最新人教版A版高中数学必修四说课稿

人教版A版高中数学
必修四
全册精品说课稿

第一章 三角函数
1.1任意角概念和弧度制
1.1.1任意角说课稿
尊敬的各位老师、亲爱的同学们：
我是 ，今天我说课的课题是“任意角”.选 自人民教育出版社A版普通
高中课程标准试验教科书·数学·必修4第一章第一节第一课时的内容.下面 我
将从教材分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个
方面进行说课 .
一．教材分析
1、本节教材的地位和作用
本课是数学必修4第一章三角 函数中第一节的第一课时.三角函数是基本初等函
数，它是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推 广正是这一思想的体现之
一，是初中相关知识的自然延续.为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了
精心筛选，助您成功

条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知 识提供有利的工具，所以学生正确
的理解和掌握角的概念的推广尤为重要. 2、教学目标 知识目标 ：
（1）理解任意角以及象限角的概念，掌握正角、负角、零角的定义；
（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； 能力目标 ：
（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力； （2）通过画图和判
断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 情感目标：
（1）通过创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识； （2）学
会运用运动变化的观点认识事物. 3、教学重点、难点
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法
及判断.
难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来.
二、学生情况分析
1. 学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于000~360.结合实际
生活中的例子，由 教材的“思考”出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求
知欲望，让学生体会角的推广的必要性.
2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，
使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受.
三、教法学法分析
教法分析：
我将采用探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法.
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段.
探索与发现新知识是教学的重点.所 以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从
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特殊到一般启发学生获得新知识. 学法指导：
建构主义学习理论认为，学习是学生积极 主动的建构知识的过程，学习应该与
学生熟悉的知识背景相联系.
在教学中，采用自主探索 与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知
识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、 探索、交流、反思参与学习，
认识和理解数学知识，学会学习，发展能力.
四、教学过程设计
(一)、创设情境，引发兴趣
思考:你的手表慢了 15分钟或慢一小时，你是怎样将它校准的？假如你的手
表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当 时间校准以后，分针转了多少度？
设计意图：提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性. (二)、
合作探究，建构数学 1．任意角概念的引入
⑴问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ ⑵举出不在
000~360的角的实例，并加以说明.
设计意图：回顾已有知识， 结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性，
让学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方 向.从而给出任意角的
定义.
2．象限角的概念
⑴问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？ （先
让学生以同一条射线为始边作出下列角：0210，0150，0660）
设计意图：通过尝试探究，由学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 3．终
边相同的角表示
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(1)思考：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？
试想：都有哪些角的终边与030角的终边相同？
设计意图：从特殊到一般，从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.
(2)探 究：将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的
一条终边与之对应.反之，对于直角 坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角
是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
设计意图：探究终边相同的角之间的关系，理解并掌握改关系.从而给出终边相
同的角的集合表 示.
(三)、数学应用，巩固练习
例1在000~360范围内，找出与 0'95012
几象限角.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°
~720°的元素写出来.
练习 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并S把中在00360~720
写出来：（1）060 （2）021 （3） 0'36314
间的角
角终边相同的角，并判定它是第
设计意图：通过例题和练习，进一步理解任意角、象限角和终边相同的
角. (四)、回顾小结，布置作业
为了让学生将所学习的知识进一步条理化、系统化，完善学生的认知结 构，我将
引导学生从知识梳理、思想提炼这两个方面进行总结。 知识梳理：
1、任意角(正角、负角、零角的定义）
2、象限角的概念。
3、终边相同的角的表示方法。 思想提炼：数形结合的思想，类比思想。
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根据学生的能力差异不同和知识掌握情况，我把作业分为教科书10P习题1 .1A
组第1～2题，B组第一题.
设计意图：让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法.
五、板书设计：
为了更好的完成本节课的教学任务，全面展现本节课的教学内容，设计如下 板书，
请看大屏幕.这样的设计条理清晰可见，有利于学生对知识的全面掌握和复习以
及做笔记 .
1.1.1 任意角 一、定义： 1、正角：2、负角： 3、零角：4、象限角：
二、终边相同的角： 多媒体展示区
1.1.2弧度制说课稿
尊敬的各位领导、评委老师 ：
大家晚上好！我说课的题目是《弧度制》。下面 我将从教材分析，教法与学
法，教学过程，板书设计以及教学反思等五个方面对本节课进行阐述。
一、教材分析：
1、本节课在教材中的地位和作用。
《弧度制》 这节内容 是选自人教版Ａ版高中数学必修四第一单第一节第二课时
内容。学生在初中时已学习了角度制的有关知识 ，通过本节弧度制的学习，我们
很容易找出与角对应的实数，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 有了更
为简单的形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。弧度制下的弧长
公式和扇 形面积的计算在生活中有着广泛的应用，本节课的教学有利于学生数学
思维能力的提高。因此“弧度制” 在三角函数这一章中具有承上启下的作用，
2、学生分析：学生在初中已经学过角的度量单位“度” 并且上节课学了任意
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角的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问
题带来方便。
3、教学目标：根据中等职业学校数学教学大纲要求，教学内容的结构特征，依
据学生学习的 心理规律和职业学校学生就业的素质要求，结合学生的实际水平，
“以能力为本位，以就业为导向”的教 学指导思想组织教学，因此，制定本节课
的教学目标如下：
1）知识目标:(1)理解1弧度角的定义; (2)弧度制的定义及角度与弧度的换算.
(3)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算. 2）能力目标:
能正确地 进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积
公式，并能运用公式解决一些实际 问题。 3）情感目标: 使学生认识到角度制、
弧度制都是度量角的制度,二者虽然单位不同,但是却 互相联系的、辨证统一的,
从而进一步加强对辨证统一思想的理解.
4、根据这一节课的内 容特点以及学生的实际情况，学生对抽象的正弦函数性质
缺乏感性认识。因此：
教学重点:使学生理解弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算. 教学难点:弧
度制的概念及其与角度的关系.
针对以上的教学重点、难点，在教学 内容设计时我更加注重多媒体信息技术
的应用。利用动画演示、视频、图像等信息技术的手段，向学生展 示难以用语言
或一般教具阐述的结论。从而帮助学生把握重点、攻克难点。
二、教法分析： 一方面学生已经学习过角度制定义, 加之教材内容 编排上由浅
到深、层层递进因此本节课采用以下教学方法
⑴ 分组教学法：将学生分成若干组每组6人以便于学生自主探究。通过学生
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“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强学生参与意识，使学 生
真正成为教学的主体。
（2）分层教学法：由于学生对知识的掌握程度不同，在教学过程中，
注意因材施教，根据不 同学生设置适合他们自己的教学目标，从而更好的体现学
生的多样性和层次性。参照学生学习成绩、学习 态度、学习能力、学习方法等因
素，将学生大致分成四层，并将四层学生编入六个学习小组，据此设置课 堂提问、
课间练习、课后作业，充分调动不同层次学生积极性。
（3）运用“问题解决”的 教学模式：层层递进的设置一些问题逐渐的将学生引
入到教学之中进而获取问题的答案具体到本节课中可 体现为三次提出问题学生
三次探究解决三个问题这样一个流程。 三、学法指导：
良好的方 法能使学生更好的发挥天赋，而拙劣的方法则可能妨碍才能的发挥。我
认为教师对学生进行学法指导的立 足点是从“学会”达到“会学”进而提高到“乐
学”。因此在本节课教学中我注意以下两点：第一，引导 学生在探讨中观察、思
考与讨论，培养学生自主探究的学习方法。第二，通过小组合作的形式，在完成< br>项目任务的过程中引导学生互相帮助、互相探讨，培养学生合作意识和终身学习
的意识。
四、说教学过程
为了让“课有所得”的教学要求落到实处，真正让学生学得懂、学有用、愿 意学，
让课堂活跃起来，把学生注意力集中到课堂上，我把整个教学过程设计为以下五
个环节。 1、导入新课 教师提出问题：③ 角的范围是什么？如何分类的？ 设
计意图：温故而知新
度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用 千克、斤、
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磅等不同的单位制，角的度量是否也能用不同的单位制呢？
设计意图：以旧引新，引导学生用联系的观点看待事物。并直接引出课题。 2、
探究问题
1）引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式。 2）进一
步巩固弧 度定义，从不同角度加深学生对弧度制的理解。设计意图:在教师引导
下让学生带着问题去独立思考,自 主学习,并通过对问题的思考提高理解能力,强
化自我意识,促进由学会到会学转化,形成良好的思维品 质.
3、讲解例题
让学生跟随老师规范书写格式，加强算法训练。让学生掌握换算过程并提高
学生计算的 准确性.弧度制换算为角度制比较简单，注意书写规范，一些特殊角
的弧度数应加强记忆.巩固公式，加 强计算。让学生学会学习，学会反思，学会
总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。 4、课堂练习
以检验学生对弧度制概念的理解和在弧度制下扇形面积和弧长公式的具体应用，
针对学生在练习中存在的问题进行积极解答，确保教学目标的完成。
5、课堂小结：
学生跟随老师回顾本节课的重点内容。对本节课用到的技能，数学思想方法，
结论等进行小结，让学生对 本节课知识有整体的认识 6、课后作业：
必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。选做 题是留给学有余力的同
学，培养他们分析问题解决问题的能力，达到分层教学的目的。 五、板书设计
目前我校的教学设备是电子白板电子白板与课件可以兼容就是说可以在白
板上进行批注即使是这 样我也计划将课件、白板和原始的黑板结合大一块使用这
样效果会更好。
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六、教学效果的预测
学生在探究 1中可能会出现问题⑴习惯于灌输式教学的学生能否质疑1弧度角定
义的合理性⑵发现这个问题后能否解 决， 因此教师在此方面应做充分准备。
我的说课到此结束，谢谢各位评委、老师！恳请您提出宝贵的意见，以促使我不
断进步！








1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数说课稿
沭阳如东中学 曹 洁 数学
各位老师：
我今天说课的课题是《任意角的三角函数》（第一课时 ），该内容取自苏教版普通
高中标准实验教科书数学必修4的第1.2节。
一、教材内容分析
教学内容：任意角的三角函数的定义、定义域；三角函数值在各个象限的符号。
地位和作用 ：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的学习起
着至关重要的作用。同时它又为平面 向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，
通过这一部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入地了解 函数这一概念。 教
学重点：任意角的三角函数的定义。
教学难点：正确理解三角函数可以 看作以实数为自变量的函数，初中时用边长的
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比值来定义转变为坐标系下用点坐标定义的观念的转换以及用坐标来定义的合
理性理解。
二、学情分析
学生已经掌握的内容、学生学习的能力：
1、 初中学生已经学习了直角三角形当中锐角三角函数的定义，掌握了求三角函
数值的基本
方法；
2、 经过多年的课程改革，学生已经具备较强的自学能力，多数同学都能认识到
数学的重要
性对数学的学习有一定的积极性；
3、 学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，很多问题必
须在老师的
指导下才能进行。
三、教学目标分析
针对对教材内容重难点的分析和学生实际情况的分析我们制定教学目标如
下： （一）知识与技能目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数、并能说出三角函数的定义
域； （3）会判断三角函数在各个象限的符号； （二）过程与方法目标：
（1）通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广到任意角
的三角函数；
（2）通过观察任意角的三角函数定义的分式探求三角函数的定义域、三角函数
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在各个象限的符号。
（三）情感态度与价值观目标：
通过对任意角的三角函数的定义、定义域，三角函数在各个象限的符号的探求，
提高学生观察、 分析、探究、解决问题的能力和严谨治学、一丝不苟的科学精神。
四、教学方法分析
针对学生实际情况为达到教学目标我设计了如下教学方法，总体可以用八个字来
形容： “温故知新、逐步拓展”。 具体可以理解为以下两点：
（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发展新知识，
形成新概念；
（2）通过问题的讲解分析，逐步引出新知识，推出三角函数的定义域，三角函
数在各个象限的 符号。
五、教具准备
运用多媒体工具：提高直观性增强趣味性 六、教学过程分析
总体来说，由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进
先由初中的直角三角形中锐角三角函 数的定义过渡到直角坐标系中锐角三角函
数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义，给出 定义后通过应用
定义又逐步发现新知识拓展完善定义。 具体教学过程安排如下： （一） 引入：
复习提问：初中时直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 由学
生回答:
Asin=对边斜边＝BCAB Acos=邻边斜边＝ACAB Atan=对边邻边＝BCAC
逐步拓展：在高中我们已经建立了直角坐标系，把“定义媒介”从直角三角形改
为平面直角坐标 系。
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我们知道，随着角的概念的推广，研 究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数
的定义能否也放到坐标系去研究呢？
引导学生发 现B的坐标和边长的关系，进一步启发他们发现由于相似三角形的相
似比导致OB上任一P点都可以代换 B，把三角函数的定义发展到用终边上任一
点的坐标来表示，从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定 义，自然地，要想
定义任意一个角三角函数，便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了 从而得
到：
知识点一：任意一个角的三角函数的定义
提醒学生思考：由于相似 比相等，对于确定的角A，这三个三角函数值的大小和
P点在角的终边上的位置无关。
一般地，对任意的角
（1）比值ry叫做角
（2）比值r
x叫做角的余弦，记作
（3）比值xy叫做角
cos，即rxcos；
tan，即xytan。
，),(yxP为角
的正弦，记作
终边上的任意一个点，我们规定：
sin，即rysin；
的正切，记作
精心设计例题，引出新内容深化概念，完善定义
例1 已知角的终边经过P（2 ，-3），求角的三个三角函数值（此题由学生
自己分析独立动手完成）
例题变式1 已知角的大小是30角，由定义求角的三个三角函数值
结合变式我们发现三个 三角函数值的大小与角的大小有关，只会随角的大小面变
化，符合当初函数的定义，而我们又一直称呼为 三角函数。 提出问题：这三个
新的定义确实是函数吗？为什么？ 从而引出函数及其定义域 由学生分析讨论，
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得出结论 知识点二：三个三角函数的定义域
同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以 三角函数是以
实数为自变量的函数
例题变式2 书籍角A的终边经过P（-2a , -3a）(a不为0)，求角A的三个三
角函数值 解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论，让 学生意识到三角
函数值的正负与角所在象限有关，从而导出第三个知识点
知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系 由学生推出结论 教师总结
符号记忆方法，便于学生记忆
例题2：已知A在第二象限且sinA＝0.2 求cosA ，tanA的值。 拓展，如果不
限制A的象限呢？可以留作课外探讨。 小结回顾课堂内容
课堂作业和课外作业以加强辞谢的记忆和理解
课堂作业
课后分层作业
板书设计
















