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高一数学必修四必修五测试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 15:00
tags:高中数学必修4

高中数学立体几何线面角度公式-大学教授做高中数学



高一数学上学期期末考试试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.
1、 若
sin
?
?
?
?
?
?
A.第一象限
4
?
?
?
3
,sin
?
?
??
?
,则
?
角的终边在 ( )
5
?
2
?
5
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、若
a?(1,2)

b?(4,k)

c?0
,则
(a?b)c?
( )
A.
0
B.
0
C.
4?2k
D.
8?k

3、已知
a,b
为非零实数,且
a?b
,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.
a?b

22
B.
11
?

ab
C.
|a|?|b|
D.
2?2

ab
4、若向量
a

b
不共 线,
a?b?0
,且
c?a?
A.
(a?a)b
,则向量
a

c
的夹角为( )
a?b
π
2
B.
π

6
C.
π

3
D.0
5、若
a≥0,b≥0
,且
a?b?2
,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.
ab≤
2
1
2222
B.
ab≥
C.
a?b≤2
D.
a?b≥2

2
2
6、函数
y?2sin
?
xcos
?
x

(
?
?0)
的最小正周 期为
?
,则函数
f(x)?2sin(
?
x?
是( )
A.
[?,]

?
2
?
2
)
的一个单调增区间
??
22
B.
[,??

?
2
C.
[?,]
D.
[0,]

??
2

7、已知函数
f(x) ?tan(2x?b
?
)
的图象的一个对称中心为
(
A.
t an(2x?

?
3

|b|?,0)

1
,则
f(x)
的解析式为( )
2
?
)
B.
tan(2x?)
C.
tan(2x?)

tan(2x?)
D.
tan(2x?)

tan(2x?)

366363
1

y
2
?
?
?
?
?
8、已知偶 函数
f(x)
满足:
f(x)?f(x?2)
,且当
x?[0,1]
时,
f(x)?sinx
,其图象与直线
y?
轴右侧的交点按横坐标 从小到大依次记为
P
1
,P
2
A.
2
B.
4

22
,则
PP
13
?P
2
P
4
等于( )
D.
16
C.
8

9、设
m,x?R,M?x?2mx?2m,N?x?2
,则
M,N
的关系 为( )
A.
M?N
B.
M?N
C.
M≥N
D.
M≤N

快乐的学习,快乐的考试!
1



10、设
S
?ABC
的面积,
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
2SsinA?(BA?BC)sinB
,则( )
A、
?ABC
是钝角三角形 B、
?ABC
是锐角三角形
C、
?ABC
可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D、无法判断
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11、在平行四边形ABCD中,若
AB?(2,4)

AC?(1,3)
,则
AD?
. (用坐标表示)
12、已知三点
A(1,2),B(2,?1),C(2,2)

E,F
为线段
BC
的三等分点,则
AE?AF
= .
13、若函数
f(x)?
x

(x≥1)
能用均值不等式求最大值,则需要补充
a
的取值范围是
2
x?2(a?2)x?3a
______ .
1 4、已知关于
x
的方程
sinx?cosx?a

tanx?cot x?a
的解集都是空集,则实数
a
的取值范围是_____

15、已知实数
a、b、c
满足条件
ab?bc?ca?1
,给 出下列不等式:①
ab?bc?ca≥1


222222
11≥23
;③
(a?b?c)
2
?2
;④
a
2
bc?ab
2
c?abc
2

;其中一定成立的式子有__ _______.
abc3
答题卡
题号
答案
题号
答案
1

11

2

3

12

4

5

13

6

7

14

8

9

15

10


三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2
16、(本小题满分12分)解关于
x
的不等式:
log
a
(x? 4x?3)?log
a
(?x?1),(a?0,

a?1)










1 7、(本小题满分12分)已知向量
OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3 ?y)

(Ⅰ)若点
A,B,C
能构成三角形,求
x,y
满足的条件;
快乐的学习,快乐的考试!
2



(Ⅱ)若
?AB C
为等腰直角三角形,且
?B
为直角,求
x,y
的值.










