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人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_正弦函数、余弦函数的性质_基础

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 15:08
tags:高中数学必修4

石家庄暑期高中数学兼职-2015年高中数学联赛四川初赛


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人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型(
常考知识点
)巩固练习
正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义;
2.理解正弦函数、 余弦函数在区间
[0,2
?
]
上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值 以及与
x
轴的
交点等).
【要点梳理】
要点一:周期函数的定义
函数
y?f(x)
,定义域为I,当
x?I
时,都有
f(x ?T)?f(x)
,其中T是一个非零的常数,则
y?f(x)
是周期函数,T是它的 一个周期.
要点诠释:
1.定义是对I中的每一个
x
值来说的,只有个别 的
x
值满足
f(x?T)?f(x)
或只差个别的
x
值不满 足
f(x?T)?f(x)
都不能说T是
y?f(x)
的一个周期.
2.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期,三角函数中的
周期一般都指最小正周期.
要点二:正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx
定义域
值域
奇偶性
周期性
R
[-1,1]
奇函数
最小正周期
2
?

增区间
单调区间
k∈Z
R
[-1,1]
偶函数
最小正周期
2
?

[2k
?
?,2k
?
?]
22

减区间
??
增区间
?
2k
?
?
?
,2k
?
?

减区间
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

[2k
?
?
最值点
k∈Z
对称中心
k∈Z
对称轴
k∈Z
?
2
,2k
?
?
最大值点
(2k
?
?
最小值点
(2k
?
?
?
3
?
]
2

,1)

2
2
最大值点
?
2k
?
,1
?

最小值点
?
,?1)

?
2k
?
?
?
,?1
?

(k
?
?
0
?

?
k
?

x?k
?
?
?
2
,0)

?
2

x?k
?

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要点诠释:
(1)正弦函 数、余弦函数的值域为
?
?1,1
?
,是指整个正弦函数、余弦函数或一个周 期内的正弦曲线、
余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是?
?1,1
?
,因而求正弦函
数、余弦函数的值域时,要特别注意其定义 域.
(2)求正弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法, 如求
应先将
y?sin(?x)
变换为
y??sinx
再求解,相当 于求
y?sinx
的单调
y?sin(?x)
的单调递增区间时,
递 减区间;二是根据单调性的定义,所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先
求 定义域.
要点三:正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
和余弦型函数
y?Acos(
?
x?
?
)(A,
?
?0)
的性质.
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
与函数
y?Acos(
?
x?
?
)
可看作是由正弦函数
y?sinx
,余弦函数
因此它们的性质可由正弦函数
y ?sinx
,余弦函数
y?cosx
类似地得到:
y?cosx
复合而成的复合函数,
(1)定义域:
R

(2)值域:
?
?A,A
?

(3)单调区间:求形如y?Asin(
?
x?
?
)
与函数
y?Acos(?
x?
?
)(A,
?
?0)
的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把
?
x?
?
视为一个“整体”,分别与正 弦函数
y?sinx
,余弦函数
y?cosx
的单调递增(减)区间对应解出
x
,即为所求的单调递增(减)区间.比如:由
2
?
3
?< br>2k
?
??
?
x?
?
?2k
?
?( k?Z)
解出
x
的范围,所得区间即为减区间.
22

2 k
?
?
?
2
?
?
x?
?
?2k< br>?
?
?
(k?Z)
解出
x
的范围所得区间即为增区间 ,由
(4)奇偶性:正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
和余弦型函数
y?Acos(
?
x?
?
)(A,
?
?0)
不一定具备奇
偶性.对于函数
y?Asin(
?
x?
?
)
,当
?
?k
?
(k?z)
时为奇函数 ,当
?
?k
?
?
对于函数
y?Acos(
?
x?
?
)
,当
?
?k
?
(k?z)
时为 偶函数,当
?
?k
?
?
要点诠释:
判断函数
y? Asin(
?
x?
?
)

y?Acos(
?
x?
?
)
的奇偶性除利用定义和有关结论外,也可以通过图
象直观判断,但 不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件.
(5)周期:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期与解析式中自变量
x
的系数有关,
其周期为
T?
?
2
(k?z)
时为偶函数;
?
2
(k?z)时为奇函数.
2
?
?

