高中数学必修四全部学案

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——《必修四》（试用）

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基本初等函数

1。1。1角的概念的推广
一、复习：
角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共顶点叫做角
的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成
的 。
二、自主学习：自学
P
3
?P
5
，回答：
1。正角、负角、零角：
一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向： 方向和 方向，习惯上规定：按
照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有
时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋转生成的
角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化
为 ，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的 。
2.终边相同的角：设α表示任意角，所有 与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记
为S＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的
终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属
于任何象限。
三、典型例题：
1。自学
P
4
、
P
5
例1、例2、例4完成练习A
2。自学
P
5
例3完成下面填空：
终边落在x轴正半轴上角的集合表示为
终边落在x轴负半轴上角的集合表示为
终边落在x轴上角的集合表示为























































终边落在y轴正半轴上角的集合表示为
终边落在y轴负半轴上角的集合表示为
终边落在坐标轴上角的集合表示为
.第一象限角的集合表示为
第二象限角的集合表示为

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第三象限角的集合表示为
第四象限角的集合表示为
3。补充例题：


















例5。已知
?
是第一象限的角，判断




练习：
P
7
练习B2、3、5
4。小结：
5。作业：
?
、
2
?
分别是第几象限角？
2
1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
2.下列命题中正确的是（ ）
A.终边相同的角都相等
C.第一象限角都是锐角






B.第一象限的角比第二象限的角小
D.锐角都是第一象限角
3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位 置顺时针旋转270°到达OC位置，
则∠AOC＝（ ）
A.150° B.－150° C.390° D.－390°
4.如果α的终边上有一个点P（0，－3），那么α是（ ）
A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角
5.与405°角终边相同的角（ ）
A. k·360°－45° k∈z
C. k·360°+45° k∈z








B. k·360°－405° k∈z
D. k·180°+45° k∈z
6.（20XX年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
?
所在象限是（ ）
2
C.第一或第三象限D.第二或第四象限
7.把－1050°表示成k·360°+θ（k∈z）的形式，使
?
最小的θ值是
y
8.（20XX年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y轴对称，
则α的集合S＝ .
150°
0
30°
x
9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），
那么β∈


10。 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角：

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①－45° ②760° ③－480°
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用 来度量角
的制度叫角度制。
（2）设圆心角为
n
的圆弧长为
l
，圆的半径为r，则
l
= ；
二、自主学习：自学课本
P
7
-
P
9
回答：
1。1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角。这种用 来度量角的制度叫弧度制。
弧度记作 。
2。圆心角或弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为
l
的弧所对的圆心角为< br>?
rad，
则
?
= ；
l
= 。
3。角度与弧度的换算：
360°=
1 rad＝
rad ；180
0
= rad ；

1°＝ rad≈ rad； n°＝ rad
≈ ＝ ；
?
rad＝
0
l
= 。
r
4.完成下面的填空：


度
弧度
度
0°

210°
30°

225°
45°

240°
60°

270°
90°

300°

120°

315°

135°

330°

150°

360°

180°



弧度

5。角的集合与实数集R之间是 对应关系。
6. 设扇形的圆心角是
?
rad，弧长为
l
，半径为r，
则扇形面积公式S＝ ＝
三、典型例题：自学课本
P
9-
P
11
例1-例5完成练习A、B
四、小结：
五、作业：
1。
120
等于（ ）rad
A.
0
2
?
???
B. C. D.
3
342

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2.
5
?
等于 （ ）
6
0000
A。
30
B。
60
C。
120
D。
150

3.α＝－2rad，则α终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
1
?
5
?
5
?
C.或
?
D.或
2
3
6
6
3
?5.扇形圆心角为，半径为R，则扇形内切圆面积与扇形面积之比（ ）
3
A. 1 B.
A.1：3
0
B.2：3 C.4：3 D.4：9
6。
240
= rad; —
5
?
?
0
= 度；
225
= rad; = 度。
3
8
7.一个扇形弧长为5cm，面积为5cm
2
,则这个扇形圆心角的弧度数
8.在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是 弧度。


1。1任意角的概念及弧度制习题课
一、复习：
1。正角、负角、零角的概念 2。与
?
终边相同的角如何表示？
3。象限角是如何定义的？
4。用弧度表示
终边落在 x 轴上的角的集合表示为
终边落在y轴上的角的集合表示为
终边落在坐标轴上的角的集合表示为
5。用弧度表示
终边落在第一象限的角的集合表示为
终边落在第二象限的角的集合表示为
终边落在第三象限的角的集合表示为
终边落在第四象限的角的集合表示为
6。
360
= rad ；
1
= rad
?
rad；
?
= 度；n°＝ rad
1rad＝ ≈ ＝ ；
?
rad＝
0
0
7。设扇形的圆心角是
?
rad，弧长为
l
，半径为r，
则
l
= ；扇形面积公式S＝
二、典型例题：
例1。 已知α＝1680°
（1）把α改写成k·360°+β（k∈z，0°≤β＜360°）的形式。
＝
（2）把α改写成β+2kπ(k∈z，0≤β＜2π)的形式。
（3）求θ，使θ与α终边相同且－360°＜θ＜360°并判断θ属第几象限。

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例2 .若集合A＝
?
?
2k
?
?
?
?< br>?
4
?
?
?2k
?
?
?
3
?
,k?Z
?
，
2
?
B＝
?
?
2k
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?2k
?
,k?Z
?

3
?
求A∩B ；A∪B







例3如图扇形 AOB的面积为4cm
2
,周长为10cm，求AB弧的长及扇形中心角α






三、练习：
P
12
习题1-1A、B
补充：
1.已知下列各角①787°②-957°③-289°④1711°，其中在第一象限的角是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
A


O
B
2.已知集合M＝｛第一象限角｝，N＝｛锐角｝，P＝ ｛小于90°的角｝，则下列关系式中正确的是
（ ）
A. M＝N＝P
?

B. M P
≠
C. M∩P=N D. N∪P
?
P
3.下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A.－43°与677°
4.设集合M＝
?
??
?
B.900°与－1260° C.150°与630° D.－120°与960°
?
?
???
k
??
,k?Z
?
?
?
??
?k
?
?,k ?Z
?
，
24
???

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N＝
?
?
?
?
?
?

?
k
?
,k?Z
?
，则集合M与N关系是（ ）
4
?
?

B.M N
≠
C.M＝N D.M∩N＝
?

?

A.M

N
≠
5.下列诸命题中，假命题是（ ）
A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的
11
，一弧度的角是周角的
3602
?
C.根据弧度定义，180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
6.三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为
7。终边在直线y=
3
x上的角表示为 。
。
8。将下列各角化成2kπ+α（k∈z，0≤α＜2π）的形式，并确定其所在象限




四、小结：
五、作业：
1.若α、β终边相同，则α－β的终边在（ ）
A.x轴正半轴 B.y轴正半轴 C.x轴负半轴 D.y轴负半轴
①
19
?

6
②
?
31
?

6
2. 已知α是第四象限角，则
A.第一象限角
?
是（ ）
2
C.第一或第二象限角 D.第二或第四象限角 B.第二象限角
3. .若－

?
?
＜α＜β＜，则α－β的范围是（ ）
22
?
A.－π＜α－β＜0 B.－＜α－β＜0
2
??
C.－＜α－β＜π D.－π＜α－β＜
22
?
?

4.终边在直线y=x上的角的集合为（ ）
A.
?
??
?k
?
?
?
?
, k?Z
?

4
?
B.
?
??
?k
?
?
?
?
?
3
?
,k?Z
?
4
?
C.
?
?
?2k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?

4
?
D.
?
??
?2k
?
?
?
?
?
3
?
,k?Z
?

4
?

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5.集合M＝
?
??
?
?
?
?
k
??
?,k?Z
?
，N＝
?
?
?
??
?
?
?
?
，则M∩N等于（ ）
25
?
7
?
4
?
｝
,
105

A.｛－
?
3
?
510
,
｝ B.｛
?
C.｛
?
?
3
?
4
?
510
,,
5
,?
7
?
｝
10
D.｛
3
?
7
?
｝
,?
1010
6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A.1 B.
1

2
C.
?
5
或
?

6
6


D.

?
5
?
或
3
3
; 7.扇形的圆心角为72°，半径为5cm，圆心角= rad;它的弧长为
面积为 。
；它是第 8.与－496°终边相同的角是
最大负角是 。
象限角，它们中最小正角是 ,
9.（2005吉林调研）如图动点P、Q从点A（4，0 ）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转
弧度。点Q按顺时针方向每秒钟转
为







1.2.1任意角的三角函数
一、复习：锐角三角函数的定义：
如图：设P(x,y)是角
?
终边上不同于原点的任意一点，PＭ⊥x轴，∣ＯＰ∣＝r，
当
?
为锐角时sin
?
= ;cos
?
= tan
?
= .
y
P
r
?
O
x
y
M
?

3
?
弧度，则P、Q第一次相遇时P、Q点各自走过的弧度
6
y
， 。
P
O
A
Q
x
x

二、自主学习：自学
P
16
完成下面的填空：
14
-
P

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１。三角函 数的定义：设P(x,y)是角
?
终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r，(r=
x
2
?y
2
，
r＞0)
则：sin
?
= cos
?
= ;tan
?
= .
sec
?
= ;csc
?
= cot
?
= .
思考：三角函数是函数吗？
2. 三角函数的定义域：完成下表

三角函数
sinα
cosα
tanα
３。三角函数符号：
sinα=
定 义 域



y
：若y＞0，则sinα 0;此时α的终边在第 象限或第 象限
r
或在 上；
若y＜0,则sinα
或在 上.
若y=0,则sinα 0;此时α的终边在 轴上。
0;此时α的终边在第 象限或第 象限
cosα=
x
：若x＞0，则cosα 0;此时α的终边在第 象限或第 象限
r
或在 上；
若x<0，则cosα 0;此时α的终边在第 象限或第 象限
或在 上.
若x=0,则cosα
tanα=
0;此时α的终边在 轴上。
y
，若x、y 号，则tanα＞0，此时α的终边在第 象限或第 象限
x
若x、y 号，则tanα＜0. 此时α的终边在第 象限或第 象限
若y=0, 则tanα 0;此时α的终边在 轴上。
若x=0, 则tanα不存在，此时α的终边在 轴上。
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
三、典型例题：
1。自 学
P
16
例1、例2，完成
P
17
练习A1、2、3题
2。自学
P
17
例3、例4，完成
P
18练习A4题、练习B
3。补充：

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例：已知角θ的终边落在直线y=3x上，求sinθ、cosθ和tanθ的值。


四、小结：
五、作业：
1.已知α的终边过点P（4，－3），则下面各式中正确的是（ ）
α=
3

5
α=-
4

5
α=-
3

4
α=-
3

4
2.若角α的终边上有一点P（
k,?
A.
16

15

34
（
k?0
），则sinα·tanα的值是（ ）
k
）
55
161515
B.－ C. D.－
151616
α与secα α与cotα α与cscα
3.已知角α的终边 经过点P（a，b），其中a＜0，b＜0,在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ）
α与cscα
4.若角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上 一点，且
OP?10
，
则m－n＝（ ）
A.2 B.－2 C.4 D.－4
5.已知点P（3，y）在角α的终边上，且满足y＜0，cosα=
A.
?
3

