新编人教a高中数学必修4全册导学案版本

sin(a?
求
3
?
3
?
)?sin(?a )?tan
2
(2
?
?a)?tan(
?
?a)
2 2
的值.
cos(?a)?cos(?a)
22
??














三、小结
应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：
1?用“? ?”公式化为正角的三角函数；
2?用“2k? + ?”公式化为[0，2?]角的三角函数；
3?用“?±?”或 “
四、作业：
习题1.3 B组第1题

?
±α”公式化为锐角的三角函数
2
五、探究
1、
习题1.3 B组第2题
1
2、
已知sin??，sin(???)?1,求sin(2???)

3

1. 4.1 正弦函数、余弦函数的图象
班级 姓名
【
教学目标
】
1、
通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.
2、
通过三角函 数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学
习带来的好处,并会熟练 地画出一些较简单的函数图象.
【
教学重点
】
正弦函数、余弦函数的图象.

【教学难点】
将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余
弦函数图象间的关系.
【教学过程】
一、预习提案 （
阅读教材第30—33页内容，完成以下问题：）

1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x
?
[0,2
?
]的图象。







x




说明：使用 三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时，
自变量要采用弧度制，确 保图象规范。
2、 由上面画出的x
?
[0,2
?
]的正弦函数图 象向两侧无限延伸得到正弦函数的图象（正弦曲
线），请画出：
y




x





3、 观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点：
①由于正弦函数y=sinx中的x可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧 。
②正弦函数y=sinx图象总在直线 和 之间运动。
y
o
o

4、观察正弦函数y=sinx, x
?
[0,2
?
]的图象，找到起关键作用的五个点：

， ， ， ，
5、用“五点作图法”画出y=sinx, x
?
[-
?
,
?
]的图象。

y









o
x
6、①函数
?
（x+1）的图象相对于函数
?
（x）的 图象是如何变化的？
②函数y=sin（x+

③由诱导公式知：sin（x+

?
）的图象相对于正弦函数y=sinx的图象是如何变化的？
2

?
）=
2
，所以函数y=sin（x+
?
）=
2
④请画出y=cosx的图象（余弦曲线）

y








7、观察余弦函数y=cosx, x
?
[0,2
?
]的图象，找到起关键作用的五个点：

， ， ， ，
8、用“五点作图法”画出y=cosx, x
?
[-
?
,
?
]的图象。

y









o
x

o
x

二、新课讲解
例1、用“五点作图法”作出y=
sinx
, x
?
[0,2
?
]的图象；并通过猜想画出y=
sinx
在整个
定义域内的图象。















练习：用“五点作图法”作出y=
cosx
, x
?
[0,2
?
]的图象；并通过猜想画出y=
cosx
在整
个定义域内的图象。

例2、用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=1+sinx, x
?
[0,2
?
];(2)y=2cos(2x-
















练习：用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=-cosx, x
?
[0,2
?
];(2)y=2sin(x-















三、课堂小结 1、 会用“五点法”作图熟练地画出一些较简单的函数图象.
2、关键点是指图象的最高点，最低点及与x轴的交点。

四、作业布置 习题1.4 A组第1题
?
)
3
?
)+1
3

1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第一课时>
班级 姓名
【
教学目标
】
1、通过创设情境,如单摆 运动、四季变化等,让学生感知周期现象;
2、理解周期函数的概念;
3、能熟练地求出简单三角函数的周期。
4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
【
教学重点
】
正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);< br>
【教学难点】
正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解 ,
最小正周期的意义及简单的应用.
【教学过程】
一、 复习巩固
1、画出正弦函数和余弦函数图象。












2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：

y=sinx
y=cosx
定义域


值域


3、下列各等式是否成立？为什么？
（1）2 cosx=3， （2）sinx=0.5





4、 求下列函数的定义域:(1)y=
2
1
; (2)y=
cosx
.
1?sinx

二、预习提案
（
阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）
1、什么是周期函数？什么是函数周期？


注意：①定义域内的每一个x都有
?
（x+T）=
?
（x）。
②定义中的T为非零常数，即周期不能为0。
<小试身手>等式sin(30?+120?) =sin30?是否成立？如果这个等式成立，能否说120?是正弦函
数y=sinx，x∈R.的一 个周期？为什么？



2、什么是最小正周期？



3、正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期：

y=sinx
y=cosx
周期


最小正周期

<注>在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周
期.



三、探究新课

例1 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(






x
?
-),x∈R.
2
6

练习：求下列函数的周期:
3
x
，x∈R （2）
y?cos4x
，x∈R
4
11
?
（3）
y?cosx
，x∈R （4）
y?sin(x?)
，x∈R
234
（1）
y?sin



























四、规律总结

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ), (其中A、ω、φ为常数 ,A≠0,ω
≠0,x∈R)的周期为T=
2
?
?
.
可以按 照如下的方法求它的周期:

2
?
)+φ］=Asin(ωx+φ).

