人教A版高中数学必修四期末考试

---------------------------------------------- ---------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------- ----------------------------------------



∴
∵a
n
＞0
∴q＞0
∴q=2
=4
∵a
2
=2，则a
1
=1
故选A
点评：本 题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

5．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径
为的圆的方程为（ ）
22222222
A． C．
x+y﹣2x+4y=0
B．
x+y+2x+4y=0 x+y+2x﹣4y=0
D．
x+y﹣2x﹣4y=0

考点：圆 的一般方程；恒过定点的直线．
分析：先 求直线过的定点，然后写出方程．
解答：解 ：由（a﹣1）x﹣y+a+1=0得（x+1）a﹣（x+y﹣1）=0，∴该直线恒过点（﹣1，2），
∴所求圆的方程为（x+1）+（y﹣2）=5．即x+y+2x﹣4y=0．
故选C
点评：本 题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题．

2222
6．（5分）已知数列{a
n
}满足，若a
1
=，则a
6
的值为（ ）
A．

B．

C．

D．


考点：数 列的应用；等比数列的通项公式．
专题：等 差数列与等比数列．
分析：利 用数列递推式，代入计算，即可得到结论．
解答：
解：∵数列{a
n
}满足，a
1
=，
∴a
2
==，a
3
==，a
4
==
∴a
5
=a
2
=，a
6
=a
3
=
故选C．
点评：本 题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于中档题．

信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



7．（5分）不等式x+2x＜
（ ）
A． （﹣2，0）
2
对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是
B． （﹣∞，﹣2）∪（0，C． （﹣4，2）
+∞）
D． （﹣∞，﹣4）∪（2，
+∞）

考点：一 元二次不等式的解法．
专题：计 算题；不等式的解法及应用．
分析：
2
由已知，只需x+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．
解答：
解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x+2x＜8
2
即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）
故选C
点评：本 题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．

8．（5分）已知圆C：x+y﹣ 6x﹣8y=0，若过圆内一点（3，5）的最长弦为AC，最短弦为
BD；则四边形ABCD的面积为 （ ）
A． B． C． D．

20 15 10

考点：直 线与圆相交的性质．
专题：计 算题．
分析：将 圆C方程化为标准方 程，找出圆心C坐标与半径r，过点（3，5）最长的弦即为过
此点的直径，最短的弦即为与此直径垂直 的弦，利用垂径定理及勾股定理求出|BD|的
长，利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半 即可求出四边形ABCD的面
积．
22
解答：
：将圆C方程化为标准方程得：解（x﹣3）+（y﹣4）=25，
∴圆心C（3，4），半径r=5，
∴过圆内一点（3，5）的最长弦为|AC|=10，且直线AC的斜率不存在，
∴直线BD的斜率为0，即直线BD解析式为y=5，
∴圆心C到直线BD的距离d=1，
22
∴最短弦为|BD|=2=4，
． 则四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=20
故选A
点评：此 题考查了直线与圆 的相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股
定理，以及四边形的面积，找出最长的弦 与最短的弦长是解本题的关键．

9．（5分）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则cosA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


信达

------ -------------------------------------------------- -----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------- ------------------------------



考点：解 三角形；基本不等式；直线的斜率．
专题：计 算题；解三角形．
分析：
根据正弦定理的式子，代入数据解出sinA=，结合sinB∈（0，
，0 ），再利用余弦函数的单1]得到sinA∈（0，]，注意到A是锐角，可得A∈[
调性，即可求出c osA的取值范围．
解答：
：∵AC=b=2，BC=a=2， 解
∴由正弦定理
即sinA=
，得
∵a＜b，sinB∈（0，1]
∴sinA∈（0，]，可得锐角A∈[，0）
∵余弦函数在（0，π）内为减函数，
∴cosA的取值范围是
故选：B
点评：本 题给出三角形中AC、BC边的长度 ，求cosA的取值范围．着重考查了正弦定理、三
角形大角对大边和三角函数的单调性等知识，属于中 档题．