4
B.
4

3
C.
3

4

3
，则tanα的值为（ ）
5
4
D.－
3
6若sinθcosθ＞0，则θ在第 象限。
7.若
cos
2
x?cosx
，则x的取值范围是

8.已知f(x)= cosπx (x＜1)
f(x－1)－1 (x＞1)
9. 函数y=
。
f(

则

14
)+f(

)=



33
sinx
cosx
tanx
cotx
???
值域是
sinxcosxtanxcotx
2
+2cos0+4tan0-3
sin
10. 5
sin
?
3?
+10cos
?
-2tan
?
= .
2
10
x
.
10
11.已知θ角的终边上一点P（x，3）(x≠0)，且cosθ=
求sinθ,tanθ

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1。2。2单位圆与三角函数线
一、复习：
1。什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？
O
A
如图：A（x）是数轴上一点，则
OA
的坐标OA= ；
AO
的坐标AO=
2。设P(x,y)是角
?
终 边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r，(r=
x
2
?y
2
，r ＞0)
则：sin
?
= cos
?
= ;tan
?
= .
当r=1时sin
?
= cos
?
= 。
3.
sin
?
22
3
?
3
?

sin
=
cos
=
22
4。三角函数在各象限的符号如何？
=
cos
?
= ;
sin
?
=
cos
?
=
tan
?
=
二、自主学习：自学
P
19-
P
20
完成下面的填空：
1。单位圆：半径为 的圆叫单位圆。
2。正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O，设角
?
的 顶点在圆心O，始边与x轴的正半
轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）过点P作PＭ⊥x轴于点 Ｍ，作PN⊥y轴
于点N，则点Ｍ、N分别是点P在x轴、y轴上的 （简称 ）








B′(0,-1)
（1）
（2）
A′(-1.0)
y
B(0,1)
N
P(cosα,sinα)
y
y′
T′(1,tanα)
α
A(1,0)
x
0
M
l

N
α
A(1,0)
0
M
x
T′
由三角函数定义可知：sin
?
= ;cos
?
= 。
又r=1，所以sin
?
= ;cos
?
= 。
即P点的坐标为（ ， ），其中OM= ；ON= 。
由此可得：角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 坐标和 坐标。
3。三角函数线：
在上面图2中，向量 、 、 分别叫做角α的余弦线、正弦线和正切线。
思考：当α=x(rad)且0三、典型例题：
?
, 则α、sinα、tanα的大小关系是 。
2

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1。自学
P
20
例，完成练习A、B
2。补充
例1。在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sinα≥


四、小结：
五、作业：
1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（ ）
A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=－x上
3
1
；（2）cosα≤
?
.
2
2
2.下列判断中错误的是（ ）
A.α一定时，单位圆中的正弦线一定
C.α和α+π具有相同的正切线
B.单位圆中，有相同正弦线的角相等
D.具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上
3.角α（0＜α＜2π）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为（ ）

3
?
7
?
?
3
?
?
5
?
或 B.或 C.或
4444
44
?
5
?4.已知x∈(
,
)，则sinx与cosx的大小关系是（ ）
44
A.
≥cosx ≤cosx ＞cosx
5.若2sinθ=－3cosθ，则θ的终边可能在（ ）
D.
?
7
?
或
4
4
＜cosx
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限
6.如图所，∠POx的正弦线为 ，
余弦线为 ，正切线为 。
7.设M＝
?
?
sin
?
?
D.第二、四象限
y
P
M
0
A
T
x
?
?
?
1
,且
?
?
?
0，
?
?< br>?
，
2
?
.
??
1
N＝
?
?
cos
?
?,且
?
?
?
0，
?
?
?
，且M∩N＝
2
??
535
?
； （2）
?
；（3）-
?
；（4）
?
.
643
3
8.在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
（1）



9.利用三角函数线解答下列各题：

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（1）已知α∈[0,2π），且tanα＞sinα,求α角的范围。



（2）已知α∈[0,2π），且sin



10.利 用三角函数线证明
sin
?
?cos
?
?1
.



1。2。3同角三角函数的基本关系式
一、复习：
倒数关系：sinαcscα= cosαsecα=
二、自主学习：利用学过的知识推导：
tanαcotα=
??
＜cos，求α角的范围。
22
1。平方关系：sin
2
x+cos
2
x= 2。商数关系；
三、典型例题：
1。求值问题：
（1）自学
P
2 2
例1、例2、例3完成
P
25
练习A。1
sinx
?

cosx

（2） 思考：若把例1中“α是第二象限的角”去掉，该题如何求解？
练习：
P
25
练习B。1
（3）“1”的妙用：
例：已知
tan
?
?3
，求下列各式的值。
（1）



（2）sin
2
α-2sinαcosα+1.



练习：
P
25
练习B。2
3sin
?
?cos
?
；
2sin
?
?3cos
?

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2。化简：自学
P
23
例4、例5
注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名，
尽量化成最简形式等。
练习：
P
25
练习A。2、4 B。3
3.证明：自学
P
23
例6。完成
P
25
练 习A。3，练习B 4、5
四、小结：
五、作业；
1.已知cosα=-
3
5
,α∈（0，π），则tanα等于（ ）
A.
4
3
B.-
4
3
C.±
43
3
D.±
4

2.若β∈（0，2π）， 且
1?cos
2
?
?1?sin
2
?
?sin?
?cos
?
，则β的取值范围是（
A.[0，
?
）
3
?
3
?
2
B.[
?
2
，π] C.[π，
2
） D.[
2
，2π）
3。函数y=
cosx
2
）
1?sin
2
x
?
sinx
1?cosx
?
tanx
tan
2
的值域是（
x
A.｛3，－1｝ B.｛1，3｝ C.｛－3，－1，1｝ D.｛－1，1，3｝
4。5.已知sin θ=
m?3
4?2m
m?5
，cosθ=
m?5
，则m（ ）
A.可取[
?
1
3
，9]中的一切值 B.等于0
C.等于8 D.等于0或8
5. tanθ=2，那么，1+sinθcosθ=（ ）
A.
5
3
B.
5
4
C.
7
5
D.
7
3

6. sinθ+cosθ=－1 则(sinθ)
2006
+(cosθ)
2006
＝ .
7.已知sinα=
4
5
且tanα＜0，则cosα= .
8. 化简sin
2
α+sin
2
β－sin
2
αsin
2
β+cos
2
αcos
2
β= .
9。 已知sinα=
3
5
，求cosα、tanα的值.



10。 已知sinα+cosα=
1
5
，且0°＜α＜180°，求tanα的值.

）

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11。 已知tan
2
α=2tan
2
β+1，求证：s in
2
β=2sin
2
α-1.


12.化简





②若





1.2.4诱导公式（一）
一、复习：与α终边相同的角为 。
二、自主学习：
1。思考：
（1）α终边与-α终边关于 对称。
（2）α终边与α+
(2k?1)
?
，（k∈Z）的终边互为 。
（3）设α终边与单位圆的交点为P,则P（ ， ）
①若
?
2
?
?
?
?
,化简
1?sin
?
1?sin
?
?
；
1?sin
?
1?sin
?
1?cos
?
1?cos
?
3
?
?
. < br>?
?
?2
?
，化简
1?cos
?
1?cos x
2
P
2
两点， 若-α终边、α+
(2k?1)< br>?
，（k∈Z）的终边与单位圆分别角于
P
1
、
则P与
P
1
关于 对称，因此
P
1
（ ， ）
P与
P
2
关于 对称，因此
P
2
（ ， ）
2。诱导公式：
（1）角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos(α+k·2π)= ；sin(α+k·2π)=
由三角函数定义可知：
；tan(α+k·2π)= .

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P
1
（cos(-α),sin(-α)）,
P
2
（co s(α+
(2k?1)
?
）,sin(α+
(2k?1)
?
))
又由上面思考3可得：
（2）角α与－α的三角函数间的关系
cos(-α)= ； sin(-α)= ； tan(-α)= .
（3）角α与α+(2k+1)π(k∈Z)
cos[α+(2k+1)π]=
三、典型例题：
；sin[α+(2k+1)π]= ；tan[α+(2k+1)π]= .
1。自学
P
26
、P
27
例1、例2完成
P
27
练习A、B
2。自学
P
29
例3、例4、例5完成
P
30
练习A、B
3。证明：sin(
?
-α)=sinα; cos(
?
-α)=-cosα; tan(
?
-α)= -tanα




四、小结：
五、作业：
1. tan600°的值是（ ）
A.
?
3

3
B.
3

3
C.－
3
D.
3

2. 对于α∈R，下列等式中恒成立的是（ ）
(2π-α)=sinα (-α)=-cosα
(π-α)=cos(2π+α) (π+α)=tan(2π+α)

2
(π+α)-cos(π+α)cos(-α) +1的值是（ ）
A.1 B.2sin
2
α C.0 D.2
4.若sin(π-α)=
log
8
1
?
，且α∈ （-，则cos(π+α)的值为（ ）
,0
）
42
C.± A.
5

3
B.-
5

3
5

3
D.以上都不对
5.
1?2sin (
?
?3)cos(
?
?3)
化简的结果是（ ）
3-cos3 3-sin3 C.±(sin3-cos3) D.以上都不对
6. tan(5π+α)=m，则
sin(
?
?3
?
)?cos(
?
?
?
)
=（ ）
sin(?
?
)?cos(
?
?
?
)
B. A.
m?1

m?1

m?1

m?1
C.-1 D.1

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?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?sin
2
(3
?
?
?
)
7. 若
a?
，则a
2
+a+1的值等于（ ）
3
tan(< br>?
?
?
)?cos(?
?
?
?
)
A. 1 B. sin
2
α C. cos
2
α


.
D. 3
8.计算sin

4
?
25
?
5
?
costan(?)?

364
Sinπx (x＜0) cosπx (x＜)
2
9.设f(x)=
和g(x)=
f(x-1)+1, (x≥0) g(x-1)+1, (x≤
1
1
)
2
则g(
1153
)+f()+g()+f()的值为
4364
.
10求下列三角函数式的值.
（1）sin495°·cos(-675°)；



（2）
3sin(?1200?)?cot



1137
?
?cos585??tan(?
?
)
.
34
sin
2
(
?
?
?
)cos(
?< br>?
?
)cot(?
?
?2
?
)
11.化简 .
3
tan(
?
?
?
)cos(?
?
?
?
)



12.已知sin(α+π)=
4
且sinαcosα＜0
5
求
2sin(
?
?
?
)?3tan(3
?
?
?
)

4cos(
?
?3
?
)





1.2.4诱导公式（二）
一、复习：

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1。完成下面填空：

sin30
= ；
cos30
= ；
tan30
= 。

sin45
= ；
cos45
= ；
tan45
= 。

sin60
= ；
cos60
= ；
tan60
= 。
2。公式一：cos(α+k·2π)=
3。公式二： cos(-α)=
4。公式三：
cos[α+(2k+1)π]= ；sin[α+(2k+1)π]=
5。根据公式三完成下面填空：
sin(π+α)= ；cos(π+α)=
；cos(π－α)=


；tan(π+α)=
；tan(π－α)=


。
。
；tan[α+(2k+1)π]= 。(k∈Z)
；sin(α+k·2π)= ；tan(α+k·2π)= .
.
000
000
000
； sin(-α)= ； tan(-α)=
sin(π－α)=
二、自主学习：自学
P
31
完成下面填空：
?
的三角关系
2
?
?
sin(α+)= ； cos(α+)=
22
?
2.α与-α的三角关系
2
??
sin(-α)= ；cos(-α)=
22
1.α与α+
三、典型例题：
；tan(α+
?
)=
2
。
；tan(
?
-α)=
2
。
1. 自学
P
32
例6、例7完成练习A。1、2、3；练习B。1
2。自学
P
32
例8完成练习A。4；练习B。2
3。补充例：
证明：sin(α+
3
?
3
?
3
?
)=-cosα； cos(α+)=sinα；tan(α+)=-cotα。
222