1 8、(本小题满分12分)若将函数
f(x)?sinx
的图象按向量
a?(?
?
,?3)
平移后得到函数
g(x)
的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)
的解析式;(Ⅱ)求函数
F(x)?f(x)?










19、(本小题满分12 分)在
△ABC
中,
cosA?
1
的最小值.
g(x)< br>417
3

tanB?
.(Ⅰ)求角
C
的大小; < br>17
5
(Ⅱ)若
△ABC
最大边的边长为
17
,求最 小边的边长.











20、(本小题满分13分)“
5?12
”汶川大地 震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选
择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到 救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形
ABCD
的两
个顶点
A,B

CD
的中点
P
处,
AB?10km

BC?5k m
,现要在该矩形的区域内(含边界),且与
A,B
快乐的学习,快乐的考试!
3



等距离的一点
O
处建造一个医疗站,记
O
点到三个乡镇的距离之和为
y

(Ⅰ)设
?BAO?
?
(rad)
,将
y
表示为
?
的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医疗站的距离之和最短.



D P



O


A





21、(本小题满分 14分)已知
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c< br>.
22
(Ⅰ)证明:不论
x
取何值总有
bx?
(b ?c?a)x?c?0

2222
C
B
(Ⅱ)证明:





















c?1a?b?1111
???
. ;(Ⅲ)若c≥2
,证明:
a?b?c?12(a?b)?1a?b?c?1(c?1)(a?b?1 )6
快乐的学习,快乐的考试!
4



高一数学期末考试试题(理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,
1 .若
sin
?
?
?
?
?
?
4
5< br>,sin
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
3
5
,则
?
角的终边在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[提示]:
sin
?
??
4
5
?0,cos
?
?
3
5
?0
,∴
?
角的终边在第四象限.
2.若
a? (1,2)

b?(4,k)

c?0
,则
(a?b)c?
( B )
A.
0
B.
0
C.
4?2k
D.
8?k
[提示]:
(a?b )c?
0

3.已知
a,b
为非零实数,且
a?b
,则下列不等式一定成立的是( D )
A.
a
2
?b
2
B.
1
?
1
C.
|a|?|b|
D.
2
a
?2
b
ab

[提示]:不知
a,b
的正负,A ,B ,C都不能确定,而函数
y?2
x
单调递增.
4.若向量
a

b
不共线,
a?b?0
,且
c?a?
(a?a)ba?b
,则向量
a

c
的夹角为( A )
A.
ππ
2
B.
6
C.
π
3
D.0
a?
?
?
a ?
(a?a)b
?
[提示]:设向量
a

c
的夹角 为
?

cos
?
?
a?c
a?b
?
?
|a|?|c|
?
?
|a|?|c|
?
a?a?a?a
|a|?|c|
?0

5.若
a?0,b?0
,且
a?b?2
,则下列不等式一定成立的是(D)
A.
ab?
2
2
B.
ab?
1
2
C.
a
2
?b
2
?2
D.
a
2
?b
2
?2

[提示]:
a b?
a?b
2
?
a
2
?b
2
2
, ∴
a
2
?b
2
?2


6.函数
y?2sin
?
xcos
?
x

(
?
?0)
的最小正周期为
?
,则函数
f(x)?2sin (
?
x?
?
2
)

一个单调增区间是(C)
A.
[?
?

?
22
]
B.
[
???
2
,??
C.
[?,]
D.
[0,
?
22
]

[提示]:
y?2si n
?
xcos
?
x?sin2
?
x,(
?
?0)
.∴
?
?1,f(x)?2sin(x?
?
2
)?2 cosx


[?,
??
2
]
上单调递增.
快乐的学习,快乐的考试!
5



7.已知函数
f(x)?tan(2x?b
?
)
的图象的一个对称中心为
(
A.
tan(2x?
C.
tan(2x?
?
3
,0),若
|b|?
1
,则
f(x)
的解析式为(D)
2
?
?
)
B.
tan(2x?)