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1.2.2同角三角函数的基本关系式说课稿
乐至实验中学：袁道兵
一、教材分析与大纲要求：
《同角三角函数基本关系式(一)》 是高中数学教材第一册（下）第四章第四
节内容。在此之前，学生已学习了任意角、任意角的三角函数定 义、函数值符号
与角的终边位置的关系，为本节的学习起着铺垫作用。三角函数是中学数学的重
要内容之一，而本节内容又是本章的重要基础知识。大纲明确指出掌握同角三角
函数的基本关系式（sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
，
sin
?
。高考
?tan
?
，
tan
?
?cot
?
?1
）
cos
?
中它多数作为容易题 出现，或在解答题中作为中间步骤出现。它揭示了同角不同
名三角函数之间的内在联系，应用这部分知识 主要解决三类问题：一是已知某角
一个三角函数值，求其余三角函数值；二是化简；三是证明三角恒等式 ，本节课
主要解决第一个问题。同角三角函数的基本关系式也是今后学习两角的和与差的
三角函 数、向量、几何以及其他学科如物理学等知识的工具。
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数学思想方法：从特殊到一般、分类思想、方程思想。
二、教学目标：
依据考试大纲对数学考查的要求和学生知识水平等实际情况。
知识与技能
1、掌握同角三角 函数关系式：
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
，
sin
?
=tan
?

cos
?
tan
?
?cot
?
?1

2、已知某角的一个三角函数值，求各三角函数值。
方法与过程
通过计算、猜想等 ，体验由特殊到一般的发现规律的历程；体验根据三角函
数的定义推导同角三角函数基本关系式过程，运 用同角三角函数基本关系式进行
求值，掌握解决数学问题的一些基本方法。
情感、态度与价值观
通过对基本关系式的猜想、推导与运用，培养学生由特殊到一般的认识事 物
过程和探索研究，发现问题等能力，使学生自觉养成严谨的科学态度。
三、教学重点、难点、关键
重点：三个基本关系式的推导与应用。
难点：基本关系式的合理选取与三角函数值正负符号的确定。
关键：正确应用平方根及象限角的概念.。
四、教学方法
本节课内容学生掌握起来难度不大 ，根据学生的知识水平及认知特点，对
三个基本关系式的推导，采用启发、归纳、猜想的方法；由于三角 函数的符号确
定困难，所以在例题教学中采用讲练结合的方法，让学生在具体解题中去感知、
领 会。
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五．教学过程
1、新课的引入
（这部分，我设计从特殊角三角函数值的计算入手，得出猜想。计算不是问< br>题，要猜想出目标式子，就将引导学生对每组式子的结果，函数名、角度、结构
等方面进行讨论、 分析。学生准确表达出自己的猜想是难点，教者应及时点评学
生的表述。同时应紧扣课题，引导学生分别 用数学语言与文字从两方面表述，强
调同一个角等字眼。）

引言：我们已知道了特殊角的三角函数值，现在大家一起来计算下列三组式子。
①
sin
2
60??cos
2
60?
< br>sin
2
②
tan60?的值与
3
?
3
?< br>
?cos
2
44
sin60?
的值有怎样的关系
?

cos60?
③
tan30??cot30?

tan
?
3
?cot
?
3

设问：通过计算，观察各组式子，你有什么发现？讨论并用数学语言表达出
来。
猜想：
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1< br>
sin
?
?tan
?

cos
?

tan
?
?cot
?
?1

（式子）
（文字）：同一个角
?
的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角
?
的 正切；同
一角的正切、余切之积等于1（即同一个的正切、余切互为倒数）。

2、新课内容
（新知识内容分三步：1.推导关系式不难，但应说明为什么想到用定义来推< br>导和式子成立的条件。2关系式得出之后，我将进一步强调“同角”、公式适用
精心筛选，助您成 功

条件、尤其是公式的变形，公式变形在以后化简、证明中常用到。这也是 学生对
知识必要积累，灵活运用公式的基础，对学生的数学能力提升有益。所以，教学
进行到这 里，我特地让学生对公式的变形进行讨论、归纳、总结整理。3随后，
抛出一个自主探索性问题，留出时 间让学生推导其它的三角函数的关系式，让学
生展开讨论，方法应多样。）

2.1、推导同角三角函数的基本关系式
设问：上面猜想式中的角α是任意角，它一定成立吗？说说理由。
回忆并给出三角函数的定义式：（注重强调条件及意义）
sin
?
?
cot
?
?
yxy
?

cos
?
?

tan
?
?
(
?
?k
?
?
）
rrx
2
x
(
?
?k
?
)（ 其中：
r
2
?x
2
?y
2
）
y
我们在这种一般情况下来计算：

sin
2
?
?cos
2
?




结论：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
平方关系

sin
?
的值与tan
?
的值

tan
?
?cot
?

cos
?
sin
?
?tan
?
商数关系
cos
?

tan
?
?cot
?
?1
倒数关系

．．．．
即：同一
个
角
?
的正弦、余弦的平方和 等于1，商等于角
?
的正切；同一角
的正切、余切之积等于1（即同一个的正切、余切 互为倒数）。
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2.2、解读同角三角函数的基本关系式：
1°强调：①正确理解“同一个角”，与角的表达 形式无关，如：
sin
2
2a?cos
2
2
?
?1
；
sin
2
?
2
?cos
2
?
2
?1
；
sin
2
(
a?
?
)
?< br>cos
2
(
?
?
?
)
?
1
；
②角应使公式中式子有意义：公式2，
?
?k
?
?
公 式3，
?
的终边不能落在坐标轴上。
2°公式变形
平方关系：
?
2
；
22
?
?
sina?1?cosa
22
sinα+cosα=1
?
2
，1=sinα+cosα
2
?
?
cosa?1?sina
22
sin
?
sina?tana?cosa

cos
?
1倒数关系：
tan
?
?cot
?
?1

tan
?
?

cota
．．
2.3现在我们推导 出了三个关系式，还能推出哪些类似的关系式？引导学生进行
商数关系：
tana?
自 主探索。

1?tan
2
?
?sec
2
?
，
1?cot
2
?
?csc
2
?
；

sec
?
?cos
?
?1
，
sin
?
?csc
?
?1
；

cot
?
?

3、讲解例题
(例题选讲，相对教材而言， 我作了一定的取舍，选择了两类题。例1及其变
式，体现分类思想，注重解题方法、步骤。符号确定是难 点，学生会出现不考虑
符号，直接想当然地取算术根。教学过程中，我将通过象限角来突破难点。小结< br>解题的方法，紧接反馈练习，以检测学生学习情况。例2及其变式，由切求弦，
体现化切为弦通法 ，构建方程组，体现了方程思想。提高训练中，设计有较综合
精心筛选，助您成功
cos
?

sina

利用基本关系式的题 ，有一定难度。所选取两个例题及变式题，体现从简单到复
杂、从特殊到一般，层层加深。
讲 解例题时，我力争做到讲明怎样解，更要讲明为什么这样解，还及时对解
题方法、规律进行概括总结，有 利于发展学生的思维能力。训练与提高，我设计
从基础题到有一定的变化的题型，一步一步地加深，以满 足不同层次学生的需
要。其中第2、3题体现了较灵活运用三角函数的基本关系式相互转化三角函数。< br>这也是以后练习中常见重要题型。)

例1、已知
sin
?
?
4
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
、
tan
?
的值。
5
析： ①所求函数值的符号如何？理由。
②先求哪个函数值？
解：∵
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
，
书


写
应





9
?
4
?
∴
cosa?1?sina?1?
??
?

25
?
5
?
22
2
有


示


又∵
?
是第二象限角，∴
cos
?
?0
。于是

cos
?
??
范
作




93
??

255
用


tan
?
?
sina454
??(?)??

cosa533
思考：①你知道
cot
?
为多少吗？
②如果去掉“
?
是第二象限角”这个条件，应怎样做？解决起来有什么
不同？
③如果将
sin
?
?
什么收获？
精心筛选，助您成功 < br>44
变成
cos
?
?
，会求出
sin
?、
tan
?
吗？从中你得到
55

小结 ：知正弦（余弦），由平方关系式求得余弦（正弦），再由商数关系得到
正切（余切）。体现了分类的数 学思想。
训练与提高一：1）已知
sin
?
?
值。
4
2）已知
cos
?
??
，且
?是第三象限角，求
sin
?
、
tan
?
、
co t
?
的
5
1
，且
?
是第一象限角，求
co s
?
、
tan
?

cot
?
的
2
值。
3）已知
cos< br>?
??
8
，求
sin
?
、
tan
?
的值。
17
例2、已知tanα=2，且
?
是第一象限角，求sin
?
、
cos
?
的值。
解：由题可得：
?
sina
?2
?

?
cosa

?
sin
2
a?cos
2
a?1
?
由方程 组可得：

cos
2
?
?
1

5
∵
?
是第一象限角
∴
cos
?
?
525
，及
sin
?
?

55
思考 ：①如果“
?
是第一象限角”是“
?
是第三象限角”，
sin
?
、
cos
?
的
值又是多少？
②如果没有“
?
是第一象限角”条件，又怎样做？
③如果变成
tan
?
为非零实数，如何求
sin
?
、
cos
?
的值？
小结：本例题主要体会了方程思想。
训练与提高二：1）已知
tan
?
??3
，求
sin
?
、
cos
?
、
cot
?
的值。
精心筛选，助您成功

2）
sin
?
?cos
?
=3，求
tan
?
的值。
sin
?
?cos
?< br>1
3）已知
sin
?
+
cos
?
?
，
?
?
?
0,
?
?
，求
tan
?
的值。
5

4、课堂小结：
知识：同角三角函数基本关系式；
思想：从特殊到一般、分类思想、方程思想；
方法：知一求值方法
(课堂小结，我设计从本堂课知识，所涉及到思想，方法进行总结，重在思想
方法。)

5、板书与作业安排
板书应规范，为学生起好榜样示范作用。 习题4.4, 1~3题
六、预期效果分析
通过本节课的教学，学生能够掌握同角 三角函数关系式，能解决已知某角
的一个三角函数值，求其它三角函数值的问题。估计有部分学生在符号 上仍
然存在问题，尤其已知一个角的正切或余切，求它的正弦、余弦值会问题多
一点。










精心筛选，助您成功

1.3三角函数的诱导公式说课稿
尊敬的各位老师,大家下午好！
今天我说课的题 目是《三角函数的诱导公式》.下面我从教材分析、教学目
标、重难点、教法与学法、教学过程设计、板 书设计这几方面向大家做以阐述.
一．【教材分析】
本节内容在教材中和在高考中的作用及地位
三角函数的诱导公式是必修四第一章的第三小节。在此之前 ，学生已学习了
任意角的三角函数,初步掌握了三角函数定义、单位圆中的三角函数线以及同角
三角函数的基本关系等内容，这为本节课的学习起着铺垫作用。因此，对后面教
学以及学生的学习都有着 非常重要的意义。所涉及的数学思想方法
本节课的教学，除了让学生理解公式的推导过程外，最主要的 是要使学生学
会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合地研究诱导公
式 ，引导学生把数学思想方法运用到平时的学习中。
二．【教学目标】
根据教材在教学和高考中的地位和作用，考虑学生在初中的时候掌握的三角
精心筛选，助您成功