练习：完成下面填空：
sin(
四、小结：
五、作业：
3
?
3
?
3
?
-α)= ； cos(-α)= ；tan(-α)= 。
222

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1。若sin(180°+α) +cos(90°+α)=－a，则cos(270°－α)+2sin(360°－α)的值是（ ）
3a2a3a
C. D.
3
22
?
?
11
2.已知sin(
?
?
)+cos(
?
?
)= ，θ∈（0，π），则的值为（ ）
5tan
?
22
4343
A. B. C.- D.-
3434
A.
?
B.
?
3.已知f(x)=3sin(

2a

3
?
2
x?
?
3
)，则下列不等式中正确的是（ ）


B.f(2)＜f(1)＜f(3)
D.f(3)＜f(2)＜f(1)
A.f(1)＜f(2)＜f(3)
C.f(2)＜f(3)＜f(1)

2
1°+sin
2
2°+sin
2
3°+…+sin
2
89°=（ ）
A.89 B.
89

2
C.45 D
45

2
5.已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30°)的值是（ ）
A.1 B.
3

2
C.0 D.－1
6.（2006.全国卷Ⅱ）f(sinx)=3－cos2x 则f(cosx)＝（ ）
A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x
。 7.已知sin(π+α)=
lg
1
3
?
，且α∈( ,
?
)，则tan(α-
?
)的值为
3
2
2
10
?
?
-α)- cos(+α)=
2
,则sinα．cosα= 。
22
1
9。已知cos(75°+α)=，且-180°＜α＜-90°，求cos(15°-α)的值.
3
8。已知： sin(
10。化简：
sin(180
0
?
?
)sin(270
0
?
?
)tan(90
0< br>?
?
)
（1）
sin(90
0
?
?< br>)tan(270
0
?
?
)tan(360
0
??
)





（2）



1?2sin100
0
cos280
0
cos 370?1?cos170
020

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1.3.1正弦函数的图象
一、复习：
1。正弦函数y=sinx的定义域是
2。正弦线是如何定义的？
二、自主学习；自学课本
P
37
?P
38
完成下面填空：
1。用正弦线画出正弦函数y=sinx（x∈[0.2
?
]）的图象：
y
2?
5?
6
?
7?
6
3
?2
?
3
?
6
2?
1
O
?
6< br>??
32
11?
-1
5?
4?
3?
6
3
3
2
2?
5?
?
7?4?3?
5?11?2?
3
6632
36
x

正弦函数y＝sinx，（
x?R
）图象叫做


。 2。作正弦函数y＝sinx（
x?[0,2
?
]
）的简图的一般方法是运用
3．作正弦函数的简图一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后在描点作图时要注
意 到被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在x＝
快一些，曲线“陡”一些，在x＝
缓”。
4．“五点法”作正弦函数y＝sinx
x?
?
0,2
?
?
的图象上的五个点是

三、典型例题：
、 、 、 。
、

附近 函数上升或下降
附近函数变化的慢一些，曲线变得“平
1。自学课本
P
38< br>例题
2。补充：
例1：用五点作图法作出y＝2-sinx，
x?
?
0,2
?
?
的图象





例2：在同一坐标系中作出y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx
的解得个数。

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四、学生练习：课本
P
39
练习A、B
五、小结：
六、作业：
1．y＝sinx的图象的大致形状是图中的（ ）
y

y
1
2π
1

π
π 2π
0
?

x
?
0
x
2

-1
2
-1

A．


1

y
?
2
B．
y
1
x
-1
0
?
2



0
-1

x
C D
2．函数y＝1-sinx
x?
?
0,2
?
?
的大致图象是（ ）




A．




1
0
-1
?
2
2
y
1
0
?
2
2
y
1
π
3
?
2

2π
x
0
?
2
π
3
?
2

2π
x
B．
2
1
y

y
3
?
2

π
2π
x
0
π
-1
2π x
C. D.
3．函数y＝cosx
tanx





A． B． C． D．
1
0
?
-1
2
y
(0?x?
y
3
??
且x?)
的图象是（ ）
22
y
1
π
y
3
?

π
2
x
1
0
-1
?
2
3
?
x

2
0
?
-1
2
3
?

π
2
x
1
?
2
0
-1
π
3
?

x
2

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4．函数y＝sinx与y＝
A．4
1
?
?
x的图象在（-，）上的交点个数有（ ）个
2
22
C．2 D．1 B．3
5．函数y＝sinx与y＝
1
?
x的图象在（
?
22
?
2
）上交点有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
6。用“五点法”作出下列函数的图象：
（1）y=1-sinx (2)y=sinx+2






(3)y=2sinx (4)y=0.5sinx






1.3.1正弦函数的性质（一）
一、复习：
1。作正弦函数y=sinx图象的五个关键点分别是 ， ， ， ， 。
2.

正弦函数的定义域是 。 3。Sin(2k
?
+x)= (k∈Z)
二、自主学习：自学
P
39
?P
40
回答正弦函数的性质：
1．定义域
2．值域



3．周期性：一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T使得定义域内的每一个x值都满足
，那么函数f(x)就叫做 . 叫做这
个函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就 叫做它的 ，正弦函数y＝sinx的最小正周期是 。
思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？
4．奇偶性：y＝sinx是
三、典型例题：
1。自学课本
P
40
例2、例3、例4
函数，正弦曲线关于 对称。

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2。变式：
(1) 求下列函数的最大值和最小值，并写出函数取得最值时x的集合：
（ⅰ）y=sin
2
x-2sinx+3 (ⅱ)y=cos
2
x-2sinx


(2)求函数y=Asin(
?
x?
?
) (其中A≠0，
?
?0,
x∈R)的周期。


四、学生练习：
P
40
练习A、B（1）、（5）
五、小结：
六、作业：
1．函数y＝
2sin2x
的奇偶性为（ ）函数
A．奇 B．偶 C．即奇且偶 D．非奇非偶
2．（04′天津）定义在R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π且当
5
?
?
?
?
x?
?
0,
?
时f(x)=sinx则f()的值为（ ）
2
3
??
A．-
1

2
B．
1

2
C．-
3

2
D．
3

2
3．函数f(x)＝7sin（
215
?
）是（ ）
x?
32




B．周期为2π的奇函数 A．周期为3π的偶函数
C．周期为3π的奇函数
4．在［0，2π］上满足sinx≥
A．
?
0,
D．周期为
4
?
的偶函数
3
1
的x的取值范围（ ）
2
C．
?
?
?
?

?
6
??
B．
?
?
?
5
?
?
,

?
66
??
?
?
2
?
?
,

?
63
??
D．
?
?
5
?
?
,
?
?

?
6
?
5．若
x?
?
?
??
?
,
?
则函数f(x)=2cos
2
x+sinx-1的值域是（ ）
?
63
?
B．［-2，0］ A．［-1，2］
?
3?1
,
C．
?
2
?

9
?
?

8
?

?
3?1
?
,1
?
D．
?
2
??
6．函数y＝2sin(
?
3
?
?
x
)的最小正周期是4π则ω＝

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7．若f(x)是奇函数，当x＞0时f(x)＝x
2
-sinx则当x＜ 0时，f(x)＝
8。求函数y=-sin
2
x-2sinx+1 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合。




1.3.1正弦函数的性质（二）
一、复习：
1．定义域 2．值域
3．周期性：T= ；函数y=Asin(
?
x?
?
) (其中A≠0，
?
?0,
x∈R)的周期T=
4．奇偶性：y＝sinx是 函数。
二、自主学习：自学课本
P
40
，完成下面的填空：
1。单调性：正弦函数y＝sinx在每一个闭区间 上都从-1增大到1，
是
2。对称性：
正弦函数y=sinx的对称中心是 ；对称轴是 。
注：正弦函数y=sinx的对称中心是其图象与 轴的交点；
其对称轴与其图象的交点是正弦函数的 点。
三、典型例题：自学课本
P
42
例5
补充例题：求函数y=3sin(2x+




变式：求函数y=3sin(-2x+



四、学生练习：
P
43
练习B
五、小结：
函数。在每一个闭区间 上都从1减小到-1，是 函数。
?
)的最值、周期，单调区间、对称中心及对称轴。
3
?
)的最值、周期，单调区间、对称中心及对称轴。
3

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六、作业：
1．函数y＝sinx，
x?
?
?
?
2
?
?
,
则y的范围是（ ）
?
63
??
?
1
?
,1
?

?
2
?
C．
?
A．［-1，1］ B．
?
?
1
?
2
,
3
?
?

2
?
D．
?
?
3
?
,1
?

?
2?
2．（05′全国卷）的0≤x＜2π且
1?sin2x?sinx?cosx
则（ ）
7
?

44
?
5
??
3
?
C．
?x?
D．
?x?

4422
?
?
3．已知：
x,
?
?(0,)
且cosx>sin
?
则x+
?
与 的大小关系是（ ）
2
2
A．0≤x≤π B．
?
?x?
A．
x?
?
?
?
2
B．
x?
?
?
?
2
C．
x?
?
?
?
2
D．
x?
?
?
?
2

4．函数y＝
sin (2x?
A．x＝
?
5
?
)
的图象的一条对称轴是（ ）
2
B．x＝
?
?

2


?

4
C．x=
?
?

8
D．x＝
?
5
?

4
5．函数y=4sin(2x+π)的图象关于（ ）对称
A．x轴
6．若
x?
?
B．原点 C．y轴 D．直线x＝
?

