高一数学必修四第三单元

高一数学必修四第三章 三角恒等变换
一、选择题
1－tan
2
75?
1．的值是( )．
tan75?
A．
23

3
B．－
23

3
C．2
3
D．－2
3

2．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos
2
15°－1的值是( )．
A．0 B．
3

2
C．
1＋3

2
D．
1

2
3．已知sin(?－?)cos ?－cos(?－?)sin ?＝
A．－
?
3
，且?在第三象限，则sin的值是( )．
5
2
D．±
310

10
1031010
B．－ C．±
1010
10< br>1?sin
?
?cos
?
1
4．已知＝，则tan ?＝( )．
1?sin
?
?cos
?
2
A．
4

3
B．
?
4

3
C．
?
3

4
D．
3

4
5．tan(? +45°)－tan(45°－?)等于( )．
A．2tan 2? B．－2tan 2? C．
2

tan 2
?
D．－
2

tan 2
?
6．已知sin(?－?)cos??－cos(?－?)sin ?＝
A．
3
，且 ??为第三象限角，则cos ?等于( )．
5
C．
4

5
B．－
4

5

3

5
D．－
3

5
7．2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于( )．
A．
2

2
B．－
2

2
C．
3

2
D．－
3

2
8．在△ABC中，若0＜tan Α·tan B＜1，那么△ABC一定是( )．
A．锐角三角形
C．直角三角形












B．钝角三角形
D．形状不确定
9．已知 ??为第三象限角且sin
4
?＋cos
4
?＝
A．
22

3
5
，则sin 2?等于( )．
9
C．－
22

3
B．
2

3
D．－
2

3
10．sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为( )．
A．
1

16
B．
?
1

16
C．
1

32

1
D．
8
第 1 页 共 10 页

二、填空题
11．若sin x－sin y＝－
11
，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为 ．
22
12．化简
2?sin
2
2?cos4
＝__________．
13．若3sin ?＝cos ?，则tan 4?＝ ．
54
11
14．若?
＜?＜
?
，
sin2
?
＝－，则tan ?＝ ．
25
4
15． 求函数y＝(sin x＋cos x)
2
＋2cos
2
x的最小正周期＝ ．
2sin
2
?
＋sin2
?
??
16．已知＝k(＜?＜) ，试用k表示sin ?－cos ?的值 ．
1＋tan
?
42
三、解答题
17．化简：cos
2
A＋cos
2
(








18．已知：?∈(0，
2?4?
＋A)＋cos
2
(＋A)．
33
3435
???
)，?∈(，
?
)且cos(－?)＝ ，sin(
?
＋?)＝，
45413
444
求：cos ?，cos(?＋?)．






19．(1)已知tan(?－?)＝
1
1
，tan ?＝?，且?，?∈(0，?)，求2?－?的值．
2
7
第 2 页 共 10 页

(2)已知cos(?－
的值．











?
2
)＝
?
??
12
?
，sin(－?)＝，且＜?＜?，0＜?＜，求cos(?＋ ?)
93
2
22
?
π
?
20．已知tan 2?＝ ??
2
，2?∈
?
，
π
?
，求
?
2
?
2cos
2
?
2
－sin
?
－1?
π
?
2sin
?
＋
?
?
?
4
?
．












第 3 页 共 10 页

第三章 三角恒等变换
参考答案
一、选择题
1．D
解析：原式＝
2
2
22
＝＝＝－＝－2
3
． 2tan75?
1
tan150?－tan30?
1－tan
2
75?
3
2．C
解析：原式＝
＝
＝
3
1
＋
2
2
1?3
．
2
1
＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°
2
3．D
解析：∵sin(?－?－?)＝
33
，∴sin ?＝－．
55
4
?
．又cos
?
＝1－2sin
2
，
5
2
又知 ??是第三象限角，∴cos ?＝－
2
?
4
?
1－
?－
?
?
?
5
?
＝±
310
． ∴sin

＝±
10
2
2
4．B
2cos
2
＋2sin
?
cos
1＋sin
?
＋cos
?
222
＝
1
， 解析：∵＝
???
2
1＋sin< br>?
－cos
?
2sin
2
＋2sin
?
co s
222
???
?
2
＝
1
，即tan
?< br>＝2． ∴

