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人教版高中数学必修四第一章 三角函数全章教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 15:14
tags:高中数学必修4

高中数学老师补课赚钱吗-贵州省高中数学试卷及答案


第一章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)推广角的概念、引入大于
360< br>?
角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;
(3)理解任意角以及象限角 的概念;(4)掌握所有与
?
角终边相同的角(包括
?
角)的表
示方 法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学
生学习兴趣. (7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境: “转体
720
?
,逆(顺)时针旋转”,角有大于
360
?
角、零角和旋转方
向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的 概念得到推广以后,将角放入平
面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出 几个终边相同的角,
画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题, 总结方
法,巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习,使同学们对角的概念有了 一个新的认识,即有正角、负角和零角之
分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同 角的表示方法,学会运用运动
变化的观点认识事物.

二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.

三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周 角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中
实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系 环境中以后,了解象限角的概念.通过
角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容 时,首先要弄清楚角的表
示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板

四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25
小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度?
[取出一个钟表,实 际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到
??
一周,有时转一周以 上,这就是说角已不仅仅局限于
0?360
之间,这正是我们这节课要研
究的主要内容 ——任意角.
【探究新知】
??
1.初中时,我们已学习了
0?360
角的概念,它是如何定义的呢?
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的

< br>图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置
OA
,绕着它的端点
O
按逆时针方向旋转到终止
位置
OB
,就形成角
?
.旋转开始时的射线
OA
叫做角的始边,
OB
叫终边,射线的端点
O

做叫
?
的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛 中我们经常听到这样的术语:“转

720
?
” (即转体2周),“转体< br>1080
?
”(即转体3周)等,都是遇到大于
360
?
的角 以及按
不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于
360?
的角或按
不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这 些角呢?
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我
们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正
角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线
没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于
750
?
;图1.1.3(2)中,正角
?
?210
?
,负角
?
?? 150
?
,
?
??660
?
;这样,我们就把角的概念推广 到了任意角(any
angle),包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下 ,“角
?
”或“
?
?

可简记为
?
.
3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念.
角 的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)
在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的
30
?
角、
?210
?
角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注 意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这
个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分 别就直角、钝角来回答这
两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么
7k(k?Z)
天后的那一天是星期几?
7k(k?Z)
天前的那
一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
5 .探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对
应.反之,对于 直角坐标系中任意一条射线
OB
(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如
果 不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在 教材图1.1-5中,如果
?32
?
的终边是
OB
,那么
3 28,?392L
???
角的终边都是
OB
,而
328??32?1 ?360
,
?392??32?(?1)?360
.
??
???< br>设
S?{
?
|
?
??32?k?360,k?Z}
, 则
328,?392
角都是
S
的元素,
?32
?
角 也是
????
S
的元素.因此,所有与
?32
?
角终边相同 的角,连同
?32
?
角在内,都是集合
S
的元素;反过
来, 集合
S
的任一元素显然与
?32
?
角终边相同.

< br>一般地,我们有:所有与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,可构成一 个集合
S?{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z}
,即任一与角
?
终边相同的角,都可以表示成角
?与整数
个周角的和.
6.[展示投影]例题讲评
例1. 例1在
0< br>?
?360
?
范围内,找出与
-950?12'
角终边相同的 角,并判定它是第几
象限角.(注:
0
?
-360
?
是指< br>0?
?
?360

例2.写出终边在
y
轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在
y? x
上的角的集合
S
,并把
S
中适合不等式
?360
?
?
?

??
?720
?
的元素
?
写出来.
7.[展示投影]练习
教材
P
6
第3、4、5题.
注意: (1)
k?Z
;(2)
?
是任意角(正角、负角、零角); (3)终边相同的角不一定
相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360
?
的整数倍.
8.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗?
(2) 象限角是如何定义的呢?
(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在
x
轴、
y
轴、直
线
y?x
上的角的集合.

五、评价设计
1.作业:习题1.1 A组第1,2,3题.
2.多举出一些日常生活中的“大于
360
?
的角和负角”的例子,熟练掌握他们的表示,
进一步理解具有相同终边的角的特点.







1.1.2弧度制
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制
表示的弧 长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与
实数集
R
之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与
弧度制都 是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.


2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合
理性. 根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与
弧度制的互化,能正 确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制 ---弧度制,理解并认识到角度
制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割 裂的关系.角的概念
推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R
之间建立了一一对应 关系:即每一个角都有唯
一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一 的一个角(即
弧度数等于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用.

三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中, 知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了
弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制 的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与
弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板

四、教学设想
【创设情境】 < br>有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问
那一种 回答是正确的?(已知1英里=1.6公里)
显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢 ?那是因为所采用的度量制不
同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不同的,但是,他们 之间可以换算:1
英里=1.6公里.
在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制, 我们已经不再陌生,另外一个就
是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1.角度制规定:将一个圆周分成360份,每一份叫做1度,故一周等于36 0度,平角
等于180度,直角等于90度等等.
弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周 是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧
度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本
P
6
?P
7
,自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影] 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1
rad

或1弧度,或1( 单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为
r
的圆的圆心与原点重合,角
?
的终边与
x
轴的正半轴
重合,交圆于点
A
,终边与圆交 于点
B
.请完成表格.


AB
的长
OB
旋转的方向
y
B
?
O
A
x
?AOB
的弧度数
?AOB
的度数




?
r

2
?
r

逆时针方向
逆时针方向


r















180
?

180
?

2r

?2

?
?

0



我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,
一般地, 正角 的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正
负主要由角的旋转方向来决 定.
4.思考:如果一个半径为
r
的圆的圆心角
?
所对的弧长是, 那么
a
的弧度数是多少?

?
的弧度数的绝对值是:
?< br>?
l
,其中,l是圆心角所对的弧长,
r
是半径.
r
5.根据探究中
180
?
?
?
rad
填空:
1
?
?___rad
,
1rad?___

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把
67
?
30
'
化成弧度:
(1) 精确值;
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14
rad
换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住
180
?
?
?
rad
,另外注意计算器计算非特殊角的
方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

弧度
0
?


30
?

45
?



120
?

120
?

120
?



120
?


?

3
?

2
?

3
?

2
角的概念推广以后,在弧 度制下,角的集合与实数集
R
之间建立了一一对应关系:即每
一个角都有唯一的一个实 数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一
的一个角(即弧度数等于这个实数的 角)与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)
l?
?
R
; (2)
S?
1
1
?
R
2
; (3)
S?lR
.
2
2
其中
R
是半径,是弧长,
?
(0?
?
?2
?
)
为圆心角,
S
是扇形的面积.
例4.利用计算器比较
sin1.5

sin85
的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
?


