
9
15
10
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2
16、(本小题满分12分)解关于
x
的不等式:
log
a
(x?
4x?3)?log
a
(?x?1),(a?0,
且
a?1)
.
1
7、(本小题满分12分)已知向量
OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3
?y)
.
(Ⅰ)若点
A,B,C
能构成三角形,求
x,y
满足的条件;
快乐的学习,快乐的考试!
2
(Ⅱ)若
?AB
C
为等腰直角三角形,且
?B
为直角,求
x,y
的值.
1
8、(本小题满分12分)若将函数
f(x)?sinx
的图象按向量
a?(?
?
,?3)
平移后得到函数
g(x)
的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)
的解析式;(Ⅱ)求函数
F(x)?f(x)?
19、(本小题满分12
分)在
△ABC
中,
cosA?
1
的最小值.
g(x)<
br>417
3
,
tanB?
.(Ⅰ)求角
C
的大小; <
br>17
5
(Ⅱ)若
△ABC
最大边的边长为
17
,求最
小边的边长.
20、(本小题满分13分)“
5?12
”汶川大地
震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选
择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到
救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形
ABCD
的两
个顶点
A,B
及
CD
的中点
P
处,
AB?10km
,
BC?5k
m
,现要在该矩形的区域内(含边界),且与
A,B
快乐的学习,快乐的考试!
3
等距离的一点
O
处建造一个医疗站,记
O
点到三个乡镇的距离之和为
y
.
(Ⅰ)设
?BAO?
?
(rad)
,将
y
表示为
?
的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医疗站的距离之和最短.
D P
O
A
21、(本小题满分
14分)已知
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c<
br>.
22
(Ⅰ)证明:不论
x
取何值总有
bx?
(b
?c?a)x?c?0
;
2222
C
B
(Ⅱ)证明:
c?1a?b?1111
???
. ;(Ⅲ)若c≥2
,证明:
a?b?c?12(a?b)?1a?b?c?1(c?1)(a?b?1
)6
快乐的学习,快乐的考试!
4
高一数学期末考试试题(理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,
1
.若
sin
?
?
?
?
?
?
4
5<
br>,sin
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
3
5
,则
?
角的终边在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[提示]:
sin
?
??
4
5
?0,cos
?
?
3
5
?0
,∴
?
角的终边在第四象限.
2.若
a?
(1,2)
,
b?(4,k)
,
c?0
,则
(a?b)c?
( B )
A.
0
B.
0
C.
4?2k
D.
8?k
[提示]:
(a?b
)c?
0
.
3.已知
a,b
为非零实数,且
a?b
,则下列不等式一定成立的是( D )
A.
a
2
?b
2
B.
1
?
1
C.
|a|?|b|
D.
2
a
?2
b
ab
[提示]:不知
a,b
的正负,A ,B
,C都不能确定,而函数
y?2
x
单调递增.
4.若向量
a
与
b
不共线,
a?b?0
,且
c?a?
(a?a)ba?b
,则向量
a
与
c
的夹角为( A )
A.
ππ
2
B.
6
C.
π
3
D.0
a?
?
?
a
?
(a?a)b
?
[提示]:设向量
a
与
c
的夹角
为
?
,
cos
?
?
a?c
a?b
?
?
|a|?|c|
?
?
|a|?|c|
?
a?a?a?a
|a|?|c|
?0
.
5.若
a?0,b?0
,且
a?b?2
,则下列不等式一定成立的是(D)
A.
ab?
2
2
B.
ab?
1
2
C.
a
2
?b
2
?2
D.
a
2
?b
2
?2
[提示]:
a
b?
a?b
2
?
a
2
?b
2
2
,
∴
a
2
?b
2
?2
.
6.函数
y?2sin
?
xcos
?
x
(
?
?0)
的最小正周期为
?
,则函数
f(x)?2sin
(
?
x?
?
2
)
的
一个单调增区间是(C)
A.
[?
?
,
?
22
]
B.
[
???
2
,??
C.
[?,]
D.
[0,
?
22
]
[提示]:
y?2si
n
?
xcos
?
x?sin2
?
x,(
?
?0)
.∴
?
?1,f(x)?2sin(x?
?
2
)?2
cosx
,
在
[?,
??