(6)对称轴和对称中心
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与正弦函 数
y?sinx
比较可知,当
?
x?
?
?k
??
?
2
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
取得最大值(或
(k?z)
时,
最小值),因此函数
y?Asin (
?
x?
?
)
的对称轴由
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?z)
解出,其对称中心的横坐标?
x?
?
?k
?
(k?z)
,即对称中心为
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
(k?z)
.同理,
y?Acos(
?
x?
?
)
的对称轴由< br>?
??
?
x?
?
?k
?
(k?z)
解出,对称中心的横坐标由
?
x?
?
?k
?
?
要点 诠释:
?
2
(k?z)
解出.

x?R
,则函 数
y?Asin(
?
x?
?
)
和函数
y?Acos (
?
x?
?
)
不一定有对称轴和对称中心.
【典型例题】
类型一:正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1.求函数
y?2sin
2
x?cosx?1
的定义域;
【答案】
?
x2k
?
?
?
?
2
?
2
?
?
?x?2k
?
?,k?Z
?

33
?
【解析】 为使函数有意义,需满足2sin
2
x+cos x-1≥0,即2cos
2
x―cos x―1≤0,解得
?
画出余弦函数的图象或单位圆,如下图所示.
1

?cosx?1

2

∴定义域为
?
x2k
?
?

?
?
2
?
2
?
?
?x?2k
?
?,k?Z
?< br>.
33
?
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调 性,在进行三角函数的变形时,
要注意三角函数的每一步都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值 范围.
举一反三:
【变式1】求函数
y?lg(2sinx?1)
的定义域
【解析】依题意得2sin x-1>0,即
sinx?
∴函数的定义域为
?
x2k
?
?
例2.求下列函数的值域:
(1)y=3―2sin x
1
?
5
,∴
2k
?
??x?2k
?< br>?
?
(k∈Z),
266
?
?
?
5
?
?x?2k
?
?
?
,k?Z
?

66
?
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(2)
y?2sin
?
2x?
(3)
y?
?
?
?
?
3
?
?

x?
??
?
??
?
,
?

66
??
cosx?2

cosx?1
?
3?
2
?
?
【答案】(1)[1,5](2)[0,2](3)
?
,??
?

【解析】 (1)∵-1≤sin x≤1,∴-2≤2sin x≤2,∴-2≤-2sin x≤2,∴1≤3-2sin x≤5,∴函
数的值域为[1,5].
(2)∵
?
?
6
?x?
?
6
,∴
0?2x?
?
3
?
2
?

3

0?sin
?
2x?
?
?
?
?
?
???10?2sin2x?
.∴
???
?2

3
?
3
??
∴0≤y≤2.∴函数的值域为[0,2].
cosx?2cosx?1?11

??1?
cosx?1cosx?11?cosx
13
当cos x=-1时,
y
min
?1??

22
(3)∵
y?
∴函数的值域为
?
,??
?

【总结升华】 一般 函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数
是函数的特殊形式,其一 般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质.
举一反三:
【变式1】 求y=cos
2
x+4sin x―2的值域.
【解析】y=cos
2
x+4sin x―2
=―sin
2
x+4sin x―1
=―(sin x―2)
2
+3.
∵-1≤sin x≤1,
∴当sin x=―1时,y
min
=―6;当sin x=1时,y
max
=2.
∴函数的值域为[-6,2].
类型二:正弦函数、余弦函数的单调性
例3.(2016 浙江温州期末)设函数
f(x)?asin(2x?
(1)若a> 0,求f(x)的单调递增区间;
(2)当
x?[0,
?
3
?2
?
?
?
3
)?b