2
、
?
?
3
?
?
是y＝sin
2
x-sinx+1的最大值和最小值分别为
?
?
34
?
?
-3x)的单调增区间是 ，周期T= 。
6
31
8．若函数y＝a-bsinx的最大值为， 最小值为
?
，求函数y＝-4asinbx的最值和最小正周期
22
7.函数y=2sin(




1.3.1正弦函数y＝Asin（ωx+
?
）(一)
一、复习：
1。y=f(x)与y=f(x+a)(a≠0)的图象之间有何关系？
2。Y=f(x)与y=Af(x) 的图象之间有何关系？
二、自主学习：自学课本
P
44
-
P
48
完成下列填空：

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1．正弦函数y＝Asin（ωx+
?
）（
x?
R）（其中A、ω、
?
为常数且A≠0 ω＞0）
（1）y＝Asin（ωx+
?
）的周期T＝
2．函数y＝Asinx（A＞0）的值域是
，频率f＝ ＝ ，初相为 。
；最大值为 ，最小值是 ，由此
可知， 的大小反映曲线y＝Asinx的波动幅度的大小。因此 也称为振幅
3。函数y=sin(x+
?
)的图象与y=sinx的图象之间的关系：
函数y=sin(x+
?
)的图象可由函数y=sinx的图象所有点（当
?
＞0）向 或（当
?
＜0时）
向 平移 个单位长度就得到函数y＝sin(x+
?
)的图象。
4。函数y=sin(ωx)（ω＞0）的图象与y=sinx的图象之间的关系：
函数y=sin(ωx) （ω＞0）的图象可以看作把y=sinx的图象上所有点的 坐标（当ω＞1）
或（当0＜ω＜1） 到原来的 倍（ 坐标不变）而得到的。
5。函数y=Asin(ωx+
?
)（A＞0，ω＞0）的图 象与y=sinx的图象之间的关系：
法1。把y=sinx的图象上所有点（当
?
＞0）向 或（当
?
＜0时）向 平移 个
单位长度就得到函数y＝sin(x+
?)的图象；再把y＝sin(x+
?
)的图象上所有点
的 坐标（当ω＞1） 或（当0＜ω＜1） 到原来的 倍（ 坐标
不变 ）而得到的y=sin(ωx+
?
)的图象；再把y=sin(ωx+
?
)的 图象上所有点
的 坐标（当A＞1） 或（当0＜A＜1） 到原来的 倍（ 坐标不
变）而得到的y=Asin(ωx+
?
)的图象。
法2。把y=sinx的图象上所有点的 坐标（当ω＞1） 或（当0＜ω＜1） 到
原来的 倍（ 坐标不变）而得到的y=sin(ωx)的图象；再把y=sin(ωx )的图象上
所有点（当
?
＞0）向 或（当
?
＜0时）向 平移 个单位长度就得到函数y＝
sin(ωx+
?
)的图象；再把y=sin(ωx+?
)的图象上所有点的 坐标
（当A＞1） 或（当0＜A＜1） 到原来的 倍（ 坐标不变）而得到的
y=Asin(ωx+
?
)的图象。
注意：法1与法2的区别
三、典型例题：
1。自学课本
P
44
-
P
48
例6-例9
2。补充例题：
用“五点法”作出函数y＝2sin(
而得到？






四、学生练习：
P
49
练习A 。1 、2 B。1、2、3
五、小结：
六、作业：
x
?
?
)的图象，并说明由函数 y=sinx的图象经过怎样的变换
23

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1．y＝sinx的图象向左平移
?
个单位，再向上平移2个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
4
??
A．
y?sin(x?)?2
B．
y?sin(x?)?2

44
??
C．
y?sin(x?)?2
D．
y?sin(x?)?2

44
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的
2．函数y＝3sin3x的图象可看成y＝3sinx的图象按下列哪种变换得到（ ）
11
倍 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
33
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
3．为得到函数y=sin(2x-
?
)的图象可以将函数y=cos2x的图象（ ）
6
?
?
A．右移个单位长度 B．右移个单位长度
63
?
?
C．左移个单位长度 D．左移个单位长度
63
4。（05′天津）要得到函数y＝
2cosx
的图象只需将函数 y＝
2sin(2x?
上所有点的（ ）
?
4
)
的图象
1
?
倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
2
8
1?
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）再向右平移个单位长度
2
4
?
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）再向左平行移动个单位长度
4
?
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）再向右平行移动个单位长度
8
?
5。把函数y=sin3x的图象向左平移个单位得到函数 的图象，再把所得函数的
4
A．横坐标缩短到原来的
图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍得到函数 的图象
6。用“五点法”作出函数y＝2sin(
换而得到？


1.3.1< br>x
?
?
)-2的图象，并说明由函数y=sinx的图象经过怎样的变
24
正弦函数y＝Asin（ωx+
?
）(二)
一、复习：
1 。函数y=Asin(ωx+
?
)（A＞0，ω＞0）的图象与y=sinx的图象之间的关系 ：
法1。把y=sinx的图象上所有点（当
?
＞0）向 或（当
?
＜0时）向 平移
单位长度就得到函数y＝sin(x+
?
)的图象；再把y＝sin(x+
?
)的图象上所有点
个
的 坐标（当ω＞1） 或（当0＜ω＜1） 到原来的 倍（ 坐标
不变 ）而得到的y=sin(ωx+
?
)的图象；再把y=sin(ωx+
?
)的 图象上所有点
的 坐标（当A＞1） 或（当0＜A＜1） 到原来的 倍（ 坐标不

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变）而得到的y=Asin(ωx+
?
)的图象。
法2。把y=sinx的图象上所有点的 坐标（当ω＞1） 或（当0＜ω＜1） 到
原来的 倍（ 坐标不变）而得到的y=sin(ωx)的图象；再把y=sin(ωx )的图象上
所有点（当
?
＞0）向 或（当
?
＜0时）向 平移 个单位长度就得到函数y＝
sin(ωx+
?
)的图象；再把y=sin(ωx +
?
)的图象上所有点的 坐标
（当A＞1） 或（当0＜A＜1） 到原来的 倍（ 坐标不变）而得到的
y=Asin(ωx+
?
)的图象。
2。已知 函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0
?
?0, 0?
?
?
?
)
的图象两个相邻的最值点为（
（
?< br>,2)
和
6
2
?
,?2)
，则A= ；
?
= ；
?
= ；这个函数的表达式为
3
二、自主学习：
P
48
例10
三、补充例题：
1。已知函数y＝Asin（
?
x?
?
）+C（A＞0，ω＞0，
?
?
为（2，2）最低点坐标为（8，-4）求A、ω、
?
、C




2. 已知函数f（x）＝Asin（
?
x?
?
）(A>0,
?
?0,
?
?
如图所示，
(1)求A、ω、
?

（2）求直线y＝
3
与函数f(x)图象所有交点的坐标。




四、学生练习：
P
49
练习A。3、4；B。4、5
五、小结：
六、作业：
1．已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
在一个周期内当x＝
得最小值-2那么（ ）
A．
y?
2
?
2
）在同一周期中最高点的坐标
?
2
,x?R
)在一个周期内的图象
y
1
0
1

3

-
2
2
2
-2
5

2
7

2
x
?
7
?
时，取得最大值2，当x＝时取
1212
1
?
sin(x?)

23
B．
y?2sin(2x?
?
3
)

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C．
y?2sin(2x?
?
6
)
D．
y?2sin(
x
?
?)

26
2。（0 4′湖北）设y＝f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数其中t
?
［0， 24］
下图是该港口某一天从0时到24时记录的时间t与水深y的关系：
t
y
0
12
3
15.1
6
12.1
9
9.1
12
11.9
15
14.9
18
11.9
21
8.9
24
12.1
经长期观察函 数y＝f(t)的图象可近似的看成函数y＝k+Asin（ωt+
?
）的图象，在下面的函数 中
最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．
y?12?3sin< br>C．
y?12?3sin
?
6
tt?
?
0,24?

tt?
?
0,24
?

B．
y?12?3sin(
?
6
t?
?
)t?
?
0,2 4
?

?
?
t?
?
0,24
?

?
?
12
D．
y?12?3sin
?
?
?
?
t?
2
?
12
3．将函数y＝f(x)·sinx(
x?R
)的图象向右平移
y＝1-2sin
2
x的图象则f(x)可 以是
4．已知函数f(x)＝sin（ωx+
?
）
点M（

?
个单位后，再作关于x轴对称变换得函数
4

(ω>0 ， 0≤
?
＜π)是R上的偶函数其图象关于
3
?
?
?
?
，0）对称且在区间
?
0,
?
上是单调函数求
?
和ω的值。
4
?
2
?



5．如图 所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(
?
x?
?
)+b
（A>0,
?
?0,0?
?
?
?
）
（1）求这段时间的最大温差
（2）写出这段曲线的函数解析式




6。已知函数y＝Asin（
?
x?
?
）（A＞0 ω＞0
?
?
y
温度（℃）
30
20
10
6
10
时间
14
x
?
2
）的图 象与y轴交于点（0，1），它在
y轴右侧的第一个最高点和最低点的坐标分别为（x
0
，2）、（x
0
+3π，-2）求f(x)的解析式。

§1.3.2余弦函数图象和性质

执笔人：张海春 秦玲玲 时间2008. 3. 17

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—、复习：1、sin(
?
+x)=
2
2. 正弦函数的图象及性质
3、用五点法作正弦函数的简图。

二、自主学习：自学51-52页 完成下面填空：
1、函数y＝cosx（x
?< br>R）的图象可以通过将y＝sinx（x
?
R）的图象向 平移 个单

位长度得到。
（1）余弦函数y＝cosx（x
?
R）的图象叫做 ，

请画出余弦函数y＝cosx（0≤x≤2π）的图象。






（2）在上述图象上有五个点起关键作用，这五个点是 、 、 、 、 。
2.余弦函数的性质：
（1）定义域：
（2）值域： ，当且仅当x＝ 时，余弦函数取得最大值，
当且仅当x＝ 时，取得最小值。
（3）周期性： 。
（4）奇偶性：y＝cosx是 ，它的图象关于 对称，它的对称中心是 ，
对称轴是 。
（5）单调性：余弦函数y＝cosx单调递增区间是 ，单调递减区
间是 。
3、一般地，函数y＝Acos（ωx+
?
）（x
?
R），其中A、ω、
?
为常数且A≠0，ω＞0的
周期为 。
三、典例解析





四、学生练习：53页A、B
五、小结
六、课后作业
1、函数y＝3cos（
1、自学课本 52，53页例1.例2.例3。
2、补充 ：求函数f(x)＝cos（
1
?
x?
）的单调区间，周期，对称中心，对称 轴。
34
2
?
x?
）的最小正周期为（ ）
56

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A、
2
?

5
B、
5
?

2
C、2π D、5π
2、将函数y＝cosx图象上每一点的纵坐标保持 不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象
沿x轴向左平移
?
个单位长度。则与所
4
得新图象对应的函数解析式为（ ）
A、y＝cos(2x+

??
) B、y＝cos( 2x－) C、y＝sin2x D、y＝－sin2x
44
3、已知函数y＝2cosx（0≤x≤2π）的图象和直线y＝ 2围成一个封闭的平面图形，那么这个封
闭图形的面积是（ ）
A、4 B、2π C、8 D、4π
4、已知－
m?1
??
≤x＜，cosx＝，则m取值范围为（ ）
m?1
63
B. 3＜m≤7+
43
C. m＞3 D. 3＜m＜7+
43
或m＜－1 A. m＜－1


5、函数f(x)＝4cos（2x－
?
）（x
?
R）有下列命题：





①y＝f（x+
5
6
4
?
）是偶函数
3
②要得到函数g(x)＝－4sin2x的图象，只须将f(x)的图象向右平移
③y＝f(x)的图象 关于x＝－
?
个单位
3
?
对称
12
511
?
］和［
?
,2
?
］
1212
④y＝f(x)在［0，2π］内的单调递增区间是［0，
其中真命题的序号是 。
2





6、（选作）求函数
y?sinx?2acosx
的最大值。
§1.3.2正切函数的图象与性质

执笔人：张海春 秦玲玲 时间：2008. 3. 18
一.复习
：
1、用单位圆中的三角函数线作正弦曲线.
2、余弦曲线的图象与性质.
二.自主学习
:
54、55页完成下面填空：

1、用单位圆中的三角函数线作正切曲线.
2、函数y＝tanx的定义域是 ，值域是 。



3、由tan(x+π)＝ 知y＝tanx为 ，最小正周期为 。
4、y＝Atan（ωx+
?
），A＞0，ω＞0的周期为 。

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5、由tan（－x）＝－tanx知y＝tanx为 。
6、正切函数y＝tanx在开区间 上单调递增。
三、典例解析
1、自学课本 56页 例4. 例5.
2。补充例题：
例2、已知正切函数 y＝Atan(ωx+
?
)（A＞0，ω＞0，
?
?
点的坐标为（< br>?
2
）的图象与x轴相交的两相邻
5
?
，0）和（
?
,0
），且过（0，－3），则它的表达式为 。
6
6
??
例3、已知函数f(x)＝x
2
+2xtanθ－1，x
?
［ －1，
3
］，其中θ
?
（－
,
）。
22
?
①当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值。
6
②求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间［－1，
3
］上是单调函数。




四、学生练习
：56、57 页A、B
五、小结：
六、课后作业：
1、函数y＝2tan（
3x?
A.