2
]
上单调递增.
快乐的学习,快乐的考试!
5
7.已知函数
f(x)?tan(2x?b
?
)
的图象的一个对称中心为
(
A.
tan(2x?
C.
tan(2x?
?
3
,0),若
|b|?
1
,则
f(x)
的解析式为(D)
2
?
?
)
B.
tan(2x?)
36
?
)
或
tan(2x?)
D.
tan(2x?)
或
tan(2x?)
6363
?<
br>k
?
2k111
[提示]:
2??b
?
?,
∴
b??
,
(k?Z)
,又
|b|?
,∴
k?1,
2
,
b??
或.
3232236
1
8.已知偶函数
f(x)
满足:
f(x)?f(x?2)
,且当
x?[0,1]
时
,
f(x)?sinx
,其图象与直线
y?
在
y
2
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
P
1
,P
2
A.
2
B.
4
,则
PP
13
?P
2
P
4
等于( B )
D.
16
?
?
?
C.
8
PPPP
[提示]:依题意
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
四点共线,
PP
13
与
P
2
P
4
同向,且
1
与
3
,
2
与
4
的横坐标都相差一个
周期,所以
|PP
13
|?2
,
|P
2
P
4
|?2
,
PP
13
?P2
P
4
?|PP
13
||P
2
P
4<
br>|?4
.
9.设
m,x?R,M?x?2mx?2m,N?x?2
,
则
M,N
的大小关系为 ( A )
A.
M?N
B.
M?N
C.
M?N
D.
M?N
[提示]:
22
M?N?x
2
?(2
m?1)x?2m
2
?2
,
??(2m?1)
2
?4(2m
2
?2)?
?(2m?1)
2
?6?0
,所以当
x?R
时,
M?N?x
2
?(2m?1)x?2m
2
?2?0
.
10.设
S
是
?ABC
的面积,
A
,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
2SsinA?(BA?BC)sin
B
,则(A)
A.
?ABC
是钝角三角形
B.
?ABC
是锐角三角形
C.
?ABC
可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断
[提示]:
1
2SsinA?(BA?BC)sinB
,∴
2a?b
csinA?b?cacosB
,∴
sinA?cosB
,
2
∴<
br>?B
为锐角,
sinA?cosB?sin(
角三角形,若
?A
为锐角,则
A?
?
2
?B)
,若
?A
为钝角,且
满足上式,则
?ABC
是钝
?
2
?B,?A?B?
?2
,C?
?
2
,
?ABC
是钝角三角形.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.在平行四边形ABCD中,若
AB?(2,4)
,
AC?(1,3)
,则
AD?
____
. (用坐标表示)
[提示]:
AB?DC?(2,4)
,∴
AD?
AC?DC?(1,3)?(2,4)?(?1,?1)
.
12.已知三点
A(1,2),B(2,?1),C(2,2)
,
E,F
为线段
BC
的三等分点,则
AE?AF
=
3
.
[提示]:
B(2,?1),C(2,2)
,
E,F
为线段
BC
的三等分点,∴
E(2,0),F(2,1)
,
AE?(1,?2),AF?(1,?1)
,∴
AE?AF?1?2?3
.
快乐的学习,快乐的考试!
6
13.若函数
f(x)?
x
(x?1)
能用均值不等式求
最大值,则需要补充
a
的取值范围
2
x?2(a?2)x?3a
是_
___
a?
1
_____.
3
x1
,
x?1
,该式能用均值不等式求最大值,
?2
3a
x?2(a?2)x?3a
x??2(a?2)
x
3a3
a1
2
则,∴
3a?x?1,
∴
a?
.
?0,<
br>且
x?
xx3
14.已知关于
x
的方程
sinx?c
osx?a
与
tanx?cotx?a
的解集都是空集,则实数
a
的
取值范围是
[提示]:
____
(?2,?2)
[提示]:
(2,2
)
__.
a?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2,2]
,又其解集为
空集,∴
a?(??,
4
?2
coxt
taxn?cxo
?t
,当
2
tanx?
时
0
,
?
?2)(
2,??)
,当
tanx?0
时,
a?tanx?
,?2]
a?tanx?coxt??
,∴
a?(??
a?(?2,?2)(2,2)
.
,
[2?
,
,?
