高中数学必修四(期末试卷)题目偏难

高一数学试卷
第Ⅰ卷
（选择题，共12题，共60分）
一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）
π
??
1．函数y＝sin
?
＋cos
?
?
0 ＜
?
＜
?
的值域为( )．
2
??
A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，
2
] D．(－1，
2
)
2．锐角三角形的内角A，B 满足tan A－
1
sin2A
＝tan B，则有( )．
A．sin 2A－cos B＝0 B．sin 2A＋cos B＝0
C．sin 2A－sin B＝0 D．sin 2A＋sin B＝0
3．函数f(x)＝sin
2
?
?
x＋
π
?
?
－sin
2
?
π
?
?
4
?< br>x－
?
是( )．
?
?
4
?
A．周期为 ??的偶函数 B．周期为??的奇函数
C．周期为2??的偶函数 D．周期为2?的奇函数
4．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
a
与
b
是共线向量，
b
与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量（ ）
C．
|a?b|?|a?b|
，则
a?b?0
< br>D．若
a
0
与
b
0
是单位向量，则
a
0
?b
0
?1

5．已知
a,b
均为单位向量， 它们的夹角为
60
0
，那么
a?3b?
（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．
4

6．已知向量
a
，
b
满足
a?1 ,b?4,
且
a?b?2
,
则
a
与
b
的夹 角为
A．
?
6
B．
?
4
C．
?
3
D．
?
2

7.在?ABC中，2 sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则?C的大小应为( )
A．
?
B．
?
3
6
C．
?
5
6
或
6
?
D．
?
2
3
或
?
3

8. 若
s inc
?
?os
?
?1
，则对任意实数
n，sin
n
?
?cos
n
?
的取值为（ ）
A. 区间（0，1） B. 1 C.
1
2
n?1
D. 不能确定
9. 在
?ABC
中，
3sinA?4cosB?6，3cosA??4si nB1
，则
?C
的大小为（
A.
?
5
?
6
B.
?

6
或
5
6
C.
6
?
D.
?
3
或
2
3
?

高一数学试卷 第1页 （共6页）
）

10. 已知角
?
的终边上一点的坐 标为（
sin
2
?
2
?
,cos
），则角
?
的最小值为（ ）。
33
5
?
5
?
11
?
2
?
A、 B、 C、 D、
636
3
2
11. A，B，C是
?
ABC的三个内角，且
tanA,tanB
是方程
3x?5x?1?0
的两个实数根，
则< br>?
ABC是（ ）
A、等边三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形
1
,则cosxsiny
的取值范围是（ ）
2
311311
A、
[?1,1]
B、
[?,]
C、
[?,]
D、
[?,]

222222
12. 已知
sinxcosy?

第Ⅱ卷
（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知方程
x?4ax? 3a?1?0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan?
，
且
?
、
?
?
?
?
2< br>?
?
?
?
?
?
?
的值是_________ ________.
,
?
，则
tan
2
22
??
14. 若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|?
。
ni
?
cos
?
?1
；
ni
?
?cos
?
?
15.给出四个命题：①存在实数
?
，使
s
②存在实数
?
，使
s
③
y?sin(
3
；
2
5
?
?
5
?
?2x)
是偶函数；④x?
是函数
y?sin(2x?)
的一条对称轴方程；⑤
284
若
?
,
?
是第一象限角，且
?
?
?
，则< br>sin
?
?sin
?
。其中所有的正确命题的序号是_____。
?
π
??
π
?
1
?
π
?
π
?
，则sin 4
??
的值为 ．
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝，
?
∈
?
，
6
?
4
??4
??
2
?
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知
?
，求
y
的最小值及最大值。
?< br>?
?
?
?
?cos
?
?6sin
?

sin2x＋2sin
2
x
7?7?
?
π
?
3
18.（12分）已知cos
?
＋ x
?
＝，＜x＜，求的值．
1－tanx
124
?
4
?
5

19.（ 12分）已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数，其图像关
于点M
(
?
,0)
对称，且在区间[0，
3
4
?
]上是单 调函数，求
?
和
?
的值。
2
高一数学试卷 第2页 （共6页）

?
?
33
?
?
?
xx
?
?
?
?
20.（12分）已知向量
a?< br>?
cosx,sinx
?
,b?
?
cos,?sin
?
,且
x?
?
0,
?
,
求
22
?
22
?
?
2
?
??
?
?
??
(1)
a?b
及
a?b
;
?
?
?
?
3
(2)若
f
?x
?
?a?b?2
?
a?b
的最小值是
?
,求 实数
?
的值.
2

21. （12分）已知向量
a?(c os
?
,sin
?
)
，
b?(cos
?
, sin
?
)
，
a?b?
（1）求
cos(
?
?
?
)
的值；
（2）若
0?
?
?