?
?

6

4
?
B.
3
）的最小正周期是（ ）
C.
?

2
D.
2
?

3
2、若tanx≤0，则（ ）
A.
2k
?
?
C.
k
?
?
?
2
＜x＜2kπ，k
?< br>Z

B.
2k
?
?
?
2
≤x ＜（2k+1）π，k
?
Z
?
2
＜x≤kπ，k
?
Z D.
k
?
?
?
2
≤x≤kπ，k
?
Z
3、函数
y?tan(
A.
?
xx?
?
4
?x)
的定义域是（ ）


?
??
,x?R
?

4
??
???
C.
?
xx?k
?
?,k?Z,x?R
?

4
??

A.奇函数

?
??
,x?R
?

4
??
3
? ?
D.
?
xx?k
?
?
?
,k?Z,x?R
?

4
??
B.
?
xx??
D.既不是奇函数也不是偶函数
4、函数f(x)＝lg(tanx+
1?tan
2
x
)为（ ）
B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数
5、下列各式正确的是（ ）

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13171317
?
)＜tan(－
?
) (－
?
)＞tan(－
?
)
4545
1317
(－
?
)＝tan(－
?
) D.大小关系不确定
45
1
6、函数
y?
的定义域是 。
1?tanx
(－
7、给出下列命题：
①函数y＝tanx在定义域内是增函数 ②函数y＝sin
x
不是周期函数；
③函数
y?cos2x?
1
5
?
?
的周期是； ④y＝sin（
?x
）是偶函数。
2
2
2
其中正确的命题的序号是 。
8、求函数y＝tan(2x－
?
)的定义域、周期和单调区间
3
1.3.3 已知三角函数值求角
执笔人：葛红 秦玲玲 时间：
一、复习：1、诱导公式：
2k
?
?
?
(k?z),
?
?
?
,
?
?
?
,2
?
??

2、求下列三角函数值




sin
?
6
?
，
sin
?
4
?
，
sin
?
3
?

cos
tan
?
6
= ，
cos
= ，
cos
=
43
?

?
?
?
6
，
tan
?
4
?
，
tan
?
3
?

二、自主学习 课本P
57
—P
59
，回答下面的问题：
1、一般地，对于正弦函数
y?sinx
，如果已知函数值
y(y?[?1,1])< br>，那么在
[?
一的
x
值和它对应，
记为 （ ）即 （ ）表示
[?
上正弦等于y的那个角。
2、一般地，对于余弦函数
y?co sx
，在区间
[0,
?
]
内取值，那么对区间
[?1,1]
上的任意一
??
,]
上有唯
22
??
,]
22
个值
y,x
只有唯一值与之对应，在区间
[0,
?
]< br>
上符合条件
cosx?y(?1?y?1)
的角
x
，记为 。
3、一般地，如果
tanx?y(y?R)
，且
x?(?
??
,)
，那么对每一个正切值y，在开区间
(?,)
2222
??内，有且只有一个角
x
，使
tanx?y
，
符合上述条件的角
x
，记为 （ ）

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三、典型例题
1、已知正弦值，求角： 自学P
58
，例1









（2）已知
tanx?
（2）已知
sinx??
变式： （1）已知
sinx?
1
??
，且
x?[?,]
，求
x
的集合。
322
1
，且
x?[0,2
?
]< br>，求
x
的集合。
4
2、已知余弦值和正切值，求角：P
59
—
60
，例2、例3
变式：（1）已知
cosx??
1
，且
x?R
，求
x
的集合；
3
??
1
，且
x?(k
?
?,k
?
?)k?z
，求
x
的集合。
2
22


3、思考：已知三角函数值，求角的步骤。


四、学生练习：60、61A、B
五、小结
六、作业


1、已知
sinx??
，且
x?(?
?
,?
A、
arcsin

1
3
?
2
)
，则
x
可以表示为（ ）


1
3





C、
?
?
?arcsin(?)









1
3
1
?arcsin(?)

23
1
D、
?
?
?arcsin(?)

3
B、
?
?

2、已知
cos
?
??,
?
?[0,
?
]
，则
?
可表示为（ ）
A、
arccos

1
3
1
3
B、
?
?arccos

1
3
C、
?
?arccos

1
3
D、
?
?arccos(?)

1
3
3、设A是三角形的一个内角，当
tanA?
A、60° B、120°
3
时，A等于（ ）
3
C、30° D、150°
4、
arcsin(?)
的值是（ ）
A、
1
2
11
?

6
B、
?

7
6
C、
?

5
6
D、
?
?

6
5、若
?
?(0,2
?),tan
?
??1,cos
?
?
6、求下列各式的值
2
，则
?
= 。
2

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（1）
arccos(?
3
)

2
（2）
arctan(?1)
（3）
arcsin(?
2
)

2
7、求下列各式中的
x

（1）
sinx?
3
?
(
<
x
<
?
）
52
（2）
sinx??
13
(
?
<
x
<
?< br>)

42
8、（选做）已知
tan
?
??2
，若分别满足：（1）
?
?(?
??
（2）
?
?[0,2< br>?
]
，求各个角
?
。
,)
；
22
三角函数练习（一）
一、选择题
1、要得到 函数
y?sin(2x?
?
3
)
的图象，只需将
y?sin 2x
的图象（ ）






?

3
?
C、向左平移
6
A、向左平移
2、函数
y?sin(x?




?

3
?
D、向右平移
6
B、向右平移
?
2
)
的图象对称性是（ ）






B、关于y轴对称
D、关于直线
y??
A、关于x轴对称
C、关于原点对称
?
2
对称
3、函数
y??sinx
的单调递减区间是（ ）
A、
[2k
?
,2k
?
?
?
](k?Z)

C、
[2k
?
?
4、函数
y?
A、[-3，3]
B、
[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)

?
2
,2k
?
?
9?x
2
?

3
?
??
](k?Z)
D、
[2k
?
?,2k
?
?](k?Z)

222
1
的定义域为（ ）
C、
[?3,0)?(0,3]
D、[0，3]
sinx
B、
(0,3]

5、函数
y?sin(2x?< br>?
3
)
的图象可由函数
y?sin(x?
?
3
)
的图象经过怎样的变换而得到（ ）
1
倍 B、横坐标扩大到原来的2倍
2
1
?
C、横坐标压缩到原来的倍后，再向右平行移动个单位
2
3
?
D、向右平移个单位
6
6、若函数
f (x)?sin(
?
x?
?
)
的图象（部分）如图所示，则
?
和
?
的取值是（ ）
A、横坐标压缩到原来的
A、
?
?1,
?
?
?
3

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B、
?
?1,
?
??
C、
?
?
?
3

1
?
,
?
?

26
1
?
D、
?
?,
?
??

26

7、函数
y?3cos(2x?
A、
2k
?
?
C、
k
?
?
?
3
)?1
取得最大值时，x的值应为 （ ）






B、
k
?
?

?
3
,k?Z

?
6
,k?Z

?
3
,k?Z
D、
k
?
?
?
6
,k?Z

8、函数
y?sin(
A、
x?
5
?
?2x)
的图象的一条对称轴方程是（ ）
2
B、
x??
5
?

4
?
4
C、
x??
?
8
D、
x??
?
2

9、定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是 周期函数。若f(x)的最小正周期是
?
，且当
x?[0,
时，
f( x)?sinx,则f(
A、
?
?
2
]

1

2

5
?
)
的值为（ ）
3
3
1
B、 C、
?

2
2
D、
3

2
10、有下列四种变换方式：
11
??
，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移
22
48
1
?
③横坐标变为原来的，再向左平移；
2
4
1
?
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
2< br>8
?
其中能将正弦曲线
y?sinx
的图象变为
y?sin( 2x?)
的图象是（ ）
4
①向左平移
A、①和②
二、填空题
B、①和③ C、②和③ D、②和④
11、函数
y?cos(3x?
?
)
的图象关于原点成中心对称图形，则
?
= .
12、函数
y?2sin(
?
?x)?cos(?x)(x?R)
的最小值等于 。
36
?
13、已知函数y=f(x)， 将f(x)图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然
后把所得的图象沿着x轴向 左平移
这样得到的图象与
y?
?
个单位，
2
1
sinx
的图象相同，那么已知函数f(x)的解析式是 。
2
14、已知扇形的周长是6cm，面积是2cm
2
，则扇形的圆心角< br>?
的弧度数是 。

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15、在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴
截面顶角为120?，若要光源恰好照亮整个广场，
则其高应为 m.（精确到0.1m）

三、解答题
16、已知函数
f(x)?2sin(










17、函数
f(x)?
k?
23
x?)
，如果f(x)的周期在区间
(,)
内，求正整数 k的值。
3434
3sin(2x?
?
)
对任意x都有
f (
?
3
?x)?f(
?
3
?x)
。
（1）求
f()
的值；
（2）求
?
的最小正值。










18、如图所示，它表示电流
I?Asin(
?
t?
?
)< br>在一个周期内的图象。
（1）试根据图象写出
I?Asin(
?
t?
?
)
的解析式；
（2）在任意一段







19、方程
2sinx?(2a?3)sinx? (4a?2)?0
有实根，求实数a的取值范围。







2
?
3
3
秒的时间内，电流I既能 取得最大|A|，又能取得最小值-|A|吗？
100

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20、（1）已知周期函数f(x)为奇函数，且它的一个周期为3, f(0.4)=-1，求f(11.6)的值；
（2）若
f(x)??sinx?acosx
的最小值为-6，求a的值。


2
三角函数练习（二）
一、选择题
1、在△ABC中，①sin(A?B)?sinC;
②
cos(B?C)?cosA;
③
ta n
A?BC
tan
；④
22
sin
B?CA
tan
，其中恒为定值的是（ ）
22
A、①②
2
B、②③ C、②④ D、③④
2、函数
y?log
1
sin(2x?
A、
(k
?
?
?
4
)
的单调减区间为（ ）
B、
(k
?
?)(k?Z)

488
3
???
3
?
C、
(k
?
?,k
?
?](k?Z)
D、
(k
?
?,k
?
?](k?Z)

8888< br>2sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
35
3、设角
?
??
?
,
则的值等于（ ）
22
1?sin
?
?sin(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
6
A、
?
,k
?
)(k?Z)

?
,k
?
?
?
3

3
B、
?
3

3
C、
3
D、
?3

4、已知函数
f(x)?sin(x?
A、将函数
y?
B、将函数
y?
C、将函数
y?
D、将函数
y?
),g(x)?cos(x?)
，则下列结论中正确的是（ ）
22
?
f(x)
的图象向上平移个单位后得到g(x)的图象
2
?
f(x)
的图象向下平移个单位后得到g(x)的图象
2
?
f(x)
的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
2
?
f(x)
的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
2??
5、下列函数中，最小正周期为
?
，且图象关于直线
x?
A、
y?sin(2x?
C、
y?sin(2x?
2
?
3
对称的是（ ）
?
3
)






B、
y?sin(2x?
D、
y?sin(
?
6
)

?
6
6、函数
y?cosx?sinx
的值域是（ ）

A、[-1，1] B、
(??,
)

x
?
?)

