(完整版)高中数学必修四第一章测试

第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2016·陕西延川县期中)半径为π cm，中心角为120°的弧长为 ( )
ππ
2
2π2π
2
A. cm B. cm C. cm D. cm
3333
3π
1
?
2．(2016·桂林全州学段考)如果sin(π＋A)＝－，那么cos
?
?
2
－A
?
等于( )
2
1133
A．－ B.
C.
D．－
2222
3．若点P(sin2，cos2)是角α终边上一点，则角α的终边所在象限是( )
A．第一象限
C．第三象限

4．右图是函数f(x)＝Asi nωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋
f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋ f(6)的值等于( )
A.2 B.
2
C．2＋2 D．22
2
sin
B．第二象限
D．第四象限
7π
cosπ
10
5．给出下列各函数值：①sin 100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④.其中符
17π
tan9
号为负的是( )
A．① B．② C．③ D．④
π
1
x＋
?
图象上 各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象6．把函数y＝sin
?
?
6
?
2
π
向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
3
ππππ
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
2484
7．(2016·山西大同一中测试) 若0<α<2π，且sinα<
α的取值范围是( )
πππ5ππ5π
－，
?
B.
?
0，
?
C.
?
，2π
?
D.
?
0，
?
∪
?
，2π
?
A.
?
?
33
??
3
??
3
??
3
??
3
?
2sinαcosα－cosα
8．化简等于( )
1 ＋sin
2
α－sinα－cos
2
α
11
A．tanα B. C．－tanα D．－
tanαtanα
31
，cosα>，利用三角函数线得到角
22

1

5π2π2π
9．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
777
A．a＜c＜b
C．b＜c＜a
B．a＜b＜c
D．b＜a＜c
π
3x－
?
＝sin(ax＋10．(2016· 上海高考)设a∈R，b∈[0,2π]．若对任意实数x，都有sin
?
3
??b)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m(A＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，该函数的
π?
π
ω＋φ
??
图象与直线y＝2的两个相邻交点之间的距离为，对任意 的x∈R，满足f(x)≤
?
Asin
??
12
??
4π
?
＋m，且f(π)＜f
?
?
4
?
，则下列 符合条件的函数的解析式是( )
π
7π
4x＋
?
＋2 B．f(x)＝2sin
?
2x＋
?
＋2 A．f(x)＝2sin
?
6
?
6
???
π
7π
4x＋
?
＋2 D．f(x)＝2sin
?
4x＋
?
＋2 C ．f(x)＝2sin
?
3
?
6
???
12．(2016· 山西榆社中学期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部
分图象如图所示，下列结论：
π
①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；
6
12π
??
14π
??
5π
－x
?
. ③f(0)＝1； ④f
?
?
11
??
13
??
3
?
其中正确的是( )

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．sin(－120°)cos1 290°＋
cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝__________.
π
ωx－
?
(ω>0)和g(x)＝ 2cos(2x＋φ)14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数f(x)＝3sin
?6
??
π
0，
?
，则f(x)的取值范围是________． ＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈
?
?
2
?
π2π
2k π－，2kπ＋
?
(k∈Z)，则15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y＝f(cos x)的定义域为
?
63
??

2
D．②③⑤

函数y＝f(x)的定义域为________．
sinx＋cosx＋|s inx－cosx|
16．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是________．
2
①f(x)是奇函数；②f(x)的值域是
?
－
?
π
2?
0，
?
上递增．
，1
；③f(x)是周期函数；④f(x) 在
?
?
2
?
2
?
三、解答题(本大题共6小题，共 70分)
1＋2sin?3π－α?cos?α－3π?
17．(10分)化简，其中角α的 终边在第二象限．
3π5π
??
2
?
sin
?
?
α－
2
?
－ 1－sin
?
2
＋α
?

18．(12分)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．


119．(12分)(2016·山西大同一中期中)已知α是一个三角形的内角，且sinα＋cosα＝.
5
(1)求tanα的值；
1
(2)用tanα表示
2
并求其值．
sin
α－cos
2
α


x
π
?
20．(12分)(2016·银川九中期中)已知函数f(x)＝3sin
?
?< br>2
＋
6
?
＋3.

(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表)
(2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；
(3)说明此函数图象可由y＝sinx在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．


π
3
2ωx＋
?
＋＋a(其中ω>0，a∈R)，且f( x)的图象在y轴右21．(12分)设函数f(x)＝sin
?
3
?
2?
7π
侧的第一个最低点的横坐标为.
6
(1)求ω的值；

3

π5π
－，
?
上的最小值为3，求a的值． (2)如果f(x)在区间
?
?
36
?