22.（12分）已知向量
a?(cos
25
．
5
?2
，
?
?
2
?
?
?0
，且
s in
?
??
5
，求
sin
?
的值．
13
3x3xxx
，sin)
，
b?(cos，?sin)
，
c ?(3，?1)
，其中
2222
x?R
．
（1）当
a?b
时，求
x
值的集合；
（2）求
|a?c|
的最大值．


















高一数学试卷 第3页 （共6页）

高一数学答案
第Ⅰ卷
（选择题，共12题，共60分）
1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD
1．C 解析：∵ sin
?
＋cos
?
＝
2
sin(
?
＋
2．A 解析：由tan A－
π
?
)，又
?
∈(0，)，∴ 值域为(1，
2
]．
4
2
sin(A－B)
111
＝tan B，得＝tan A－tan B
?
＝
sin2Asin2A2sinAcosA
cosAcosB
?
cos B＝2sin Asin(A－B)
?
cos[(A－B)－A]＝2sin Asin(A－B)
?
cos(A－B)cos A－sin Asin(A－B)＝0，即cos(2A－B)＝0．
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ －
π
＜2A－B＜π，
2
?
?
sin 2A＝cos B，即sin 2A－cos B＝0．
2
π
???
π
??
π
?
3．B 解析：由 sin
2
?
x－
?
＝sin
2
?
－x?
＝cos
2
?
＋x
?
，
4
???
4
??
4
?
∴ 2A－B＝
π< br>?
π
???
π
??
得f(x)＝sin
2
?
x＋
?
－cos
2
?
＋x
?
＝－cos< br>?
2x＋
?
＝sin 2x．
4
?
2
???
4
??
4.C 单位向量仅仅长 度相等而已，方向也许不同；当
b?0
时，
a
与
c
可以为任 意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
5. C
a?3b?
6. C
cos
?
?
a
2
?6ab?9b
2
?1?6cos60
0
?9?13

?
21
?
?,
?
?

423
ab
ab
7. 正确答案：B 错因：学生求?C有两解后不代入检验。
8.解一：设点
(sin
?
，cos)
?
，则此点满足

?
?
x?y?1
22
?
x?y?1
n
解得
?
n
sin
?
?0
?
sin
?
?1
?
x?0
?
x?1
?
或
或
?
即
?

?
cos
?
?1
?
c os
?
?0
?
y?1
?
y?0
?
sin? cos?1

?

?
选B
in?cos?1
in?0，cos?1
解二：用赋值法， 令
s
同样有
s
?
选B
说明：此题极易认为答 案B最不可能，怎么能会与
n
无关呢？其实这是我们忽略了一
??
??
n
?
n
?
in?cos?1
个隐含条件
s
，导致 了错选为C或D。
2
?
2
?
高一数学试卷 第4页 （共6页）

3sinA?4cosB?6
?
9. 解：由
?
平方相加得
3cosA?4sinB?1
?
sin (A?B)?
?sinC?
?C?
1
2
1
2
若
C?
?
则
A?B?
5
6
?
6

?
5
或
?
66
?A?
?
3
?1
?
3cos
A?
4
sinB?
0
5
11
又
?

?C?
?

?
选A
1
?cosA?
6
32
3
?
?C?
6
说明：此题极易错选为
C
，条件
cosA?
比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意
对题目条件 的挖掘。
10. 正解：D
1
3
2
?
2
?23511
?0cos?0

tan
?
?cos
???,?
?
?
?
或
?
?
?
，而
sin
33
3366
所以，角
?
的终边在第四象限，所以选D，< br>?
?
误解：
tan
?
?tan
11. 正解：D
11
?

6
22
?
,
?
?
?
,选B
33
3
?
tanA?tanB?
?
?
5
由韦达定理得：
?