教材
P
10
.
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

五、评价设计
1.作业:习题1.1 A组第7,8,9题.
2.要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同.能够使用计算器求某角的各三角函
数值.





任意角的三角函数
教学目的:
知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式;
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标:掌握用单位圆中的 线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。
德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;
教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型:新授课
教学模式:讲练结合
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.三角函数的定义及定义域、值域:
练习 1:已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
,且
sin
?< br>?
2m
,求
cos
?
,sin
?
的值。 < br>4
2222
2
解:由题设知
x??3

y?m
,所以
r?|OP|?(?3)?m
,得
r?3?m

从而sin
?
?
2m
mm
2
??
,解得
m ?0

16?6?2m?m??5

4
r
3?m
2

m?0
时,
r?3,x??3

xy
cos
?
???1,tan
?
??0

rx

m?5
时,
r?22,x??3

cos
?
?
x6y15
??,tan
?
???

r4x3

m??5
时,
r?22,x??3


cos
?
?
x6y15
??,tan
?
??

r4x3
2.三角函数的符号:
练习2:已知
sin
?
?0

tan
?
?0

(1)求角
?
的集合;(2)求角
???
?
终边所在的象限;(3)试判断
tan ,sincos
的符
222
2
号。
3.诱导公式:
练习3:求下列三角函数的值:
(1)
cos
9
?
11< br>?
9
?
)
, (3)
sin
, (2)
tan(?

42
6
二、讲解新课:
当 角的终边上一点
P(x,y)
的坐标满足
x
2
?y
2
?1
时,有三角函数正弦、余弦、
正切值的几何表示——三角函数线。
1.单位圆:圆心在圆点
O
,半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2.有向线段:
坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。
3.三角函数线的定义:
设任意角
?
的顶点在原点
O
,始边与
x
轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与点
P
(x,y)


P

x
轴的垂线,垂足为
M
;过点
A(1,0)
作单位圆的切线,它与角< br>?
的终边或其反向

长线交与点
T
.















(Ⅱ)

y
P

M


y
P

T

o

A

x

T

o

A

x

M

(Ⅰ)
y
T


y
M

o

A

x

o

M
A


x

P

P

T

(Ⅳ)
(Ⅲ)



由四个图看出:
当角
?
的终边不在坐标轴上时,有向线段
OM?x ,MP?y
,于是有
sin
?
?
yyxx
??y?MP

cos
?
???x?OM

r1r1
tan
?
?
yMPAT
???AT
. < br>xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线 。
说明:
①三条有向线段的位置:正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到< br>x
轴的垂直线段;余弦
线在
x
轴上;正切线在过单位圆与
x
轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单

圆内,一条在单位圆外。 < br>②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向

足;正切线由切点指向与
?
的终边的交点。
③三条有向线段的 正负:三条有向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正值,与
x
轴 或
y
轴反向

为负值。
④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。
4.例题分析:
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
(1)
5
?
2
?
13
?
?
; (2); (3)
?
; (4)
?

6
36
3
解:图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
1?
sin
2
?
4
?
2
?
4
?
2
?
4
?

sin
2? tan与tan 3? cot与cot
353535
解: 如图可知:
S
2
S
1
B

P
2
P
1
2
?
4
?
sin
?
sin

35

o

A
T
2

T
1
tan
2
?
4
?
?
tan
35


cot
2
?
4
?

?
cot
35

例4.利用单位圆写出符合下列条件的角
x
的范围。
(1)
sinx??
11
; (2)
cosx?

22
(3)
0?x?
?
,sinx?
(4)
|cosx|?
答案:(1)
11
且< br>cosx?

22
11
; (5)
sinx?

tanx??1

2
2
7< br>?
11
?
??
?2k
?
?x??2k
?,k?Z
;(2)
??2k
?
?x??2k
?
,k?Z

6666
5
?
????
,k?Z
;(4)???k
?
?x???k
?
,k?Z

66262< br>(3)
?
3
?x?
(5)
?
2
?2k
?
?x?
3
?
?2k
?
,k?Z

4

三、巩固与练习

四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.三角函数线的定义;
2.会画任意角的三角函数线;
3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。








1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标:
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系;(2)已知某角的一个三角函数值,求它的其
余 各三角函数值;(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式;(4)利用同角三角函数关系
式证明三 角恒等式;(5)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学
生分析,解决三角问 题的能力;(6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒
等变形的能力,进一步树立化归 思想方法;(7)掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用 三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系;学习
已知一个三角函数值,求它的其余各三角函 数值;利用同角三角函数关系式化简三角函数式;
利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题 讲解,总结方法.通过做练习,巩固所
学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习, 牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学
生分析,解决三角问题的能力;进一步 树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.

二、教学重、难点
重点:公 式
sin
2
?
?cos
2
?
?1

sin
?
(1)已知某任意角的
?tan
?
的推导及运用:
cos
?
正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简 单的三角恒
等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式.

三、学法与教学用具
22
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
sin
?
?cos
?
?1

sin
?
?tan
?
,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数 式,证明三角恒等式等.
cos
?
教学用具:圆规、三角板、投影


四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样,本节 课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各
不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相 转化.
【探究新知】
y
1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何
性质出发,讨论一
P
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
1
如图:以正弦线
MP
,余弦线
OM
和半径
OP
三者的长构成直角三角形,
M O A( 1,0
而且
OP?1
.由勾股定理由
MP
2
?OM
2
?1
,因此
x
2
?y
2
?1
,即
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
根据 三角函数的定义,当
a?k
?
?
?
(k?Z)
时,有
sin
?
2
cos
?
?tan
?
.
这 就是说,同一个角
?
的正弦、余弦的平方等于1,商等于角
?
的正切.
2. 例题讲评
例6.已知
sin
?
??
3
5< br>,求
cos
?
,tan
?
的值.
sin
?
,cos
?
,tan
?
三者知一求二,熟练掌握.
3. 巩固练习
P
23
页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:
cosx1?sinx
1?sinx
?
.

cosx
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习
P
23
页第4,5题
6.学习小结
(1) 同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
sin
?
cos
?

(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号 ,即要就角所
在象限进行分类讨论.

五、评价设计
(1) 作业:习题1.2A组第10,13题.
(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.




x



同角三角函数的基本关系
教学目标:
1.进一步提高学 生对三角函数定义的认识,通过本节课的学习,学生能够利用定义探
究同角三角函数的基本关系式. < br>2.鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能,深化数形结合、分类讨论和等价转化的
思想,提高 学生从特殊到一般的意识,完成此课后学生能够初步应用同角三角函数基本关系
式处理求值、证明和化简 这三类问题.
3.培养学生对数学学科的兴趣,体验成果发现的愉悦,完成此课后学生能够对具体问< br>题开展合作交流、探究学习.
教学重点:利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系式,应用公式解决问题.
教学难点:求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果,以及在恒等
变形过程中公 式的灵活应用.
教学方法:探究式、讲解法
教学用具:常规
授课类型:新知课
授课时数:1
教学过程:
一、复习引入:
1.在角
?
的终边上任取一点
P(x,y)
,它与原点的距离为1,请
分别写出角
?的正弦、余弦和正切值.
2.若角
?
在第二象限,请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线.
3.请分别计算下列各式:
(1)
(cos30?)?(sin30?)?_______.