函数的知识，我制定了以下教学目标：
知识目标
理解诱导公式的推导方法，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；
能力目标
能正确运用诱导公式进行简单三角函数的化简，求值，证明；
情感目标
通过诱导公式的学习，感受事物之间是普遍联系的。提示我们在生活中应该
注重沟通。
三．【教学重点与难点】
根据本节课的教学目标，我确定了本节课的重点、难点：
重点
理解并掌握诱导公式；
难点
运用诱导公式进行三角函数的化简，求值，证明。
四．【教法和学法】
为了使学生 理解重点、掌握难点，很好的完成本节课预先设定的教学目标，
我再从教法和学法上给大家做以汇报。
教法
基于本节课的特点，我着重采用先学后教的教学方法；学生首先自主学习课
本 ，体现了认知心理学。教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考，使书本
的知识成为自己的知识。
精心筛选，助您成功

学法
本节课在学生的学法指导上 注重调动学生积极思考，主动探索。尽可能多地
增加学生参与教学活动的时间和空间，真正让学生成为教 学的主体。
五．【教学过程设计】
3、 创设情境，激发兴趣
引出新的问题：任 意角的三角函数求值，可不可以化归为锐角三角函数求值，
并通过查表方法而得到最终解决，从而给我们 的学习生活带来方便。
4、 探索研究
在本节课的研究过程中，教师主要起引导作用，让学 生作为学习的主体，围
绕本节课所要解决的问题，展开学习；首先讨论
?
?
?
，
?
?
的三角函数值与
?
的
三角函数值之间的关系 ，其次讨论
?
?
?
，
2
?
?
?
的 三角函数值与
?
的三角函数
值之间的关系；充分让学生利用学过的“三角函数定义、单 位圆中的三角函数线
以及同角三角函数的基本关系”等知识尝试解决问题，其中渗透化归、数形结合的数学思想；在师生共同研究了公式二和三之后，给学生自己通过分组讨论研
究，归纳出公式四，让 学生参与课堂学习，提高学生分析问题、解决问题的能力，
从成功的解决问题中找到自信。
三、演练反馈，变式延伸，进行重构
我在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解 ，而及时对解题方
法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节的练习，首先让学生自己
独立思考，尝试解决，其次由学生相互讨论，归纳方法，检漏纠错，最后老师点
拨。重视课本例题，适 当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生
对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三 的效果。教学中，我设置了两道
精心筛选，助您成功

课外题目，加强学生对本节知识的理解记忆。
四、总结结论，强化认识
知识性内容 的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思
想方法的小结，可使学生更深刻地理解数 学思想方法在解题中的地位和应用，并
且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。本节课的小结，让学生进 一步明白求任
意角的三角函数式的一般程序和诱导公式的记忆规律。
五、布置作业
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力
的学生有所提高，从而达到拔 尖和“减负”的目的。
六．【板书设计】
对于板书设计我准备把诱导公式板书在左边，单位 圆安排在中间，右边安排
当堂训练习题。各位,老师们,本节课我根据高一年级学生的心里特征和认知特 点,
采用先学后教当堂训练的教学方法，以课本为基本，以学生为主体，力求学生在
积极、愉快 的课堂氛围中掌握数学知识和数学方法，从而达到预期的教学目标。
我的说课完毕，谢谢大家！














精心筛选，助您成功

1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象说课稿


一、教材分析
1、教材的地位与作用
《正弦函数、余弦的函数图象》是高中《数学》必修④（人民教育出 版社）第一
章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象。过去学生已经学习
了一 次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此
基础上来学习正弦函数余弦函 数的图象，为正切函数的图象与性质、函数
)sin(
位。
2、教学目标分析
根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理
规律和素质教育 的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：
① 知识目标
正弦函数、余弦函数图象的画法 ② 能力目标
wxAy的图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地
精心筛选，助您成功

（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象； （2）掌握正弦函数图象的“五
点作图法”； ③ 德育目标
（1）培养学生勇于探索、勤于思考的精神； （2）培养学生合作学习和数学交
流的能力； 3、教学重点和难点
教学重点：用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象。 教
学难点：利用单位圆画正弦函数图象。
二、教法分析
根据上述教材分析和目 标分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生
为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本 课主要的教法为：
1、计算机辅助教学
借助多媒体教学手段，引导学生理解利用单位 圆中的正弦线画出正弦函数的图
象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数 图象，
给人以美的享受。
2、讨论式教学
通过观察“正弦函数的几何作图 法”课件的演示，让学生分组（四人一组）讨论、
交流、总结，由小组成员代表小组发表意见（不同层次 的组员回答，教师
给予评价不同），说出函数xysin
点。
3、讲议结合教学
教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学
提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，充分调动不同层次学生的
，2,0x的图 象中起着关键作用的
精心筛选，助您成功

积极性。
三、学法分析
引导学生认真观察“正弦函数的几何作图法”教学课件的演示，指导学生进行 分
组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学
生，培养学生 勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。
四、教学程序
教 学 过 程
设 计 意 图
（一）新课引入
实物演示：
“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上
的轨迹”
思考：
有什么办法画出该曲线的图象？
（二）新课讲解
1、课件演示：“正弦函数图象的几何作图法”
2、教师引导：在直角坐标系的x轴上任 意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，
从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6 的倍数，份数越多，
画出的图象越精确），过圆O1
上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应 于0、6
把x轴上从0到
2等角的正弦线，相应地，再
2这一段（2≈6.28）分成 12等份，把角x的正弦线向右平
移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的 终点连结
精心筛选，助您成功

起来，就得到了函数xysin
2,0
xysin在
xysin，
，
x的图象，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
0,,)1(2,2
2,0
kZkkkx的图象与函数
x的图象的形状完全一样，只
2个单位长度），就可以是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每 次
得到正弦函数
xysin，Rx的图象，即正弦曲线。
让学生观察，了解日常生活中的实际问题转化为数学问题，提高学生对数学学习
的兴趣。
通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点。培养学生观察能力、分
析能力。
注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌
握“数形结合” 的思想方法。
问题： ① 几何作图法虽然比较精确，但是不太实用，如何快捷地画出正弦函
数的图象呢？ ② 函数xysin
些点？
五个关键点：
)0,2(),1,2
3(),0,(),1,2(),0,0(
，
，2,0x的图象中起着关键作用的 点是哪
事实上，描出这五个点，函数xysin
2,0x的图象的形状就基本确定了。今后在精 确度要求不太高时，常常
先找出这五个关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们把
精心筛选，助您成功

这种方法称为“五点作图法”。
课件演示：“正弦函数图象的五点作图法”
③、如何作余弦函数xycos，2,0x的图象？
放手让学生独立思考，自主活动，通过 自己的探究得出余弦曲线。实际上，只要
学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系
即 )2sin(cosxx
想到的。
3、课堂练习
图象中起关键作用的五点，学生可能说不全，应进行耐心引导。
让学生感觉正弦函数的图象的形状。
“五点作图法”的一般步骤：列表、描点、连线。
应注意在图中标出关键点的横、纵坐标。
提问学生，由学生小结，然后教师重新演示课件，进行总结和补充。
注意练习的讲解过程要适合不同层次的学生的要求。
P38 练习 1
4、小结： ① 正弦函数图象的几何作图法 ② 正弦函数图象的五点作图法（注
意五点的选取） ③ 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象 5、布置作
业： ①复习正弦函数、余弦函数的图象并预习下节课的内容 ②书面作业：
P52
作业布置注意分层，满足不同层次学生的需要。




精心筛选，助您成功
通过图象变换，由正弦曲线得出余弦曲线的方法是比较容易

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质说课稿
1．教学目标
教学目标的确定，考虑了以下几点：
（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思维在 学习中占有不可替代的地
位，所以本节要紧紧抓住数形结合方法进行探索； （2）本班学生对数学科特别
是函数内容的学习有畏难情绪，所以在内容上要降低深难度。
（3）学会方法比获得知识更重要，本节课着眼于新知识的探索过程与方法，巩
固应用主要放在后面的三 节课进行。 由此，我确定了以下三个层面的教学目标：
（1）知识层面：结合正弦曲线、余弦曲线 ，师生共同探索发现正（余）弦函数
的性质，让学生学会正确表述正、余函数的单调性和对称性,理解体 会周期函数
性质的研究过程和数形结合的研究方法； （2）能力层面：通过在教师引导下探
索 新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发
展打下基础； （3）情感 层面：通过运用数形结合思想方法，让学生体会（数学）
问题从抽象到形象的转化过程，体会数学之美， 从而激发学习数学的信心和兴
趣。 2． 重、难点
精心筛选，助您成功

由以上教学目标可知，本节重点是师生共同探索，正、余函数的性质，在探索 中
体会数形结合思想方法。
难点是：函数周期定义、正弦函数的单调区间和对称性的理解。 为什么这样确
定呢？ 因为周期概念是学生第一次接触，理解上易错；单调区间从图上容易看
出，但用一个区间形式表示出来，学生感到困难。 如何克服难点呢？
其一，抓住周期函数定义中的关键字眼，举反例说明；
其二，利用函数的周期性规律，抓住 “横向距离”和“k∈Z的含义，充分结合
图象来理解单调性和对称性
二、教法分析
（一）教法说明 教法的确定基于如下考虑：
（1）心理学的研究表明：只有内化的 东西才能充分外显，只有学生自己获取的
知识，他才能灵活应用，所以要注重学生的自主探索。 （2） 本节目的是让学生
学会如何探索、理解正、余弦函数的性质。教师始终要注意的是引导学生探索，
而不是自己探索、学生观看，所以教师要引导，而且只能引导不能代办，否则不
但没有教给学习方法， 而且会让学生产生依赖和倦怠。
（3）本节内容属于本源性知识，一般采用观察、实验、归纳、总 结为主的方法，
以培养学生自学能力。
所以，根据以人为本，以学定教的原则，我采取以问 题为解决为中心、启发为主
的教学方法，形成教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂结构形 式，
营造一种民主和谐的课堂氛围。
（二） 教学手段说明：
为完成本节课的教学目标，突出重点、克服难点，我采取了以下三个教学手段：
精心筛选，助您成功

（1）精心设计课堂提问，整个课堂以问题为 线索，带着问题探索新知，因为没
有问题就没有发现。
（2）为便于课堂操作和知识条理 化，事先制作正弦函数、余弦函数性质表，让
学生当堂完成表格的填写；
（3）为节省课堂 时间，制作幻灯片演示正、余弦函数图象和性质，也可以使教
学更生动形象和连贯。 三、学法和能力培养
我发现，许多学生的学习方法是：直接记住函数性质，在解题中套用结论，对结
论的来源不理解，知其然不知其所以然，应用中不能变通和迁移。
本节的学习方法对后续内 容的学习具有指导意义。为了培养学法，充分关注学生
的可持续发展，教师要转换角色，站在初学者的位 置上，和学生共同探索新知，
共同体验数形结合的研究方法，体验周期函数的研究思路；帮助学生实现知 识的
意义建构，帮助学生发现和总结学习方法，使教师成为学生学习的高级合作伙
伴。 教师要做到：
授之以渔，与之合作而渔，使学生享受渔之乐趣。 因此 1.本节要教给
学生看图象、找规律、思考提问、交流协作、探索归纳的学习方法。
2.通 过本课的探索过程，培养学生观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习
能力及数形结合（看图说话） 的意识和能力。
四、教学程序
指导思想是：两条线索、三大特点、四个环节 （一）导入
引出数形结合思想方法，强调其含义和重要性，告诉学生，本节课将利用数形结合方法来研究，会使学习变得轻松有趣。
采用这样的引入方法，目的是打消学生对函数学习 的畏难情绪，引起学生注意，
精心筛选，助您成功

也激起学生好奇和兴趣。 （二）新知探索 主要环节，分为两个部分 教学过
程如下：
第一部分————师生共同研究得出正弦函数的性质 1．定义域、值
域 2．周期性 3．单调性 （重难点内容）
为了突出重点、克服难点，采用以下手段和方法：
（1）利用多媒体动态演示函数性质，充分体现数形结合的重要作用； （2）以
层层深入，环 环相扣的课堂提问，启发学生思维，反馈课堂信息，使问题成为探
索新知的线索和动力，随着问题的解决 ，学生的积极性将被调动起来。 （3）单
调区间的探索过程是：
先在靠近原点的一个单调 周期内找出正弦函数的一个增区间，由此表示出所有的
增区间，体现从特殊到一般的知识认识过程。 ** 教师结合图象帮助学生理解并
强调 “距离”(“长度”)是周期的多少倍
为什么要这样强调呢？
因为这是对知识的一种意义建构，有助于以后理解记忆正弦型函数的相关性
质。 4．对称性 设计意图：
（1）因为奇偶性是特殊的对称性，掌握了对称性，容易得出奇偶性，所以着重
讲清对称性。体现了从一般到特殊的知识再现过程。 （2）从正弦函数的对称性
看到了数学的对称之美、和谐之美，体现了数学的审美功能。 5．最值点和零值
点
有了对称性的理解，容易得出此性质。 第二部分————学习任务转移给学生 设计
意图：
（1）通过把学习任务转移给学生，激 发学生的主体意识和成就动机，利于学生
精心筛选，助您成功