?
2
2
sin
2
cos
∴
tan
?
＝
2tan
?
1－tan
2
?
2
＝< br>44
＝－．
1－43
5．A
第 4 页 共 10 页

解析：原式＝
1＋tan
?
1－tan
?
－
1－ tan
?
1＋tan
?
(1＋tan
?
)
2
－(1－tan
?
)
2
＝
1－tan
2
?
2(2tan
?
)
＝
1－tan
2
?
＝2tan 2?．
6．B
解析：由已知得sin(－?)＝
∴cos ?＝－
7．A
解析：原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)
＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°
＝sin(31°＋14°)
＝sin 45°
＝
2
．
2
3
3
，即sin ?＝－，又 ??为第三象限角，
5
5
4
．
5
8．B??
解析：∵A，B是△ABC内角，
又∵0＜tan Α·tan B＜1，∴A，B∈(0，
∵0＜
?
)．
2
sinA
?
sinB
＜1，cos Acos B＞0，
cosA
?
cosB
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜
∴?－(A＋B)＝C＞
?
，
2
?
，
2
∴△ABC一定是钝角三角形．
9．A 解析：∵
sin
4
?
?cos
4
?
＝
5
，
9
5
，
9
∴(sin
2
?＋co s
2
?)
2
－2sin
2
?·cos
2
? ＝
第 5 页 共 10 页

∴1－
1
2
5
sin2?＝，
29
8
．
9
3
?，
2
∴sin
2
2?＝
∵2k? ＋?＜?＜2k?＋
∴4k?＋2?＜2?＜4k?＋3?．
∴sin 2?＝
10．A
解析：sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°
＝
22
．
3
2sin 6?
?
cos6?
?
cos12?
?
cos 24?
?
cos 48?

2cos6?
2
3
si n12?
?
cos12?
?
cos24?
?
cos48?< br>＝
2
3
?
2cos6?
＝
＝
sin96?

2
4
cos6?
1
．
16
二、填空题
11．答案：－
7
．
3
1
?
sinx?siny ??
?
3
?
2
解析：由
?
平方相加，可求cos(x－y)＝．
4
?
cosx?cosy?
1
?
2
?
∵0＜x＜
1
??
，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，
2
22
∴0＜x＜y＜
∴－
?
，
2
?
＜x－y＜0，
2
7
，
4
7
．
3
∴ sin(x－y)＝－
∴tan(x－y)＝－
12．答案: －
3
cos 2．
解析：原式＝
2－sin
2
2＋cos
2
2－sin
2
2

第 6 页 共 10 页

＝
2－2sin
2
2＋cos
2
2

＝
3cos
2
2

＝
3
|cos 2|．
∵
?
＜2＜?，
2
∴cos 2＜0．
∴原式＝－
3
cos 2．
13．答案：
12
．
7
解析：∵3sin ?＝cos ?，
1
∴tan ?＝．
3
2
3
4
∴tan 2
??
＝＝，
2< br>4
?
1
?
1
－
??
?
3
?
3
12
4
tan 4
??
＝＝．
2
7< br>?
3
?
1
－
??
?
4
?
1 4．答案： -2．
5
11
解析：∵
?
＜?＜
?
，
4
2
∴5?＜2?＜
∴
5
11
?
11
?
，
?
＜＜
?
，
28
4
2
?
，2??均为第三象限角，?为第二象限角．
2
43
∵sin 2?＝－，∴cos 2?＝－，
55
又cos 2?＝2cos
2
?－1，
1＋cos2
?
＝
?
2
1－
∴cos ?＝－
3
5
＝－
5
．
5
2
又sin 2?＝2sin ?cos ?＝－
4
，
5
第 7 页 共 10 页