π
2x－
?
(其中a>0，且a≠1)． 22．(12分)已知函数f(x )＝log
a
cos
?
3
??
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．


详解答案
2π2π
2
1．D 120°＝，∴弧长为，故选D.
33
3π
111
－A
?
＝－sinA＝－，故选A. 2．A sin(π＋A)＝－，∴sinA＝，cos
?
?
2
?
2 22
3．D ∵2弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0.
∴点P在第四象限，
∴角α的终边在第四象限，故选D.
2πππx
4．A 易知A＝2，由＝8，得ω＝，∴f(x)＝2sin，
ω
44
π
又由对称性知，原式＝f(1)＝2sin＝2，故选A.
4
5．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan (－100°)＝－tan100°>0；④∵
7π
sin
cosπ
107π17π
sin>0，cosπ＝－1，tan<0，∴>0.其中符号为负的是②，故选B.
109
17π
tan
9
π
π
x－
?
＋
?
＝6．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y＝sin
?
2
?
?
?
3
?
6
?
π
2 x－
?
＝ sin
?
2
??
π
－cos2x，注意 到当x＝－时，y＝－cos(－π)＝1，此时y＝－cos2x取得最大值，因此
2
π直线x＝－是该图象的一条对称轴，故选A .
2

7．D 如图示，满足si nα<
π2π
3
0，
?
∪
?
，2π
?，满的角α为
?
?
3
??
3
?
2
π5 π
1
0，
?
∪
?
，2π
?
，所以符 足cosα>的角α为
?
?
3
??
3
?
2

4

π5π
0，
?
∪
?
，2π?
，故选D. 合条件的角α为
?
?
3
??
3
?
8．B 原式＝
cosα?2sinα－1?

1－cos
2
α＋sin
2
α－sinα
cosα?2sinα－1?cosα?2sinα－1?
＝＝
2sin
2
α－sinα
sinα?2sinα－1?
＝
1
.故选B.
tanα
5π2π2π
9．D a＝sin＝sin＜tan＝c.
777
π2π
?
2π3π
－
＝sin， cos＝sin< br>?
?
27
?
714
3π
2π3π2π
∵＜， ∴sin＜sin.故b＜a＜c.
147147
ππ
3x－
?
＝ sin
?
3x－＋2π
?
＝ 10．B sin
?
3
?
3
???
5π5πππ4π
3x＋
?
，(a，b)＝< br>?
3，
?
，又sin
?
3x－
?
＝sin< br>?
π－
?
3x－
??
＝sin
?
－3x＋< br>?
，(a，sin
?
3
?
3
?
3
?
3
??
3
???????
4π
－3，
?
， 因为b∈[0,2π]，所以只有这两组．故选B. b)＝
?
3
??
??< br>?
A＋m＝4，
?
A＝2，
π2ππ
11．D 由题意得?
解得
?
由题可知周期T＝，由T＝＝得ω
2
ω
2?
－A＋m＝0，
?
??
m＝2.

ππ
＝ 4，于是函数f(x)＝2sin(4x＋φ)＋2.又由题可知x＝是函数的对称轴，故4×＋φ＝kπ＋1212
π
?
ππ
，则φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为f(π)＜f?
?
4
?
，验证选项A、D，可得选项D正确．
26
7ππ
?
7π7π3π
－
×4＝π，∴ω＝2，当x＝时，2×＋φ＝，12 ．C 由图象可知，A＝2，T＝
?
?
123
?
12122
π
ππ
2x＋
?
故①正确；f(0)＝2sin＝3，故③不正确，故选C. ∴φ＝，∴f(x)＝2sin
?
3
??
33

13.1
解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝
－
3
?
3
11
×
－
?
＋
×
＝1.
2
?
2
?
22
3
－，3
?
14 .
?
?
2
?
π
2π
2x－
?
，< br>解析：由题可知，f(x)与g(x)的周期相同，∴T＝
＝π，∴ω＝2，则f(x)＝3si n
?
6
??
2
πππ5π
3
当0≤x≤时，－≤2x－≤
，∴－
≤f(x)≤3.
26662

5

1
－，1
?
15.
?
?
2
?
1
π
2π1
－，1
?
.
解析：∵2kπ－≤ x≤2kπ＋
，k∈Z.∴－
≤cosx≤1.∴f(x)的定义域为
?
?< br>2
?
632
16．②③
?
?
2sinx，sinx ≥cosx，
解析：f(x)＝
?
∴f(x)的图象如图所示．
2cosx，sinx?
?