10．（5分）（2012?蓝山县模拟）已知实系数一元二次方程x+（1+a ）x+a+b+1=0的两个实根
为x
1
，x
2
，且0＜x
1
＜1，x
2
＞1，则的取值范围是（ ）
A．

B．

C．

D．

2

考点：一 元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：计 算题．
2
分析：
方程x+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x
1＜1＜x
2
，结合对应二次函数性质得到由
，然后在平面直角坐标系中，做出满足 条件的可行域，分析的几何意
义，然后数形结合即可得到结论．
2
解答：
：由程x+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0， 解
故函数f（x）=x+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上
2
又∵方程x +（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x
1
＜1＜x
2
，
则
2
信达

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即
即
其对应的平面区域如下图阴影示：

∵表示阴影区域上一点与原点边线的斜率
由图可知∈
故选D．
点评：本 题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，
线性规划，
其中由方程x+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x
1
＜1＜x
2
，结合二次函数性质得到
是解答本题的关键．

二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请吧答案填在答题卡上．
11．（5分）已知cosx﹣sinx=，则sin2x的值为 ．
2

考点：二 倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
专题：三 角函数的求值．
分析：将 条件两边平方，利用二倍角公式，可得结论．
解答：
解：∵cosx﹣sinx=，
∴两边平方，可得1﹣sin2x=
∴sin2x=
信达

-------------------- -----------------------------------------------奋斗没 有终点任何时候都是一个起点------------------------------------- ----------------



故答案为
点评：本 题考查二倍角公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

12．（5分）如图，A ，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的
距离是100米，∠BAC=1 05°，∠ACB=45°，则A、B两点之间为 100 米．


考点：解 三角形的实际应用．
专题：计 算题；解三角形．
分析：在 △ABC中，利用正弦定理，即可得到结论．
解答：解 ：∵∠BAC=105°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=30°
∵AC=100米
∴
∴AB=100米
故答案为：100
点评：本 题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

13．（5分）若曲线y=1+
则实数k的取值范围是 （
，x∈[﹣2，2]与直线y=k（x﹣2）+4有两个不同的公共点，
，] ．

考点：函 数的零点．
专题：直 线与圆．
分析：先 将曲线进行化简得到一个圆 心是（0，1）的上半圆，直线y=k（x﹣2）+4表示过定
点（2，4）的直线，利用直线与圆的位 置关系可以求实数k的取值范围．
解答：
22
解：因为y=1+，所以x+（y﹣ 1）=4，此时表示为圆心M（0，1），半径r=2
的圆．
因为x∈[﹣2，2]，y=1+≥1，所以表示为圆的上部分．
直线y=k（x﹣2）+4表示过定点P（2，4）的直线，
当直线与圆相切时，有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得．
信达

------------------------------------------ -------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------- --------------------------------------------



当直线经过点B（﹣2，1）时，直线PB的斜率为
所以要使直线与曲线 有两个不同的公共点，则必有
即实数k的取值范围是（
故答案为：（，]．
，]．
．
＜k≤．

点评：本 题主要考查了直线与圆的位置关系的应用以及直 线的斜率和距离公式．利用数形结
合思想是解决本题的关键．同时要注意曲线化简之后是个半圆，而不是 整圆，这点要
注意，防止出错．

14．（5分）若正数x，y满足，那么使不等式x+y﹣m＞0恒成立的实数m的取值范
围是 （﹣∞，9） ．

考点：基 本不等式．
专题：不 等式的解法及应用．
分析：
不等式x+y﹣m＞0恒成立?m＜（x+y）
min
．由正数x， y满足，利用基本不等
式可得x+y==5．
解答：
：∵不等式x+y﹣m＞0恒成立?m＜（x+y）
min
． 解
∵正数x，y满足
∴x+y=
，
=5=9，当且仅当y=3，x=6时取等号．
∴使不等式x+y﹣m＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，9）．
故答案为（﹣∞，9）．
信达

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点评：正 确等价转化和熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．