23
5
]

4
C、[0，2] D、
[?1,
5
]

4

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7、已知
y?cosx(0 ?x?2
?
)
的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是
（ ）
A、4π B、2π C、8 D、4
8、
?
是正实数，函数
f(x)?2sin
?
x
在
[?
A、
0?
?
?
?
3
,
?
4
]
上递增，那么（ ）
3
B、
0?
?
?2

2
12
C、
0?
?
?
D、
?
?2

7
9、若方程
|cosx|?ax?1
恰有两个解，则实数a的取值集合为（ ）
222222
A、
(?,?)?(,)
B、
(?,0)?(0,)

?
3
?
3
??
??
2222
C、
[?,
D、
{?,}

]

????
10、定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是
?
，且当
x?[0,
时，
f(x)?sinx,
则
f(< br>?
2
]
5
?
)
的值为（ ）
3
33
11
A、
?
B、 C、
?
D、
22
22
1
11、已知
sin< br>?
?cos
?
??
，则
sin
?
cos?
=（ ）
5
12124?3
A、
?
B、 C、 D、
25252525
nn
12、若
sinx?cosx?1
，则
sinx?cosx(n?N)
的值 为（ ）
B、-1 C、1或-1 D、不能确定
所得线段长为
A、1
二、填空题
13、函数
f(x)?t an
?
x(
?
?0)
的图象的相邻两支截直线
y?
?
8
?
?
，则
f()
的
8
8
值是 。
14、若函数f(x)是偶函数，且当x<0时，有
f(x)?cos3x?sin2x< br>，则当x>0时，f(x)的表达式
为 。
15、已知
f(n)?cos
16、给出下列命题：
①存在实数x，使2sin(x?
n
?
(n?N
?
)
，则
f(1 )?f(2)?f(3)?...f(100)
= .
4
?
4
)?
?
3
；
②若
?,
?
是锐角△ABC的内角，则
sin
?
?cos
?< br>；
7
?
)
是偶函数；
2
?
?
④ 函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到
y?sin(2x?)
的图象。
4
4
③函数
y?sin(x?
2
3
三、解答题：
17、
tan??
1
求下列各值
4

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4sin
?
?cos
?

5cos
?
?3sin
?
1
（3）
1?sin
?
cos
?
（1）










18、若









19、已知函数
f(x)?









（2）
2sin
?
?
23
sin
?
cos
?
?5cos
2
?

2
1?cosx1?cosx2
???
，求角x的取值范围。
1? cosx1?cosxtanx
3sin(2x?
?
4
)?1
试求： 自变量x取何值时f(x)取最值。
20、已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)(x?R,A,
?
?0,?
?
2
??
?
?
2
)
图象上的一个最高点为
P(2,



2)
，由这个最高点到相邻最低点的曲线
与x轴相交于Q（6，0）。求函数f(x)的解析式及
f(x)?1
的解集。
必修4 第二章 平面向量
§2.1.1 向量的概念

李萍
一、自主学习课本P
77~79
，回答下列问题。
1、高中阶段，我们暂且把具有 的量称为向量，如无特别说明，以后我们说到向量，

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都指 。



。
，则称这
叫向量2、具有方向的线段叫 ， 表示向量的方向，
的长度，也称模。
3、 的有向线段表示同一向量或相等向量，记作
4、通过有向线段
AB
的直线，叫做向量
AB
的
些向量共线或平行，向量
a
平行于
b
，记作




，如果向量的基线
。
5、有下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 其
中不是向量的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、下列命题中，正确的是（ ）
A．
a?b?a?b

C．
a?b?a
∥
b







B．
a?b?a?b

D．
?
?
a?0?a?0

D
F
C
7、如图，在 ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，
图中的7个向量中，设< br>AE?a
，
DA?b
，则与
a
相等的
向量有 ，与
b
相等的向量有

，
。 与
a
平行的向量有 ，与
b
共线的向量有
二、典型例题
A
E
B
例1．O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出与
OA
、
OB
、
OC
相等的向量







F
A
B
C
E
D
例2．设平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
求证
EF?HG
。





三、课堂练习：P
79
A、B。
四、小结：
五、作业：
1、给出下列四个命题

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①力、位移、速度、加速度都是向量 ②所有的单位向量都相等 ③共线的向量一定在同一条
直线上 ④模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2、下列结论中，正确的是（ ） < br>A．向量
AB
与
CD
共线和
AB
∥
CD同义 B．零向量只有大小，没有方向
C．若
a?b
则
a?b
或
a??b
D．若两个向量共线，则这两个向量在同一条直线上
3、设P、Q是线段AB的两个三等分点，以A、 P、Q、B四个点中的两个点为起点和终点，则
不同的有向线段最多可得（ ）
A．3条 B．6条 C．9条 D．12条
4、点O是平面上一定点，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西
30°，3cm”处，则点Q相对于点P的位置向量是（ ）
A．“南偏西60°，6cm” B．“南偏西30°，3cm”
C．“西偏南60°，6cm” D．“西偏南30°，3cm”
5、设O为△AB C的外心，则
AO
，
BO
，
CO
是（ ）
A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量
6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是 。
7、在 四边形ABCD中，
AB?DC
，且
AB?AD
，则四边形ABCD的形状是 。
8、若A地位于B地东5km处，C地位于A地北5km处，则C地对于B地的位移是 。

§2 .1.2向量的加法
李萍
一、自主学习课本P
80~83
，回答下列问题。
1．已知向量a，b，在 平面上任取一点A，作
AB?a
，
BC?b
，再作向量
AC
，则向量
AC
叫
做a与b的 ，记作

，即a+b=
AB?BC?

。
.
上述求两个向量和的作图法则，叫做
2．已知两个不共线向量a，b，作
AB?a
,
AD?b
，则A，B，D三点不共线，以
AB
，
AD为
邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量
AC?
.这就是向量求和的 。
3．已知向量a，b，c，d在平面上任选一点O，作
OA?a
，
AB? b
，
BC?c
，
CD?d
，则
OD?OA?AB?BC?CD?a?b?c?d
。
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点
为终点的向量叫做


。这个法则叫做向量求和的














。
4．向量加法的性质： ①交换律
②结合律

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③
a?o
＝
5．下列命题

（1）如果非零向量
a
与
b
的方向相同或相反，那么
a? b
的方向必与
a
、
b
之一的方向相同；
（2）△ABC中，必有
AB?BC?CA?O

（3）若
AB?BC?CA?O
，则A、B、C为一个三角形的三个顶点
（ 4）若
a
，
b
均为非零向量，则
a?b
与
a?b< br>一定相等其中真命题的个数是（
A．0 B．1 C．2 D．3
）
6．如图，D、E、F分别是△ABC边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A．
FD?DA?FA

C．
DF?DE?EB







B．
FD?DE?FE?O

D．
DA?DE?FD

）
D．（3,13）
7．已知
AB
＝8，
AC
＝5，则
BC
的取值范围是（
A．［3,8］ B．（3,8） C．［3,13］
二、典型例题
例1．某人先位移
a
：“向东走3km ”，接着再位移向量
b
：“向北走3km”，求
a?b
。






例2．已知A、B、C是不共线的三点，G是△ ABC内一点，若
GA?GB?GC?O
，
求证：G是△ABC的重心。





三、课后练习P
83
A、B。
四、小结：
五、作业：
1．
AB?CA?BD
＝（ ）
D．
BA
A．
AB
B．
BC
C．
CD

2．已知ABCD是菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A．
AB?BC?CA
B．
AB?AC?BC
C．
AC?BA?AD
D．
AC?AD?DC

3．已知正方形ABCD的边长为1，则
AB?BC?AD?DC
为（ ）
A．1 B．
2
C．3 D．
22

4．若 O是正方形ABCD的中心，已知
AB?a
，
BC?b
，
OD?c< br>，则a－b+c表示的
向量是（ ）
A．
OD
B．
OB
C．
OA
D．
OC

5 ．已知
AB?a
，
BC?b
，
CA?c
，则“a+b+c= 0”是“A、B、C构成三角形”的（ ）

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A．充分不必要条件
C．充要条件






B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 6．一艘船从A点出发以
3
kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶的速度
大小为2kmh，则河水流速的大小为 。





A
B
。
D
C
7．平行四边形ABCD中，
AB?AD?CD
＝
AC?BA?DA
＝
8．矩形ABCD中，
AD?43
，设
AB?a
，
BC?b
，
BD?c
，则
a?b ?c
＝
§2.1.3 向量的减法
李萍


一、复习
：1、向量加法的法则
2、向量加法的性质
1．如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以
量，即
OA?OB
＝
2．与向量
a


，显然
a?(?a)
＝ 。
为起点， 的终点的向
二、自主学习P
84~85
回答下列问题。
，叫
a
的相反向量，记作
3．一个向量减去另一个向量等于加上 。
4．已知M是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
则
MA?MB?MC
＝（ ）
A．6
ME
B．－6
MF
C．
O
D．
MD

5．已知一个点O到 ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为
a
，
b
，
c
，则
OD
＝
6．化简
(AB?CD)?(AC?BD)
= 。
三、典型例题
例1．已知向量
a
，
b
满足
a＝1，
b
＝2，
a?b
＝2，求
a?b





例2．点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求 证
EA?FB?DC?O

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四、课后练习P
85
A、B。
五、小结：
六、作业：

1．若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列四式中正确的有（
①
AC?BD?BC?AD
②
AC?BD?DC?AB

③
AB?AC?DB?DC
④
AB?BC?AD?DC

A．1 B．2 C．3 D． 4

C
）
）个
2．如图四边形ABCD中，设
AB?a
，
AD?b
，
BC?c
，则
DC
＝（
A．
a?b?c

C．
b?(a?c)



B．
a?b?c

D．
b?a?c


A
D
B
3．已知非零向量
a
，
b
满 足关系式：
a?b?a?b
，那么向量
a
，
b
应满足的条件 是（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C．模相等
）
D．
O

D．互相垂直
4．化简
AB?AC?BD?CD?AD
等于（
A．
AD
B．
AC
C．
AB

5．平面上有三点A、B、C，设m＝
AB?BC
，n＝
AB?BC
，若m、n的长度恰好相等，
则有（ ）
A．A、B、C三点必在同一直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
D．△ABC必为等腰直角三角形 C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
6．在△ ABC中，∠C＝90°，
|AC|?5
，
|BC|?12
，设
a? CA
，
b?CB
，则
a?b
的
大小是 .
。
。
7．若
a
∥
b
且
a?b?|a?b|
，则
a
与
b
的关系为
8．若向量
AB
与
BC
共线反向，|
AB
|=2003，|
BC
|=200 4，则|
AB?BC
|=
2.1.4 数乘向量
李萍
一、复习


1、向量加法的运算法则有 、 。
2、向量加法满足的运算律有 、 。

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二、自主学习：自学课本P
86
—
87
，回答：






1、实数
?
与向量
a
的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下：
（1）
|
?
a|?
（2）
?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向 ；当
?
<0
时，
?
a
的方向与
a
的方向 ；
?
?0
时， 。
2、实数与向量的积的运算律
（1）
?
(
?
a)?

（2）
(
?
?
?
)a?

（3）
?
(a?b)?