?
2
?
2
?
于是有f(x+)=f(x),所以其周期为.
?
?
y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+




五、感悟思考








六、作业布置
习题1.4A组 第3题









1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第二课时>
班级 姓名 < br>【
教学目标
】
1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及 函数值
域。
2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。

3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。
【
教学重点
】
正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性、对称性)。
【教学难点】
利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
【教学过程】
一、 复习相关知识
1、填写下表
奇
函
数
定义
图象
定义
图象




2、填写下表中的概念
增函数
减函数
单调增区
间
单调减区
间




最大值及

其在图象
中的体现
最小值及

其在图象
中的体现
3、什么是中心对称、轴对称图形？什么是对称中心、对称轴?




二、预习提案
（
阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）
1、观察正余弦曲线：

偶
函
数

知：正弦函数是





函数，余弦函数是 函数。并用奇偶函数的定义加以证明。
2、判断下列函数的奇偶性：①
f(x)
=
sinx
, ②
f(x)
=
cosx
, ③
f(x)?sinx
，
④
f(x)?cosx
。





3、观察函数y=sinx,x∈［-
?
3
?
,］的图象，填写下表 :
2
2

x
sinx
-
?

2

… 0

…

?
2


…

π

…

3
?

2

小结：
正弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;
在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.


4、观察函数y=cosx,x∈[-π,π] 的图象，填写下表:

x
cosx
-π

…
-
?

2

…

0

…

?

2

…

π

小结：
余弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;
在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.

5、由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下：
Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.

(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.

Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.

(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.

6、观察正余弦曲线，解读正、余弦函数的对称性：
正、余弦函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
函数
正弦函数y=sinx(x∈R)

余弦函数y=cosx(x∈R)
对称中心


对称轴


三、探究新课

例1 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小 值时的自变量x的集合,
并说出最大值、最小值分别是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.





练习1、请写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的 集合,并说出最大值、最小值分别
是什么.(1)y=2cos
x
+1, x∈R; (2)y=2sinx, x∈R.
3

例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1)sin(-
??< br>23
?
17
?
)与sin(-); (2)cos(
?
)与cos(
?
).
181054





练习2、教材第41页第5题





例3 函数y=sin(
1
?
x+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
2
3




练习3、教材第40-41页第4、6题




四、课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法 .这节课我们研
究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域 、值
域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数
的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的 思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、
特殊到一般的辩证统一的观点.
五、作业布置 习题1.4 A组2。（2） （4）；4。（2） （4）；5。（2）

1. 4.3 正切函数的性质与图象
班级 姓名
学习目标：
1、
用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2、
用正切函数图象解决函数有关的性质；
3、
理解并掌握作正切函数图象的方法；
4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：
正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点：
正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
教学过程：
知识探究（一）：正切函数的性质：
思考1：正切函数的定义域是__________,
思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期
函数吗？若是，其最小正周 期 T=_______

思考3: 函数
y?tan(2x?
?
8
)
的周期T=__ ,
?
x?
?
),(
?
?0)
的周期T=____. 一般地，函数
y?tan(

思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？

思考5：观察右图中的正切线,当角x在 （
?
??
22
,
）内增加时,
正切函数值发生什么变化?
由此反映出一个什么性质?
v
T
2

O
O

A
T
1

x

思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间（ ）（
k?z
）内都是
(增、减)函数。
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
正切函数会不会在某一区间内是减函数？

思考8：当x大于
?
当x小于
?< br>2
且无限接近
?
?
2
时，正切值如何变化？
??
且无限接近时, 正切值又如何变化？
22
由此分析，正切函数的值域是什么?

知识探究（二）：正切函数的图象:
思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx,
x∈（
?








思考2：右图中,直线x=
?
何？
??
22
,
）的图象，具体应如何操作？
?
2
和x=
?

与正切函数的图象的位置关系如
2
y

?
?
2
O

?

2
x




思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的
图象？

思考4：正切函数y=tanx,x∈R,x≠
?
+kπ ，
x?z
的图象叫做正切曲线.
2
因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关 于原点对称，此外，正
切曲线是否还关于其它的点和直线对称？

思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？
一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？

应用示例
例1 比较大小. (1)tan138°与tan143°； (2)tan(
?
13
?
4
)与tan(
?
17
?
5
).


练习：比较大小. (1)tan1519°与tan1493°； (2) tan
75
?
11
与tan(
?
58
?
1 1
).


例2 求函数y=tan(
?
2
x+
?
3
)的定义域、周期和单调区间.




变式训练 求函数y=tan(x+
?
4
)的定义域,值域,单调区间,周期性.