36
?
)

tan(2x?)
D.
tan(2x?)

tan(2x?)

6363
?< br>k
?
2k111
[提示]:
2??b
?
?,

b??

(k?Z)
,又
|b|?
,∴
k?1, 2

b??
或.
3232236
1
8.已知偶函数
f(x)
满足:
f(x)?f(x?2)
,且当
x?[0,1]
时 ,
f(x)?sinx
,其图象与直线
y?

y
2
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
P
1
,P
2
A.
2
B.
4

,则
PP
13
?P
2
P
4
等于( B )
D.
16

?
?
?
C.
8
PPPP
[提示]:依题意
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
四点共线,
PP
13

P
2
P
4
同向,且
1

3

2

4
的横坐标都相差一个
周期,所以
|PP
13
|?2

|P
2
P
4
|?2

PP
13
?P2
P
4
?|PP
13
||P
2
P
4< br>|?4

9.设
m,x?R,M?x?2mx?2m,N?x?2
, 则
M,N
的大小关系为 ( A )
A.
M?N
B.
M?N
C.
M?N
D.
M?N

[提示]:
22
M?N?x
2
?(2 m?1)x?2m
2
?2

??(2m?1)
2
?4(2m
2
?2)?

?(2m?1)
2
?6?0
,所以当
x?R
时,
M?N?x
2
?(2m?1)x?2m
2
?2?0

10.设
S

?ABC
的面积,
A ,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
2SsinA?(BA?BC)sin B
,则(A)
A.
?ABC
是钝角三角形 B.
?ABC
是锐角三角形
C.
?ABC
可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断
[提示]:
1
2SsinA?(BA?BC)sinB
,∴
2a?b csinA?b?cacosB
,∴
sinA?cosB

2
∴< br>?B
为锐角,
sinA?cosB?sin(
角三角形,若
?A
为锐角,则
A?
?
2
?B)
,若
?A
为钝角,且 满足上式,则
?ABC
是钝
?
2
?B,?A?B?
?2
,C?
?
2

?ABC
是钝角三角形.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.在平行四边形ABCD中,若
AB?(2,4)

AC?(1,3)
,则
AD?
____ . (用坐标表示)
[提示]:
AB?DC?(2,4)
,∴
AD?
AC?DC?(1,3)?(2,4)?(?1,?1)

12.已知三点
A(1,2),B(2,?1),C(2,2)

E,F
为线段
BC
的三等分点,则
AE?AF

3

[提示]:
B(2,?1),C(2,2)

E,F
为线段
BC
的三等分点,∴
E(2,0),F(2,1)

AE?(1,?2),AF?(1,?1)
,∴
AE?AF?1?2?3

快乐的学习,快乐的考试!
6



13.若函数
f(x)?
x

(x?1)
能用均值不等式求 最大值,则需要补充
a
的取值范围
2
x?2(a?2)x?3a
是_ ___
a?
1
_____.
3
x1

x?1
,该式能用均值不等式求最大值,
?2
3a
x?2(a?2)x?3a
x??2(a?2)
x
3a3 a1
2
则,∴
3a?x?1,

a?

?0,< br>且
x?
xx3
14.已知关于
x
的方程
sinx?c osx?a

tanx?cotx?a
的解集都是空集,则实数
a
的 取值范围是
[提示]:
____
(?2,?2)
[提示]:
(2,2 )
__.
a?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2,2]
,又其解集为 空集,∴
a?(??,

4
?2
coxt
taxn?cxo ?t
,当
2
tanx?

0

?
?2)( 2,??)
,当
tanx?0
时,
a?tanx?
,?2]
a?tanx?coxt??
,∴
a?(??
a?(?2,?2)(2,2)



[2?