15．（5分）等差数列{a< br>n
}中，S
n
是它的前n项和，且S
6
＜S
7
，S
7
＞S
8
，则
①此数列的公差d＜0
②S
9
＜S
6

③a
7
是各项中最大的一项
④S
7
一定是S
n
中的最大值．
其中正确的是 ①②④ （填序号）．

考点：等 差数列的性质．
分析：
已知可得a
7
＞0，a
8
＜0；①d=a
8
﹣a
7
＜0，②S
9
﹣S
6
=a
7
+a
8
+a
9< br>=3a
8
＜0，③由于d＜0，由
所以a
1
最大，④结合d＜ 0，a
7
＞0，a
8
＜0，可得S
7
最大；可得答案．
解答：
：由s
6
＜s
7
，S
7
＞S8
可得S
7
﹣S
6
=a
7
＞0，S
8
﹣S
7
=a
8
＜0 解
所以a
8
﹣a
7
=d＜0①正确
②S
9
﹣S
6
=a
7
+a
8
+a
9
=3a8
＜0，所以②正确
③由于d＜0，所以a
1
最大③错误
④ 由于a
7
＞0，a
8
＜0，s
7
最大，所以④正确
故答案为：①②④
点评：本 题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培 养学生探索、发现
的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．

三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤．
16． （12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大 小；
（2）若a=4，，求b的值．

考点：正 弦定理．
专题：计 算题．
分析：（ 1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导< br>公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，
故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即
可求出B的 度数；
（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定
理即可求出b 的值．
解答：
解：（1）由正弦定理得：===2R，

∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：，
化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB +sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
信达 < /p>

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又A为三角形的内角，得出sinA≠0，
∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，
∵B为三角形的内角，∴
（2）∵a=4 ，sinB=
∴S=acsinB=×4c×
，S=5
=5
；
，
，
解得c=5，又cosB=﹣，a=4，
根据余弦定理得：
b=a+c﹣2ac?cosB=16+25+20=61，
解得b=．
点评：此 题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，考查了两角和与差的正弦函数
公式及诱导公式，其中 熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关
键．

17．（12分）已知f（x）=2x+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．

考点：函 数恒成立问题；二次函数的性质．
专题：计 算题．
2
分析：
1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知2x+bx+c=0的两根为0，5，从而可（
求b、c的值，进而可求f（x）的解析式；
222
2
（2）要使对于任意x∈[﹣ 1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）
max
≤2﹣
t即可，从而 可求t的范围．
2
解答：
：解（1）∵f（x）=2x+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
∴2x+bx+c=0的两根为0，5
∴
∴b=﹣10，c=0
∴f（x）=2x﹣10x；
（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤ 2恒成立，只需f（x）
max
≤2﹣
t即可
∵f（x）=2x﹣10x=2
2
2
2

，x∈[﹣1，1]，
∴f（x）
max
=f（﹣1）=12
∴12≤2﹣t
∴t≤﹣10
点评：本 题重点考查函数的解析式，考查恒成立问 题，解题的关键是利用好不等式的解集与
方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．
信达

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18．（12分）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，2sin
2
+cos2B=1
（1）若b=，a=3，求c的值；
（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

考点：二 倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
专题：解 三角形．
分析：（ 1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；
（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A
的值．
解答：
2
解：（1）∵2sin+cos2B=1，
∴2cosB+cosB﹣1=0
∴cosB=（cosB=﹣1舍去），∴B=
由余弦定理，可得
∴c﹣3c﹣4=0
∴c=1或c=4
c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=
（2）t=sinAsin C=sinAsin（
=
∵
∴
∴当，即A=时，
=
，∴∈< br>
．
，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；
）=sinA（
，

）
2
2


点评：本 题考查二倍角、辅助角公式，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

19． （12分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产
品当年的产量 x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果
不搞技术改革，则该产品 当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为
8万元，每生产1万件该产品需要再 投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售
出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生 产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入
和再投入两部分资金）
（1）试确定k的值，并将 2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利
润=销售金额﹣生产成本﹣技术改 革费用）；
信达