课堂小结 知识：正切函数的性质有哪些？正切函数的图象怎么画？

能力：正切函数的性质和图象的应用及数形结合法。
作业
课本习题1.4 A组6、8、（1） （4）9.（2）
课后练习：本节后的练习题

1. 5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
班级 姓名
学习目标：
1、
理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ω x+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的
图象的影响.
2.通过探究图象变 换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出
函数y=Asi n(ωx+φ)的简图.
教学重点：
讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影 响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)
图象的简图的作法.
教学难点：
:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.
教学过程：
<引入>：从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?
接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
（一） 探索A对y=Asin(ωx+φ)，
x?R
的图象的影响。【振幅变换】
例1画出函数y=2sinx， x∈R ，y=
1
sinx，x∈R

2
的简图
x

sinx


2sinx


1
2
sinx

结论：一般地，函数y=Asinx， x∈R （其中A＞0且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲
线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当 0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标
不变）而得到。函数y=Asinx， x∈R 的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A。
注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。
1.已知函数y?3sinx的图象为C.为了得到函数y?4sinx的图象，只要把C上所有的点（）< br>


(A)横坐标伸长到原来的
4
倍,纵坐标不变
3


(B)横坐标缩短到原来的
3
倍,纵坐标不变
4


(C)纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变
3

3

(D)纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
4

（二） 探索φ对y=Asin(ωx+φ)，
x?R
的图象的影响。【相位变换】
例2画出函数 Y=Sin (X+
??
),X∈R ， Y=Sin(X- ) ,X∈R 的简图。
34

结论：函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)
或向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
注: ?引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.φ叫做初相， 故这种变换
叫做相位变换


练习：1. 若将某函数的图象向右平移
原来的函数表达式为( )
A. y＝sin(x＋
C. y＝sin(x－
?
?
以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则
24
3
?
?
) B. y＝sin(x＋)
4
2
?
??
) D. y＝sin(x＋)－
444
?
?
2、已知函数
y?3sin(x ?)
的图象为C，为了得到函数
y?3sin(x?)
的图象，只要把
55< br>C上的所有点（ ）。
??
个单位长度。B向左平行移动个单位长度。 55
2
?
2
?
C向右平行移动个单位长度。D向左平行移动个单 位长度。
55
A向右平行移动


（三） 探索ω对y=Asin(ωx+φ)，
x?R
的图象的影响。【周期变换】
例3画出函数y=sin2x， x∈R ，y= sin
1） 列表：


1
x，x∈R的简图
2

结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长
(当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的
注: ①ω决定函数的周期T=
1
?
倍(纵坐标不变)而得到.
2
?
,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩).
?
例4 画出函数y＝3sin(2x＋
1、 (五点法)
x
?
)，x∈R的简图
3

2x+
?

3

3sin(2x+









?
)
3

2、（图象变化法）如何由y=sinx ，x∈R 变换得y=Asin(ωx+φ)，x∈R ，的图象
方法1：（先伸缩再平移）
(按
?
,
?
,A顺 序变换)
1
(1)横坐标缩短为原来的
2
?
y=Sin2x，x∈R 的图象 函数y=sinx ，x∈R的图象
纵坐标不变
（2）向左平移个单位
?（3）横坐标不变
6
?
y=Sin(2x+ )，
?
x∈R的图象
3
纵坐标伸长到原来的3倍
y=3Sin(2x+
?
?
)，x∈R的图象
3







方法2：（先平移再伸缩）
(按
?
,?
,A顺序变换)
（1）向左平移个单位
?
3
?
y=s in(x+)，x∈R 的图象 函数y=sinx ，x∈R的图象
3
?
1
(2)横坐标缩短为原来的
2
?
y=sin(2x+
?
)x∈R的图 象
（3）横坐标不变
?

3
纵坐标伸长到原来的3倍
纵坐标不变
?
y=3Sin(2x+ ), x∈R的图象.
3


总结: y=sinx ，x∈R图象 y=Asin(ωx+φ)，x∈R图象。

方法1:（先伸缩再平移）
?
,
?
,A顺序变换(按)

横坐标缩短?>1 (伸长0
纵坐标不变


向左?>0 (向右?<0)

平移|?|?个单位
y=sinx
y=sin?x
?
??
y?sin
?
?
x??
?
?sin
?
?
(x?)
?
?
??

横坐标不变


纵坐标伸长A>1 (缩短0y=Asin(?x+?)



方法2：（先平移再伸缩）
(按
?
,
?
,A顺序变换)


向左?>0 (向右?<0) 横坐标缩短?>1 (伸长0y=sin

x
y=sin(x+?)
纵坐标不变

平移|?|个单位


y=sin(

横坐标不变

?x+?)