(2)
(sin30?)?(cos60?)?______.

(3)
tan60??_______.
(4)
二、探究新知:
探 究1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质出发,讨论一下同
22
2 2

sin60?
?______.

cos60?


一个角的三角函数之间的关系?
问题1.观察第3题的结论,你有何发现?
问题2.以上结论对任一个角
?
都成立吗?你能够说明吗?
(1)
(sin
?
)?(cos
?
)?1
对任一个角
?
都 成立;
22
sin
?
?
?tan
?
对任何一个不 等于
k
?
?(k?Z)
的角
?
都成立.
cos
?
2
(2)说明方法1:用三角函数的定义说明(利用定义)
说明方法2:用三角函数线说明(数形结合)
(3)体会从特殊到一般的认知规律,了解同角三角函数关系的几何意义.
结论:同角三角函数的基本关系:
文字语言:同一个角
?
的正弦、余弦的平 方和等于1,商等于角
?
的正切.
符号语言:平方关系——
sin
2
?
?cos
2
?
?1
(注意
sin
2< br>?

sin
?
2
的区别)
商数关系——
s in
??
?tan
?
(
?
?k
?
?,k? Z)

cos
?
2
说明:“同角”有两层含义:
一、“角 相同”(
sin
2
2
?
?cos
2
2
?< br>?1
也成立),
二、对“任意角”(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.
三、新知应用:
例1.已知
sin
?
??,

?
是第三象限角,求
cos
?
,tan
?
的值.
解:
变化1、已知
sin
?
??,

cos?
,tan
?
的值.

变化2、
tan
?< br>??3
,求
sin
?
,cos
?
的值.

变化3、已知
tan
?
?3
,求

例2.求证:< br>3
5
3
5
2cos
?
?3sin
?
的值.
3cos
?
?4sin
?
cos
?
1?s in
?

?
1?sin
?
cos
?
证法1 、由
cosx?0,知sinx??1,所以1?sinx?0


左?
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)(1?sinx)????右

22
(1?sinx)(1?sinx)1?sinxcosxco sx
所以原等式成立.
证法2、
Q(1?sinx)(1?sinx)?1?sin x?cosx?cosxcosx

22
且1?sinx?0,cosx?0
cosx1?sinx
??
1?sinxcosx
点评:证明恒等式常用方法:
例3.化简下列各式:
2?
(1)
cos
?
tan
?
(2)
(1?tan
?
)cos
?
(3)
1?sin100

2


点评:(1)公式的“变用”与“逆用”
(2)化简实际上是一种不指定答案的恒等变形,化 简题一定要尽量化成最简形式,
本题不是特殊角,一般无须求出其余弦值,结果应最简(最好是常数).
变化1、已知
sin
?
?cos
?
?
1
, 试求下列各式的值:
2
(1)
sin
?
?cos
?
(2)
sin
4
?
?cos
4
?


四、课堂总结:同角三角函数基本关系
五、课后作业:
六、板书设计:课题----
同角三角函数的基本关系 例1 例2 例3
七、课后反思:





1.3 三角函数的诱导公式

一、教材分析


(一)教材的地位与作用:
1、本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)、 (四)”是人教版数学4,第一章1、3节
内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关 系式及诱导公式(一)等知识
的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。
2、求三 角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把 求任意角的三角函数值问题转化为求0°~90°角的三角函数值
问题。诱导公式的推导过程,体现了数 学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到
一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识 、发展学生的思维能力,掌握数学的思
想方法具有重大的意义。
(二)教学重点与难点:
1、教学重点:诱导公式的推导及应用。
2、教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标
1、知识与技能
(1)识记诱导公式.
(2)理解和掌握 公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进
行简单三角函数式的化简和证明.
2、过程与方法
(1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的 归纳转化
思想方法.
(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从 特殊到一般的
数学归纳推理思维方式.
(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践
能力.
3、情感态度和价值观
(1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神 ,培养学生的创
新意识和创新精神.
(2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科 学的学习习惯,渗透从特殊到
一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

三、教学设想

三角函数的诱导公式(一)

(一)创设问题情景,引导学生观察、联想,导入课题
I 重现已有相关知识,为学习新知识作铺垫。
1、提问:试叙述三角函数定义


2、提问:试写出诱导公式(一)
3、提问:试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式(一)及结构特征:
诱导公式(一)
sin(k·2π+
?
)=sin
?
cos(k·2π+
?
)=cos
?

tg(k·2π+
?
)=tg
?

(k∈Z)
结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°~360°角的三角函数值问
题。
5、问题:试求下列三角函数的值
(1)sin1110° (2)sin1290°
学生:(1)sin1110°=sin(3×360°+30°)=sin 30°=
(2)sin1290°=sin(3×360°+210°)=sin210°
(至此,大多数学生无法再运算,从已有知识导出新问题)
6、引导学生观察演示(一),并思考下列问题一:




演示(一)
(1)210°能否用(180°+
?
)的形式表达?
(0°<
?
<90°=(210°=180°+30°)
(2)210°角的终边与30°的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)
(3 )设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p',则点p与p'的位置关系如何?
(关于原点 对称)
(4)设点p(x,y),则点p’怎样表示? [p'(-x,-y)]
(5)sin210°与sin30°的值关系如何?
7、师生共同分析:
在求s in210°的过程中,我们把210°表示成(180°+30°)后,利用210°与30°角
的终 边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称,借助三角函数定义,把180°~270°角
210
0

30
0

1

2
х


的三角函数值转化为求0°~90°角的三角函数值。
8、导入课题:对于任 意角
?
,sin
?
与sin(180+
?
)的关系如何呢? 试说出你的猜想。

(二)运用迁移规律,引导学生联想类比、归纳、推导公式
(I)1、引导学生观察演示(二),并思考下列问题二:


180
0





?
为任意角 演示(二)
(1)角
?
与(180°+
?
)的终边关系如何?(互 为反向延长线或关于原点对称)
(2)设
?
与(180°+
?
)的 终边分别交单位圆于p,p′,则点p与
p′具有什么关系? (关于原点对称)
(3)设点p(x,y),那么点p′坐标怎样表示? [p′(-x,-y)]
(4)sin
?
与sin(180°+
?
)、cos
?与cos(180°+
?
)关系如何?
(5)tg
?
与tg(180°+
?

