高一数学必修四期末复习资料

高一数学必修四期末复习材料
一、基本三角函数
?
正角:按逆时针 方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
?
零角:不作任何旋转形成的角
2、与角
?
终边相同的角 的集合为：
??
?k?360
?
?
?
,k??

1) 终边落在x轴上的角的集合：
??
?
??
?
?
?
??
,
?
?z
?

?
?
,
?
?z
?

2
?
2) 终边落在y轴上的角的集合：
?
??
?
??
?
?
?
3) 终边落在坐标轴上的角的集合：
?
??< br>?
?
?
?
,
?
?z
?

2
?
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
l?
?
r
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则 ．
S?
1
l r?
1

?
r
2

22
360
1
?
?
?2
?
弧度
?
?
180
.
弧度
6、弧度制与角度制的换算公式：
180
?
1 弧度?
180
?
?
?
?
弧度
7、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?< br>x,y
?
，它与原点的距离是
sin
?
?
y
r
，
cos
?
?
x
r
，
tan
?
?
y
x
rr?
?
x?y?0
，则
22?
?
x?0
?

8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正 ，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正。“一全正，二正弦，三两切，四余弦”

9、三角函数线：
sin
?
???
，
cos?
???
，
tan
?
???
．
10、同角三角函数的基本关系：
y
PT
222
?
1?
sin
2
?
?cos
?
?1
2
?< br>sin
，
2
?
?1?cos
?
,cos
?< br>?1?sin
?
?
；
OM
A
x

sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos?
,cos
?
?
?tan
?
?
2
?< br>??
tan
?
??
．
cos
?

sin
?
11、诱导公式
1)
?
?Sin
?
, k?z
终边相同的角的三角函数值相等
Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?
??Sin
?

Cos
?
?
?
?
?Cos
?

t an
?
?
?
?
??tan
?
Sin
??
?
?
Sin
?
?
?2k
?

Sin
?
?
?
2)
角
?
与角?
?
关于x轴对称
?
?Sin
?
3)
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称

Cos
?
?
?
?
?
??Cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
4)
角
?
?
?
与角
?
关于原点对称
Si n
Cos
tan
Cot
Sec
Csc

Si n
?
?
?
?
Cos
?
?
?
?tan
?
?
?
?
?
?
?
??Sin< br>?
或Sin（
?
2k+1）
?
?
?
?
??Sin
?
?Cos
?

??Cos
?
或Co s（
?
2k+1）
?
?
?
?
?
?tan< br>?
或tan（
?
2k+1）
?
?
?
?
?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?
?
2
?
?
?tan
?
5)
角
?
?
?
?
?
?
与角
?
关于y?x对称
Co s
?
?
?
?
?Sin
?

2
?
2
?
?
?
?
tan
?
?
??
?cot
?
?
2
?
?
?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?
?
2
?
?
?
6)
Cos
?
?
?
?
??Sin
?

?
?
2
?
?
?
?
tan
?
??
?
??cot
?
?
2
?
上述的诱导公式记忆 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
12、五点作图法：
?
0,0
?
,
?
?
?
??
3
?
?
,1
?< br>,
?
?
,0
?
,
?
,?1
?
,
?
2
?
,0
?

?
2
??
2
?
步骤：列表、描点、连线

13、三角函数的性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义
域
值域
当
最值
R


R


?
?
?
, k??
??
xx?k
?
?
2
??

[-1,1]
x?2k
?
?
[-1,1]
时，
?
2
R
?
2
?
k??
?< br>当
x?2k
?
?
k??
?
时，

y?1
；当
x?2k
?
?
?

max?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
周期
性
奇偶
性
在
?
2k
?
?
?
?
??1
．
2
?

?

奇函数 奇函数
?
2
偶函数
,2k
?
?
?
?
上增；
2
?
?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
??
k??
?
上
增；
在
?
2k
?,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上
减
单调
性
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?

?
2
?
在
?
2k
?
?
?
3
?
?
上减
?,2k
?
?
22
?
?
??
k??
?
上是增函数．
对称
性
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
?
?
?
?

,0
?
?
k??
?
2
?
对称中心
?
k
?
无对称轴
?
2
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?