作自我评价；
（2）通过学生自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流，利于教
师作反馈评价；
（3）通过课堂教学结构的改革，提高课堂教学效率，最终使学生成为独立的学
习者，这也符合 建构主义的教学原则。
（三）巩固练习
补充和选作题体现了课堂要求的差异性。
（四）结课
五、板书说明 既要体现原则性又要考虑灵活性
1.板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼 要反映知识结
构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课
本 上的呈现方式来编排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、
创造性的原则；（原则性 ） 2.使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程
更加连贯。（灵活性）
六、效果及评价说明 （一）知识诊断 （二）评价说明
1．针对本班学生情况对课本进行了适当改编、细化，有利于难点克服和学生主
体性的调动。
2． 根据课堂上师生的双边活动，作出适时调整、补充（反馈评价）；根据学生
课后作业、提 问等情况，反复修改并指导下节课的设计（反复评价）。
3． 本节课充分体现了面向全体学生、以 问题解决为中心、注重知识的建构过程
与方法、重视学生思想与情感的设计理念，积极地探索和实践我校 的科研课题—
—努力推进课堂教学结构改革。
精心筛选，助您成功

通过这样的探索过程，相信学生能从中有所体会，对后续内容的学习和学生的 可
持续发展会有一定的帮助。希望很久以后留在学生记忆中的不是知识本身，而是
方法与思想， 是学习的习惯和热情，这正是我们教育工作者追求的结果








1.4.3正切函数的图象与性质说课稿
2013.12.8
一、说教材
三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是 三角函数的小分
支，它是高中数学必修4第一章第四节内容，本节课是研究了正弦、余弦函数的
图像与性质后，又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正
切有关的诱导公式，这为 本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步
研究其性质、体会研究函数方法的课，也是为学习 解析几何中直线斜率与倾斜角
的关系等内容做好知识储备的课．
二、说教法
本节内 容先从画它的图象，然后从图象上研究函数的性质——定义域、值域、
对称性、周期性、单调性；在方法 选择上，利用数形结合是对其性质研究的主要
途径。但也要让学生明白，作为正切函数除了一般函数的研 究内容外，还要针对
其图象的特点，特殊地研究其渐近线。利用课件让学生能更加直观、形象地理解精心筛选，助您成功

正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过 程，课件进行演示，以提高了
学生的学习兴趣，使之能达到一定的教学效果。
三、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 利用性质分析问题、解决问题
四、说教学流程
1、回顾已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，引入正切函数的图
象和性质。
2、提出问题1、2学习正切函数的部分性质：定义域、周期性，为画正切
?
??
?< br>曲线作铺垫，提出问题3，用正切线如何画
y?tanx
，
x?
?-，
?
的图象。然后
?
2,2
?
结合问题1、2作正切 曲线。
3、得到图象后，利用类比、数形结合进一步探究正切函数的性质：值域、
对称性、单调性；
类比研究正（余）弦函数的思路提出问题，让学生能清晰的认识本节课的
内容：在内容上，是研究一个具 体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、
单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究 的主要途径.

精心筛选，助您成功

其次，在已有性 质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学
生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像 呢？引导学生，从而得到画出图像
的方法.

教师从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至
高效.
这 一节课用出问题，解决问题，到如何研究正切函数的图象和性质，从哪些
方面进行研究.由问题引导学生 探究，完成本次课的学习。
1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)说课稿
我说课的内容是 人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）
第四章第九节《函数
y
= Asin(ω
x
+φ)的图象》第二课时．
我将从教学理念；教材分析；教学目标； 教学过程；教法、学法；教学评价
六个方面来陈述我对本节课的设计方案．
一、教学理念
新的课程标准明确指出 “数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所
必须具备的一种基本 素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更
要注重其思维价值和人文价值．
因 此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，
让学生通过主动参与、积极思考 、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、
知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学 生为本，全方位培养、提
精心筛选，助您成功

高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．
二、教材分析
三角函数 是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又
是学习高等数学及其它学科的基础．本 节课是在学习了任意角的三角函数，两角
和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研 究函数
y
＝
Asin(ω
x
+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数 的图象与正弦曲线的关系，以及
A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函 数的性
质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共
3课时， 本节课是继学习完振幅、周期、初相变换后的第二课时．
本节课倡导学生自主探究，在教师的引导下， 通过五点作图法正确找出函数
y＝
sin
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ)的图象变换规律是本节课的重点． < br>难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因
此，分析清不管哪种 顺序变换，都是对一个字母
x
而言的变换成为突破本节课教
学难点的关键．
依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．
三、教学目标
［知识与技能］
通过“五点作图法”正确找出函数
y＝
sin
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ) 的图象变
换规律，能用五点 作图法和图象变换法画出函数
y
＝Asin(ω
x
+φ)的简图，能举
一反三地画出函数
y
＝Asin(ω
x
+φ)＋
k
和y
＝Acos(ω
x
+φ)的简图．
［过程与方法］
通过引导学生对函数
y＝
sin
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ)的图象变换规律的探索，
精心筛选，助您成功

让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相 位
变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的
主要矛盾来解 决问题的基本思想方法．
［情感态度与价值观］
课堂中，通过对问题的自主探究，培养 学生的独立意识和独立思考能力；小
组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题 抓主要矛盾
的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引
发学 生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．
四、教学过程（六问三练）
1、设置情境
问题1
在上节课的学习中，用五点作图法画函数y＝sin
ω
x
的图象时，列表中最关键的步骤是什么？


设计意图：正中“ 五点作图法”的要害，既复习了旧知，又为学生准确使用
本节课将要用到的工具提供必要的保障． 答案：将ω
x
看作一个整体，令其分别为0，
?
3
?
， ?，，2?．
22
如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝3sinx
、

问题2
y＝sin2x和 y＝sin(x+
?
)的图象？
3
设计意图：复习巩固已学三种基本变换 ，同时为导入本节课重难点创设情
境．学生回答后，追问一般情况即：A、ω、φ的作用．此时部分学生 ，特别是
基础薄弱和数学表达能力欠缺的学生会出现困难，会因为回答不上而觉得紧张，
精心筛 选，助您成功

在不影响突破本节课重难点的前提下，为了避免刚上课就给他 们带来心理压力，
借助大屏幕以填空题的形式清晰展现答案．
答案：分别把正弦曲线上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）；
横坐标缩短为原来的
2、探求、研究
新 的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的
强烈欲望和创新意识．
1
?
（纵坐标不变）；向左平行移动
个单位长度得到的．
23
如何由函数y＝sin 2x的图象通过变换得到函数
问题3
y＝sin(2x+
?
)的图象？

3

设计意图：
（1）激发兴趣、提供平台 学生在碰到这个问题时，很感兴趣，因为它和问题2很类似，因此首先会猜想“左移
?
个单位长度”，为了验证自己的想法，
3
通过“五点作图法”画图分析，最后会发现猜想是错误的，于是更加激发他们强
烈的好奇心和求 知欲，很快掀起本节课的第一次高潮，给学生搭建起一个动手探
究、实践的平台．
（2）分化难点、突出重点 探求函数
y＝
sin
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ)的图象
变换规律是本节课的重难点，要分化此难点， 可分步探求函数：
①
y＝
sin

ω
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ)
②y＝
sin(
x
+φ)到
y
＝sin(ω
x
+ φ)
的图象变换规律．学生最难理解和最易出错的就是理解①
y＝
sin

ω
x
到
y
＝
精心筛选，助您成功

sin(ω
x
+φ)的图象变换规律，因此从特例出发，具有直观性，便于学生操作，
从而达到分化难点、突出重点的目的．
（3）探究本质、寻求关键点 当学生找到此题的答 案后，自然就会思考这
个问题的实质是什么？突破此难点的关键是什么？因此着眼
x
的 变化，把 ω
x
+
φ 变形为ω(
x
?
??
)，看 清是把
x
变成了
x?

就是解决问题的关键点．
??
（4）培养学生的合作意识和合作能力 在本题的解决过程中，首先要求学
生独 立思考，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结，并汇报探求过
程中得到的经验或出现的问题 以及采取的具体措施和效果，再由组员或其他同学
补充、质疑、评价或解答，培养学生的合作意识和合作 能力．
突破措施：
（1）分析特殊点坐标、寻求
x
变化 引导学生分析函数
y
＝sin 2
x
和
y
＝
sin (2
x
+
3
??
)在一个对应的周期内，
y
取同一 数值如：
时，
x
分别取
，0，因
2
36
此首先确定 是左移
?
?
个单位长度，其根本原因是
x
变成了
x?
．
6
6
（2）课件演示 合作交流完成后，通过课件直观演示，并引导学生总结规
律，从而突出本节课的重点并突破难点．
填空：
（1）把函数y＝sin 2x的图象向 平移 个
单位长度得到函数y＝sin(2x－
?
)的图象．
练习1
3

（2）把函数y＝sin 3x的图象向 平移 个
单位长度得到函数y＝sin(3x＋

精心筛选，助您成功
?
6
)的图象．

（3）巩固练习
（4）独立完成与合作交流相结合

如何由函数y＝sin(x+
?
)的图象通过变换得到
3
问题4
函数y＝sin(2x+
?
)的图象？

3

在问题3得以充分解决的前提下，此问题迎刃而解．
问题5
如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数
y＝sin(2x+
?
)的图象？

3

设计意图：通过实例综合以上两种变换，重点是比较两种方法平移量的区别
和导致这一现象的根本原因，即
x
的变化，并由此导出一般规律．
方法有二：
①先平移变换再周期变换
?
?
个单位长度，
x
变成了< br>x
+
，得到
33
?
1
y
＝sin(
x
+)的图象；再把所得图象横向收缩为原来的，
x
变成了2
x
，得 到
y
32
?
＝sin(2
x
+)的图象．
3
先把函数
y＝
sin
x
的图象向左平移
②先周期变换再平移变换
先把函数
y＝
sin
x
的图象横向收缩为原来的
精心筛选，助您成功
1
，
x
变成了2
x
，得到
y
＝sin
2

2
x
的图象；再把所得图象向左平移
s in2(
x
+
??
个单位长度，
x
变成了
x
+
，得到
y
＝
66
??
)＝sin(2
x
+)的图象．
63
升华知识、培养能力
（1）如何由函数y＝sin(2x+
＝sin x的图象？

?
) 的图象通过变换得到函数y
3
（2）函数
y?cosx,x?R
的图象经过怎 样的变换得到
y?cos(3x?),x?R
的图象？
2
?
（3） 函数
y?cosx,x?R
的图象经过怎样的变换得到
练习2

y??sin(?2x),x?R
的图象？
3
?
（4）函数
y?sinx,x?R
的图象经过怎样的变换得到
y?cos3x?sin3x,

x?R
的图象？
（5）函数
y?f(x)
的图象经过怎样的变换得 到
y?f(2x?3)
的图象？

设计意图：（1）培养学生变换的逆向思 维能力；（2）通过改变函数名考察学
生对变换实质的理解；（3）考察变换和使用诱导公式综合能力； （4）考察变换和
使用辅助角公式综合能力；（5）通过抽象函数考察学生对变换实质的理解．学生对这种综合题十分重视，觉得难但经过努力后又可以攻克，因此将满足学生追求
真理，乐于创新的情 感需求和渴求知识的强烈愿望，此处将掀起本节课的第二次
问题6
如何由函数y＝sin x 的图象通过变换得到函数
y
＝
Asin(
ω
x+
φ
)的图象？

精心筛选，助您成功

高潮．
设计意图：
在前两个问题解决的基础上，直接找一般规律．
在分析清楚共有六种变换方法后，得出一般变换方法：


沿x轴平 移|
φ
|个单位
横坐标 伸长或缩短
得y=sinωx的图象
沿x轴平 移|
作y=sinx（长度为2?的某闭区间）的图象





纵坐标伸 长或缩短
得y=sin(x+
φ
) 的图象
横坐标伸 长或缩短
?
|个单位
?
得y=sin(ωx+
φ
) 的图象
得y=sin(ωx+
φ
) 的图象







纵坐标伸 长或缩短
得y=Asin(ωx+
φ
)的图象，先在一个周期闭区间上
再扩充到R上
1.已知函数
y?
2sin(3
x?
),
x?R

3
（1）作出简图；
练习3
?