(6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?
2、教师针对学生思考中存在的问题,适时点拨、引导,师生共同归纳推导公式。
(1)板书诱导公式(二)
sin(180°+
?
)=-sin
?
cos(180°+
?
)=-cos
?

tg(180°+
?
)=tg
?

(2)结构特征:①函数名不变,符号看象限(把
?
看作锐角时)
②把求(180°+
?
)的三角函数值转化为求
?
的三角函数值。
3、基础训练题组一:求下列各三角函数值(可查表)
①cos225° ②tg-π ③sin
4、用相同的方法归纳出公式:
sin(π-
?
)=sin
?

cos(π-
?
)=-cos
?

tg(π-
?
)=-tg
?

5、引导学生观察演示(三),并思考下列问题三:
30
0

180
0

χ
χ
χ
χ
180
0

180
0

11
π
10





30
0

30
0

演示(三)
(1)30°与(-30°)角的终边关系如何? (关于x轴对称)
(2)设30°与(-30°)的终边分别交单位圆于点p、p′,则点p与
p′的关系如何?
(3)设点p(x,y),则点p′的坐标怎样表示? [p′(x,-y)]
(4)sin(-30°)与sin30°的值关系如何?
6、师生 共同分析:在求sin(-30°)值的过程中,我们利用(-30°)与30°角的
终边及其与单位圆 交点p与p′关于原点对称的关系,借助三角函数定义求sin(-30°)
的值。
(Ⅱ)导入新问题:对于任意角
?
sin
?
与sin(-
?
)的关系如何呢?试说出你的猜
想?
1、引导学生观察演示(四),并思考下列问题四:






?
为任意角 演示(四)
(1)
?
与(-
?
)角的终边位置关系如何? (关于x轴对称)
(2)设
?
与(-
?
)角的终边分别交单位圆于 点p、p′,则点p与p′位置关系如何?
(关于x轴对称)
(3)设点p(x,y),那么点p′的坐标怎样表示? [p′(x,-y)]
(4)sin
?
与sin(-
?
)、 cos
?
与cos(-
?
)关系如何?
(5)tg
?
与tg(-
?

(6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式结构特征如何?
2、学生分组讨论,尝试推导公式,教师巡视及时反馈、矫正、讲评
3、板书诱导公式(三)
sin(-
?
)=-sin
?
cos(-
?
)=cos
?

tg(-
?
)=-tg
?

O
χ
χ
χ
χ


结构特征:①函数名不变,符号看象限(把
?
看作锐角)
②把求(-
?
)的三角函数值转化为求
?
的三角函数值
4、基础训练题组二:求下列各三角函数值(可查表)
① sin(-

(三)构建知识系统、掌握方法、强化能力
I、课堂小结:(以填空形式让学生自己完成)
1、诱导公式(一)、(二)、(三)

sin(k·2π+
?
)=sin
?
cos(k·2π+
?
)=cos
?

tg(k·2π+
?
)=tg
?

(k∈Z)

sin(π+
?
)=-sin
?
cos(π+
?
)=-cos
?

tg(π+
?
)=tg
?

sin(-
?
)=-sin
?
cos(-
?
)=cos
?

tg(-
?
)=-tg
?


用相同的方法,归纳出公式
Sin(π-α)=Sin
?

Cos(π-α)=-cosα
Ten(π-α)=-tanα
2、公式的结构特征:函数名不变,符号看象限(把
?
看作锐角时)
(Ⅱ)能力训练题组:(检测学生综合运用知识能力)
1、已知sin(π+
?
)=
?
) ②tg(-210°) ③cos(-240°12′)
3
4

?
为第四象限角),求co s(π+
?
)+tg(-
?
)的值。
5
2、求下列各三角函数值
5311
(1)tg(-
6
π) (2)sin(=-
3
π)
17
(3)cos(-510
0
15
1
) (4)sin(-
3
)
(III)方法及步骤:

任意负角的

三角函数

任意正角的
三角函数
0
0
~360
0
间角
的三角函数
0
0
~90
0
间角
的三角函数
查表
求值


(IV)作业与课外思考题
通过上述两题的探索,你能推导出新的公式吗?

(四)、教法分析
根据 教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律,本节课彩了“问题、类比、发现、
归纳”探究式思维训 练教学方法。
(1)利用已有知识导出新的问题,创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发学生的求< br>知欲,达到以旧拓新的目的。
ππ
(2)由(180
0
+30
0
)与30
0
、(-30
0
)与30
0
终π-< br>6

6
)边对称关系的特殊例子,
利多媒体动态演示。学生对“α为任 意角”的认识更具完备性,通过联想、引导学生进行导,
问题类比、方法迁移,发现任意角α与(180
0
+α)、-α终边的对称关系,进行寅,从特
殊到一般的归纳推理训练,学生的归纳 思维更具客观性、严密性和深刻性,培养学生的创新
能力。
(3)采用问题设疑,观察演示, 步步深入,层层引发,引导联想、类比,进而发现、
归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让学生充分感 受和理解知识的产生和发展过程。在教
师适时的启发点拨下,学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探 索、发现数学规律(公式),
培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。
(4) 通过能力训练题组和课外思考题,把诱导公式(一)、(二)、(三)、四的应用进
一步拓广,把归纳推 理和演绎推理有机结合起来,发展学生的思维能力。



















三角函数的诱导公式(二)

一、教材分析
(一)教材的地位与作用:
1、本节课教学内容“诱导公式(二)、 (三)、(四)”是人教版数学4,第一章1、3节
内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函 数基本关系式及诱导公式(一)等知识
的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要 作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°~90°角的三角函数值
问题。诱导公式的推导过程, 体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到
一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的 创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思
想方法具有重大的意义。
(二)教学重点与难点:
1、教学重点:诱导公式的推导及应用。
2、教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标
1、知识与技能
(1)识记诱导公式.
(2)理解和掌握 公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进
行简单三角函数式的化简和证明.
2、过程与方法
(1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的 归纳转化
思想方法.
(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从 特殊到一般的
数学归纳推理思维方式.
(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践
能力.
3、情感态度和价值观
(1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神 ,培养学生的创
新意识和创新精神.
(2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科 学的学习习惯,渗透从特殊到
一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

三、教学设想


(一)、复习:


诱导公式(一)
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式(二)
tan(360?k?
?
)?tan
?


sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?

诱导公式(三)
tan(180??
?
)?tan
?

sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
诱导公式(四)
tan(?
?
)??tan
?


tan(180??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)?sin
?
cos(180??
?
)??cos
?