?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
——决定函数的最值，最大值
A
,最小值
?A
；②周期：
??
f?
1
?
?
2
?
?
；③频率：
?
2
?
；④ 相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
（左加右减）．
1 5、由
y?sinx
的图象变换出
y?ASin
?
?
x?< br>?
?
的图象一般有两个途径，只有区别开这两
个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将
y?sinx
的图象向左 (
?
＞0)或向右(
?
＜0)平移｜
?
｜个单位，再将图象 上各点的横

坐标变为原来的
1
?
倍(
ω
＞0 )，再将图像上各点的纵坐标变为原来的A倍，便得
y?ASinx
?
?
的图 象。
?
?
?
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将
y?sinx
的图象上各点的横坐标变为原来的
1
?
倍(
ω
＞0)，再沿
x
轴向左(
?
＞0)或向
|
?
|
右(
?
＜0)平移个单位，再将图像上各点的纵坐标变为原来的A倍，便得
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
的图象。
x?arcsiny
16、已知三角函数值求角：
x?arccosy

x?arctany
二、平面向量
1、向量加法运算：
1) 三角形法则的特点：首尾相连．
2) 平行四边形法则的特点：共起点．
3) 运算性质：
?
??
?
①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
?
??
??
③
a?0?0?a?a
．
4) 坐标运算：设
?
?
??
?
??
a?b?c? a?b?c
???
；
?
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
?
a?
?
x
1
,y
1
?
，
?
b?
?
x
2
,y
2
?
，则．
2、向量减法运算：
1) 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
2) 坐标运算：设，，
?
?
a? b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
则．
3) 设
?
、
?
两点的坐标分别为
????
则
AB?
?
x
2
?x
1
,y< br>2
?y
1
?
。
C

?
a

?
x
1
,y
1
?< br>，
?
x
2
,y
2
?
，
?
b

?

?

?
?
????????????
a?b??C?????C

3、向量数乘运算：
?
?
?
?
a
a
1) 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①
?
a?
?
a
??
；
?
??
?0
?
a
a
②当时，的方向与的方向相同；

?
?
?
?0
?
a
a
当时，的方向与的方向 相反；
?
?
当
?
?0
时，
?
a?0
．
；②；③．
??
a?
?
x,y
?
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?y
?
⑶坐标运算：设，则．
?
???
4、向量共线定理：向量
a a?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
⑵运算律：①
??
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
???< br>?
?
?
a?
?
a?
?
a
??
?
a?b?
?
a?
?
b
?
?
?
?
?
?
??
?
????
b?
?
a a ?0
．设
a?
??
?
1
x,
?
y
?
,?b
?
12
x,
?
??
，其中
b?0
，则当且仅当
y
2
?
???
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
b b?0
共线．
??
?????
5、平面向量基本定理：如果
e
1
,e< br>2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量
?
a
，有且只有一对实数
a
1
,a
2
，使
?????
??????
?
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
a?a
1
e
1
?a
2
e
2
,
?
?
不共线的向量
?
?

?
?
?
?????
（不共线的向量
e
1
,e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
6、平面向量的数量积：
?
????????
??
1)
a?b?abcos
?a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0．
??
?
?
a
2) 性质：设和
b
都是非零向量，
?????
则①
a?b?a?b?0
．
?
?
?? ??
a
b
②当与同向时，
a?b?ab
；
?
?< br>?
???
2
?
2
????
a
b
当与 反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?
??a?a
．
③
a?b?ab
．
????
??????
3) 运算律：①
a?b?b?a
；②
?
a?b?
?
a?b?a?
?
b
；
????< br>??????
???????
③
a?b?c?a?c?b?c
．
??
??
??
4) 坐标运算：设两个非零向量
a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y1
y
2
．
?
?
若
a?
?
x ,y
?
，则
a
2
?
?x?y
，或
a?22
x?y
．
22

??
??
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
??
??
??
a
?
a
设、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2< br>,y
2
?
，是与
b
的夹角，则
??
a?b< br>cos
?
?
??
?
ab
x
1
x2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
．
三、三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
1)

2)
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
tan
?
?
??
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?t an
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan?
?tan
?
?
?
?
；
；
；
；
3)
tan
?
?
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
1)
sin2
?
?2sin
?
cos
?

2)
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?

cos
?
?
2
2222
cos2
?
?1
2
sin
?< br>?
2
1?cos2
?
2
（
tan2
?
?
，）
2tan
?
1?tan
?

Sin
Cos
2
3)
?
2
3、半角公式： ??
??
1?Cos
?
2
1?Cos
?
2tan
?
2
??
1?Cos
?
1?Cos
?< br>?
Sin
?
1?Cos
?
?
1?Cos
?< br>Sin
?

?
2
4、求解最值：
?sin
?
??cos
?
?


???sin
?
?< br>?
?
?
，其中
tan
?
?
22
?< br>?
．