-------------------------- -----------------------------------------奋斗没有终点任何时 候都是一个起点------------------------------------------- ----------



（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

考点：根 据实际问题选择函数类型；基本不等式．
专题：应 用题．
分析：
（1）首先根据题意令m=0代入x=3﹣求出常量k，这样就得出了x与m的关系式 ，
然后根据2010年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2010的件数就
可以得出2010年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件
产品的销售价 格，然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额．最后利用利润=
销售金额﹣生产成本﹣技术改革费 用得出利润y的关系式．
（2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可．
解答：
解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣
∴每件产品的销售价格为1.5×
∴2010年的利润y=x?（1.5×
（元），
）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣
=29﹣[（m+1）+]≤
（m≥0）；
=21 （2））∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣
当且仅当m+1=，即m=3时，y
max
=21．
∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
点评：本 题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力，以及求函数最值的问题，考
查 基本不等式的运用，属于中档题．

20．（13分）已知方程x+y﹣2x﹣4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相 交于M，N两点，且（其中O为坐标原
22
点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

考直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．
点：
专计算题；综合题；转化思想．
题：
2222
分
（1）将x+y ﹣2x﹣4y+m=0转化为：（x﹣1）+（y﹣2）=5﹣m，由方程表示圆，则有5
析：﹣ m＞0．
（2）先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有△=（﹣
16）﹣4×5×（ 8+m）＞0，又
2
，得出x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，由韦达定理求解．
信达

--------- -------------------------------------------------- --------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------- ---------------------------



（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论．
解
解：（1）x+y﹣2x﹣4y+m=0即（x﹣1）+（y﹣2）=5﹣m（2分）
答：若此方程表示圆，则 5﹣m＞0∴m＜5

（2）
2
2222
x=4﹣2y代入得5y﹣16y+8+m=0
2
∵△=（﹣16）﹣4×5×（8+m）＞0
∴
∵
，
得出：x
1
x
2
+y
1
y
2
=0而x1
x
2
=（4﹣2y
1
）（4﹣2y
2
）=1 6﹣8（y
1
+y
2
）+4y
1
y
2
?
满足故的m值为． ∴5y
1
y
2
﹣8（y
1
+ y
2
）+16=0，∴

（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点

半径圆的方程 点本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，同时渗透了向量，是常考题型，属
评：中档题 ．

21．（14分）若S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和，且S
1
，S
2
，S
4
成等比数列．
（1）求等比数列S
1
，S
2
，S
4
的公比；
（2）若S
2
=4，求{a
n
}的通项公式；
（3）设b
n
=，T
n
是数列{b
n
}的前n项和，求使得T
n
＞对所有n∈N都成立的最大
*
正整数m．

考点：数 列的应用；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．
专题：等 差数列与等比数列．
分析：
1）利用S
1
，S
2
，S
4
成等 比数列，建立等式，从而d=2a
1
，即可求等比数列S
1
，S
2< br>，（
S
4
的公比；
（2）利用S
2
=4，确定首项 与公差，即可求{a
n
}的通项公式；
（3）利用裂项法求和，求出T
n< br>的最小值，从而使得T
n
＞
价于1＞，即可求得最大正整数m．
对所有n∈N都成立，等
*
解答：
：解（1）∵数列{a
n
}为等差数列，∴S
1
=a
1
，S
2
=a
2+d，S
4
=a
4
+6d，
信达

- -------------------------------------------------- ----------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------ -----------------------------------



∵S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，∴
∴< br>∵公差为d不等于0，∴d=2a
1
，
∴q=，
，∴


（2）∵S
2
=4，∴2a
1
+d=4，
∵d=2a
1
，∴a
1
=1，d=2，
∴a
n
=2n﹣1
（3）∵
∴
∴（T
n
）
min
=1
使得T
n
＞对所有n∈N都成立，等价于1＞
*

+…+=
，∴m＜20
∴m的最大值为19．
点评：本 题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的
联系，属于中档题．

信达