对于五组诱导公式的理解 :

公式中的
?
可以是任意角;

②这四组诱导公式可以概括为:
?
?
?
,
?
?< br>?
,的三角函数值,等于它的同名

三角函数值, 前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。
总结为一句话:函数名不变,符号看象限
练习1:P27面作业1、2、3、4。
2:P25面的例2:化简

(二)、新课讲授:
1、诱导公式(五)
sin(
2k
?
?
?
(k?Z), ?
?
,
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?


22
?
2、诱导公式(六)
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?


22
?
总结为一句话:函数正变余,符号看象限
例1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:
(1)tan
3
?
31
?
17
, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(?
?
).

5363
练习3:求下列函数值:
65
?
31
?
, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?).

64
3
?例2.证明:(1)
sin(?
?
)??cos
?

2
3
?
(2)
cos(?
?
)??sin
?

2
?
11
?
sin(2
?
?
?
) cos(
?
?
?
)cos(?
?
)cos(?
?< br>)
22
例3.化简:
.

9
?
cos(?
?
?
)sin(3
?
?
?
)sin(??
?
?
)sin(?
?
)
2
例4. 已知tan(
?
?
?
)?3,
(1)cos

2 cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
求: 的值。
4cos(?
?
)?sin(2
?
?
?
)
解:
?tan(
?
?
?
)?3,?tan< br>?
?3.

?2cos
?
?3sin
?
?2 ?3tan
?
?2?3?3
原式
? ???7.

4co s
?
?sin
?
4?tan
?
4?3


小结:
①三角函数的简化过程图:

任意负角的
公式一或三
任意正角的 0
0
~360
0
间角
公式一或二或四

三角函数 三角函数 的三角函数

②三角函数的简化过程口诀:
负化正,正化小,化到锐角就行了.
练习4:教材P28页7.

(三).课堂小结
①熟记诱导公式五、六;
②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限;
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.

四.课后作业:































0
0
~90
0
间角
的三角函数
查表
求值





三角函数的诱导公式(三)

一、复习:
诱导公式(一)
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式(二)
tan(360?k?
?
)?tan
?


sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?

诱导公式(三)
tan(180??
?
)?tan
?

sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
tan(?
?
)??tan
?


诱导公式(四)
sin(?-
?
)=sin
?
cos(?


?
)
=-
cos
?
tan

(?-
?
)
=-
tan
?
诱导公式(五)
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?


22
?
诱导公式(六)
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?


22
?

二、新课讲授:
练习1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:
(1)tan
3
?
31
?
17
, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(?
?
).

5363
练习2:求下列函数值:
65
?
31
?
, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?).

64
3
?例1.证明:(1)
sin(?
?
)??cos
?

2
3
?
(2)
cos(?
?
)??sin
?

2
?
11
?
sin(2
?
?
?
) cos(
?
?
?
)cos(?
?
)cos(?
?< br>)
22
例2.化简:
.

9
?
cos(?
?
?
)sin(3
?
?
?
)sin(??
?
?
)sin(?
?
)
2
2cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
例3. 已知tan(
?
?
?
)?3,求: 的值。

4cos (?
?
)?sin(2
?
?
?
)
解:
?t an(
?
?
?
)?3,?tan
?
?3.

?2cos
?
?3sin
?
?2?3tan
?
?2?3? 3
原式
? ???7.

4cos
?
?sin
?
4?tan
?
4?3
42sin(
?
?
?
)?3tan(3
?
?
?
)
的值.
例4.
已知 sin(
?
?
?
)?,且sin
?
cos
?
?0,求
54cos(
?
?3
?
)
(1)cos

小结:


①三角函数的简化过程图:

任意负角的
公式一或三
任意正角的

三角函数

三角函数
②三角函数的简化过程口诀:
负化正,正化小,化到锐角就行了.
练习3:教材P28页7.
化简:
0
0
~360
0
间角
公式一或二或四
的三角函数
0
0
~90
0
间角
的三角函数
查表
求值
?
??
cos
?
?
?
?
2
??
(1)?sin(
?
?2
?
)?cos (2
?
?
?
);

5
?
??
si n
?
?
?
?
?
2
?
tan(360
o
?
?
)
2
(2)cos(?
?
)?.

sin(?
?
)

x的方程x?ax?
例5.
已 知sin
?
,cos
?
是关于

2
17
?
?0的两根,且3
?
?
?
?.

22
ta n(6
?
?
?
)sin(?2
?
?
?
)c os(6
?
?
?
)
的值.

cos(
?
?180?)sin(900??
?
)

三.课堂小结
①熟记诱导公式五、六;
②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限;
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.

四.课后作业:





1.4.1正弦、余弦函数的图象
教学目标:
知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出
y?sinx,x?R
的图象,明确图象的
形状;
(2)根据关系
cosx?sin(x?
?
2
)
,作出
y?cosx,x?R
的图象;
(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些
有关问题;
能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
(2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工
作精神;
教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象;


教学难点:作余弦函数的图象。
教学过程:
一、复习引入:
1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义: 设
?
是一个任意角,在
?
的终边上任取(异于原点的)一点P
(x, y)
P与原点的距离
r
(
r?
则比值
x?y
22
?x
2
?y
2
?0
)
r
P
(x ,
y)
?
y
y
叫做
?
的正弦 记作:
sin
?
?

r
r
x
x
比值叫做
?
的余弦 记作:
cos
?
?

r
r
3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的 垂线,
垂足为M,则有
sin
?
?
yx
?MP

cos
?
??OM

rr
向线段MP叫做角α的正弦线,有向线段OM叫做角α的余弦线.

二、讲解新课:
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何 法):为了作三角
函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一 般情
况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初
学者对曲线形状的正确认识.
(1)函数y=sinx的图象
第一步:在直角坐标系的x轴 上任取一点
O
1
,以
O
1
为圆心作单位圆,从这个圆与x轴
的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份 .
(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于角< br>0,
?
6

?
?
,,…,2π的正弦线正弦线(等价 于“列
32
表” ).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重 合,则正
弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).
第三步:连线.用光 滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x
∈[0,2π]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移
动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象.


把角x
(x?R)
的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正
弦线 的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函
数的图象? 根据诱导公式
cosx?sin(x?
?
2
)
,可以把正弦函数 y=sinx的图象向左平移
?
单位即得
2
余弦函数y=cosx的图象.( 课件第三页“平移曲线” )








y
1
-6?
-5?
-4?
-3?
-2?
-?
o
-1
y
1
-6?
-5?
-4?-3?
-2?
-?
-1
?
2?
3?
4?5?< br>6?
x
y=sinx
y=cosx
?
2?
3?
4?5?
6?
x
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫 做正弦曲线和余弦曲线.
思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?

