多功能题典高中数学竞赛-高中数学椭圆双曲线抛物线在哪本课本
高中数学必修四试卷
一、选择题
(考试时间:100分钟
满分:150分)
1.下列命题正确的是
A.第一象限角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等
D.不相等的角,它们终边必不相同
2.函数
y??2sin(x?
A.
1
2
?
4
)
的周期,振幅,初相分别是
??
?
?
?
,
2
, B.
4
?
,
?2
,
?
C.
4
?
,
2
, D.
2
?
,
2
,
4
4444
1
?
3.如果
cos(
?
?A)??
,那么
sin(?A)?
22
1111
A. B.
C. D.
2222
2005
?
?2004x)
是
4.函数
y?sin(
2
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
5.给出命题
(1)零向量的长度为零,方向是任意的.
(2)若
a
,
b
都
是单位向量,则
a
=
b
.
(3)向量
AB
与向量
BA
相等.
(4)若非零向量
AB
与
CD
是共线向量,则
A
,
B
,
C<
br>,
D
四点共线.
以上命题中,正确命题序号是
A.(1)
B.(2) C.(1)和(3) D.(1)和(4)
6.如果
点
P(sin2
?
,
cos2
?
)
位于第三象限,
那么角
?
所在象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.在四边形
ABCD
中,如果
ABCD?0
,
AB?DC
,那么四边形
ABCD
的形状是
A.矩形 B.菱形 C.正方形
D.直角梯形
8.若
?
是第一象限角,则
sin
?
?co
s
?
的值与
1
的大小关系是
A.
sin
?
?cos
?
?1
B.
sin
?
?cos
?
?1
C.
sin
?
?cos
?
?1
D.不能确定
9.在△
ABC
中,若
sinC?2cosAsinB
,则此三角形必是
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形
D.等腰直角三角形
10.如图,在△
ABC
中,
AD<
br>、
BE
、
CF
分别是
BC
、
CA
、
AB
上的中线,它们交于
点
G
,则下列各等式中不正确的是
A
2
BE
B.
CG?2GF
3
1121
C.
DG?AG
D.
DA?FC?BC
2332
A.
BG?
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
F
G
B
D
E
C
11.设扇形的周长为<
br>8cm
,面积为
4cm
,则扇形的圆心角的弧度数是
.
2
3
,则
tan
?
?
.
5
4sin
?
?2cos
?
13.已知
a?(
3
,
1)
,
b?(sin
?
,
cos
?<
br>)
,且
a
∥
b
,则= .
5c
os
?
?3sin
?
12.已知
tan
?
?2,
tan(
?
?
?
)??
14.给出命题:
(1)在平行四边形
ABCD
中,
AB?AD?AC
.
(2)
在△
ABC
中,若
ABAC?0
,则△
ABC
是钝角三角形
.
(3)在空间四边形
ABCD
中,
E,F
分别是
B
C,DA
的中点,则
FE?
1
(AB?DC)
.
2
以上命题中,正确的命题序号是 .
三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
353
,
?
?[
?
,
?
]
.
542
(1)求
cos2
?
及
cos
?
的值;
已知
sin2
?
?
(2)求满足条件
sin(
?
?x)?sin(
?
?x)?2cos
?
??
10
的锐角
x
.
10
16.(本小题满分13分)
已知函数
f(x)?sin
xx
?3cos
,
x?R
.
22
(1)求函数
f(x)
的最小正周期,并求函数
f(x)<
br>在
x?[?2
?
,2
?
]
上的单调递增区间;
(2)函数
f(x)?sinx(x?R)
的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以
得到函数
f(x)
的
图象.
17.(本小题满分13分)
已知电流
I
与时间
t
的关系式为
I?Asin(
?
t?
?
)
.
(1)下图是
I?Asin(
?t?
?
)
(
?
?0,
?
?
求
I?Asin(
?
t?
?
)
的解析式;
(2)如果<
br>t
在任意一段
?
2
)
在一个周期内的图象,根据图中数据I
300
1
秒的时间内,电流
150
O
1
1
900
180
t
I?Asin(
?
t?
?
)
都能取得最大值和最小值,
?
那么
?
的最小正整数值是多少?
-300
18.(本小题满分13分)
已知向量
OA?(3,?4)<
br>,
OB?(6,?3)
,
OC?(5?m,?3?m)
.
(1)若点
A,B,C
能够成三角形,求实数
m
应满足的条件;
(2)若△
ABC
为直角三角形,且
?A
为直角,求实数
m
的值.
19.(本小题满分13分)
设平面内的向量
OA?(1,7)
,<
br>OB?(5,1)
,
OM?(2,1)
,点
P
是直线
OM
上的一个
动点,且
PAPB??8
,求
OP
的坐标及
?APB
的余弦值.
20.(本小题满分13分)
已知向量
a?(cos<
br>3x3xxx
?
,sin)
,
b?(cos,?sin)
,且
x?[,
?
]
.
22222
(1)求
ab
及
a?b
;
(2)求函数
f(x)?a
b?a?b
的最大值,并求使函数取得最大值时
x
的值.
高中数学必修(4)试卷参考答案及评分标准
一、选择题
题号
答案
1
B
2
C
3
B
4
B
5
A
6
B
7
A
8
A
9
A
10
C
二、填空题
11. 2
12. -13 13.
三、解答题
5
14.