,?
又其解集为空集,∴
a?( ?2,2
15.已知实数
a、b、c
满足条件
ab?bc?ca?1
,给出下列不等式:

ab?bc?ca?1
;②
222222
1 1
?23
;③
(a?b?c)
2
?2
;④
a2
bc?ab
2
c?abc
2
?

abc3
其中一定成立的式子有__③④_______.
[提示]:当
a ?b?c?
3
2
时排除①;
a?2

b?3
c??1
时排除②;而
(a?b?c)

3
?a
2?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ca)?3(ab?bc?ca)?3
?2
,∴③成立;
(ab?bc?ca)
2

?3[(ab )(bc)?(bc)(ca)?(ca)(ab)]?3(a
2
bc?ab
2
c?abc
2
)
,∴④成立.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2
16.(本小题满分12分)解关于
x
的不等式:
log
a
(x? 4x?3)?log
a
(?x?1),(a?0,

a?1)
. < br>[解答]:由
x?4x?3?0,?x?1?0
,得
x?1
,所以依对 数的性质有:

a?1
时,
x?4x?3??x?1,?x?3x?2?0 ,?1?x?2
,又
x?1
,此时不等式无解;

0?a?1时,
x?4x?3??x?1,?x?3x?2?0,?
x?2

x?1
,又
x?1
,当
a?1?x?1
,综上:
时,不等式无解; 当
0?a?1
时,不等式的解集为
?
x|x?1
?

快乐的学习,快乐的考试!
7
22
22
2



17.(本小题满分12分)已知向量
OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y)

(Ⅰ)若点
A,B,C
能构成三角形,求
x,y
满足的条件; (Ⅱ)若
?ABC
为等腰直角三角形,且
?B
为直角,求
x,y
的值.
[解答]:(Ⅰ) 若点
A,B,C
能构成三角形,则这三点不共线,
AB?(3,1),

AC?(2?x,1?y),

3(1?y)?2?x
,∴
x,y
满足的条件为
3y?x?1
(若根据点
A,B,C
能构成三角
形,必须
|AB|?|BC|?|AC|
,相应给分);
(Ⅱ)
AB?( 3,1),
BC?(?x?1,?y)
,若
?B
为直角,则
AB?B C
,∴
3(?x?1)?y?0

?
x?0
?
x??2
22
|AB|?|BC|
又 ,∴
(x?1)?y?10
,再由
y?3(?x?1)
,解得
?
?

y??3y?3
??

18.(本小题满分1 2分)若将函数
f(x)?sinx
的图象按向量
a?(?
?
,?3 )
平移后得到函数
g(x)
的图象.
(Ⅰ)求函数
g(x)
的解析式;(Ⅱ)求函数
F(x)?f(x)?
1
的最小值.
g(x)< br>[解答]:(Ⅰ)设
P(x,y)
是函数
f(x)?sinx
的图象上 任意一点,按向量
a?(?
?
,?3)
平移后在函数
g(x)

''
??
?
x?x?
?
?
x?x?
?
图象上的对应点为
P(x,y)
,则:
?
'
,∴
?
,即
'
??
?
y?y?3
?
y?y?3
'''
y
'
?3?sin(x?
?
)
,所以函数
g (x)??sinx?3

(Ⅱ)
F(x)?f(x)?
111
? sinx??sinx?3??3
,令
t?sinx?

g(x)sinx? 3sinx?3
11
3?[2,4]
,而函数
?
(t)?t?

[2,4]
上是增函数,所以当
t?2
时,
?
(t)< br>min
?2?
,即当
sinx??1
时,
t2
1F(x)
min
??

2

19.(本小题满分12 分)在
△ABC
中,
cosA?
417
3

tan B?

17
5
(Ⅰ)求角
C
的大小;(Ⅱ)若
△ ABC
最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
[解答]:(Ⅰ)
C?π?(A?B)

cosA?
417
1

?tanA?
17
4
?tanC??tan(A?B)?

8
快乐的学习,快乐的考试!



13
?
3
?
45
??1
.又
0?C?π

?C?
π

13
4
1??
45
(Ⅱ)
3
?
?
?
C??

?AB
边最大,即
AB?17
.又
ta nA?tanB,A,B?
?
0,
?