2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (
(2?,0)
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (
?
3
?
,0) (?,-1) (,0)
2
2
?
3
?
,1) (?,0) (,-1)
2
2
(2?,1)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确 定了.因此在精确度不太高时,常采用五点
法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以

3、讲解范例:
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+
sinx
,x∈[0,2π], (2)y=-
COSx

●探究2. 如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来
得到
(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π〕的图象;
(2)y=sin(x- π3)的图象?
小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
● 探究3.


如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y
=-cosx ,
x∈〔0,2π〕的图象?
小结:这两个图像关于X轴对称。
●探究4.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx ,
x∈〔0,2π〕的图象?
小结:先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形,得到 y=-cosx的图象,
再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象。
●探究5.
不用作图,你能判断函数y=sin( x - 3π2 )和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标
系中画出它们的简图,以验证你的猜想。
小结:sin( x - 3π2 )= sin[( x - 3π2 ) +2 π] =sin(x+π2)=cosx
这两个函数相等,图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:
115
?
(1)sinx?;
(2)cosx?,(0?x?).

2

22

三、巩固与练习

四、小结:本节课学习了以下内容:
1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系
五、课后作业:







1.4.2正弦、余弦函数的性质
教学目标:
1、知识与技能
掌握正弦函数和余弦函数的性质.
2、过程与能力目标
通过引导学生观察正、余弦函数的图像,从而发现正、余弦函数的 性质,加深对性质
的理解.并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.
3、情感与态度目标
渗透数形结合思想,培养学生辩证唯物主义观点.
教学重点:正、余弦函数的周期性;正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用;正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应
用。


正弦、余弦函数的性质(一)

教学过程:
一、复习引入:
1.问题:(1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?
2.观察正(余)弦函数的图象总结规律:
自变量
x

函数值
?2
?

?
3
?
?

?
?

?

22

0

0

?

2

?

0

3
?

2
2
?

0

sinx







?5
?




0

0

?1

?1

y

?2
?


1


?
2
?
?

?

?
2
O

?
1



?

2
?

x

5
?


正弦函数
f(x)?sinx
性质如下:
(观察图象) 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;
2? 规律是:每隔2?重复出现一次(或者说每隔2k?,k?Z重复出现)
3? 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论:象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;
符号语言:当
x
增 加
2k
?

k?Z
)时,总有
f(x?2k
?)?sin(x?2k
?
)?sinx?f(x)

也即:(1)当自 变量
x
增加
2k
?
时,正弦函数的值又重复出现;
(2)对于定义域内的任意
x

sin(x?2k
?
)?sinx< br>恒成立。
余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课:
1.周期函数定义:对于函数
f
(
x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每
一个值时,都有:
f
(
x
+T)=
f
(
x
)那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个
函数的周期。
问题: (1)对于函数
y?sinx

x?R

sin(
?
6
?
2
??
2
?
是它的周期?
)?sin,能否说
363
(2)正弦函数
y?sinx
,如果是,周期是多少?(
2k
?

x?R
是不是周期函数,
k?Z

k?0


(3)若函数
f(x)
的周期为
T,则
kT

k?Z
*
也是
f(x)
的周期吗? 为什么?
(是,其原因为:
f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?L?f(x?kT)


2、说明:1?周期函数x?定义域M,则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界;T<0则定义
域无下界;
2?“每一个值”只要有一个反例,则
f
(
x
)就不为周期函数(如
f
(
x
0
+t)?
f
(
x
0
))
3?T往往是多值的(如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期T中最小
的正数叫做
f
(
x
)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? (一般称为周期)
从图象上可以看出
y?sinx< br>,
x?R

y?cosx

x?R
的最小正周期为< br>2
?

判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? (
f(x)?c
没有最小正周期)

3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期: ①
y?3cosx

y?sin2x
(3)
y?2sin(x?
1
2
?
6
)

x?R

解:(1)∵
3cos(x?2
?
)?3cosx

∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?2
?
,函数
y?3cosx

x?R
的值才能重复出现,
所以,函数
y?3 cosx

x?R
的周期是
2
?

(2)∵sin(2x?2
?
)?sin2(x?
?
)?sin2x

∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?
?
,函数
y ?sin2x

x?R
的值才能重复出现,
所以,函数
y?sin2x

x?R
的周期是
?

(3)∵
2sin(x?
1
2
?
1
?
1< br>?
?2
?
)?2sin[(x?
?
)?]?2sin(x?)

62626
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x??
,函数
y?sin2x

x?R
的值才能重复出现,
所以,函数
y?sin2x

x?R
的周期是
?

练习1。求下列三角函数的周期:
1? y=sin(x+
x
??
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+)
2
53
解:1? 令z= x+
?
而 sin(2?+z)=sinz 即:f

(
2
?+z)=f

(z)
3


f

[(x+
2
)?+
??
]=f

(x+) ∴周期T=2?
33
2?令z=2x ∴
f
(
x
)=cos2x=co sz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]
即:
f
(
x
+?)=
f
(
x
) ∴T=?
3?令z=
x
?
x
?
+ 则:f

(
x
)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?)
2< br>5
2
5
=3sin(
x?4
??
?
)=f
(
x
+4?) ∴T=4?
25
思考:从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关?
说明:(1)一般结论:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及 函数
y?Acos(
?
x?
?
)

x?R
(其中
A,
?
,
?
为常数,且
A?0

?
?0
)的周期
T?
2
?
?

(2)若
?
?0
,如:①
y?3cos(?x)
; ②
y?sin(?2x)
; ③
y?2sin(?
则这三个函数的周期又是什么?
1
?

x?)

x?R

26
一般结论:函数
y?Asin(< br>?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?< br>?
)

x?R
的周期
T?
2
?

|
?
|
思考: 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+
解:1? y
1
=sin(2x+
?
?
)+2cos(3x-) 2? y=|sinx|
4
6
?
2
?
?
) 最小正周期T
1
=? y
2
=2cos(3x-) 最小正周期 T
2
=
4
3
6
∴T为T
1
,T
2
的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图

三、巩固与练习P36面

四、小 结:本节课学习了以下内容:
周期函数的定义,周期,最小正周期

五、课后作业:
-?
?
?
?
2?
3?




正弦、余弦函数的性质(二)
教学目标:
1、知识与技能
掌握正弦函数和余弦函数的性质.
2、过程与能力目标
通过引导学生观察正、余弦函数的图像,从而发现正、余弦函数的性质,加深对性质
的理解.并会求简单 函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.


3、情感与态度目标
渗透数形结合思想,培养学生辩证唯物主义观点.
教学重点:正、余弦函数的周期性;正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用;正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应
用。
教学过程:
一、复习引入:
偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?