3、向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，通常叫做向量的 。
三、典型例题
自学课本P
88
例1—例3，完成练习P
89
，练习A、B
补充例四：如图：
OA
、
OB
不共线，
AP?tAB(t?R)
，用
OA
、OB
表示
OP
。









四、小结：

五、作业


1、已知
5(x?a)?3(b?x)
，则
x
等于（ ）
A、
a?
5
8
3
b

8
B、
a?
3
8
5
b

8
C、
?
53
a?b

88
C、
?
35
a?b

88
2、下列命 题：①若
?
a?0
，则
?
?0
或
a?0
②
?2a
的几何意义就是将向量
a
沿着
a
的相反方
向放大2倍 ③
2(a?b)?(a?a)?(b?b)
④向量
?
a
的方向与向量
a
的方向相同，其中正

确命题的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4


11
32
A、
2a?b

3、
[(2a?8b)?(4a?2b)]?
（ ）
B、
2b?a
C、
b?a
D、
a?b

4、在
?ABC
中，已知
BC?3BD
，则
AD
=（ ）

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1
3
1
C、
(AC?3AB)

4
1
3
1
D、
(AC?2AB)

4
3
5、若O为 ABCD的中心，
AB?2e
1
,B C?3e
2
，则
e
2
?e
1
等于（ ）
2
A、
BO
B、
AO
C、
CO
D、
DO

A、
(AC?2AB)
B、
(AB?2AC)

6、化简：（1）
2(a?b)?3(a?b)
（2）
3(a?2b)?2(a?3b)?2(a?b)

7、解关于
x
的方程。
（1）
2(a?b)?3(b?x)
（4）
1
(a?2x)?3(x?a)

2
8、在 ABCD 中，
AB?a,AD?b,AN?3NC,M
为BC的中点，试用
a,b
表示
MN




2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
李萍
一、复习
1、向量的运算有 、 、 。
2、向量共线：如果向量的基线互相 或 ，则称这些向量
或 。
二、自主学习：自学课本P
90
—P
92
，完成下面的填空： 1、平行向量基本定理：如果
a?
?
b
，则
ab
；反之 ，如果
ab(b?0)
，则一定存在一个实数
?
，使 。


已知两个向量，我们可以应用平行向量定理来确定它们是否共线，我们可以应 用定理来证明几
何中的三点共线问题和向量平行问题。
零向量方向 ，一般规定零向量 与任何一个向量 。
2、
a
的单位向量：给定一个非零向量，与
a
且 ，叫做向量
a
的单位向量。
3、轴上向量的坐标：
已知轴
l，单位向量
e
与
l
同方向，对轴
l
上任意向量
a
，一定 ，使
a?xe
，这

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里的向量
e
叫做轴
l
的 ，
x
叫做
a
在
l
上的 。
4、轴上两个向量相等的条件是 ；轴上两个向量和的坐标等于 。
设
a?x
1
e,b?x
2
e
，则
a? b?(x
1
?x
2
)e
。
5、轴上向量的坐标等于向量 的坐标减去 的坐标，即
AB?x
2
?x
1
。
6、数轴上两点间的距离公式： 。
三、典型例题：自学课本P
90
—P
91
例1—例3，完成练习A、B
补充例4、已知非零向量
e
1
和
e
2
不共线，向量
AB?xe
1
?3e
2
，向量AD?12e
1
?xe
2
，若向
量
AB
与AD
共线，试确定实数
x
的值。




四、小结：
五、作业


1、设
a,b
是两个非零向量，下列结论中不正确的是（ ）
A、若
3a?4b
，则
a
与
b
同向
B、若< br>2a?3b?2x?3y
，则
a?x
，
b?y




C、若
a
与
b
不共线，且
ma? nb
，则
m?n?0

D、若
x?ma,y?nb
，则
xy

2、给出下列命题：①若?
a?
?
b(
?
?0)
；则
a?b
②若
a
0
为单位向量，
a
与
a
0
平行，
则
a?|a|a
0
③设
a?
?
1
e1
?
?
2
e
2
(
?
1
,?
2
?R)
则当
e
1
与
e
2
共线时，
a
与
e
1
也共线，


其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OP?OA?
?
(


A、外心
AB
|AB|
?
AC
|AC|

),
?
?[0,??)
，则P的轨迹一定通过
?ABC
的（ ）
C、重心 D、垂心 B、内心
4、设
e
1
,e
2
是两个不共线的向量，则向量
a?2e
1
?e
2
，与向 量
b?e
1
?
?
e
2
(
?
?R)
共线，
则
?
= 。
5、已 知向量
a
和
b
不共线，实数
x,y
满足向量等式
( 2x?y)a?4b?5a?(x?2y)b
，
则
x?y
的值等于 。

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6、已知存在实数
?
,
?
且
?
?
?
?1
，使
OC?
?< br>OA?
?
OB
，求证：
OA,OB,OC
的终点
A、B、C共线。

§2.2向量的分解与向量的坐标运算

第一课时 平面向量基本定理
执笔人：郑才红 时间
2008. 4. 1

一、自主学习
1、平面向量基本定理
（1）定理：如果
e
1
和e
2
是一个平面内的两个 的向量，那么该平面内的
??
a
，存在唯一的 a
1
, a
2
，使
a
= .
（2）基底与向量的分解
把 向量
e
1< br>,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为
{e
1
,e
2
}
。
?
a
1
e
1
?a2
e
2
叫做向量
a
关于基底
{e
1
, e
2
}
的分解式。
2、直线的向量参数方程式
（1）向量的参数方程
已知A，B是直线l上的任意两点，O是l外一点（如上图所示），则对直线l上 一
点P，一定存在惟一的一个实数t与之对应，向量等式
OP
= ，反之，
对每一个数值，在直线l上都有 的一个点P与对之对应，向量等于
OP
=
+ 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称 。
（2）线段中点的向量表达式
在向量等式
OP?(1?t)OA?tOB
中，若t= ，则点P是AB的中点，且
OP
= 。
这是线段AB的中点的向量表达式。
二、典例解析
例：如图， ABCD中，M、N分别是边DC、BC的中点。
1
∥
（1）求证：MN

BD
；
2
?
??
?
（2）设
AB?a,AD?b且MN?xa?yb
，求x, y的值。








三、小结
四、课后作业
1、下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底；
②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

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③零向量不可以作为基底中的向量。
其中正确的是（ ）
A、①② B、②③ C、①③ D、①②③
?
?
?
??
?
?
??
2、已 知
c?ma?nb
，要使
a,b,c
的终点在一条直线上（设
a,b ,c
有公共起点），
?
m,n(m,n?R)
需满足的条件是（ ）
A、
m?n??1

C、
m?n?1







B、
m?n?0

D、
m?n?1

3、
OA,OB,OC
的终点A，B，C 在一条直线上，且
AC??3CB,
设
OA?p,OB?q
，
??< br>?
OC?r
，则以下等式成立的是（ ）
1
?
3
?
p?q

22
?
3
?
1
?
C、
r?p?q

22
A、
r??
?
B、
r??p?2q

D、
r??q?2p

???
???
2
?
?
?
?
?
?
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b )
，则共线的三点是（ ） 4、设
AB?
2
A、A，B，C B、B，C，D C、A，B，D D、A，C，D
?
1
?
??
a
5、在△ABC中，
AE?AB,EFBC
交AC于F点，设
AB?a,AC?b
，用
,b
表示向
5
量
BF
为 。
6、设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使
BM?
111
BC,C N?CA,AP?AB
，若
333
?
?
?
?
AB? a,AC?b
，试用
a,b
将
MN,NP,PM
表示出来。






§2.2向量的分解与向量的坐标运算

第二课时 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
执笔人：郑才红 时间
2008. 4. 2

一、自主学习
1、（1）如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。即向量垂直就是它们
所在的直线互相垂直。
（2）如果平面向量基底的两个基向量互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下
分解向量，叫做 。

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?
?
a
，存在唯一的有序实数对（a
1
, a
2< br>），使得
a?a
1
e
1
?a
2
e
2
， 就是向量
a
在基底
?
??< br>{e
1
,e
2
}
下的坐标，即
a?(a
1< br>,a
2
)
，其中a
1
叫做向量
a
在x轴上的 坐标分量，a
2
叫做向量
a
在y
轴上的坐标分量。
（3）在直解坐标系内，分别取与x轴和y轴方向 的单位向量
e1
,e
2
，对任一向量
（4）向量的坐标：设点A(x, y), 则
OA?
，符号（x, y）在直角坐标系中有双重意
义，它 既可以表示一个点，又可以表示一个向量，因此要加以区分，在叙述中，就要反映明点（x, y）
或向量(x, y).
?
?
2、（1）设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)

?
?
则
a?b
= ，即两个向量的和（差）
的坐标，等于这两个向量的相应坐标的和（差）；
向量的相应坐标的积。
?
?
若
?
?R
，则
?
a
= ，即数乘向量的积的坐标等于这个实数与
（2）若A（x
1
, y
1
）, B(x
2
, y
2
), 则
AB?OB ?OA?(x
2
,y
2
)?(x
1
,y
1
)
=
，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始
点坐标。
二、典例解析
例1、已知M（2，7）和A（6，3），若点P在直线MA上，且
MP?










例2、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及
OP?OA?tAB
，
（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。








1
PA
，求点P的坐标。
3
三、小结
四、课后作业 < br>??
????
1、已知向量
a?(1,2),b?(2,3),c?(3,4)
，且
c?
?
1
a?
?
2
b
，则< br>?
1
,
?
2
的值分别为（ ）
A、-2，1 B、1，-2 C、2，-1 D、-1，2

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?
线段首尾相接能构成四边形，则向量
d
为（ ）
A、（2，6） B、（-2，6）
2、设向量
a?(1,?3),b? (?2,4),c?(?1,?2)
。若表示向量
4a,4b?2c,2(a?c),d
的有向
C、（2，-6） D、（-2，-6）
?
?
??
?< br>???
?
3、若M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点 ，则
MA?MB?MC
等于（ ）
?
A、
6ME
B、
?6MF
C、
0
D、
6MD

?
??
4、已知向量集合
M?(a|a?(1 ,2)?
?
(3,4),
?
?R),

?
??

N?{a|a?(?2,?2)?
?
(4,5 ),
?
?R
，则
M?N
等于（ ）
A、{（1，2）} B、
{(1,2),(?2,?2)}

C、
{(?2,?2)}
D、
?