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0

【思考】 怎样由y?sinx的图象得到y?2sin(
x
?
?
)的图象？

26




练习：
1．为了得到函数
y?sin
x
5
,x?R
的图象，只需把正弦曲线上的所有的
点的（

A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变．
B．横坐标缩短到原来的
1
5
倍，纵坐标不变．
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变．
D．纵坐标缩短到原来的
1
5
倍，横坐标不变．
2．为了得到函数
y?
1
4
sinx,x?R
的图象，只需把正弦曲线上的所有的

）

A．横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变．
B．横坐标缩短到原来的
1
4
倍,纵坐标不变．
C．纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变．
D．纵坐标缩短到原来的
1
4
倍,横坐标不变。



3、要得到函数
y?sin(3x?
?
5
)
的图 象，只需将函数
y?sin3x
的图象（
A．向左平移个
?
5
单位 B．向右平移个
?
5
单位
C．向左平移个
?
15
单位 D．向右平移个
?
15
单位





4.要得到函数y?sin(
x
?
?
)的图象,可由y?sinx
的图象
??

262
?
?
?
?

A.向右平移
?

6

B.向左平移
?

6

C.向右平移
?

3

D.向左平移
?

3

5.已知函数y?3sin(x?
?
)的图象为C.

5

为了得到函数y?3sin(2x?
?
)的图象,只要把C上所有的点
??

5
?

(A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变
(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标 缩短到原来的
1
2
倍,横坐标不变
）
?
?
?









< /p>

6.把y?sin(2x?
A.y?sin(2x?
B.y?sin(2 x?
?
?
?
)的图象向右平移个单位,这时图象所表示的函数为
?< br>?
?
36
)
)
?
?
?
2
?
6

3
C.y?sin(2x?)

2








D.y?sin2x



刚才我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影 响及“五点法”作图.现在
我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0, φ≠0)的图象变换及其物理背景.

了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系, 得出本章开头提到的“简谐运动的图象”
所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ), x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐
运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与 这个解析式中的常数有关:
A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;
2
?
,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
?
1
?
这个简谐运动的频率由公式f==给出,
T
2?
这个简谐运动的周期是T=
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.



例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

课堂小结：
一、作函数y=Asin(?x+?) 的图象：
（1）用“五点法”作图。1、列五点表2、描点 3 、连线
（2）利用变换关系作图。
二、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(?x+?)的图象间的变换关系。

2. 1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2向量的几何表示
2.1.3相等向量与共线向量
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、
单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共
线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学过程：
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）请同学阅读课本后回答：
1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起 点与终点字母：
AB
；④向量
AB
的大小―长度称为向量的模，
记作 |
AB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向 相同，这两个向量
就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同 ，尽管大小和方向相同，也是
不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
.
0
的方向是任意的. 注意
0
与0的含义与书
写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定
0
与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与 零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起．．．．．．．
点无关.
．．．
7、共线向量与平行向量关系：
平行 向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点
．．．．．．．．无关）.
．．．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
?
???
a
A(起点)

B
（终点）

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：
例1 书本75页例1
.
例2判断及解答：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
例3．如图，设O是正六边 形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量
OA
、
OB
、
OC相等的向量.


变式一：与向量
OA
长度相等的向量有多少个？


变式二：是否存在与向量
OA
长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量
OA
共线的向量有哪些？


例4判断及解答：
（1）不相等的向量是否一定不平行？
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（3）当且仅当满足什么条件时两个非零向量相等？
（4）共线向量一定在同一直线上吗？
例5下列命题正确的是（ ）
A.
ａ
与
ｂ
共线，< br>ｂ
与
ｃ
共线，则
ａ
与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行

课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上 ；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

2、课本77页练习1、2、3、4题









三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。



四、课后作业：
习题2.1A组3,4题

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解
决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结
合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等 .因此，我们研
究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（4）船速为
AB
，水速为< br>BC
，则两速度和：
AB?BC?AC







二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

A B C
C A B
A B
A B
C
C

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如 图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC＝ｂ，则向量
AC
叫做
a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
， 规定： a +
0
=
0
+
??
a

a
a
C
b

ａ
a+b

ｂ
A
a
ｂ
B


３．例1、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b





练习：已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

（1）
a

b


（2）
a

b

（3）
a

b


a
b
a+b
b
a

探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？
（2）当向量
a
与
b
不共线时， |
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；什么时候|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，
什么时候|
a
+
b
|=|
a
|－|
b
|，
当向量
a< br>与
b
不共线时，
a
，
b
，
a
+b
的方向不同，且|
a
+
b
|<|
a
|+|< br>b
|；
当向量
a
与
b
共线时，
① 当< br>a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+ |
b
|，
②当
a
与
b
反向时，若|
a< br>|>|
b
|，则
a
+
b
的方向与
a
相同，且
|
a
+
b
|=|
a
|-|
b|；
若|
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|a
|.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到
n个向量连加
４．加法的交换律和平行四边形法则
已知向量
a< br>、
b
，求作向量
a
+
b
，
b
+a






问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同？
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

５．你能证明：向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的
组合来进行.