4
5
＝
25
， ∴sin ?＝
5
2cos
?
－
∴tan
?
＝
sin
?
＝－2．
cos
?
15．答案：?．
解析：y＝1＋sin 2x＋2cos
2
x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝
2
sin(2x＋
故最小正周期为?．
－k
． 16． 答案：
1
2sin
2
?
＋sin2
?
2sin?
(sin
?
＋cos
?
)
解析：∵＝＝2sin ?cos ?，
sin
?
1＋tan
?
1＋
cos
?
?
)＋2．
4
∴k＝2sin ?cos ?．
而(sin ?－cos ?)
2
＝1－2sin ?cos ?＝1－k．
又
??
－k
． ＜?＜，于是sin ?－cos ?＞0，所以sin ?－cos ?＝
1
42
三、解答题
17．解析：
原式＝
＝
＝
1?cos2A
＋
2
1?cos(
4?8?
?2A)1?cos(?2A)
33
＋
22
31
4?8?
＋[cos 2A＋cos(
?2A
)＋cos(
?2A
)]
22
33
33
3111
＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)
22
2222
3
＝．
2
2
16
，cos(?＋?)＝－．
10
65
3
???
解析：∵＜?＜
π
，∴－＜－?＜0．
424
4< br>18．答案：
cos
?
＝
∵cos(
3
4
? ?
－?)＝，∴sin(－?)＝－，
5
44
5
∴cos ?＝cos[
＝cos
??
－(－?)]
44
????
·cos(－?)＋cos·sin(－?)
4444
第 8 页 共 10 页

＝
＝
22
43
·＋·(－)
22
55
2
．
10
又∵0＜?＜
?3?
3
，∴＜
?
＋?＜?．
4
44
35312
∵sin(
?
＋?)＝，∴cos(?
＋?)＝
?
，
413413
∴cos(?＋?)＝sin[
3
??
＋(?＋?)]＝sin[(
?
＋?)－(－?)] 4
24
33
??
＝sin(
?
＋?)·cos(－?) －cos(
?
＋?)·sin(－?)
44
44
＝
54
123
·－(－)·(－)
135
135
＝－
16
．
65
3
239
19．答案：(1)2?－?＝－
π
；(2)cos(?＋?)＝－．
729
4
1
，
2
2tan(
?
－
?
)
4
∴tan 2(?－?)＝＝．
1－tan
2
(
?
－
?
)< br>3
解析：(1)∵tan(?－?)＝
又∵2?－?＝2(?－?)＋?且tan ?＝－
∴tan(2?－?)＝
1
，
7
tan2(
?
－
?
)＋tan
?
＝1．
1－tan2(
?
－
?
)tan
?
1
＜0 ，
7
tan(
?
－
?
)＋tan
?
1< br>tan ?＝＝∈(0，1)，
1－tan(
?
－
?
)ta n
?
3
∵?，?∈(0，?)且tan ?＝－
∴0＜?＜
????
，＜?＜?
?
0＜2?＜，－?＜－?＜－
?
－?＜2?－?＜0，
4222
3
而在(－?，0)内使正切值为1的角只有一个－
π
，
4
3
∴2?－?＝－
π
．
4
(2)∵
?
????
?
?
＜?＜?，0＜?＜，∴＜?－＜?，?＜－?＜．
22442
2
2
?
2
)＝－又∵cos(?－
∴sin(? －
?
1
2
，sin(－?)＝，
3
9
2
?
2
)＝
455
?
，cos(－?)＝，
93
2
第 9 页 共 10 页

∴cos
?
?
?
2
＝cos[(? －
)cos(
?
2
)－(
?
2
－?)]
＝cos(?－
＝
75
，
27
?
2
?< br>2
－?)＋sin(?－
?
2
)sin(
?
2
－?)
∴cos(?＋?)＝2cos
2
?
＋
?
2－1＝
?
239
．
729
20．答案：－3＋2
2
．
2cos
2
?
2
－sin
?
－1
解析：
?
π
?
2sin
?
＋
?
?
?
4
?
＝
co s
?
－sin
?
1－tan
?
＝，
cos
?
＋sin
?
1＋tan
?
∵tan 2?＝
2tan
?
＝－2
2
，
2
1－tan
?
∴
2
tan
2
?－tan ?－
2
＝0，
解得 tan ?＝
2
或tan ?＝－
∵
2
．
2
???
＜2?＜?，∴＜?＜，∴tan ?＝
2
，
242
1?2
＝－3＋2
2
．
1?2
∴原式＝

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