4
?
?< br>?
cosA?
417
17
ABBC

?
< br>sinA?
.由得:
?
17
17
sinCsiAn
?

A
最小,
BC
边为最小边.
sinA
BC?AB ?2
,所以,最小边
BC?2

sinC

20、(本小 题满分13分)“
5?12
”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选择
一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形
ABC D
的两个
顶点
A,B

CD
的中点
P
处,
AB?10km

BC?5km
,现要在该矩形的区域内(含边界),且与< br>A,B

距离的一点
O
处建造一个医疗站,记
O
点到 三个乡镇的距离之和为
y

(Ⅰ)设
?BAO?
?
(ra d)
,将
y
表示为
?
的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医
疗站的距离之和最短.




[解答]:(Ⅰ)如图,延长
PO
AB
于点
Q
,由题设可知
BQ?AQ?
D P
C
O
A
B
1
AB?5

AO?BO
PO?5?OQ

2
510
?

Rt?AB C
中,又
0?
?
?

AO?,OQ?5tan
?< br>,
?5?5tan
?

?y?AO?BO?PO
?
c os
?
cos
?
4
10
?
?y??5tan
?
?5,(0?
?
?)

cos
?
4
102?sin
?
2?sin
??
(Ⅱ)
y??5tan
?
?5?5??5
,令
u?,0?
?
?
,则
cos
?
cos
?
cos
?
4
ucos
?
?sin
?
?2,?u
2
?1sin(
?
?
?< br>)?2,(tan
?
?u)

?sin(
?
?
?
)?
?u?3

u??3
(舍),当
u?3
时 ,
?
?

?
?

21.(本小题满分14分)已知
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.
快乐的学习,快乐的考试!
2
u?1
2
?1

?
3
,
?
?
?
?[0,]
,所以
y
最小,即医疗站的位置
O

64
?
?
6
,AO? BO?
10353
km,PO?5?km
,可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短.
33
9



22
(Ⅰ)证明:不论
x
取何值总有
bx?
(b?c?a)x?c?0

2222
(Ⅱ)证明:
c?1a?b?1111
???
. ;(Ⅲ) 若
c?2
,证明:
a?b?c?12(a?b)?1a?b?c?1(c?1)(a? b?1)6
[解答]:(Ⅰ)令
y?b
2
x
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)x?c
2
,由余弦定理
b
2
?c
2
?a
2
?2bccosA

?
??(b
2
?c
2
?a
2
)
2
?4b
2
c
2
?4b
2
c
2
cos2
A?4b
2
c
2
?4b
2
c
2(cos
2
A?1)
,在三角形中
cos
2
A?1< br>,
???0
,再由
b
2
?0
得:不论
x取何值总有
b
2
x
2
?(b
2
?c
2
?a
2
)x?c
2
?0

(Ⅱ)要证
c ?1
a?b?c?1
?
a?b?1
2(a?b)?1
,即证
[2(a?b)?1](c?1)?(a?b?1)(a?b?c?1)

整理得:
a
2
?b
2
?2ab?ac?bc?0
,亦即证:
(a?b )(a?b?c)?0
,因为在三角形中
a?b?c,?a?b?c?0
,所以(a?b)(a?b?c)?0
成立,则原不等式成立;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:
1
a?b?c?1
?
1
(c?1)(a?b?1)
?
1
?
c?1
c?1
?
?
a?b?c?1
?
1
?
a?b?1
?
?

?
1
?
a?b?1
c?1
?
?
2(a?b)?1
?
1
?
a? b?1
?
,令
t?a?b
,则
a?b?11
?
2( a?b)?1
?
a?b?1
?
t?1
2t?1
?

1
t?1
?
t
2
11
1
?
a?b ?11
?
111
2t
2
?3t?1
?
1
?
,所以
?
2?(
3
t
?
?
?
c? 1
?
2
?
6

t
2
)
2
c?1
?
?
2(a?b)?1a?b?1
?
即原不等式成立
快乐的学习,快乐的考试!
10

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