又其解集为空集,∴
a?(
?2,2
15.已知实数
a、b、c
满足条件
ab?bc?ca?1
,给出下列不等式:
①
ab?bc?ca?1
;②
222222
1
1
?23
;③
(a?b?c)
2
?2
;④
a2
bc?ab
2
c?abc
2
?
;
abc3
其中一定成立的式子有__③④_______.
[提示]:当
a
?b?c?
3
2
时排除①;
a?2
,
b?3
,c??1
时排除②;而
(a?b?c)
3
?a
2?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ca)?3(ab?bc?ca)?3
?2
,∴③成立;
(ab?bc?ca)
2
?3[(ab
)(bc)?(bc)(ca)?(ca)(ab)]?3(a
2
bc?ab
2
c?abc
2
)
,∴④成立.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2
16.(本小题满分12分)解关于
x
的不等式:
log
a
(x?
4x?3)?log
a
(?x?1),(a?0,
且
a?1)
. <
br>[解答]:由
x?4x?3?0,?x?1?0
,得
x?1
,所以依对
数的性质有:
当
a?1
时,
x?4x?3??x?1,?x?3x?2?0
,?1?x?2
,又
x?1
,此时不等式无解;
当
0?a?1时,
x?4x?3??x?1,?x?3x?2?0,?
x?2
或
x?1
,又
x?1
,当
a?1?x?1
,综上:
时,不等式无解;
当
0?a?1
时,不等式的解集为
?
x|x?1
?
.
快乐的学习,快乐的考试!
7
22
22
2
17.(本小题满分12分)已知向量
OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y)
.
(Ⅰ)若点
A,B,C
能构成三角形,求
x,y
满足的条件; (Ⅱ)若
?ABC
为等腰直角三角形,且
?B
为直角,求
x,y
的值.
[解答]:(Ⅰ)
若点
A,B,C
能构成三角形,则这三点不共线,
AB?(3,1),
AC?(2?x,1?y),
∴
3(1?y)?2?x
,∴
x,y
满足的条件为
3y?x?1
(若根据点
A,B,C
能构成三角
形,必须
|AB|?|BC|?|AC|
,相应给分);
(Ⅱ)
AB?(
3,1),
BC?(?x?1,?y)
,若
?B
为直角,则
AB?B
C
,∴
3(?x?1)?y?0
,
?
x?0
?
x??2
22
|AB|?|BC|
又
,∴
(x?1)?y?10
,再由
y?3(?x?1)
,解得
?或
?
.
y??3y?3
??
18.(本小题满分1
2分)若将函数
f(x)?sinx
的图象按向量
a?(?
?
,?3
)
平移后得到函数
g(x)
的图象.
(Ⅰ)求函数
g(x)
的解析式;(Ⅱ)求函数
F(x)?f(x)?
1
的最小值.
g(x)<
br>[解答]:(Ⅰ)设
P(x,y)
是函数
f(x)?sinx
的图象上
任意一点,按向量
a?(?
?
,?3)
平移后在函数
g(x)
的
''
??
?
x?x?
?
?
x?x?
?
图象上的对应点为
P(x,y)
,则:
?
'
,∴
?
,即
'
??
?
y?y?3
?
y?y?3
'''
y
'
?3?sin(x?
?
)
,所以函数
g
(x)??sinx?3
;
(Ⅱ)
F(x)?f(x)?
111
?
sinx??sinx?3??3
,令
t?sinx?
g(x)sinx?
3sinx?3
11
3?[2,4]
,而函数
?
(t)?t?
在
[2,4]
上是增函数,所以当
t?2
时,
?
(t)<
br>min
?2?
,即当
sinx??1
时,
t2
1F(x)
min
??
.
2
19.(本小题满分12
分)在
△ABC
中,
cosA?
417
3
,
tan
B?
.
17
5
(Ⅰ)求角
C
的大小;(Ⅱ)若
△
ABC
最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
[解答]:(Ⅰ)
C?π?(A?B)
,
cosA?
417
1
,
?tanA?
17
4
?tanC??tan(A?B)?
8
快乐的学习,快乐的考试!
13
?
3
?
45
??1
.又
0?C?π
,
?C?
π
;
13
4
1??
45
(Ⅱ)
3
?