二、讲解新课:
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么?
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时,函数y取同一值。
例如:f(-
f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是:如果点(x ,y)是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,
与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y= cosx的图象上,这时,我们说函数y=cosx是偶函
数。

(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系?
这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对
称。 也就是说,如果点(x,y)是函数y=sinx的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点
(- x,-y)也在函数y=sinx的图象上,这时,我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性

y
=sin
x

x
∈[-

x
∈[-
?
1
?
1
?
?
)=,f()= ,即f(-)=f();…… 由于cos(-x)=cosx ∴
3< br>2
3
2
33
?
3
?
]的图象上可看出: < br>,
22
?
?
,]时,曲线逐渐上升,sin
x
的值由 -1增大到1.
22
?
3
?

x
∈[,]时,曲 线逐渐下降,sin
x
的值由1减小到-1.
2
2
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间[-
??+2

,+2

](
k
∈Z)上都是增函数,其值 从-
22
?
3
?
1增大到1;在每一个闭区间[+2
kπ< br>,+2

](
k
∈Z)上都是减函数,
2
2
其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间[(2
k
-1)
π
,2

](
k
∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到
1; < br>在每一个闭区间[2

,(2
k
+1)
π
](k
∈Z)上都是减函数,其值从1减小到


-1.

3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形,可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
?
2
k∈Z y=cosx的对称轴为x=
k
?
k∈Z
练习1。(1)写出函数
y?3sin2x
的对称轴;
(2)
y?sin(x?
?
4
)
的一条对称轴是( C )
(A) x轴, (B) y轴, (C) 直线
x?
, (D) 直线
x??
4

4

思考:P46面11题。

4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?

例2 函数f(x)=sinx图象的对称轴是 ;对称中心是 .

例3.P38面例3

例4 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0;
?
?
1?sinx?cosx
;
(2)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);

1?sinx?cosx
10
1
?
例5 求函数
y?2sin(x?)
的单调递增区间;
23

?
1
思考:你能求
y?sin(?x)x?[?2
?
,2
?
]
的单调递增区间吗?
32

练习2:P40面的练习

三、小 结:本节课学习了以下内容:
正弦、余弦函数的性质

1. 单调性
2. 奇偶性
3. 周期性
四、课后作业:








sin(?
?
18
)?sin(?
?
)

cos(?
2317
?
)?cos(?
?
)

54


1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、教学分析 < br>本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函
数y=A sin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过
程,进 一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的
一个直观反映. 这节是本章的一个难点.
如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ω x+φ)的图象呢?通过引导学生对
函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探 索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊
到一般的化归思想;并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整 后,将影响图象变换这一难
点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过 对参数φ、ω、
A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.
本节 课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五
点”作图法,正确找 出函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所
在.

二、教学目标:
1、知识与技能
借助计算机画出函数y=Asin(ωx+φ) 的图象,观察参数Φ,ω,A对函数图象变化的
影响;引导学生认识y=Asin(ωx+φ) 的图象 的五个关键点,学会用“五点法”画函数y
=Asin(ωx+φ)的简图;用准确的数学语言描述不同 的变换过程.
2、过程与方法
通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会
研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时,一般采取先
“各个击破”后“归纳整合”的方法.
3、情感态度与价值观
经历对函数y=sin x到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以
及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题,解决问题的能力.
三、教学重点、难点:
重点:将考察参数 Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解,找
出函数y=sin x到y =Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干
简单问题的方法.;会用 五点作图法正确画函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
难点:学生对周期变换、相位变换顺序不同,图象平移量也不同的理解.
四、教学设想:

函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
(一)、导入新课
思路1. (情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数
(其中A 、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y
与时间x的关 系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观
地看出,因此,我们有必 要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
思路2.(直接 导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?
从图象上 看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索
φ 、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.



(二)、推进新课、新知探究、提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线 有何关系?你认为可以怎样讨论参
数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响?
②分别在y=sinx和y=sin(x+
?
)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同 时移动这
3
两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响?对φ任取不 同的值,
作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y=sinx的图象是否有类似的关系?
③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
④你能 用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗?为了
作图的方便, 先不妨固定为φ=
y=sin(x+
?
,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程 中的比较对象固定为
3
?
).
3
⑤类似地,你能讨论一下参数A对 y=sin(2x+
ω=2,φ=
?
)的图象的影响吗?为了研究方便,不妨令
3
?
.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中3
?
的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
3
⑥可否先伸缩后平移?怎样先伸缩后平移的?
活动:问题①,教师先引导 学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同
时引导学生观察y=sin(x+
?
)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对
3
?
的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结
3
y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识 .然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变
化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差
出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.

图1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究 它与y=sinx的图象的关
系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin (x+φ)的图象影响的经验.
为了研究的方便,不妨先取φ=
?
,利用计算机作出在 同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在
3
?
)的图象上的点的横
3
两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的
纵坐标 相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+
坐标总是等于y=sin x的图象上对应点的横坐标减去
?
.这样的过程可通过多媒体课件,使得图
3
中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、x
B
-x
A
、|AB|的变化情


??
)的图象,可以看作是把正弦曲线y=si nx上所有的点向左平移个单位长
33
?
?
度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的
33
?
过程,以 加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=
?
,用同样的方法可以得到y=sinx的图4
?
?
象向右平移后与y=sin(x
?
)的图象重合.
4
4
况,这说明y=sin(x+
如果再变换φ的值,类似的情况将 不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已
经完成,学生关于φ对y=sin(x +φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=si n(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结
论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图 象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当
φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位 长度而得到.
问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学 生按照从
具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+
y=sin(x +
??
)为参照,把y=sin(2x+)的图象与
33
?
)的图象 作比较,取点A、B观察.发现规律:
3

图2
如图2,对于同一个y值 ,y=sin(2x+
点的
??
)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的 图象上对应
33
1
倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸 缩变换过程,引导学
2
11
?
生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取 ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与
22
3
?
y=sin(x +)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把
3
?1
?
y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到 y=sin(x+)的
3
2
3
图象.
当取ω为其他值时, 观察相应的函数图象与y=sin(x+
?
)的图象的关系,得出类似的结论.
3这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图 象的
影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的 图象
与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:

函数y=si n(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标
缩短(当ω>1时) 或伸长(当0<ω<1时)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变)而得到.



图3
问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索 ω、φ对图象的影响完全一致,
鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+
??
)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,
33
分别在两条曲线上各取一 个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横
?
)的图象
3< br>??
上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3 sin(2x+)的
33
?
图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的 点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)
3
坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发 现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+
而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似 的情况.有了前面两个参数的探究,学生
得出一般结论:

函数y=Asin (ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所
有点的纵坐标 伸长(当A>1时)或缩短(当0得到,从而,函数y=A sin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
由此我们得到了参数φ、ω 、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响
情况.
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:
先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到
1函数y=sin(x+φ)的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数
?
y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线
就是函数y= Asin(ωx+φ)的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标) ,再伸缩纵坐标(或横坐标),最后
平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以 引起学生注意,并体会一些细
节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的 探究.教师适时地引导学生回顾思考
整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思 想.