依据图象可知②③正确．
17．解：原式＝
1＋2sin[2π＋?π－α?]cos[?α－π?－2π]

3ππ
? ???
2
?
－sin
?
?
2
－α
?
－ 1－sin
?
2π＋
?
2
＋α
??
1＋2s in?π－α?cos?α－π??cosα－sinα?
2
＝＝.
cosα－|s inα|
cosα－1－cos
2
α
∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cosα－sinα<0.
sinα－cosα
于是，原式＝＝－1.
cosα－sinα
T
5πππ2π
18．解：∵＝－＝，ω>0，∴T＝π，ω＝＝2.
2632T
π< br>?
π2π
，0
，∴f
??
＝Asin
?
＋φ
?
＝0， ∵图象过点
?
?
3
??
3
??
3
?
2π
∴＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
3
π
令k＝0，得φ＝.
3
3
π
3
0，
?
，由Asin
?
2×0＋
?
＝得，A＝3. 又图象过点
?
3
?
2
?
2
??
π
2x＋?
. ∴所求表达式为y＝3sin
?
3
??
19．解：(1) 已知α是一个三角形的内角，∴0<α<π，sinα>0.
1124
由sinα＋cosα ＝，得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴cosα<0，∴(sinα－cosα)< br>2
52525
49743
＝1－2sinαcosα＝，∴sinα－cosα ＝.∴sinα＝，cosα＝－，
25555

6

4
∴tanα＝－.
3
4
?
2
?
－
＋1
sin
2
α＋cos
2
α
tan< br>2
α＋1
?
3
?
125125
(2)
2＝＝＝＝.∴＝.
7
sin
2
α－cos
2
α
7
sin
α－cos
2
α
sin
2
α－cos< br>2
α
tan
2
α－1
?
4
?
2?
－
3
?
－1
20．解：(1)列表
x
x
π
＋
26
y

π
－
3
0
3
2π

3
π

2
6
5π

3
π
3
8π

3
3π

2
0
11π

3
2π
3

π
x
ππ2π
(2)周期T＝4π，振幅A＝3，初 相φ＝，由＋＝kπ＋，得x＝2kπ＋(k∈Z)即为对称
62623
轴方程；
π
π
x＋
?
的图象； (3)①由y＝sinx的图象上各点向左平 移φ＝个长度单位，得y＝sin
?
?
6
?
6
π
x ＋
?
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝②由y＝sin
?
?
6
?
x
π
?
sin
?
?2
＋
6
?
的图象；
x
π
?
③由y＝ sin
?
?
2
＋
6
?
的图象上各点的纵坐标伸长为 原来的3倍(横坐标不变)，得y＝
x
π
?
3sin
?
?< br>2
＋
6
?
的图象；
x
π
?
xπ
＋
的图象上各点向上平移3个长度单位，得y＝3sin
?
＋
?
＋3的图象．④由y＝3sin
?

?
26
??
26
?
7ππ3π
1
21．解：(1)依题意知，2×
ω＋
＝?ω＝.
6322
π
3
x＋
?
＋＋a， (2)由(1 )知f(x)＝sin
?
?
3
?
2
π5π7π
π< br>－，
?
时，x＋∈
?
0，
?
， 又当x∈
?
6
??
36
?
3
?
π
1
x＋?
≤1， 故－≤sin
?
?
3
?
2
π5π< br>13
－，
?
上取最小值－＋＋a. 从而f(x)在
?
?
36
?
22

7

3＋1
13
因此－＋＋a＝3，解得a＝.
222
π
ππππ
2x－
?
>0，∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)．即k π－?
3
??
23212
π5π
5π
kπ－，kπ＋
?
(k∈Z)． ＋(k∈Z)．故定义域为< br>?
1212
??
12
π
ππ2π
2x－
?< br>的单调(2)由2kπ≤2x－≤(2k＋1)π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．即co s
?
3
??
363
π2π
kπ＋，kπ＋
?
减区间为
?
63
??
π
πππ
2x－
?
的单(k∈Z)．由2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．即cos< br>?
3
??
336
ππ
kπ－，kπ＋
?
(k ∈Z)． 调增区间为
?
36
??
ππππ5π
2x－
?< br>在
?
kπ－，kπ＋
?
(k∈Z)上是增函数，在
?
kπ＋，kπ＋
?
(k∈Z)∴函数u＝cos
?
3
??
1 26
?
612
???
上是减函数．
∴当a>1时，f(x)的单调增区间为
?
kπ－
π
，kπ＋
π
?
(k∈Z)．
126
??
π5π
kπ＋，kπ＋
?
(k∈Z)． 单调减区间为
?
612
??
当0?
kπ＋
π
，kπ＋
5π
?
(k∈Z)，单调减区间为
612
??
?
kπ－
π
，kπ＋
π
?(k∈Z)．
126
??
(3)∵f(x)的定义域不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
π
2?x＋π?－
?
＝ (4)∵f(x＋π)＝log
a
cos
?
3
??
π
2x－
?
＝f(x)． log
a
cos
?
3
??
∴函数f(x)的周期为T＝π.


8