三、应用举例：
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从 长江南岸
A点出发，以5kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2kmh
（1） 试用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；
（2） 求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度之间的夹角表示，精确到度）。





变式1、一艘船从A点出发以
23kmh
的速度向垂 直于对岸的方向行驶，船的实际航
行速度的大小为
4kmh
，求水流的速度.



变式2、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
v
2
，
船的实际航行的速度的大小 为
4kmh
，方向与水流间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.



练习：课本第84页1、2、3、4题

四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业
习题2.2A组第二题

2.2.2向量的减法运算及其几何意义
学习目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证
思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
CB?BA?AD?
.
二、新课
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a 。易知?(?a)
= a.
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
?0?0
。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b

a
b
作法：在平面内取一点O，
作
OA
= a，
OB
= b 则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1?
BA
表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
a
O
b
b
B
B
b
a?b
O
a
A
??

?
a
a+
b
A
B

4． 探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是
２）若a∥b
，
如何作出a ? b

？






三、例题：
例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.





例2、平行四边形
ABCD
中，
AB?a，
AD?
b， 用a、b表示向量
AC
、
DB
.




变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？

变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？



变式三：a+b与a?b可能是相等向量吗？


A B
D C
a
b
d
c

3. 如图，例 已知一点O到平行四边形ABCD
的三个顶点A、B、C的向量分别为a，bc,




???
A
D

试用向量a,b,c表示OD.

???

OO
O

B C






5． 练习：1。已知向量a、b，求作向量a ? b
a
a
b a b
b
(1) （2） (3)











2．在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于
A.a+b B.-a+(-ba-b D.b-a


a

b
(4)

4. 填空
AB?AD?

BA?BC?

BC?BA?

OD?OA?

OA?OB?

5、作图验证：-（
a
+
b
）=-a-b










四：小结：向量减法的定义、作图法|





五：作业：
习题2.2 A组第4题

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义

学习目标：1．掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义；
2．掌握向量数乘的运算律；
3．理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线的条件判定
两向量是否平行．
教学重点：理解向量数乘的几何意义．
教学重点：向量共线的充要条件及其应用．
教学过程
情景平台

已知非零向量a，把a+a+a记作3a，(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，试作出3a和
－3a．

a



概念导入

我们规定 这种运算叫做
向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：
（1）

（2）
有上可知：
?
=0时，
?
a=


向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.

运算律

完成以下三个问题
（1）
已知非零向量a，求作向量2(3a)和6a，并进行比较．

a








（2）
已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并进行比较
a

（3）已知非零向量a，b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并把结果进行比较分析．







a
b
总结运算律：设
?
,
?
为实数,那么

??
（1）
?
(
?
a)?(
??
)a
；


?
??
（2）
(
?
?
?
)a
=
?
a
+
?
a
；


??
??
（3）
?
(a?b)
=
?
a
+
?
b
。




特别地，我们有

???
（-
?
）
a
=-（?
a
）=
?
（-
a
）


??
??

?
(a?b)
=
?
a
-
?
b



能力平台
例1.计算：

（1）
(-3)×4a

（2）
3(a+b)-2(a-b)-a

（3）
(2a+3b-c)-(3a-2b+c)







变式训练
1、点C在线段AB上，且
2、课本练习3、5题




AC5
?
,则
AC
=
AB
,
BC
=
AB
.
CB2< /p>

3、若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.



问题引导

1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?
怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？

2、如果a(a≠0)、b，如果有一个实数λ,使b=λa. 那么由向量数乘的定义,知a与b具有怎样
的位置关系?

3、已知向量a与b共线 ,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当
a与b同方向时,有b = , 当a与b反方向时,有b= .

有上可知：

两个向量共线的等价条件是：



能力平台
例2 如图,已知任意两个非零向量a、b,试作
OA
=a+b,
OB
=a+2b,
OC
=a+3b.你能判断A、B、
C三点之间的 位置关系吗?为什么?







例3 如图, ABCD的两条对角线相交于点M,且
AB
=a,
AD
=b,你能用a、b表示
MA
、
MB
、
MC
、
和
MD
吗?

变式训练
1、课本练习第4题







2、课本练习第6题















【小结】
1°定义实数与向量的积
与a同向，且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)
λa= 与a反向，且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)
a=0(λ=0)
2°实数与向量积的运算律．
3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa．

作业：习题2.2 A组第9、10题


课下练习：习题2.2 A组第11、12、13题


课下思考：习题2.2 B组第1、2、3、4、5题

2. 3.1 平面向量基本定理

学习目标
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌 握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实
际问题的重要思想 方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表
达.
3.了解向量的夹角与垂直的概念。
重点难点
教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。
教学难点:平面向量基本定理的运用.
教学过程
引子：
在物理学中我们知 道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解
的,任何一个大小不为零的力,都 可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展
到向量中来,会产生什么样的结论呢？ 问题：
如图，设
e
1
、
e
2
是同一平面内两个 不共线的向量,
a
是这一平面内的任一向量,我们
通过作图研究
a
与
e
1
、
e
2
之间的关系.

