高一数学必修4三角函数的定义讲义

三角函数的定义
知识梳理
1、任意角三角函数的定义
(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
(2 )单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；x叫做α的余弦，记作cos α，即cos
yy
α＝x；
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).
xx
2、三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，它们统称为三角函
数．
3、三角函数的定义域
三角函数
sin α
cos α
tan α
4、三角函数值的符号
定义域
R
R
?
?
π
?
?
α
α≠
＋kπ，k∈Z
?

?
?
2
?


5、终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋ k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
例题精讲
题型一、三角函数的定义及应用
例1、(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．




利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． < br>法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正 弦值sin

α＝
bab
，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.
2222
a
a＋ba＋b
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形 式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
变式训练
5
已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．
12





题型二、三角函数值符号的运用
cos α
例2、(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
tan α
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角
2π
－
?
. (2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan
?
?
3
?



三角函数值的符号规律
(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；
(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；
(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；
(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．
D．第四象限角
变式训练
若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．






题型三、诱导公式一的应用
例3、计算下列各式的值：
11π
12π
－
?
＋cos·(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin
?
tan 4π.
?
6
?
5

变式训练
15π
25π
－
?
； (2)sin 810°求下列各式的值：(1)sin＋tan
?
＋cos 360°－tan 1 125°.
?
4
?
3






课堂小测
1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
1133
A. B．－ C．－ D．－
2223
19
－
π
?
＝________.
3、 sin
?
?
6
?
25
4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边 为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝
5
________.
5、化简下列各式：
π
3π
(1)acos 180°＋bsin 90°＋ctan 0°； (2)p
2
cos 360°＋q
2
sin 450°－2pqcos 0°； (3)a
2
sin－b
2
cos π＋absin 2π－abcos .
22







同步练习
1、
sin
25π
等于( )
6
33
11
B． C．
?
D．
?

22
22
A ．
2、若角
?
的终边经过点
P
?
,?
?
， 则
sin
?
?tan
?
?
（ ）
?
3
?
5
4
?
5
?

A．
1 6
1615
15
B．
?
C． D．
?

15
1516
16
π< br>，
cos1.5
的大小关系是( )
3
3、利用余弦线比较
cos1
，
cos
A．
cos1?cos
C．
cos1? cos
ππ
?cos1.5
B．
cos1?cos1.5?cos

33
ππ
?cos1.5
D．
cos1.5?cos1?cos

33




B．正弦线
MP
，正切线
A
?
T
?

D．正弦线
PM
，正切线
AT

4、如图，在单位圆中角
?
的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线
PM
，正切线
A
?
T
?

C．正弦线
MP
，正切线
AT

5、角
?
的终边经过点
P
?
?b,4
?
且
cos
?
??
3
，则
b
的值为( )
5
A．
3
B．
?3
C．
?3
D．
5

6、已知
x< br>为终边不在坐标轴上的角，则函数
f
?
x
?
?
|si nx|cosx|tanx|
??
的值域是( )
sinx|cosx|tanx
A．
?
?3,?1,1,3
?
B．
?
?3,?1
?
C．
?
1,3
?
D．
?
?1,3
?

7、在
?
0,2π
?
上，满足
sinx?
A．
?
0,
?

3
3
的
x
的取值范围为( )
2
D．
?
?
π
?
??
B．
?< br>,
?
π2π
??
π2π
?
,
?
C．
??
?
33
??
63
?
?
5π
?
,π
?

?
6
?
8、若
?
为第一象限角，则能确定为正值的是 ( )
A．
sin
?
2
B．
cos
?
2
C．
tan
?
2
D．
cos2
?

9、已知
?
的终边经过点
?
3a?6,a?2
?
， 且
sin
?
?0,cos
?
?0,
则
?
的 取值范围为________．
10、若角
?
的终边与直线
y?3x
重合且
sin
?
?0
，又
P
?
m,n
?
是
?
终边上一点，且
OP?10
，则
m?n?
__ ___.
11、已知点
P
?
sin
?
?cos
?
,tan
?
?
在第一象限，则在
?
0,2π
?内
?
的取值范围为__________．
12、(1)
cos
?
?





13、当
?
?
?
0,

17π
?
23π
?
?tan
； (2)
sin 630??tan 1 125??tan 765??cos 540?
.
?
4< br>?
3
?
?
?
π
?
?
时，求证：sin
?
?
?
?tan
?
.
2
?

14、已知角
?
的终边落在直线
y?2x
上，求
sin
?
，
c os
?
，
tan
?
的值．