（2）指出经过怎样的变换可得到
y?sinx,x?R
的图象．
2.由函 数
y?sinx,x?R
的图象经过怎样的变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)?k,x?R
的图象．

精心筛选，助您成功

小结（由学生小结，教师补充、规范）：
本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数
y＝
sin
x
到
y
＝sin(ω
x
+φ)和
y
＝Asin(ω
x
+φ)的图象变换规律．其难点在于正确理解周期变换、相
位变换顺序改变后，图象平移的规律 ．通过本节课的学习，同学们要学会善于探
索、合作、独立、自信、创新．
作业布置：习题4.9的第2题（3）（4），第3、4、5题．
五．教法、学法
教法
教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了
以学 生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自
主探索以发现问题、分析问题 和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生
的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高 度统一．
学法
在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊< br>途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．
六．教学评价
“评价不是为了证明，而是为了促进”，本节课在引导学生探究、合作以及
交流的过程中，关注学生的 认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价和
评价的筛选评判功能，强调过程评价、自我评价和评 价的教育发展功能，教师适
时、公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识，尤其是在“ 问
题3，练习2”中思维活跃的学生应给予及时肯定．
精心筛选，助您成功

本节课教学注重了层次性，对基础薄弱的学生在“问题1，2，4，5，6和 练
习1，3”中多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的
评价，因为这 是让他们保持自信，爱好数学，善于钻研从而学会学习的最好培养
时机．
以上就是我对本节课 的设计．新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过
程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价 值，需要我们教育工作者的不
断创新，与时俱进．
谢谢！




























精心筛选，助您成功

1.6 三角函数模型的简单应用说课稿
一、内容和内容解析
本节课是普通高中 新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函
数》第六节的内容． 教科书《三角函数》 这章专门设置“三角函数模型的简单
应用”一节，目的是加强用三角函数模型刻画周期变化的学习，这是 以往教学中
不太注意的内容．本节内容的教学共分两个课时：第一课时根据图像建立解析式
以及 根据解析式作出图像；第二课时根据实际问题处理数据，作出散点图，然后
进行函数拟合，将实际问题抽 象为与三角函数有关的简单函数模型，最后根据实
际背景及问题的条件，考虑实际意义，对问题的解进行 具体分析．
三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，需要对收集到的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；进而画出散点图，用函
数进行拟合，并找出 恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型
解决实际问题.这体现了数学建模的思想．
在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图像的研究和分析，采用数形
结合的思想，使 问题得以解决．三角函数模型，其本身就是“数”与“形”的统
一体．就本节所涉及的实际问题，根据所 提供的数据很难一目了然地观察到其变
化的规律，而画出它的散点图，可直观的反映出数据的周期性变化 规律，这样将
“数”与“形”的结合，使得函数模型的建立水到渠成．在学习分段函数、指数
函 数、对数函数等具体函数模型时，已经接触过“数形结合”的思想，但结合本
课内容，发挥从“数”和“ 形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步
加强对数形结合思想方法的理解．同时，在运用三角 函数模型解决数学问题的过
程中，“函数与方程”“函数与不等式”等数学思想也得到了体现．
精心筛选，助您成功

此外，三角函数模型是在学习了分段 函数、指数函数、对数函数等具体函数
模型之后学习的又一具体函数模型，在教学过程中，突出体现了建 立模型和应用
模型两个核心环节．
因此，本节的教学重点是：用三角函数模型解决一些具有 周期性变化规律的实际
问题，学习从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的< br>三角函数模型的方法．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．利 用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模
型，掌握利用三角函数模型解决 实际问题．
2．经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过
程，感悟“数形结合”、“函数”的数学思想，并能理解应用数形结合、函数思想
解决有关具有周期运动 规律的实际问题． 3．培养学生的观察、分析、探究、
归纳及概括能力以及运用图形计算器等 信息技术手段解决实际问题的能力，使学
生增强了应用意识．
（二）目标解析
1．学生在学习分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型
的基本步骤有所了解，但 对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触，
至于对如何根据实际背景及问题的条件，注意考虑 实际意义，对问题的解进行具
体分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习 目标
之一．
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深
精心筛选，助您成功

化期四个阶段，而非通过简单如“复制与灌输 ”手段得以实现．所以通过数学建
模的过程，让学生领悟到数形结合思想、数学建模思想，并能运用这些 数学思想
观察、分析三角函数的图像，通过解决一些具有实际背景的综合性的问题，培养
他们综 合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．
3．通过数学建模的过程，使学生在观察、 分析、探究、归纳、概括等思维
活动中获取新知，这不仅提高学生思维能力，培养了学生运用图形计算器 等信息
技术手段解决实际问题的能力，同时也增强了学生的应用意识，促进了学生良好
的思维品 质的形成．
三、 教学问题诊断分析
在学习了一些分段函数、指数函数、对数函数等基 本函数模型后，学生已经历过
观察散点图，抽象成函数模型，分析图像的特征，运用图形计算器等信息技 术手
段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面
上，其中的数 学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实
际问题的陌生背景、复杂的数据处理等 ，学生会感到困难；尤其是明确问题的实
际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题 的解的分析等都
会有一定的困难．因此在教学时，重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生
认真阅读，抓住关键的词、句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中的提取
其中的数量关系；借助散 点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系
及他们的变化规律；同时注意指导学生如何根据问 题的实际意义对问题的解进行
具体的分析．
教学难点：分析、整理、提取和利用信 息，将实际问题抽象转化成三角函数
模型，并综合运用相关知识解决实际问题．
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四、教法特点以及预期效果分析
本节课围绕着数学模型的建立和应用，贯彻互动教学模式，以问题为载体，以学
生活动为主线， 让学生以研究者和探索者的身份，参与整个数学建模用模过程．
根据本节课教材内容的特点，为了更 直观、形象地突出重点，突破难点，以图形
计算器为平台，绘制三角函数等函数图像，“多元联系表示” ，变抽象为直观；同
时辅之以图形计算器强大计算功能等手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
学生通过本节的学习，将会进一步加深对数学建模过程的理解，使学生的数
据处理能力、自主探究能力、运算求解能力将得到培养；使学生的函数思想、数
形结合思想、数学建模 思想解决问题的应用意识将得到加强．
























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第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1.1向量的物理背景与概念说课稿
1.教法分析：
本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要
引入这个概念， 怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学
中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框 架和总体思路，使学生能“抬头看路”，
知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过 类比，有序地给
出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导
学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的
活动中来”，不轻易打断 学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在
质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念 的理解成为学生自己主动思维的结
果。
2.学法分析：学生在物理学科中已经积累了足够多 的向量模型，并且在三角函数
线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质） 已经
接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备；
三、教学目标的定位
根据《课程标准》的表述和《教学大纲》的要求，将本节课的教学目标确定为：
1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量
的含义、向量的几何表示，向量的模.
3.理解零向量、单位向量、平行 向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中
辨认相等向量和共线向量.
精心筛选，助您成功

4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的 逐步认识，充分揭示向量的两个要素
及向量可以平移的特点.
教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 根据学情及目
标，确立本节课的重难点：教学难点：向量的含义. 解决这一难点的关键是多用
几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深对向量的理解. 四、教学过程：
创设情境：问题情景（1）：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处以5米秒的速度逃窜，猫由B向正东方向的D处以15米秒的速度追去，猫能否抓到老
鼠？
问题情境 （2） 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行
山脚下 出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能
往北呢?”他却说：“不要紧 ，我有一匹好马！” 结果 原
因 。 意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的
问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客 观存在，自然引出学习内容，学
生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。
引入新知：问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？ 意图：激活学
生的已有相关经验，进一步直观演示，加深印象。 追问：生活中有没有只有大
小没有方向的量?请举例。
意图：形成区别不同量的必要性。概 念抽象需要典型丰富的实例，让学生举例可
以形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。 类比数的概念获得向量
概念的定义（板书）。
向量的表示方法： 问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样
把你举例中的向量表示出来呢
精心筛选，助您成功

意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现， 激发认知冲突，最后自觉接受用带
有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）
几何表示法： 记作A B |A B|为AB的长度(又称模)。 字母表示法：
a、b、c??或a、b、c ??
单位向量、零向量的概念：问题3用有向 线段表示向量，学生演板，提出问题，
大家画得线段长度长短不一怎么回事？如何解决这问题？由单位长 度引入单位
向量
意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要
归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的
单位向量．
让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？
归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0，它的方向是任意的。
提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集
合中的0和1.
相等向量、平行(共线)向量概念的形成：问题4.学习了向量我们如何定义两个
向量相等呢？ 意图：让学生通过亲身经历去体会相等向量的本质特征。由相等向
量引出平行（共线）向量。
问题5 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能
说说数学中的向 量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的
平行、共线有什么区别与联系？ 意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的
本质特征，完成“数 学化”的过程。
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例题解析，新知应用：例 2．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与
向量OA相等的向量
变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 变式三：与向量OA
长度相等的共线向量 有哪些？ 课堂练习及小结：
意图：继续深化概念，小结由学生完成。
板书设计






























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2.1.2向量的几何表示说课稿
各位评委老师:大家好！ < br>今天我说课的题目是人教A版《必修4》第二章第二单元的第一节课《向量的加
法运算及其几何意 义》。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为
什么这样教？”三个问题，从教材分析 、目标定位、教法与学法分析、教学程序、
板书设计五个方面进行说明，恳请各位专家批评指正。 一、教材分析
向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工
具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几
何等章节中都有着重要 作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对
向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形 法则以及向量加法的运算律做的
进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的 其他知
识奠定了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方
法之一， 体现了数学来源于实践，又应用于实践。
二、目标定位
知识目标： 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法
则
作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算
能力目标： 体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、
类
比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识
情感目标： 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学
生体验成功，培养学生学习数学的信心
学习重点： 向量加法的两个法则及其应用 学习难点： 对向量加法定义的理解
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为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下策略：
（1）、创设情境，引发学生认知冲突 ，激发学生求知欲，使学生对向量加法有一
定的感性认识。
（2）、从学生已有知识出发， 精心设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作
探究中经历知识的形成；通过层层深入的例习题的配置 ，引导学生积极思考，灵
活掌握知识，使学生从“懂”到“悟”。 三、教法、学法分析 1、教法分析
本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”
的指导思想，结 合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、
学法指导
引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力； 引导
学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流; 引导学生具有“用数
学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
四、教学程序
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节： 复习引
入 探究深化 精讲点拨 当堂达标 总结提升
作业布置
环节一 复习引入
1、向量的定义、表示方法；
2、平行向量的概念； 3、相等向量的概念。
【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教
学难点。 < br>问题1：向量能否象数与式那样进行加法运算？如果可以，两个向量的和是什
精心筛选，助您成功

么？试举例说明。
【设计意图】问题1 设置在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维，
使学生根据新的学习任务主动提取已有知识。 环节二 探究深化
多媒体演示实例，学生探究：
1、2003年春节探亲时，由于 台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好
从台北经过香港，再抵达上海，请问这两次位移之和是 什么？用图表示，并用语
言叙述。
2、两条拖轮牵引一艘驳船，他们的牵引力均为3000 牛，牵绳之间的夹角θ=60°，
作出物体所受合力，并用语言叙述
【设计意图】从学生熟 悉的物理知识问题入手，位移的合成体现了“首尾相接”
的两个向量如何相加；力的合成体现了共起点的 两个向量如何相加。学生在具体、
直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难 点奠定基
础。 问题2：对于任意的向量a和b,如何定义向量的加法a+b？
让学生任意 作出两个向量a和b,自主探究后分组合作，学生在思考讨论后由学
生上台展示讨论探究成果
【设计意图】把探究新知的权利交给学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，
让学生主动参与到问题 的发现、讨论和解决等活动上来。而且在探究交流的过程
中学生对向量的认识逐步由感性上升到理性，顺 利得出向量求和法则，解决了重
点学习内容。
向量求和的法则：（比对演示）
三角形法则
平行四边形法则
精心筛选，助您成功

图形表示语言表述 已知向量a和b，在平面内任取一点A，作AB
则向量Ac叫做向量a和b的和（或和向量）
=a, AD
=a, BC=b,
已知两个不共线向量a和b，在平面内任取一点A， 作AB
=b,则A、B、D三点不共线，
以AB、AD


为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量Ac
叫做向量a和b的和
符号表述
a+b=AB+BC=Ac
首尾相接，首尾连
a+b=AB+AD=Ac共起点
【设计意图】既帮助学生理解定义，又渗透了数形结合、 分类讨论思想，且使学
生进一步熟悉两个向量的和向量的几何作图技能。
问题3：两个向量 的和仍为一个向量，那么和向量a+b的方向与a,b的方向有何
关系？|a+b|与|a|，|b|有 何关系？
【设计意图】在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行比对，使学生体
会 “向量和”与“数量和”的区别，对向量加法运算的认识更加深入。 环节
三 精讲点拨
例1、根据图中所给向量a、b、c，画出下列向量
b c a
(1)a+b,b+a (2) (a+b)+c (3) a+(b+c)
【设计意图】既做了向量加法的练习，又证明 了交换律和结合律，完善了知识体
精心筛选，助您成功

系。 例2 、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。一艘船从
长江南岸A点出发，以5kmh的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度
为向东2 kmh （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保
留两个有效数字） （2）求船实际航行的速度大小与方向（用与江水速度间的夹
角表示，精确到度） 学生独立思考后，教师强调要点，并用多媒体演示
【设计意图】使学生进一步加深对知识的掌握，并 体验数学在解决实际问题中的
作用，增强应用意识。 环节四 当堂达标
1、 如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b
(1) (2) (3)
(4) 2、 a表示“向东走2km”b表示”向南走2km”则a+b表
示
3、在四边形ABCD中，AD+CB+DC+BC=
【设计意图】巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己
的学习进行自我评价， 也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己
的教学
环节五 总结提升
【设计意图】学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提
高学生的概括、 归纳能力。同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理
化、系统化，使认知结构更趋合理。
环节六 作业布置 1、课本P93 2、3、4 2、课外拓展：
（1）O为三角形ABC内一点，若OA
+OB

精心筛选，助您成功

+OC
=0，则O是三角形ABC的（ ）
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
（2）例2中若船以23kmh的速度垂直到达对岸，问船航行速度大小和方向是多
少？
环节七 板书设计
向量的加法及其几何意义
1、 三角形法则
2、 平行四边形法则
3、 运算律 例1
例2
当堂达标




