请完成：
① 给定平面内任意两个不共线的非零向量
e
1
、
请你作出向量b
=3
e
1
+2
e
2
、
c
=
e
1
-2
e
2
.
e
2
，

e
1


e
2





② 由①可知可以用平面 内任意两个不共线的非零向量
e
1
、
e
2
来表示向量
b
,
c
那么

平面内的任一向量是否都可以用形如λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的向量表示呢?

【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个 平面内两个不共线的向量
e
1
、
e
2
表示
出来.当
e
1
、
e
2
确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化 ,这为我们研究问题带来极大
的方便.】
由此可得:
【平面向量基本定理】:
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量
a
,有且只有一
对实数λ
1
、λ2
,使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.

【定理说明】:
(1)我们把不共线向量
e< br>1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不唯一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量
a
在给出基 底
e
1
、
e
2
的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式唯一.


提出问题
① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

已知两个非零向量
a
和
b
(如图),作
OA
=< br>a
,
OB
=
b
,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做
向量
a
与
b
的夹角
.
显然,当θ=0°时,
a
与
b
同向;当θ=180°时,
a与
b
反向.因此,两非零向量的夹角在区间
[0°,180°]内.
如果
a
与
b
的夹角是90°,我们说
a
与
b
垂直,记作
a
⊥
b
.



②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

例1、已知向量
e
1
、
e
2
(如图),求作向量-2.5
e
1
+3
e
2









练习：
1.设
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个向量，则有( )

A.
e
1
、
e
2
一定平行
B
.
e
1
、
e
2
的模相等 C.同一平面内的任一向量
a
都有
a

＝
λ
e
1
+μ
e
2
(λ、μ∈R) < br>D.若
e
1
、
e
2
不共线，则同一平面内的任一向量
a
都有
a
=λ
e
1
+
u
e
2
(λ、
u
∈R)

2.已知向量
a

＝
e
1
-2
e
2
，
b

＝2
e
1
+
e
2
，其中
e
1
、< br>e
2
不共线，则
a
+
b
与
c

＝6
e
1
-2
e
2
的
关系（ ）
A.不共线
B
.共线 C.相等 D.无法确定

３.已知λ
1
＞0，λ
2
＞0，
e
1
、
e
2
是一组基底，且
a
＝λ
1e
1
+λ
2
e
2
，则
a
与
e
1

，
a
与
e
2

．(填“共线”或“不共线”).

4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共 线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面
内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③ 零向量不可以作为基底中的向量,
其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

5.设
e
1
与
e
2
是两个不共线向量,
a
=3
e
1
+4
e
2
,
b
=-2
e
1
+5
e
2
,若实数λ、μ满足

λ
a
+μ
b
=5
e
1
-
e
2
,求λ、μ的值.








6.【能力提升题】已知G为△ABC的重心,设
AB
=
a
,
AC
=
b
,试用
a
、
b
表示向量AG
.












课堂小结
1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,
2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.


作业布置
已知向量
e
1
、
e
2
(如图),求作向量（1）
e
1
+2
e
2
（2）-
e
1
+3
e
2

2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1、 能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。
2、 会把向量正交分解,会用坐标表示向量.
重点难点
教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.
教学难点:
理解平面向量的坐标表示．
教学过程

对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直 的向量来表示？——上节课针对这一问题我
们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量 用两个互相垂直的向量来表示
会给解决问题带来哪些方便。
正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

提出问题
我们知道,在 平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标
平面内的每一个向量 ,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？


解答问题
如图,在 平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为 基底.对于平面内的一个向量
a
,由平面向量基本定理可知,有且只有
一对实数x、y ,使得
a
=x
i
+y
j
①
这样,平面内的任一向量
a
都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫 做向量
a
的坐标,记作
a
=(x,y) ②
其中x叫做
a
在x轴上的坐标,y叫做
a
在y轴上的坐标,②式 叫做
向量的坐标表示
.

显然,
i
=(1,0),
j
=(0,1),
0
=(0,0).

提出问题
在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
解答问题
如图，在直角 坐标平面内，以原点
O
为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定.
?
?

设
OA?xi?yj< br>，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反 过来，点
A
的坐标
(x,y)
??
也就是向量
OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数
唯一表示.

例题讲解
例1、 如图,分别用基底
i
、
j
表示向量a
、
b
、
c
、
d
,并求出它们的坐标.










例2、请在平面直角坐标系中作出向量
a
、
b
，其中
a=（1,-3）、
b
=（-3，-1）.