(1)(2)(3)
7
35
?
,所以
?
?2
?<
br>?3
?
. ………………………(2分)
22
4
2
因此
cos2
?
??1?sin2
?
??
.
………………………………(4分)
5
15.解:(1)因为
?
?
?
?
由
cos2
?
?2cos
?
?1
,得
cos
?
??
2
5
4
10
. ……………………(8分)
10
(2)因为
sin(
?
?x)?sin(
?
?x)?2cos
?
??
10
,
10
所以
2cos
?
(1?sinx)??
因为
x
为锐角,所以
x?
16.解:
y?sin
1
10
,所以sinx?
. ………………………(11分)
2
10
.
………………………………………………(13分)
?
6
xxx
?
?3cos?2sin(?)
.
2223
2
?
(1)最小正周期
T??4
?
. ……………………………………………(3分)
1
2
1
?
??
令
z?x?
,
函数
y?sinz
单调递增区间是
[??2k
?
,?2k
?
](k?Z)
.
2322
?
1
??
由
??2k
?
?x???2k
?
,
2232
5
??
?4k
?
?x??4k
?
,k?Z
.
………………………………(5分) 得
?
33
5
??5
??
?x?
,而
[?,]
?
[?2
?
,2
?
]
, 取
k?0
,得
?
33
33
xx5
??
,]
. 所以,函数
y?sin?3c
os
,
x?[?2
?
,2
?
]
得单调递增区间是<
br>[?
2233
…………………………………………………………………………(8分)
(2)把函数
y?sinx
图象向左平移
再把函数
y?s
in(x?
?
?
,得到函数
y?sin(x?)
的图象,…(10分
)
3
3
?
3
x
?
变,得到函数
y?si
n(?)
的图象, …………………………………(11分)
23
)
的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,即可得到函数
x
?
)
的图象. …………………………………………………(13分)
23
11
17.解:(1)由图可知
A?300
,设
t1
??
,
t
2
?
, ……………………(2分)
900180
111
?)?
则周期
T?2(t
2
?t
1
)?2(
,
…………………………(4分)
18090075
2
?
?150
?
.
………………………………………………………(6分) ∴
?
?
T
11
?
)?
?
]?0
,
sin(
?
?)?0
.
t??
时,
I?0
,即
sin[150
?
?(?
9009006
y?2sin(?
而
?
?
?
2
,
∴
?
?
?
6
.
故所求的解析式为
I?300sin(150
?
t?
(2)依题意,周期
T?
?
6
)
.
……………………………(8分)
12
?
1
?
,即,
(
?
?0)
,
…………………(10分)
150
?
150
*
∴
?
?300
?
?942
,又
?
?N
,故
最小正整数
?
?943
. ……………(13分)
18.解:(1)已知
向量
OA?(3,?4)
,
OB?(6,?3)
,
OC?(5?m,
?3?m)
,
若点
A,B,C
能构成三角形,则这三点不共线
,即
AB
与
BC
不共线. ……(4分)
AB?(3,1)
,
AC?(2?m,1?m)
,
故知
3(1?m)?2?m
,
∴实数
m?
1
时,满足条件. …………………………………………………(8分)
2
(若根据点
A,B,C
能构成三角形,必须任意两边长的和大于
第三边的长,即由
AB
?BC?CA
去解答,相应给分)
(2)若△
ABC
为直角三角形,且
?A
为直角,则
AB?AC, …………(10分)
∴
3(2?m)?(1?m)?0
,
解得
m?
7
. …………………………………………………………………(13分)
4
19.解:设
OP?(x,y)
.
∵点
P
在直线
OM
上,
∴
OP
与
OM
共线,而
OM
?(2,1)
,
∴
x?2y?0
,即
x?2y
,有
OP?(2y,y)
.
………………………………(2分)
∵
PA?OA?OP?(1?2y,7?y
)
,
PB?OB?OP?(5?2y,1?y)
,……(4分)
∴
PAPB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)
,
即
PAPB?5y
2
?20y?12
.
…………………………………………………(6分)
又
PAPB??8
, ∴
5y?20y?12??8
,
所以
y?2
,
x?4
,此时
OP?(4,2)
.
……………………………………(8分)
PA?(?3,5),PB?(1,?1)
.
于是
PA?34,PB?
∴
cos?APB?
2
2,PAPB??8
.
…………………………………(10分)
PAPB
PA?PB
?
?8417
.
………………………(13分)
??
17
34?2
20.解:(1)
ab?cos
3xx3xx
cos?sinsin?cos2x
,
……………………(3分)
2222
a?b?(cos
3x
x3xx
?cos)
2
?(sin?sin)
2
………………………(4分)
2222
3xx3xx
cos?sinsin)
2222
?2?2(cos
?2?2cos2x?2cosx
…………………………………………(7分)
∵
x?[
?
2
,
?
]
,
∴
cosx?0
.
∴
a?b??2cosx
. …………………………………………………………(9分)
(2)
f(x)?ab?a?b?cos2x?2cosx?2cosx?2cosx?1
?2(cosx?)?
∵
x?[
2
1
2
2
3
…………………………………………………(11分)
2
,
?
]
,
∴
?1?cosx?0
, ……………………………………(13分)
2
∴当
cosx??1
,即
x?
?
时
f
max
(x)?3
. ………………………………( 15分)
?