?
4
]
时,f(x)的值域为[1,3],求a,b的值.
【思路 点拨】(1)由复合函数的单调性,解不等式
2k
?
?
?
2
?2x?
?
3
?2k
?
?
?
2
可得答案;
??
?
a?0
?
a?0
??
?
1
?
(2)由
x?[0,]
,可得
?sin(2x?)?1
,结合题意 可得
?
a?b?3

?
a?b?1
,解方程组
42 3
?
1
?
1
?
a?b?1
?
a?b?3< br>?2?2
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可得.
【答案】(1)
[k
?
?
?
a?4
?
a??4
5
??
;(2)或
,k
?
?](k ?Z)
??
1212
?
b??1
?
b?5
【解析】 (1)∵a>0,由
2k
?
?
?
232
5
??∴f(x)的单调递增区间为
[k
?
?,k
?
?](k?Z)< br>;
1212
?
??
5
?
(2)当
x?[0 ,]
时,
?2x??

4336
1
?

?sin(2x?)?1

23
∵f(x)的值域为[1,3],
?2x?
?
?2k
?
?
?
可得
k
?
?
5
??
?x? k
?
?

1212
??
?
a?0
?a?0
??

?
a?b?3
,或
?
a?b?1

?
1
?
1
?
a?b?1
?
a ?b?3
?2?2
分别可解得
?
举一反三:
【变式1】(2015春 河南期中)已知函数
y?sin(
?
a?4
?
a??4

?

b??1b?5
??
?
1
?x)

32
(1)求该函数的周期,并求函数在区间[0,π]上的值域;
(2)求该函数在[-2π,2π]上的单调增区间.
【答案】(1)T=4π,
[ ?
13
?
5
?
,]
;(2)单调递增区间为:
[? 2
?
,?]

[,2
?
]

22
33
【解析】(1)由题意函数的周期
T?
2
?
?4
?< br>,
1
2
∵x∈[0,π],∴
?
1
??
? x?[?,]

3263

sin(
?
3
?113
x)?[?,]

222
13
,]

22
即函数在区间[0,π]上的值域为
[?
1
?
)

23
1
?
原函数的增区间即为
y?sin(x?)
的减区间 ,
23
(2)原函数可化为
y??sin(x?
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1
?
3
?

x??2k
?
?
2 232
5
?
11
?
解得
4k
?
?
,k∈Z,
?x?4k
?
?
33
5
?
11
?
令k=0,可得,
?x?
33
7
??
令k=-1,可得
??x??

33

2k
?
?
?
?
∵x∈[-2π,2 π],
∴函数的单调递增区间为:
[?2
?
,?
类型三:正弦函数 、余弦函数的奇偶性
例4.判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?
( 2)
f(x)?
?
3
]

[
5
?
,2
?
]

3
5
2sin(2x?
?
)

2
2sinx?1

2cosx
,再按步骤去判断.(2)先求函数的定义域, 【思路点拨】(1)先利用诱导公式化简为
f(x)?
然后判断.
【解析】(1)函 数定义域为R,且
f(x)?
5
??
2sin
?
2x??
?
?
2
??
?
??
2sin2x?
??
?
2
??
2cosx2
,显然有
f(?x)?f(x)
恒成立.
∴函数
f(x)?
5
??
2sin
?< br>2x?
?
?
为偶函数.
2
??
(2)由2sin x-1>0,即
sinx?
?
5
?
1
?
,得函数定 义域为
?
2k
?
?,2k
?
?
?
?
(k∈Z),此定义域在x轴
66
?
2
?
上表示的区间不关于原点 对称.
∴该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数.
【总结升华】 判断函数奇偶数时,必须 先检查定义域是否是关于原点的对称区间.如果是,再验证
f(?x)
是否等于
?f( x)

f(x)
,进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.
举一反三:
【变式】关于x的函数
f(x)
=sin(x+
?
)有以下命题:
①对任意的
?

f(x)
都是非奇非偶函数;
②不存在
?
,使
f(x)
既是奇函数,又是偶函数;
③存在
?
,使
f(x)
是奇函数;
④对任意的
?

f(x)
都不是偶函数.
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其中一个假命题的序号是_____ .因为当
?
=_____时,该命题的结论不成立.
【思路点拨】

?
=2kπ,k∈Z时,
f(x)
=sinx是奇函数.