精心筛选，助您成功

2.1.3相等向量与共线向量教案说课稿
教学目标：
1. 掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本
质的能力. 教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念， 教学难点：平
行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路： 一、情景设置： (一)、
复习
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向
量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零
的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量
是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，
这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？ 这
时各向量的终点之间有什么关系？
(二)、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？ 2、任一
组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？ 三、探究学习 1、
相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
精心筛选，助您成功

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一 条有向线段表示，并且与有向线段
的起点无关．．．．．．．．．．. 2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段
的起点无关）． ．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于
两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的
线段的位置关系. 四、理解和巩固： 例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC
相等的向 量.
变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与
向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？
（FEDOCB,,） 例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （2）与零向量相等的向量必
定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （4）共线
向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
C.向量ａ

B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学 中研究的向量是自
由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，
根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向
相同或相反即可，与起 点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定
精心筛选，助您成功

形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ
与ｂ至少有一个 是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不
符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向 量，所以应选C. 课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量
都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当
模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两
个向量AB、AC在同一 直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤
正确.⑥不正确.
如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本77页练习4题 三、
小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关
系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。

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2.2 平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义说课稿
各位专家，您们好！
今天我说课的题目是《普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修4 》第二
章第二单元《平面向量的线性运算》的第一节课《向量的加法运算及其几何意义》。
现在 我就教材分析、目标定位、教法与学法分析、教学程序、板书设计五个方面进
行说明，恳请各位专家批评 指正。
一、教材分析
向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几 何的一种
工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几
何等 章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向
量加法、向量加法的三角形 法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一
步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性， 为后面学习向量的其他知识奠定
了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方 法之一，
体现了数学来源于实践，又应用于实践。
二、目标定位
知识目标： 掌握 向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则
作出两个向量的和向量；掌握向量的加法 的运算律，并会用它们进行
向量计算
能力目标： 体会数形结合、分类讨论等数学思想方法， 进一步培养学生归纳、类
比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识
情感目标： 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生
体验成功，培养学生学习数学的信心
学习重点： 向量加法的两个法则及其应用
学习难点： 对向量加法定义的理解
为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下策略：
（1）、创设情境，引发学生认知冲突， 激发学生求知欲，使学生对向量加法有一定
的感性认识。
精心筛选，助您成功

（2）、从学生已有知识出发，精心设置一条问题链，引导学生在自主学习与 合作探
究中经历知识的形成；通过层层深入的例习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌
握知识 ，使学生从“懂”到“悟”。
三、教法、学法分析
1、教法分析
本着“以学生为 主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”
的指导思想，结合学生实际，主要采用“ 问题导引，自主探究”式教学方法。
2、学法指导
引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；
引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;
引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
四、教学程序
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
复习引入 探究深化 精讲点拨 当堂达标 总结提升 作业
布置
环节一 复习引入
1、向量的定义、表示方法；
2、平行向量的概念；
3、相等向量的概念。
【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学
难点。
问题1：向量能否象数与式那样进行加法运算？如果可以，两个向量的和是什么？
试举例说明。
【设计意图】问题1 设置在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维，使
学生根据新的学习任务主动提取已有知识。
环节二 探究深化
多媒体演示实例，学生探究：
1、2003年春节探亲时， 由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好
从台北经过香港，再抵达上海，请问这两次位移之 和是什么？用图表示，并用语言
精心筛选，助您成功

叙述。 2、两条拖轮牵引一艘驳船，他们的牵引力均为3000牛，牵绳之间的夹角θ=60°，
作出物体 所受合力，并用语言叙述
【设计意图】从学生熟悉的物理知识问题入手，位移的合成体现了“首尾相接 ”的
两个向量如何相加；力的合成体现了共起点的两个向量如何相加。学生在具体、直
观的问题 中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难点奠定基础。
问题2：对于任意的向量a和b,如何定义向量的加法a+b？
让学生任意作出两个向量a和 b,自主探究后分组合作，学生在思考讨论后由学
生上台展示讨论探究成果
【设计意图】把探 究新知的权利交给学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，让
学生主动参与到问题的发现、讨论和解决 等活动上来。而且在探究交流的过程中学
生对向量的认识逐步由感性上升到理性，顺利得出向量求和法则 ，解决了重点学习
内容。
向量求和的法则：（比对演示）
三角形法则 平行四边形法则
C
图
形
表
示
D
C
A B
A
B

【设计意图】既帮助学生理解定义，又渗透了数 形结合、分类讨论思想，且使学生
精心筛选，助您成功



语< br>言
表
述
已知向量a和b，在平面内任取一
点A，作
AB
=a,
BC
=b,则向量
Ac
叫做向量a和b的和（或和向量）
a+b=
AB
+
BC
=
Ac

?
?
?
已知两个不共线向量a和b，在平面内任取一
点A，作
AB
=a ,
AD
=b,则A、B、D三点不共
线，以
AB
、
AD< br>为邻边作平行四边形ABCD，
则对角线上的向量
Ac
叫做向量a和b的和
a+b=
AB
+
AD
=
Ac


共起点
??
?
?
??
?
?
?
? ?
符
号
表
述

首尾相接，首尾连

进一步熟悉两个向量的和向量的几何作图技能。
问题3：两个向量的和仍为一个向量，那么和 向量a+b的方向与a,b的方向有何关
系？|a+b|与|a|，|b|有何关系？
【设计 意图】在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行比对，使学生体会
“向量和”与“数量和”的区 别，对向量加法运算的认识更加深入。
环节三 精讲点拨
例1、根据图中所给向量a、b、c，画出下列向量

b c
a
(1)a+b,b+a (2) (a+b)+c (3) a+(b+c)
【设计意图】既做了向量加法的练习，又证明了交换律和结合律，完善了知识体系。
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。一艘船从长江南岸
A点出发，以 5kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 kmh
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）
（2）求船实际航行的速度大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）
学生独立思考后，教师强调要点，并用多媒体演示
【设计意图】使学生进一步加深对知识的掌 握，并体验数学在解决实际问题中的作
用，增强应用意识。
环节四 当堂达标
1、 如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b


(1) (2) (3)
(4)
2、 a表示“向东走2km”b表示”向南走2km”则a+b表示
3、在四边形ABCD中，
AD
+
CB
+
DC
+< br>BC
=
【设计意图】巩固所学知识，进一步促进认 知结构的内化，并且可使学生对自己的
学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一 步调整自己的教
精心筛选，助您成功
?
?
?
?

学
环节五 总结提升
【设计意图】学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高
学 生的概括、归纳能力。同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、
系统化，使认知结构更趋 合理。
环节六 作业布置
1、书面作业P84 3、4
2、课外拓展：
（1）用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）O为三角形ABC内一点，若
OA
+
OB
+
OC
=0 ，则O是三角形ABC的（ ）
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
（3）例2中若船以2
3
kmh的速度垂直到达对岸，问船航行速度大小和 方向是
多少？
五、板书设计
向量的加法运算及其几何意义
（1）三角形法则


???
当堂达标训练
（2）平行四边形法则








精心筛选，助您成功

2.2.2向量减法运算及其几何意义说课稿
一、教材分析
《向量的减法运算及几 何意义》是高中必修四第二章第二节内容，是平面向
量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意 义后，本节课是对上节课内
容的一个转换。通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生 的
化归思想和数形结合思想。这样，不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意
义的理解，也 为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
二、学情分析
学生已经学习了 平面向量的加法运算及几何意义，会运用三角形法则和平行
四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定 的作图能力。这为学习向量的
减法运算打下了很好的基础。类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减
数”的理解。
三、教学目标
知识目标：1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用
2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义
3.会求两个向量的差
能力目标：培养学生的类比思想、数形结合思想及化归思想
情感目标 ：通过引导学生自主探索，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，
提高学生的学习积极性及主动性
四、教学重点和难点
教学重点：向量减法的运算和几何意义
教学难点：减法运算时差向量方向的确定
精心筛选，助您成功

五、教学方法及教学手段
教学方法：类比法、探究法、讲练结合
教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。
六、教学过程
（一）回顾旧知
通过提问，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。四边形法则 ：
起点相同连对角及向量加法法则）
1．已知a，b。求作a+b
(用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？)


引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量
可以相减呢
设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。并自然引
出本节课所研究 的内容。
（二）引入新课
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们 把北京记作A
点,香港记作B点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
精心筛选，助您成功

引出相反向量的定义：与
a
长度相同、方向相反的向量.记作 ?
a

规定：零向量的相反向量仍是零向量.

1、若 向量a , b 是互为相反向量,那么,a与b满足什么关系
2、 – （ – a ) = ________


设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。
也能使学生更容易理解相反向量的定义及相关性质
（1） 引入利用相反向量，通过向量加法定义向 量减法。通过数的减法运算的定
义类比得到向量的减法运算的定义：向量a-b=a+(-b).文字语 言：
如图：已知a和b 求作a-b
作法：在平面内取一点
O
，
作
OA
=
a
，
OB
=
b

则
BA
=
a
?
b

即
a
?
b
可以表示为从向量
b
的终点指向向量
a
的终点的向量
注意：1?
BA
表示
a
?
b
.强调：差向量“箭头”指向被减数
2? 用“相反向量”定义法作差向量，
a
?
b = a
+ (?
b
)
B’
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
a
B
?
b
精心筛选，助您成功
a
O
b
b
a+ (?b)
b
A

然后思考若果把向量AE平移会有什么发现。得出 向量的减法运算的三角形法则：
两个向量的起点相同，两个向量的差向量等于减数的终点指向被减数的终 点。

设计意图：通过对相反向量的理解，结合学生在初中所学的数的运算法则，通过
老师的引导与学生的自主探索。总结归纳出用相反向量，通过向量的加法运算定
义向量的减法运算。能 极大程度的提高学生的参与度。加深学生对知识点的理解
和把握。培养学生的自学思维和自信心。再通过 向量的平移引出“用向量加法的
逆运算来定义向量减法”这一方式。过程自然，便于让学生接受并理解。

探究：
1）如果从向量
a
的终点指向向量
b
的 终点作向量，那么所得向量是
b
?
a.

a
b
a
b
O
a
?
b
A
?
b
B
B
a
?
b
A
B
a
?
b
O B
A
B’
O
a
?
b
O
A
2）若
a
∥
b，
如何作出
a
?
b
？

例题：
例1、已知向量
a
、
b
、
c
、
d
，求作向量
a
?
b
、
c
?
d
.
解：在平面上取一点O，作
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
OD
=
d
，
作
BA
，
DC
， 则
BA
=
a
?
b
，
DC
=
c
?
d

A
精心筛选，助您成功
a
b
d
c
B
D

例2、平行四边形
ABCD
中，
AB?
a，
AD ?
b，
用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：

AC
=
a
+
b，

DB
=
AB?AD
=
a
?
b

变式一：当
a
，
b
满 足什么条件时，
a
+
b
与
a
?
b
垂直？（ |
a
| = |
b
|）
变式二：当
a
，
b
满足什么条件时，|
a
+
b
| = |
a
?
b
|？（
a
，
b
互相垂直） < br>变式三：
a
+
b
与
a
?
b
可能是相 当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）




（三）课堂练习
1.在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( )
A.a+b B.-a+(-b)

D.b-a
A B
D C
C.a-b
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c，
OD
=d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
3.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
4、如图所示， O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、
c、d的方向（用箭头表示），使 a+b=
AB
，c-d=
DC
，
精心筛选，助您成功

并画出b-c和a+d.