1
?
tanAtanB?
?
3
?< br>5
tanA?tanB5
?tan(A?B)??
3
?
1?tanAtanB
2
2
3
在
?ABC
中，
tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)??
5
?0
2
??C
是钝角，
??ABC
是钝角三角形。
12. 答案：D设
cosxsiny?t,则(sinxcosy)(cosxsiny)?
1
t
，可得sin2x sin2y=2t,由
2
高一数学试卷 第5页 （共6页）

sin2xsin2y?1即2t?1??
错解：B、C
错因：将
sinxcosy?
11
?t?
。
22
11
与cosxsiny?t相加得sin(x?y)??t
由
22
131
?1?sin(x?y)?1得?1??t?1得??t?
选B，相减时 选C，没有考虑上述两种
222
情况均须满足。
第Ⅱ卷
（非选择题，共90分）
一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.-2 14.
6
15. ③④ 16. －
42

9
?
?tan
???4a
?0
，
tan
?
?tan
?
?3a? 1?o
13. 正确解法：
?a?1

?
tan

?
tan
?
,tan
?
是方程
x?4ax?3a? 1?0
的两个负根
又
?
,
?
?< br>?
?
2
?
?
?
?
?
??
? ?
??
?
?
,
?

?
?
,
?
?
?
?,0
?
即
?
?
?,0
?

2222
?????
2
?
4
?
?
?
tan
?
?tan
?
?4a
??2.
==可得
tan
2
1?tan
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?
3
由
tan
答案: -2 .
14.
?
?
?
?
?
=
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
22
2
22
2
22

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b
15.正解：③④
?2?2?4?4?6

111
sin2
?
?[?,],? sin
?
cos
?
?1
不成立。
222
?
3
②
sin
?
?cos
??2sin(
?
?)?[?2,2],?[?2,2],?
不成立。
4 2
5
?
?
?2x)?sin(?2x)?cos2x
是偶函数，成立 。 ③
y?sin(
22
5
?
3
?
??
④ 将
x?
代入
2x?
得,
?
x?
是对称轴，成立。
42
88
①
sin
?
cos
?
?
?
⑤ 若
?
?390
，
?
?60,
?
?
?
,
但
sin
?
?sin
?
，不成立。
?
误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。
??
⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是
(0,90)
的角，从而根据
y?s inx
做出了错误的判断。
高一数学试卷 第6页 （共6页）

16．－
42
．
9
?
π
?
π
?
π
?
?
π
?
?
?
解析：∵ sin
?
－
?
?
＝sin
?
－
?
＋
?
?
?
＝cos
?
＋
?
?
，
?
4
?
?
4
?
?
??
2
?
4
1
?
π
?
?
π
?
∴ sin
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝
6
?
4
?
?
4
?
?
π
??
π
?
1
?
sin
?
＋
?
?
cos
?
＋
?
?
＝
?
4
??
4
?
6
?
π
?
1
?
sin
?
＋ 2
?
?
＝．
?
2
?
3
?
1
∴ cos 2
?
＝，又
?
∈(，π)，∴ 2
?
∈(π，2π)．
2
3
∵ sin 2
?
＝－
1－cos
2
2
?
＝－
∴ sin 4
?
＝2sin 2
?
cos 2
?
＝－
22
，
3
42
．
9
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 解：
?

2??
???
2
?
?
?
??
?2

31
2
1
?y?2sin
?
?6sin
?
?1?2(sin
?
?)?
22
令
t?
则|t|?1
?y?2(t?)?
sin
?
2
3
2
11

2
3
当
t?
时，
y
；当
t?
时，
y

?11
?
7?5
max
?< br>min
?
2
?11
3
说明：此题易认为
si n
?
?
时，
y
m
，最大值不存在，这是忽略了条件
?
in
2
2
3
|sin
?
|?1，
不在正 弦函数的值域之内。
2
而对称轴为
t?
7?
7?5??< br>?
π
?
3
＜x＜，∴ ＜＋x＜2?．又cos
?
＋ x
?
＝＞0，
4
126
4
?
4
?< br>5
44
3??
?
π
??
π
?
∴ ＜＋x＜2?，∴ sin
?
＋ x
?
＝－，tan
?
＋ x
?
＝－．
24
53
?
4
??
4
?
18. 解：∵
?
π
?
7
?
π
??
π
?
又 sin 2x＝－cos
?
＋ 2x
?
＝－cos 2
?
＋ x
?
＝－2cos
2
?
＋ x
?
＋1＝，
25
?
4
??
4
?
?
2
?
sin2xcosx＋2sin
2
xcosx
si n2x＋2sin
2
x
sin2x(cosx＋sinx)
∴ 原式＝＝＝
sinx
cosx－sinx
cosx－sinx
1－
cosx＝
28
sin2x(1＋tanx)
?
＝sin 2x·tan(＋x)＝－．
4
75
1－tanx
高一数学试卷 第7页 （共6页）