课堂小结：（1）什么是正交分解？
（2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？
（3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面

直角坐 标系中画出其对应的向量？

2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向 量还能不
能进行线性运算？
讲解新课：
1．平面向量的坐标运算
思考1：已知：
a

?(x
1
,y
1
)< br>，
b?(x
2
,y
2
)
，你能得出
a?b< br>、
a?b
、
?
a
的坐标吗？




结论：（1） 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
则
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)，
a?b

?(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
结论：（2）若
a? (x,y)
和实数
?
，则
?
a?(
?
x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
思考2：已知
A(x
1
,y
1
)
，B(x
2
,y
2
)
，怎样求
AB
的坐标？


结论：（3） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>
AB?
OB
?
OA?
( x
2，
y
2
) ? (x
1
，y
1
)
?
(x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

思考3：你能标出坐标为(x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)的P点吗？


结论：（4）向量
AB
的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
讲解范例：
例1 已知
a
=(2，1)，
b
=(-3， 4)，求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐标.



练习1、课后练习1,2，3题
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使
这四点构成平行四边形四个顶点.




练习2已知：四点A(5， 1)，B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD
是梯形.



例3已知三个力
F
1
=(3， 4)，
F
2
=(2， ?5)，
F
3
=(x， y)的合力F
1
+
F
2
+
F
3
?
0，
求
F
3
的坐标.


课堂小结：平面向量的坐标运算；

课后作业：习题2.3 A组1,2,3题

2. 3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目标：
1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；
2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共
线）的有关问题；
3．弄清向量平行和直线平行的区别．
教学重点：
向量平行的充要条件的坐标表示．
教学难点：
对平面向量共线的坐标表示的理解
教学过程
【提出问题】
①如何用坐标表示两个共线向量?
②已知
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),其中
b
?
0
，且向量
a
、
b
共线，
试证明：x
1
y
2
—
x
2
y
1=
0
。








③已知
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),其中
b
?
0
，且x
1
y
2
—
x
2
y
1=
0


试证明：向量
a
、
b
共线。








【得出结论】当且仅当x
1
y
2
-x
2
y
1
=0时向量
a
、
b
(
b
≠0)共线.
从而向量共线有两种表述形式:若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y2
),则有

a
∥
b
(
b
≠0
)
?
a
=
?
b
?
x
1
y
2
—
x
2
y
1=
0

【应用示例】
例1、已知
a
=(4,2),
b
=(6,y),且
a
∥
b
,求y.

练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C( 2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.




< br>例2、设点P是线段P
1
P
2
上的一点,P
1
、P< br>2
的坐标分别是(x
1
,y
1
)、(x
2
, y
2
).
(1)当点P是线段P
1
P
2
的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P
1
P
2
的一个三等分点时,求点P的坐标.















练习2：①已知
OA
=(2, 3),
OB
=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。






②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，且
AP
=







3
PB
,求P点坐标。
2

例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上, 求点C的坐
标.













练习3、已知点A(1,2),B( 4,5),O为坐标原点,
OP
=
OA
+t
AB
.若点P在 第二象限,求实数t的
取值范围.

【课堂小结】
1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。
2、学习两个向量共线的坐标表示.
3、总结本节学习的数学方法和思想方法。



【作业布置】
课本习题2.3 A组5、6、7题



【课后思索】
1、如图，当
P
1
P?
?
PP
2
时，P点坐标是什么？












2、课本习题2.3 B组1、2、3、4、题

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量
a
与
b
，作
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
a
与
b
的夹< br>角.
说明：（1）当θ＝０时，
a
与
b
同向；
（2）当θ＝π时，
a
与
b
反向；
（3）当θ＝
?
时，
a
与
b
垂直，记
a
⊥
b
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定定理
（3）练习
1.若
a
=( 2，3)，
b
=(4，-1+y)，且
a
∥
b
，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1
（4）力做的功：W = |
F
||
s
|cos?，?是
F
与
s
的夹角.

功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定 的，类比这种运算，我们引入“数量积”
的概念。
二、讲解新课：
1．平面向量数 量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角是θ，
D.3

则数量│
a
││
b
│cos? 叫
a
与
b
的数量积，记作
a
?
b
，即有a
?
b
= │
a
││
b
│
cos?，
（其中０≤θ≤π）.
并规定：
0
向量与任何向量的数量积为0.
?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
【平面向量数量积的几点说明】
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个 向量的数量积称为内积，写成
a
?
b
；书写时要特别注意：.符号“
?
”在向量运算
中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中， 若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若
a
?
0
，且
a
?
b
=0，不能
推出
b
=
0
因为其中 cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是
a
?
b
=
b
?
c
如右图：
a
?
b
= │
a
││
b
│cos? = │
b
││OA│，
a
=
c

b
?
c
= │
b
││
c
│cos? = │
b
││OA│
?
a
?
b
=
b
?
c
但
a
?
c

(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(
a
?
b
)
c
?
a
(
b
?
c
)
显然，这是因为左端是与
c
共线的向量，而右端是与
a
共线的向量，而一般< br>a
与
c
不共
线.
2．“投影”的概念：作图