?
?
C??
,
?AB
边最大,即
AB?17
.又
ta
nA?tanB,A,B?
?
0,
?
,
4
?
?<
br>?
cosA?
417
17
ABBC
,
?
<
br>sinA?
.由得:
?
17
17
sinCsiAn
?
角
A
最小,
BC
边为最小边.
sinA
BC?AB
?2
,所以,最小边
BC?2
.
sinC
20、(本小
题满分13分)“
5?12
”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选择
一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形
ABC
D
的两个
顶点
A,B
及
CD
的中点
P
处,
AB?10km
,
BC?5km
,现要在该矩形的区域内(含边界),且与<
br>A,B
等
距离的一点
O
处建造一个医疗站,记
O
点到
三个乡镇的距离之和为
y
.
(Ⅰ)设
?BAO?
?
(ra
d)
,将
y
表示为
?
的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医
疗站的距离之和最短.
[解答]:(Ⅰ)如图,延长
PO
交AB
于点
Q
,由题设可知
BQ?AQ?
D P
C
O
A
B
1
AB?5
,
AO?BO,
PO?5?OQ
,
2
510
?
在
Rt?AB
C
中,又
0?
?
?
,
AO?,OQ?5tan
?<
br>,
?5?5tan
?
,
?y?AO?BO?PO
?
c
os
?
cos
?
4
10
?
?y??5tan
?
?5,(0?
?
?)
;
cos
?
4
102?sin
?
2?sin
??
(Ⅱ)
y??5tan
?
?5?5??5
,令
u?,0?
?
?
,则
cos
?
cos
?
cos
?
4
ucos
?
?sin
?
?2,?u
2
?1sin(
?
?
?<
br>)?2,(tan
?
?u)
,
?sin(
?
?
?
)?
?u?3
或
u??3
(舍),当
u?3
时
,
?
?
足
?
?
21.(本小题满分14分)已知
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.
快乐的学习,快乐的考试!
2
u?1
2
?1
,
?
3
,
?
?
?
?[0,]
,所以
y
最小,即医疗站的位置
O
满
64
?
?
6
,AO?
BO?
10353
km,PO?5?km
,可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短.
33
9
22
(Ⅰ)证明:不论
x
取何值总有
bx?
(b?c?a)x?c?0
;
2222
(Ⅱ)证明:
c?1a?b?1111
???
. ;(Ⅲ)
若
c?2
,证明:
a?b?c?12(a?b)?1a?b?c?1(c?1)(a?
b?1)6
[解答]:(Ⅰ)令
y?b
2
x
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)x?c
2
,由余弦定理
b
2
?c
2
?a
2
?2bccosA
,
?
??(b
2
?c
2
?a
2
)
2
?4b
2
c
2
?4b
2
c
2
cos2
A?4b
2
c
2
?4b
2
c
2(cos
2
A?1)
,在三角形中
cos
2
A?1<
br>,
???0
,再由
b
2
?0
得:不论
x取何值总有
b
2
x
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)x?c
2
?0
;
(Ⅱ)要证
c
?1
a?b?c?1
?
a?b?1
2(a?b)?1
,即证
[2(a?b)?1](c?1)?(a?b?1)(a?b?c?1)
,
整理得:
a
2
?b
2
?2ab?ac?bc?0
,亦即证:
(a?b
)(a?b?c)?0
,因为在三角形中
a?b?c,?a?b?c?0
,所以(a?b)(a?b?c)?0
成立,则原不等式成立;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:
1
a?b?c?1
?
1
(c?1)(a?b?1)
?
1
?
c?1
c?1
?
?
a?b?c?1
?
1
?
a?b?1
?
?
?
1
?
a?b?1
c?1
?
?
2(a?b)?1
?
1
?
a?
b?1
?
,令
t?a?b
,则
a?b?11
?
2(
a?b)?1
?
a?b?1
?
t?1
2t?1
?
1
t?1
?
t
2
11
1
?
a?b
?11
?
111
2t
2
?3t?1
?
1
?
,所以
?
2?(
3
t
?
?
?
c?
1
?
2
?
6
,
t
2
)
2
c?1
?
?
2(a?b)?1a?b?1
?
即原不等式成立
快乐的学习,快乐的考试!
10
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