?
=2(k+1)π,k∈Z时
f(x)??sinx
仍是奇函数. < br>当
?
=2kπ+
?
2
?
2
,k∈Z时,f(x)
=cosx,

?
=2kπ-,k∈Z时,
f(x)
=-cosx,
f(x)
都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论
?
为何值都不能使
f(x)
恒等于零.所以
f(x)
不能既是奇函 数又是偶函
数.①和④都是假命题.
【解析】①,kπ(k∈Z);或者①,
类型四:正弦函数、余弦函数的对称性
例5.(2015春 湖南益阳月考)已知函数
f(x)?2sin(2x?
?
2
+kπ(k∈Z);或者④,
?
2
+kπ(k∈Z)
?
4
)

(1)求函数的最值及相应的x值集合;
(2)求函数的单调区间;
(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.
【思路点拨】(1)根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合;
(2)根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间;
(3)根据三角函数的对称性即可求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.
【解析】(1 )当
sin(2x?

x?k
?
?
?
4
) ?1
,即
2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
,k∈Z,
3
?
,k∈Z,此时函数取得最大值为2;
8
3
?
?k
?
,k?Z}

8
故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为
{x|x?
(2)由
??
2
?2k
?
?2x?
?
4
?
?2
?2k
?
,得
?
?
8
?k
?
?x?
3
?
?k
?
,k∈Z.
8
3
?
?k
?
]
,k∈Z.
88
??
3
?
3
?
7
?
?2k
?
, 得
?k
?
?x??k
?
,k∈Z. 由
?2k
?< br>?2x??
24288
3
?
7
?
?k
?,?k
?
]
,k∈Z. ∴函数f(x)的单调递减区间为
[
8 8
??
3
?
1
?k
?
,k∈Z. (3)由
2x???k
?
,得
x?
4282
3
?
1
?k
?
,k∈Z. 即函数f(x)的图象的对称轴为
x?
82
∴ 函数f(x)的单调递增区间为
[?
?
?k
?
,
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2x?
?
4
?k
?
,得
x?
?
1
?
1?k
?
,k∈Z,即对称中心为
(?k
?
,0)
,k∈ Z.
8282
【总结升华】(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲 线的最高点或最低点,
即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值.
(2)正弦曲线、余弦曲 线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的正弦
值、余弦值都为0.
举一反三:
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】
【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心
(1)
y?sin(x?
?
(2)
y?cos(2x?)
.
)

43
?
【解析】(1)令
t?x?
?
4
,则
y?sin
?
x?
?
?
?
?
t
的对称轴方程是
t?k
?
?
(k∈Z),即
?
?sin
4
?
2
?
x?
?
4
?k
?
?
?
2
(k∈Z),解得
x?k
?
?
?
4
(k∈Z).
∴函数
y?sin
?
x?
??
?
?
4
?
?
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
4
(k∈Z).
同理,对称中心的横坐标为
x?
?
4
?k
?

?x?k
?
?
?
4
,即对称中心为
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?

4
?
(2)令
t?2x ?
?
3
os2
,则
y?c
?
x?
?
?
?
?
o?s
?
c
3
?
t
的对 称轴方程是
t?k
?
(k∈Z),即
2x?
?
3

?k
?
(k∈Z)
解得
x?
k
??
. < br>?
(k∈Z)
26
?
?
∴函数
y?cos
?
2x?
?
?
3
?
?
的对称轴方程是
x?< br>k
??

?
(k∈Z)
26
同理,对称中心 的横坐标为
2x?
?
3
?k
?
?
?
2
?x?
k
?
5
?
?
k
?
5
?
?
?,0
?
(k,即对称中心为
?
?
2 12
212
??
∈Z).
类型五:正弦函数、余弦函数的周期
例6.求下列函数的周期:
(1)
y?sin
?
x?
?< br>?
?
?
3
?
(2)
y?cos2x
;(3)
y?3sin
??