设计意图：通过对例题的讲解及习题的练习。便于让学生加 深对知识点的理解，
并帮助学生提高对知识点得灵活运用的能力。

（四）课堂小结
1.相反向量的概念及其应用；
2.向量减法的定义及其运算法则：三角形法则；
3.同起点、连终点、指向被减向量
4.解决向量加法，减法问题，数形结合必不可少
5.用多媒体列出向量加法运算与减法运算法则的比较表格

精心筛选，助您成功

设计意图：通过学生的总结，帮助学生回顾梳理本节所学内容，形成知识框架 。
帮助学生更好的区别向量加减法的运算法则。
（五）作业设计：
（六）知识迁移及提升：
在确保学生对上述知识点掌握后思考：
向量
a－ b
与
b－a
是什么关系？|
a
－
b
|与|
a
|＋|
b
|、|
a
|－|
b
|的大小关系如何？
1、互为相反向量
2、 |
a－b
|≤|
a
|＋|
b
|，当且仅当
a
与
b
反向时取等号；
3、|
a－b
|≥||
a
|－|
b
||，当且仅当
a
与< br>b
同向时取等号.
不在同一直线时考虑三角形的三边关系
|
a－
b
|与|
a
＋
b
|有什么大小关系吗？为什么？
对于非零向量
a
与
b
，向量
a
＋
b
与
a－b
可能相等吗？

七、板书设计
向量的减法运算及几何意义
1.相反向量的定义：
规定：零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法运算
定义：a-b=a+(-b)
三角形法则
3.小结

例1
例2


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2.2.3向量数乘运算及其几何意义说课稿
高传金
说课内容：普通高中课程标准 实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第
二节“平面向量的线性运算”的第三课时--- 向量数乘运算及其几何意义。
下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、 教学媒体
设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。
一、 背景分析 1、学习任务分析
向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一< br>个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排一课时，
主要研究数乘运 算及其几何意义、共线向量定理及其应用。
本节课的主要学习任务是通过物理中“位移”的事例抽象 出向量数乘运算的概念，
在此基础上探究数乘运算的定义与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步
培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数乘运算的定义既是对物理背景的
抽象，又是研究 几何意义和运算律的基础。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了向量 的概念，掌握了向量的加、减运算，具
备了位移等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法： 即先由特殊模
型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基
础 上研究运算律。这为学生学习向量数乘运算做了很好的铺垫，使学生倍感亲
切。
二、 教学目标设计
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条： ① 通过经历
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探究数乘运算法则及几何意义的过程 ,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向
量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
② 理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平
行.
③ 通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创
新能力和积极 进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
从以上的背景分析可以看出，数乘运 算既是本节课的重点，也是难点。为了突破
这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中 “位移”的实例都
发挥了重要作用。
综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为： 1、理
解数乘运算的定义及其几何意义；
2、掌握数乘运算的运算律，并能运用运算律进行相关的运算和判断； 3、理解
共线向量定理，并能熟练应用定理。 三、课堂结构设计
依据数学课程改革应关注 知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻
辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：
回顾向量的加减运算
创设问题情景 回顾向量加减运算的研究方法
物理背景------位移
抽象概念 几何意义
探究运算律 探究运算律
证明运算
律 探究定理 探究定理
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应用定理
应用概念 例题与练习
即 先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数乘运算的概
念，在此基础上研究数乘运算 的运算律和定理，使学生进一步加深对概念的理解，
然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最 后通过课堂小结提高学生认
识，形成知识体系。
四、 教学媒体设计
为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特
点，在教学媒体 的使用上，我的设想主要有以下两点：
1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内 容的呈现方式，以
此来节约课时，增加课堂容量。
2、设计科学合理的板书，一方面使学生 加深对主要知识的印象，另一方面使学
生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。
五、 教学过程设计
课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和
学生间互动的过程， 是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课
我主要安排以下六个活动：
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加 于人的。向量的数乘运算，
和向量的加减运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设 计
以下几个问题：
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 问题2：我
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们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算
的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 问题3：一物体在力F
的作用下产生位移S，
问题1的设计意图在于使学生了解数乘运算的 数学背景，让学生明白本节课所要
研究的数乘运算与向量的加法、减法一样，都是向量的运算。 问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方
法和顺序，为教学活动 指明方向。
问题3的设计意图在于使学生了解数乘运算的物理背景，让学生知道，我们研究
数乘运算绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从
而产生了进一步研究这种 新运算的愿望。同时，也为抽象数乘运算的概念做好铺
垫。
活动二：探究数乘运算的概念 1、概念的抽象
在分析“位移”的计算公式的基础上提出问题4
问题4：你能分别画出一秒的位移和3秒的位移吗？他们之间有什么样的联系？
学生通过作 图不难回答：3秒的位移的大小是一秒的3倍。这样，学生事实上已
经得到数乘运算的概念了，在此基础 上，我进一步明晰数乘运算的概念。
2、概念的明晰
一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
记作 ，它的长度和方向规定如下：
3、探究数乘运算的几何意义
活动三：探究数乘运算的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1)λ(μa)=(λ
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μ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
活动四：应用与提高 例1 计算: (1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). < br>活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数
乘运算的运算律 .教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们
在代数运算的同时说出其几何意义,使 学生明确向量数乘运算的特点.同时向学
生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于 任意向量a、b,以
及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:
因
3m+2n=a, ① m-3n=b.
② 3×②得
3m-9n=3b. ③ ①-③得
11n=a-3b.
∴n=111a-113
b. ④ 将④代入②,有
m=b+3n=113a+112
b.
点评:此题可把已知 条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在
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此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从 而解
向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
图2
例2 如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作
OA=a+b,OB=a+2b,OC= a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
活动:本例给出了利用向量共线判 断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的
方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A, B,C三点共线的猜想,再
将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要 引
导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技
术整合的题 材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过
程中,A、B、C三点始终在同 一条直线上的规律.
活动五：小结提升与作业布置
1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、共线向量定理的应用是什么？
3、我们是按 照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究
过程中，渗透了哪些数学思想？
4、类比向量的加减运算，我们还应该怎样研究数乘运算？
通过上述问题，使学生不仅对本 节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认
识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。
布置作业：
1、课本P91习题2.2 A组9、10。 2、拓展与提高： B组3
在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因
此安 排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数乘运算的理解和
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应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同 的
发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。
六、教学评价设计
评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反
映每个学生的发 展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重
视结果，也要重视过程。结合“课标”对 数学学习的评价建议，对本节课的教学
我主要通过以下几种方式进行：
1、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并
对其进行定性的评价。 < br>2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度
和表现做出评价， 以此来调动学生参与活动的积极性。
3、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
4、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。









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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理说课稿
大 家下午好，今天，我说课的内容是：人教A版必修4第二章第2.3节《平面
向量基本定理》第一课时， 下面我将从教材分析、教学方法和手段、学情分析与
学法指导、教学过程设计以及教学体会五个方面进行 分析。 说教材分析将从下
列各个方面进行讲述，
一：教材的地位和作用
数学 地位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角
函数的一种工具，它有着极其 丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很
高的教育价值。
全章地位：平面向量基本 定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广
到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理 可以看成是在一定范围内向量
分解的唯一性定理。所以平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基 本结
构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或
利用向量解 决问题的基本手段。
应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，
因此，有着十分广阔的应用空间。
二：教学目标
根据教学内容的特点，依据新 课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本
节课的教学目标： （1）知识与技能目标
了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向量，
为向量坐标化打下基础。 （2）过程与方法目标
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通过 对平面向量基本定理的学习过程，体验数学定理的产生、形成过程，
体验定理所蕴涵的数学思想方法。 （3）情感、态度与价值观目标
通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用 意识，进一步体会
向量是处理几何问题强有力的工具之一。
三：重点难点分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合
起来，这样许多几何 问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学
习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基 本定理的应用是本节课的重点。另
外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本 节的难
点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条
件下多方 位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。
说教学方法与教学手段
结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式
为：质疑—合作—探究式。
此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练
习，
教学手段我采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发
学生的求知欲。
说学情分析与学法指导
学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线 向量、
向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理
背景有了 初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为
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学习这节课作了充分准备。
学法指导：教师平等的参与 学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来
体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来 调整整个学习活动的梯
度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次< br>向前推进。
关于教学过程设计的分析
为了更好的突出教学重点，突破教 学难点，完成教学目标，本节课的教学过程的
实施我认为可以分为三个阶段也就是六个环节来进行： 第一阶段，定理的导入
与推导。
第二阶段，定理的应用与例题解析。 第三阶段，学生自我练习与课后反思。
而这三个阶段我又分为了六个环节来进行讲解：
（1）创设情景，提出问题（2）自主探究，解决问题（3）自主练习，应用问题
（4）课堂小结（5） 作业布置：（6）板书 （1）创设情景，提出问题
这一环节我设置了三个问题
1、向量加法的运算法则是什么？ 2、平行向量基本定理的内容是什
么？
3平面内任意画出一个与其不平行的向量，请问能不能只用前一个向量来
表示?写成 a=xb的形式呢？
回答是否定的，.接下来设问:那该如何表示.联系物理当中速度的 分解的模
型，思考平面内的任意一个向量是否可以由两个不共线的向量来线性表示呢？提
出问题 同时点题.那么我就可以开展探究活动，然过度到第二节。
教学过程中，以提问的方式完成对旧知 识的复习巩固，其中平行向量基本定理强
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调系数惟一确定,说明用一个向量就可以表示平面内任何一个与其平行的向
量. 为下一步新课的讲解作铺垫。 设计意图：（1）承上启下复习旧知。复习向
量共线的充要条件、向量加法的平行四边形法则。
（2）定理导入。创设“最近发展区”，调动学生已有的知识和认知经验。
由 平行四边形法则在力的分解中的应用导入向量的分解，从而进入定理的推
导。 （2）自主探究，解决问题
这一环节，是教学的重点，学生在富有启发性的问题下，自主作图，自主 探究，
不仅得出了定理，而且思维也得到了发展。主要采用合作学习的形式利用设置的
问题一步 一步的启发学生思考，有层次、有启发性的问题可以进一步使学生的思
维走向深入。
联系刚才的第三个问题，在这一环节将得到解答，首先请同学们自己先思
考，然后再由我引导他们把1e 2e和a
平移到一个起点O上，然后再根据刚才复习的平面向量的加法法则，进行分解，
就会 发现一个规律，就是a可以通过21ee
来表示，再参考前面学习的共线向量基本定理，我们就可以让 学生先自己去猜
想平面向量基本定理的内容。最后我再归纳整理出平面向量基本定理的具体内
容 。即 如果1e
面内的任一向量a
，存在一对实数21
、2e

，使
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平
设计目的：通过学生动手实践、观察、比较 抽象概况得出定理，能增强学生的直
观感知，让学生体会数学定理的产生以及形成的过程。让学生体会由 特殊到一般
的思维方法，发展学生的理性思维能力
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另外关于平面向量基本定理，在教学中我想还要再引导学生关注定理中的关键
字： 1、把不共线向量e1，e2称为表示这一平面内所有向量的一组基底。 2、
定理中e1，e2是两个不共线向量
3、基地给定的前提下，分解式确定，即实数对21是唯一确定的
4、平面内任一两个不共线的向量 ， 都可以作为一组基底。即基底不唯一。
这一环节的设计意图：对定理的解析有利于对定理的正确把握，基底的不唯一性
可让学生通过 作图来体会，就是说这一基本的定理对平面内所有向量的研究都可
以转化为对基底的研究，它的本质就是 化多变量问题为双变量问题，它体现的数
学思想就是转化的思想。
那么学习了平面向量基本定理接下来，应该指导学生学以致用。 （3）自主练习，
科学应用
这一环节主要是为了使学生更好的巩固定理，下面进行例题剖析。
另外为了促使学生深入理解平面向量基本定理的内涵,我将例题做了变换，如
图，
（设计意图：通过例题剖析，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立
分析解决问题的 能力，通过师生的共同探究让学生进一步体会到任何向量都可以
用两个不共线的基底表示的思想）
课堂练习：是对刚才例题及其例题的巩固
设计意图：让学生及时巩固所学方法，掌握平面向 量基本定理应用的基本模式：
给定基底如何表示其他向量。
2e1ea
（4）课堂小结： 教师引导学生思考，通过本节课的学习，你学到了什么？体验
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到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？
设计意图：使学生养成归纳总结的习惯，不断提高自己的反思和建构能力 （5）
作业布置：
为尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，分两部分来布置作业，一部分
是课本的习题， 要求学生必做，即巩固作业；另一部分是思考题，允许学生根据
个人情况来完成，即创新作业。 【巩固作业】
课本97页第2题；98页第6题 【创新作业】
用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 （6）
板书我说课的最后一部分是板 书设计：教学过程中应用多媒体能直观生动的反映
问题情境，形象的刻画事物的变化过程，但同时也存在 弊端，如教学内容相互覆
盖，不易持续保留，而板书恰恰可以弥补这些不足。本节课的板书分两部分设计 ，
一部分为重要的概念、可以在学生学习的过程中随时提供信息；另一部分为例题
的书写，让学 生对解题步骤有明确的认识，有利于课后顺利的完成作业。
教学体会
本节课引导学生 学习向量的分解教学，亲历概念的形成过程，模式的构建过程使
学生在以下几个方面有较大的收获和启发 ：
1.通过对平面向量基本定理的教学与分析，使学生对向量的工具性实质有了
更深 刻的理解，较好的调动了学生的积极性和主动性；
2.学生的思维得到了有效的训练和提高。在富有 启发性的问题下，学生通过积极
的思考，完成了对定理的自主探究，尤其在应用练习后，学生的思维又得 到了进
一步的提升。
平面向量的基本定理是向量正交分解的理论基础，用这基本定理可以容 易的解决
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与向量有关的问题，现在课标中对向 量的基本定理由理解变为了解，那么，我的
体会是了解更适应数学基础课的要求，能适应所有学生的要求 。另外我觉得在教
学中可以先给学生讲解正交分解，然后再将平面向量基本定理，这样处理时遵循
从特殊到一般的研究规律
3另外.本节教学采用“三主”的教学方法(“三主教学法”：教师主导 、学生主
体、思维主线)
始终坚持以学生为主体，坚持探索、发现、反思的教学策略， 引发了生动的、
积极性的教学活动和和谐的课堂氛围；