定义：│
b
│cos?叫做向量
b
在
a
方向上的投 影.投影是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；

当? = 0?时投影为│
b
│； 当? = 180?时投影为 ?│
b
│.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积
a
?
b
等于
a
的长度与
b
在a
方向上投影│
b
│cos?的乘积.
探究1、：两个向量的数量积的性质：设
a
、
b
为两个非零向量，
1、
a
?
b
?
a
?
b
= 0
2、当
a
与
b
同向时，
a
?
b
= |
a
||
b
|； 当
a
与
b
反向时，
a
?
b
= ?|
a
||
b
|.
特别的
a
?
a
= |
a
|
2
或
a?
探究2、：平面向量数量积的运算律
（1）．交换律：
a
?
b
=
b
?
a

a?a
│
a
?
b
│ ≤|
a
||
b
| cos? =
ab


a?b
（2）．数乘结合律：(
?
a
)?
b
=
?
(
a
?
b
) =
a
?(
?
b
)
（3）．分配律：(
a
+
b
)?
c
=
a
?
c
+
b
?
c

说明：（1）一般地，(
a
·
b
)
c
≠
a
（
b
·
c
）
（2）
a< br>·
c
＝
b
·
c
，
c
≠
0< br>２
a
＝
b

２
（3）有如下常用性质：
a
＝｜
a
｜，
（a
＋
b
）（
c
＋
d
）＝
a
·
d
＋
b
·
d

c
＋
a
·
c
＋
b
·
三、讲解范例：
例1．证明：①(
a< br>＋
b
)＝
a
＋２
a
·
b
＋
b
２２２

②(
a
＋
b
)
?
(
a
-
b
)=
a
-
b

２２




?
?
?
?
例2．已知│
a
│=12，│
b
│=9，
a?b??542
，求
a
与
b
的夹角θ。

例3 ．已知│
a
│=6，│
b
│=4，
a
与
b
的夹角为60
o
求：（1）(
a
+2
b
)·(
a< br>-3
b
).
（2）│
a
+
b
│与│< br>a
-
b
│.
（ 利用






a?a?a
）
例4．已知│
a
│=3，│
b
│=4， 且
a
与< br>b
不共线，k为何值时，向量
a
+k
b
与
a
-k
b
互相
垂直.









四、课堂练习：
1．课后练习1、2、3、题

2．已知│
a
│=8，│
b
│=10，│
a
+
b
│=16，
a
与
b
的夹角θ的余弦.




五、课堂小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；

3．向量垂直的条件.
六、作业布置：习题2.4 A组1、2、3、题

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质：
3．练习：
（1）已知|
a
|=1，|
b
|=
2
，且(
a
-
b
)与< br>a
垂直，则
a
与
b
的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|
a
|=2，|
b
|=1，
a与
b
之间的夹角为
?
，那么向量
m
=
a
-4
b
的模为（ ）
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，怎样用a
和
b
的坐标表示
a
?
b
？
.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a
?
b
?x
1
x
2
?y
1
y< br>2

2. 平面内两点间的距离公式
22
22
a?x?y< br>a?x?y
（1）设
a?(x,y)
，则或.
2
（2）如果 表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，
22
a?(x?x)?(y?y)
1212
那么(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设
a?(x
1
,y
1
)< br>，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a
⊥< br>b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

4． 两向量夹角的余弦
已知两个非零向 量
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2,y
2
)
，
a
与
b
之间的夹角为θ（
0?
?
?
?
）
a?b
cos? =
a?b
?
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
2
x
2
?y
222

二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2，











练习1、习题2.4 A组第5题














5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

例2 设
a
= (5， ?7)，
b
= (?6， ?4)，求
a
?
b
，
a
、
b
间 的夹角θ的余弦及│
a
-4
b
│。
















练习 2、课后练习1、2、3、题

三、课堂小结： 1、
a
?
b
?x
1
x
2
?y
1
y2

2、平面内两点间的距离公式
a?
3、向量垂直的判定：
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a
⊥
b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0





四、作业布置 习题2.4 A组9、10、11 、题

(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)< br>2

2. 5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步
曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线
性运 算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 两个向量的数量积：
a?b? |a||b|cos
?
.

2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.

3. 向量平行与垂直的判定:
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4. 平面内两点间的距离公式：
|AB|?
5. 求模：
(x
1
?x
2
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二、讲解新课：
例
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1< br>?x
2
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2
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1
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2
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1. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
AC? AB?AD,DB? AB?AD,
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之
间的关系吗？









D
AB
C