?
x
?
?
?
?

?
23
?
(4)
y?2sin
?
?
?
?
??
1
?
1
x?
?
?cos
?
x?
?

3
?
6
??
2
?
2
【解析】(1)①令
z?x?
?
3
,而
si n(2
?
?z)?sinz
,即
f(2
?
?z)?f(z)

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?
?
???
f
?
(x?2
?
)?< br>?
?f
?
x?
?
.∴T=2π.
3
?3
???
②令z=2x,则
f(x)?cos2x?cosz?cos(z?2< br>?
)?cos(2x?2
?
)?cos[2(x?
?
)]

f(x?
?
)?f(x)
,∴T=π.
③令< br>z?
?
x
?
?
?
?
?
?
? ?3
?
2
?

x
?
?
23
?x?4
??
?s
?
?
3
,则
f(x?z?z? )
?
?
?
?
?fx?
?

i
?
2

n
∴T=4π
④原
?2
?
?
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1
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2
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x?
??

T?
?
?
?
?
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?< br>?
?
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s?
?
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2
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?
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?
1
?
i
?
? x
?
??
?
?
?
?
?
?
?
6
?
?
?
?

n
?
?
1x
2
?
?4
?

1
2
举一反三:
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数,求其最小正周期.
(1)
y?|sinx|

(2)
y?sin|x|

(3)
y?sin(2x?
?
3
)
.
2
?
?
?

2
【答案】(1)是
T?
?
(2)不是 (3)
T?
类型六:正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7.已知函数
f(x)?log
1
|sinx|

2
(1)求其定义域和值域;
(2)判断奇偶性;
(3)判断周期性,若是周期函数,求周期;
(4)写出单调区间.
【思路点拨】 在(3)中,可画出图象求周期,除了用周期函数的定义求周期外,作图也是一种基本的方
法.在(4) 中,可以将
f(x)?log
1
|sinx|
看成是由
y?log< br>1
u
,u=|t|,t=sin x复合而成.
22
【解析】(1) 由
|sinx|?0
,得
sinx?0
,∴x≠kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.

0?|sinx|?1
, ∴
log
1
|sinx|?0

2
∴函数的值域为{y|y≥0}.
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(2)∵
f(?x)?log
1
|sin(?x)|?log
1
|sinx|?f(x)

22
∴函数
f(x)
是偶函数.
(3)∵
f(x?
?
)?log
1
|sin(x?
?
)|?log
1
|sinx|?f(x)

22
∴函数
f(x)
是周期函数,且周期是π.(可结合图象验证)
(4)设t=|sin x|,

x?
?
k
?
, k
?
?
?
?
?
?
时,sin x>0,t=|sin x|为增函数;
?
2
?

x?
?
k
?
?
?
?
?
?
,k
?
?
时,sin x<0,t=|sin x|为减函数.
2
?
2
又 ∵函数
y?log
1
t
为减函数,
∴函数
f(x)
的单调增区间为
?
k
?
?
举一反三:
【变式】已知函数
y?
?
?
?
?
???
,k
?
?< br>,k∈Z;单调减区间为
?
k
?
,k
?
?
?
,k∈Z.
22
???
11
cosx?|cosx|

22
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.
【解析】 (1)
y?
11
cosx?|cosx|

22
?
??
??
cosx, x?2k
?
?,2 k
?
?(k?Z)
?
??
22
???
?
?

?
0, x?
?
2k
?
??
,2k
?
?
3
?
?
(k?Z)
?< br>?
22
?
??
?
函数图象如右图所示.
(2)由图象知函数的周期是2π.
(3)由图象知函数的单调区间为
?
2 k
?
?
?
?
?
?
,2k
?
?(k∈Z)
2
?
【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π,实际上通过图象 可知,在一个区间长为2π的区间内
函数值才发生周期性变化.






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