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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示说课稿
各位评委、各位老师，大家好。我是....
今天，我说课的内容是：人教A版必修四第二章第三节《 平面向量的基本定理及
坐标表示》第一课时，下面，我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程< br>以及设计说明五个方面来阐述一下我对本节课的设计。
一、教材分析：
1、教材的地位和作用： 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，
有着极其丰富的实际 背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量
的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由 实际问题引入向量概念，研究了向
量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要 是研究向
量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，
坐标 表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”
的运算处理“形”的问题搭起 了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核
心地位.
2、教学目标：根据教学内容 的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下
三个方面来确定本节课的教学目标。
（1）知识与技能 了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，
掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示。
（2）过程与方法
通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程， 让学生体验
数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，
从 而实现向量的“量化”表示。
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（3）情感、态度与价值观
引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和 应用意识，提高学习
数学的兴趣，感受数学的魅力。
3、教学重点和难点：根据教材特点 及教学目标的要求，我将教学重点确定为—
——平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示 教学难点：对平面向
量基本定理的理解及其应用
二、教法分析：
针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原
则，本节课采用由“自学—探 究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导
学方法。
三、学法指导
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中
要不断指导学 生学会学习。由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，
并且对向量的物理背景有初步的了解， 我引导学生采用问题探究式学法。让学生
借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动 探索，积极交流，
从而建立新的认知结构。
四、重点说明本节课的教学过程：
本节课共设计了五个环节：发放学案，依案自学；分组探究 ，信息反馈；精讲
点拨，解难释疑；归纳总结，建构网络 ；当堂达标，迁移拓展 。
1、发放学案，依案自学
学习并非学生对教师授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有 的知识和
经验为基础的主动建构。根据这一理念，我在课前下发“导学学案”，让学生以
精心筛 选，助您成功

学案为依据，以学习目标、学习重点难点为主攻方向，主动查 阅教材、工具书，
思考问题，分析解决问题，在尝试中获取知识，发展能力。这是我编制学案的纲
要。
经过学生的自学，在课堂上，我采用提问的方式，让学生对知识点进行简单概
述，并阐述自己的学习方法和体会。其中，向量的夹角概念，学生基本上能独立
解决，我会引导学生归纳 出求两个向量夹角的要点：
（1）两个向量要共起点，（2）两个向量的正方向所成的角。然后，通过 学案上
的练习题目1，检查学生的掌握程度。对本节课的重点和难点：平面向量基本定
理的探究 及坐标表示，我准备通过分组探究，精讲点拨，归纳总结三个方面来突
破。
2、分组探究 ，信息反馈
这一环节，我先把学生分组，让其对定理及坐标表示，进行讨论 、探究、交
流，先组内互相启发，消化个体疑点，然后以组为单位提出疑问。如果某个问题，
某 个组已经解决，其它组仍是疑点，我让已解决问题的小组做一次教师，面向
全体学生讲解，教师可以适当 补充点拨，这也可以说是讨论的继续。对于难度较
大的倾向性问题，我准备 3、精讲点拨，解难释疑
本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐标.要求先运用已有的知 识去研究
平面向量的基本定理,然后以这个定理为基础建立向量的坐标。对于定理的探究，
有些 学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,为了帮助学生改进学
习方法,提升数学能力,我先 提问学生如何把平面上任一向量分解成两个不共线
向量的线性组合，学生会通过作图来说明这一问题。我 们要强调的是,这里的向
量是自由向量,其起点是可以移动的,将三个向量的起点放在一起可便于研究问
精心筛选，助您成功

题.类比物理上力的分解，利用平行四边形法则，我们把向量 分解成 ，根据向
量共线定理 ，存在一对实数λ1，λ2 ，使， 从而 =λ1 +λ2 ，教师再引导学
生自主归纳，从而得出平 面向量基本定理。为了加深对定理的理解，我设计了如
下的几个问题，学生思考回答后，教师再利用几何 画板作进一步的演示。当， 共
线时，与它们不共线的向量 不能用， 当线性表示，所以共线向量不能作为基底；
当不共线向量， ，任意 确定后，λ1，λ2是唯一确定的；我们改变向量 的大
小和方向，发现 仍然可以用， 线性表示，说明了任意向量 能分解成两个不共
线向量的线性组合；改变基底， 的大小和方向，保持向量 不变，刚才的结论仍
然成立，说明了同一个向量 能用不同的基底线性表示，由此说明基底不唯一，
具有可选择性。
对于向量的坐标表 示，我先用火箭速度的分解引入正交分解，然后提问：根据
平面向量基本定理，基底是可以选择的，为了 研究的方便，我们应该选取什么样
的基底呢？引导学生由一般到特殊，选择平面直角坐标系中 轴和 轴上，且方向
与轴的正方向同向的单位向量 做基底，那么根据刚刚得出的定理，任一向
量 =x +y ，由于x,y是唯一的，于是存在数对（x,y）与向量a一一对应，从而
得到平面向量的 坐标表示。需要说明的两点是：第一，向量的坐标表示与其分解
形式是等价的，可以互相转化。第二点说 明：求向量坐标的关键是构造平行四边
形，确定实数x、y。学生在理解起点不在坐标原点的向量的坐标 表示时会出现
障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的
坐标只是和从原点出发的向量一一对应,必须使学生在这种特定的场合中明白:
要求点 的坐标就是要求向量 的坐标.只要结合向量相等的条件学生应该容易克
服这一难点。随后，通过学案上 的练习2，让学生巩固所学知识。 4、第四
精心筛选，助您成功

个环节，归纳总结，建构网络
建构主义教学理论认为，知识是主体在与情境的交互 作用中、在解决问题的
过程中能动地构建起来的，学生应在教师指导下自主归纳出新旧知识点之间的内< br>在联系，构建知识网络，从而培养学生的分析能力和综合能力。为此，我设计了
如下的问题：
通过本节课的学习，你收获了什么？??
在学生回答的过程中，我及时反馈，评价学生课堂表现，起导向作用。 学
生完成个人新知建构之后，为了帮助学生检验自己的学习过程，我设计了 5、
第五个环节，当堂达标，迁移拓展
本部分检测题，紧扣目标，当堂训练，而为 了尊重学生的个体差异，满足多
样化学习的需要，我又分必做和选做两部分来布置题目，允许学生根据个 人情况
来完成。
五、我说课的最后一部分是教学设计说明：
1、贯彻了学生主体、教师主导的原则
“学案导学”要求学生主动试一试，并给予学生充分 自由思考的时间。学生
在尝试中遇到问题就会主动地去自学课本和接受教师的指导。这样，学习就变成< br>了学生自身的需要，使他们产生了“我要学”的愿望，在这种动机支配下学生就
会依靠自己的力量 积极主动地去学习。
教师通过启发、激励，诱导学生全员、全过程参与教学过程，体现教师的主导
作用。
2、培养了自主探索，合作交流的能力
新的课程理念，要求学生的学习不仅仅是在理解基础上掌握和记忆知识，还
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要学习探索和解决问题的方法和途径。
本节课采用诱导式 教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学
实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在 教师的指导下发现、分析和解决问
题，掌握数学知识、形成数学能力，培养探索精神和团队意识。 我相信，通
过本节课的学习，学生获取的将不仅仅是知识，获取知识的手段、途径和方法，
以及 勇于探索、合作交流的能力，才是他们最大的收获。
以上是我对本节课的设计和说明，不足之处，敬请各位专家批评指正。















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2.3.3平面向量的坐标运算说课稿
内蒙古自治区包头市蒙古族中学 鞠凤丽
今天，我说课的内容是：人教版全日制普通高级中学教科书必修四第二章第
二节第三课时，我将从教材 分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及板
书设计五个方面进行说课。
首先进行教材分析：
1、教材的地位和作用：
向量是近代数学中重要和基 本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一
种工具，具有丰富的实际背景。利用向量便于研究空间里 涉及直线和平面的各种
问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积以及解析
几何、立体几何的相 关问题奠定了基础。
2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以
下三个方面来确定本节课的教学目标。
知识目标：理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算。
能力目标：⑴通过平面向量 坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生演绎、
归纳、猜想的能力；⑵通过对坐标平面内点和向量的类比 ，培养学生类比推理的
能力；⑶借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能< br>力。
情感目标：设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数
学来源 于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯
物主义观点。
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3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目 标的要求，我将教学重点确定
为———平面向量的坐标运算。掌握了平面向量的坐标运算，可以使向量的 运算完
全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数
量运算， 这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以平面向量的坐标运算是
本节课的重点。
教学难 点：平面向量坐标的意义。向量与其坐标之间是一一对应关系，即向
量的坐标与表示它的有向线段的始点 、终点的具体位置没有关系，只与其相对位
置有关，这一点对初学者来说有一定难度，所以确定为难点。

第二，谈一谈学生情况：
首先，学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且刚刚学 习了向量的概念
和简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础；
另外,学生对向量的 物理背景有初步的了解，如力的合成；同时学生已具备一
定的数学建模能力，能从物理背景或生活背景中 抽象出数学模型，并能进一步猜
想、探讨和证明，为新课的教学提供了良好的思想基础和能力基础。
第三，教学方法和手段：
针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“引导发现，合
作探究”的教学方法。
教学手段：应用多媒体课件、实物投影仪。
第四，重点说明本节课的教学过程：本节课共设计 了五个环节：1、复习回
顾；2、创设情境；3、合作探究与指导应用；4、归纳小结；5、布置作业。
1、在复习回顾这一环节中设置了三道判断题，教学过程中，以提问的方式
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完成对旧知识的复习巩固，其中前两个命题是复习向量概念的，向量是既有大 小
又有方向的量，两个要素缺一不可，而在命题1中，只有大小，命题2中只有方
向，所以这两 个命题都为假命题。这对于学生来说比较简单，我的设计意图是通
过取命题1 的单位长度和命题2 的方向，引出x轴、y轴正方向上的单位向量i
和j，为下一步新课的讲解作铺垫。命题3 是平面向量 基本定理的再现，这个定
理是学习新课的理论基础，借助定理在生活中的应用过渡到第二个环节——创设 情
境：
2、通过以学生熟知的足球运动为问题情境来引入新课，可以建立数学与生
活 的联系，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。足球受到的力如图所示，为研
究足球的运动轨迹，物理学 中常常将力按水平方向和竖直方向进行分解，也就是
说，平面向量基本定理在应用时常常取互相垂直的两 个向量作为基底，这就联系
到刚刚引出的单位向量i和j，从而过渡到第三个环节——合作探究与指导应 用：
3、这个环节共设置了两个问题、三个探究及相应的例题、练习题，通过设
置问题、引导 发现、合作探究、指导应用的模式，精心设计、层层铺垫，启发、
调整、激励学生在教师的引导下全员参 与、全程参与，经历知识的形成、发展和
应用的过程，从而达到对知识的深刻理解。
问题一： 平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？
这个问题引导学生把向量与直角坐标平 面内的点进行类比，来寻找向量与实数的
联系，学生很自然的会想到刚刚复习过的平面向量基本定理，此 时教师提问 ：
“在平面直角坐标系内应用平面向量基本定理时，基底该如何选取呢？”学生经
历了前两个环节探讨，能够提出以向量i 和 j作为基底，构造平行四边形，从
而顺利地完成了基底特 殊化的过程，教师继续提出问题：“向量AB与向量i有什
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么关系呢？”学生利用向量共线的定理作出回答：存在唯一的实数x使得向量
AB等于x倍的向量i，同理向量AD等于y倍的向量j，进一步利用向量加法的
平行四边形法 则有向量a=AB+AD=xi+yj，于是存在数对（x,y）与向量a一一对
应，因此问题一的结论 是平面直角坐标系内，向量与点都可以用一对实数来表示，
把这对实数（x,y）叫做向量a的直角坐标 ，并把这个分解形式记作a=（x,y），
这就是平面向量的坐标表示。需要说明的两点是：第一，向量 的坐标表示与其分
解形式是等价的，可以互相转化。如果能写出向量的分解形式，那么向量的坐标
也就确定了，而向量的分解需要通过构造平行四边形来完成，因此又有第二点说
明：求向量坐标的关键 是构造平行四边形，确定实数x、y。这两点给出了求向
量坐标的思路，教师在此基础上引导学生得出特 殊向量i、j及零向量的坐标，
接着给出例一：要求求出图中四个向量的坐标，在教学中重点讲解向量b 的坐标
表示，学生提出以单位向量i和j为基底构造平行四边形，则向量b等于向量
AB加上向 量AD，又由图可知向量AB与AD的长度分别为2和3 ，所以学生得出
向量b的坐标为（2，3）， 在这里，学生忽视了坐标的符号，教师在纠错的基础
上强调：在求解向量的坐标时要注意观察向量的方向 ，由于向量AB与向量i反
向，向量AD与向量j同向，所以向量b的坐标应该为（-2，3），可见— —向量的
坐标是有正负之分的，这也进一步体现了以向量b为例讲解本题的目的。其余三
个向量 的坐标表示要求学生来完成。在完成此题后引导学生继续观察向量b和向
量d，发现这两个向量的坐标相 同，那么这两个向量相等吗？教师利用多媒体动
画演示将向量b平移以后得到了向量d，而向量平移前后 大小和方向都不改变，
所以向量b等于向量d，由此引出探究一：相等向量的坐标一定相等吗？为解决< br>这个问题，教师引导学生将两个向量都进行分解,可以观察出分解后得到的两个
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