19. 正解：由
f(x)
是偶函数，得
f(?x)?f(x)

故
sin(?
?
x??)?sin(
?
x??),??cos?sin
?
x?cos?sin
?
x

对任意x都成立，且
?
?0,?cos??0

依题设0≤
?
≤
?
，
???
?
2

由
f(x)
的图像关于点M对称，得
f(
?
?x)??f(
?
?x)

3
4
3
4
3
4
33
?
x
?
3
?
x3
?
x
?) ?cos(),?cos(
)
?
0

?
f(
?)?sin(
44244
3
?
x
?
??k
?< br>,k?0,1,2......
又
?
?0
，得
42
2
?
?
?(2k?1),k?0,1,2...

3
?22
?
当
k?0
时，
?
?,f(x)?sin(x?)
在
[0,]
上是减函数。
2
332
取
x?0得f (
?
)??f(
?
),?f(
?
)?0

当
k?1
时，
?
?2,f(x)?sin(2x?
当
k≥2时，
?
?
3
4
3
4
?
)
在
[0,]
上是减函数。
2
2
?
?
10
?
,f(x)?sin(
?
x?)
在
[0,]
上不是单调函 数。
2
32
2
所以，综合得
?
?
或
?< br>?2
。
3
误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后
?
只得一解。
②对题 目条件在区间
[0,
?
2
]
上是单调函数，不进行讨论，故对
?
≥
?
?
20. 错误分析:(1)求出
a?b
=
2?2cos2x
后,而不知进一步化为
2cosx
,人为增加难度;
10
不能排除。
3
(2)化为关于
cosx
的二次函数在
?
0,1
?
的最值问题,不知对对称轴方程讨 论.
?
?
?
?
答案: (1)易求
a?b?cos2x
,
a?b
=
2cosx
;
?
?
?
?
2
(2)
f
?
x
?
?a?b?2
?
a?b
=
cos2x?2
?
?2cosx
=
2cosx?4
?
cosx?1

=
2
?
cosx?
?
?
?2
?
2
?1

2

?x?
?
0,
?
?
?
x?
?
0,1
?

?cos
?
2
??
从而:当
?
?0
时,
f
?
x
?
min
??1
与题意矛盾,
?
?0
不合题意;
高一数学试卷 第8页 （共6页）

2
当
0?
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?1
时,f
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x
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min
??2
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3
2
1

2
当
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?1
时,
f
?
x
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min
?1?4< br>?
??,
解得
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综合可得: 实数
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的值为
21. 解（Ⅰ）
3
2
5
,不满足
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?1
;
8
1
.
2
a?
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cos
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，s in
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，b?
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cos
?
，sin
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,
?a?b?
?
cos
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?cos
?< br>，sin
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?sin
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?
.
a?b?
25
,
?
5
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cos
?< br>?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
43
.
?cos
?
?
?
?
?
?
.
55
22
?
25
,
5
s?
?
?
?
即
2?2co
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?
（Ⅱ）


0??
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2
,?
?
2
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?0 ,?0?
?
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?
?
?
.

34
cos
?
?
?
?
?
?
，
?sin
?
?
?
?
?
?.

55
512
sin
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??
，
?cos
?
?.

1313
?sin
?
?si
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n
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?< br>?
??
?
?
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?sins?c?s
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?
?
?
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co
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o
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s
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in

4123
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5
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33
????
?
?
?
?
.
5135
?
13
?
65
22. 解：（Ⅰ）由
a? b
，得
a
?
b?0
，即
cos
则
cos2x?0
，得
x?
∴
?
x|x?
（Ⅱ）
|a?c|?(cos
2
3xx3x x
cos?sinsin?0
．…………4分
2222
k
ππ
?(k?Z)
．…………………………………5分
24
?
?
k
ππ
?
?，k?Z
?
为所求．…………………………………6分
24
?
3x3x3x
π
?3)
2
?(sin?1)
2
?5?4sin(?)
，……………1 0分
2223
所以
|a?c|
有最大值为3．……………………………………………………12分

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