1
??
5、已知
A(2,3),B(1,4),且AB?(sin
?
,cos
?),
?
,
?
?(?,)
，则
?
?
?< br>=
222
.
22
6、已知 圆
C:(x?3)?(y?3)?4
及点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段< br>MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程。









§2.2向量的分解与向量的坐标运算

第三课时 用平面向量坐标表示向量共线条件
执笔人：郑才红 时间
2008. 4. 3

一、自主学习
两向量平行的条件
?
?
?
?
1、设
a?(a1
,a
2
),b?(b
1
,b
2
)
， 则
ab?
.
?
?
?
a?(a,a),b?(b,b)
b
2、设不平行于坐标轴，即
b
1
?0,b
2
?0
，则
1212
，如果向量?
?
ab?
。
3、用语言可以表述为： 。
4、两个向量平行的条件是 。
二、典例解析

如果向量
AB?e
1
?2e
2,BC?2e
1
?me
2
，其中
e
1
,e2
分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，
试确定实数m的值，使A、B、C三点共线。

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三、小结

四、课后作业
1、已知A、B、C三点 共线，且
A(3,?6),B(?5,2)
，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标
为 （ ）
A、-13 B、9 C、-9 D、13
?
?
?
?
2、已知向量
a?(3,4),b?(sin
?
,c os
?
)
，且
ab
，则
tan
?
的值为（ ）
4

3
?
1
?
?
?
?
?
3、已知向量
a?(8,x),b?(x,1)
，其中x>0，若
(a? 2b)(2a?b)
，则x值的为（ ）
2
A、 B、
?
C、 D、
?
A、4 B、8 C、0 D、2
4、已知向量
OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)
，且A 、B、C三点共线，则k=
。
5、在直角坐标系xOy中， 已知点A（0，1）和点B（-3，4），若点C在∠AOB的平分线上，
且
|OC|?2，则
OC?
。
3

4
3

4
4

3
11
?
的值等于 。
ab
11< br>7、已知点A（1，1），B（-1，5）及
AC?AB,AD?2AB,AE??AB
，求点C、D、E
22
6、若三点A（2，2），B（a, 0），C（0, b）（
ab?0
）共线，则
的坐标，并用共线向量的坐标形式判断向量
AB,AC,AD,A E
是否共线。


§2.3 平面向量的数量积及运算律（一）
主备人：李萍 葛红 时间：

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一、自主学习 课本P
107
—
108
，回答下列问题
1、已知两个非零向量a
、
b
，作
OA?a,OB?b
，则 称作向量
a
和
b
的夹角，
记作 ，并规定它的范围是 。当 时，我们说向
量
a
和向量
b
互相垂直，记作 ，规定零向量与任一向量垂直。


2、向量在轴上的正射影
a
在轴
l
上的正射影的坐标记作 ，向量
a
的方向与轴
l
的 所成
的角为
?
，则
a
l
?|a|cos
?
。








3、向量的数量积（内积）定义 < br>（1）
|a||b|cos
<
a
、
b
>叫做向量a
和向量
b
的数量积（或内积），记作
a
·
b
，即 。
（2）两个向量
a
与
b
的内积是一个 ，可以等于 。
4、两个向量的数量积有如下重要性质
（1）如果
e
是单位向量，则
a?e?e?a?
。
（2）
a?b?
，且
a?b?0?

（3）
a?a?
或
|a|?

（4）
cos
<
a,b
>= （5）
|a?b|?

二、典型例题：课本P
108
—
109
例1、例2
例3、三角形ABC的三边长均为2，且
BC?a,CA?b,AB?c
，求
a?b?b?c?c?a

三、课堂练习：P
109
练习A、B
四、课堂小结：
五、作业：
1、有四个式子：①
0?a?0
； ②
0?a?0
；③
0?AB?BA
；④
|a?b|?|a|?|b|
，其中正确命题
的个数为（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个






2、已知
|a|?8,e
为单位向量，当它们的夹角为
A、
43
B、4
?
时，
a
在
e
的方向上射影的数量（ ）
3
D、
8?
C、
42

3

2
3、已知
|p|?8,|q|?4,p
和
q
的夹角为6 0°，则
p?q?
（ ）
A、32 B、16 C、16
3
D、8
3

4、设
e
1
,e
2
是两个单位向量，它们的夹角60°，则
(2e
1
?e
2
)?(?3e
1
?2e
2
)
等于（ ）
A、-8 B、
9

2
C、-
9

2
D、8

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5、在
?ABC
中，
BA?a,BC?b
且
a?b
<0，则
?ABC
是（ ）三角形
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、等腰直角
6、已知
a?b ??122,|a|?4,a
和
b
夹角为135°，则
|b|?

7、向量
m
和
n
满足
|m|?1,|n|?2
，且
m?(m?n)
，则
m
与
n
夹角大小为
8、已知
|a|?6,|b|?8
，且
ab
，则
a?b=
9、已知
|a|?3,|b| ?2,a
与
b
的夹角为60°，
c?3a?5b,d?ma?3b
。
（1）当m为何值时，
c
与
d
垂直？ （2）m为何值时，
c
与
d
共线？

§2.3 平面向量的数量积及运算律（二）
主备人：李萍 葛红 时间：
一、复习


1、如何判断
a?b
？
2、
|a|?
；cos<
a,b
>=
二、自主学习：阅读课本P
110
，填空
向量数量积的运算律：（1） ；（2） ；
（3） 。
三、典型例题：课本P
111
，例1、例2
例3、已知
a, b
都是非零向量，且
a?3b
与
7a?5b
垂直，
a?4b
与
7a?2b
垂直，求
a
与
b
的
夹角。












例4、已知AC为⊙O一条直径，
?ABC
为圆周角，用向量法 证明：
?ABC?90
。
?

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四、课堂练习：课本P
111
，练习A、B
五、小结
六、作业











1、
|a|?3,|b|?5
，且
a?
?
b与
a?
?
b
垂直，则
?
?
（ ）
33
B、
?

55
2、若
a?b?a?c
，则有（ ）
A、
b?c
B、
a,b
共线
A、
A、
7
B、
10

C、
?
4

5
D、
?
9

25
C、
a,c
共线
C、
13

D、不确定
3 、已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
|a?3b|?
（ ）
D、4
4、已知
a,b
是非零向量且满足
(a?2b)? a,(b?2a)?b
，则
a
与
b
的夹角是（ ）
A、
?

6
B、
?

3
C、
?

2
3
D、
?

5
6
5、已知
|a|?6
，
|b|?4
，
a
与
b
的夹角为60°，则
(a?2b)?(a?3b)
=
6、已知
|a|?4
，
|b|?3
，
a
与
b
的夹角为60°，则
|a?b|?
，
|a?b|?

7、若
|a|?4,a?b?6
，则
b
在
a
方向上的正射影的数量为 。
?C?90,CA?CB
，8、在等腰直角
?ABC
中，D为BC的中点 ，E是AB上的一点，且AE=2EB，
求证：
AD?CE















10、非零向量
(a?b)
与
(2a?b)
互相垂直，且
(a?2b)
与
(2a?b)
互相垂直，求向量
a与
b
夹
9、已知
|a|?3,|b|?4
，且
(a?2 b)?(2a?b)?4
，求
a
与
b
夹角
?
余弦值 的范围。
?
角的余弦值。

§2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

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主备人：李萍 葛红 时间：

一、自主学习：课本 P
112
—
113
填空
1 、两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积和，即若
a?(a
1
,a
2
),b?(b
1
,b
2
)
，则
a?b?

。
2、设
a?(a
1
,a< br>2
),b?(b
1
,b
2
)
，如果
a?b< br>，则 ；如果
a
1
b
1?a
2
b
2
=0，
则 ；对任意 实数k，向量
k(?b
2
,b
1
)
与向量
(b1
,b
2
)
垂直。


3、向量
a ?(a
1
,a
2
),b?(b
1
,b
2
)
，则
|a|?
，
cos
<
a,b
>= 。
4、若< br>A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y< br>1
)
，所以
|AB|?
。
二、典型例题：课本P
113
—
114
，例1—例4
例5、已知三个点A（2，1），B（3，2），D（-1，4）。
（1）求证：
AB?AD
；
（2）可使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角。





三、随堂练习：课本P114—115 练习A、B
四、小结：
五、作业



1、若
a?(3, 4),b?(5,12)
，则
a
与
b
夹角的余弦为（ ）
A、
63

65
B、
33

65
C、-
33

65
D、-
63

65
2、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为
A(1,2)B(4,1 )C(0,?1)
，则
?ABC
的形状
为（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
等腰直角三角形 D、以上均不正确





C、
3、设
a?(5,y),b?(?6,?4)
且
a?b??2
，则y=（ ）
A、-5 B、-7 C、5 D、7
4、若
a?(x,2),b?(?3,5)
，且
a与
b
的夹角是钝角，则实数
x
的取值范围（ ）
10101010
)
B、
(??,]
C、
(,??)
D、
[,??)

3333
5、若
a?(2,3),b?(?4,7)
，则
a
在
b
方向上射影的数量 为（ ）
A、
(??,

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A、
65

5
B、
65
C、
13

5
D、
13

6、已知O为原点，点A，B的坐标分别为
(a,0),(0,a )
，其中常数a>0，点P在线段AB上，且
AP?tAB(0?t?1)
，则
OA?OP
的最大值为（ ）

















10、设
a?(m?1,?3),b?(1,m?1)
，若(a?b)?(a?b)
，求m的值。
A、
a
B、2
a
C、3
a
D、
a
2

7、已知
a?(2,3),b?(?2,4)
，则
(a?b)?(a?b)?
。
8、已知向量
OA?(?1,2),OB?(3,m)
，若
OA?OB
，则m= 。
9、已知a?(?6,2),b?(?2,4)
，求
a?b,|a|,|b|
，<
a,b
>
11、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4， 1），C（0，-1），求
AB?AC
和
?ACB
的大小，并判断
? ABC
的形状。

§2.4向量在立体几何中的应用（一）


执笔人：郑才红 葛红 时间
—
、
自主学习例1—3填空：
（1）平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表
示出来。
（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
①建立平面几何与 向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将证明线段相等，转化
为证明向量的 相等，求线段的长，转化为求向量的 ；
证明线段、直线平行，转化为证明向量 ；
证明线段、直线垂直，转化为证明向量 ；
几何中与角相关的问题，转化为向量的 问题；
对于有关长方形 、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为
x轴和y轴建立 ，通过代数（坐标）运算解决 问题。

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二、典型例题
例1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB
2
-AC
2
=DB
2
-DC
2
。
求证：AD⊥BC。






例2、已知A、B、C是坐标平面上 的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）
（1）求
AB,AC
和
?ACB
的大小，并判断△ABC的形状；
（2）若M为BC边的中点，求
|AM|
。


三、作业
1、在 ABCD中，错误的式子是（ ）
A、
AD?AB?BD
B、
AD?AB?DB

C、
AB?BC?AC
D、
AD?AB?AC

2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（ ）
A、等边三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形
?
?
?
?
3、△ABC是等边三角形，设
AB?a,AC?b,
当
|a?t b|
取最小值时，t=（ ）
13
A、 B、1 C、2 D、
22
4、已知四边形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，3），C（3，3）， D（4，1），则四边形ABCD
为（ ）
A、直角梯形 B、等腰梯形 C、矩形 D、菱形
5、在平面上有A、B、C三点，设
m?AB?BC,n?AB?B C,
若
m
与
n
的长度恰好相等，
则有（ ）
A、A、B、C三点必在同一条直线上 B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C、△ABC必为直角三角形且∠B=90? D、△ABC必为等腰直角三角形
6、设向量
a?(1,?3),b?(?2,4),c?(?1,?2)
若表示向量
4a,4b?2c,2 (a?c),d
的有向线
??
??
v
v
v
?
?
???
?
?
段首尾相接能构成四边形，则向量
d
为（ ）
B、（-2，6） A、（2，6） C、（2，-6） D、（-2，-6） < br>7、已知点
A(3,1),B(0,0),C(3,0)
，设∠BAC的平分线AE与B C相交于E，那么有
BC?
?
CE,
其
?
等于（ ）
11
A、2 B、 C、-3 D、
?

23
22
8、如果直线
x?y?t
与圆
x?y?4
相交于 A、B两点，O为原点，如果
OA
与
OB
的夹角为
?
，则t 的值为 。
3
9、如图，已知AD，BE，CF分别是△ ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。