(三)、讨论结果:
①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin( ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参
数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y= Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略②略.
③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.


(四)、规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
????????
得y=sin(x+φ)的图象
平移 |
?
|个单位长度
?
向左(
?
?0)或向右(
?< br>?0)
(0?
?
?1)或缩短(
?
?1)
?
横坐标伸长
?????????
得y=sin(ωx+φ)的图象
1
到原来 (纵坐标不变)
(A?1)或缩短(0?A?1)
?
纵坐标伸长
?????? ???
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
为原来的A倍(横坐标不变)
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)
??????????
得y=Asinx 的图象 y=sinx的图象
这原来的A倍(横坐标不变)
(0?
?
?1)或 缩短(
?
?1)
?
横坐标伸长
?????????
1
到原来的(纵坐标不变)
得y=Asin(ωx)的图象
?
(
?
?0)或缩短(
?
?1)
?
向左
???????
平移||个 单位

(五)、应用示例
例1 画出函数y=2sin(
?
?
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
1
?
x-)的简图.
3
6
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究 ,这里的φ=
?
所学内容自己写出得到y=2sin(
?
1
,ω=, A=2,鼓励学生根据本节
63
1
?
x-)的图象的过程:只需把y=sin x的曲线上所有点向右平
3
6
??
行移动个单位长度,得到y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵
66
1
?
坐标不变 ),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横
3
6
1
?
坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.
3
6


图4
(2)学生完成以上变换后,为了进一 步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序
的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化 的实质.
1
?
x-),简图的方法,教师再进
3
6
1?
一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手 按
3
6
(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(
“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:方法一:画出函数y=2sin(
?
1
?
x-)简图的方法为
3
6
y=sinx
??????
y=sin(x-
?
)
6
纵坐标不变
右移个单位
6
横坐标不变
1
?
?????
y=sin(x-)
纵坐标伸长到原来的2倍
横坐标伸长到原来 的3倍
3
6
1
?
y=2sin(x-).
3
6
1
?
方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为
3
6
?????
y=sinx
横坐标伸长到原来的3倍
横坐 标不变
?
纵坐标不变
????
y=sin
1
x
3
纵坐标伸长到原来的2倍
?????
y=2sin
1
x
3< br>??????
y=2sin(
1
x-
?
)=2sin
1
(x-
3
6
3
右移个单位
2
?
?
).
2
方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X=
X
X
Y
1
?
?
x-,则x=3(X+).列表:
6
3
6
0
?

2

2
π
3
?

2

-2

?

2
0
7
?

2
0
13
?

2
0
描点画图,如图5所示.

图5
点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个 新的认识.
但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个


难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最 小值以
及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X取
0,

(六)、课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法 ,以及对三角函数图象及三角函数解析
式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+
?
3
?
,π,,2π来确定对应的x值.
2
2
?
)的图象,并分别观察参数φ、< br>3
ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到< br>一般的化归思想.

(七)、作业










函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
(一)、导入新课
思路1. (直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的
图象的影 响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,
φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.
思路2.(复习导入)请同学们分别用图 象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(
1
?
x-)
2
3< br>的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上
节所学内容的基础上展开新课.

(二)、推进新课、新知探究、提出问题
①在上 节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的
步骤是什 么?
②(1)把函数y=sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y=si n(2x-
象;
(2)把函数y=sin3x的图象向_______平移_______个 单位长度得到函数y=sin(3x+
的图象;
?
)的图
3
?)
6


?
)的图象?
3
?
③将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所
2
1
得 到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.
2
(3)如何由函数y= sinx的图象通过变换得到函数y=sin(2x+
对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲 、乙、丙各自解法的正误.
?
?
11
sinx的图象先向右平移个单位长度 ,得到y=sin(x-)的图
22
22
?
1
11
象,再将 所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=
?
cos2x
22
22
1
的图象,∴f(x)=
?
cos2x.
2
甲:所给问题即是将y=
乙:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(
φ)的图象,再将所得的图象向左平移A=
?
x+
2
?
1
?
?
个单位长度, 得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴
22
2
2
?
1
?
,=1,+φ=0,
2
2
2
??
1
11
即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=
?
cos2x.
222
22
丙:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横 坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(
φ)的图象,再将所得的图象向左平移
?
?
个单位长度,得到y=Asin[(x+)+
22
2
?
x+
2
?
??
1
+φ)= sinx,
4
2
2
??
1
?
∴A=,=1,+φ=0.
4
2
2
?
1
解得A=,ω=2,φ=-,
22
?
1
1
∴f(x)=sin(2x-)=
?
cos2 x.
22
2
φ]=Asin(x+
活动:问题①,复习巩固已学三 种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生
回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin( ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,
既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课 的工具提供必要的保障.
问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法 平移量的区别和导致
这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质 的理解及
使用诱导公式的综合能力.
问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换” ,即将以上变换倒过来,由y=
?
1
sinx变换到
2
y=f(x) ,解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变
换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错

?
?
个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变
2
22??
?
?
?
量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ], 而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果
22
22
2
误,就是将y =Asin(x+φ)的图象向左平移
一样,但这是巧合,丙的解答是正确的.
三角 函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序
就会出错,故在对这种 方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移
变换是对自变量x而言的,比 如乙同学的变换就出现了这种错误.
?
?
3
?
,π, ,2π.
2
2
?
?
?
1
②(1)右, ;(2)左, ;( 3)先y=sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的
63
182
讨论结 果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,
倍(纵坐标不变).
③略.
提出问题
①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简 谐运
动的函数关系吗?
②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、 初相等概念与A、
ω、φ有何关系.
活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学 生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解
常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开 头提到的“简谐运动的图象”
所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈[0, +∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐
运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式 中的常数有关:A就是这个简谐运动的
振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐 运动的周期是T=
2
?
?
1
?
做简谐运动的物体往复运动一 次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,
T2
?
它是做简谐运动的物 体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为
初相.
讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.
②略.

(三)、应用示例
例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
,这是

图7
活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相


关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图
象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上
是如何 得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.
完成解题后,教 师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想
方法,找两名学 生阐述思想方法,教师作点评、补充.
解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为
5
.
4
(2)如果从O点算起,到曲线上 的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲
线上的E点,表示完成了一次往复运动.
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),
5
?
;由图象知初相φ=0.
?
2
5
?
于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈[0,+∞).
2
那么A=2;由
2
?
=0.8,得ω=
点评:本 例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方
法——数形结合的思想方 法,应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练
函数y=6sin(
1
?
x-)的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是6
4
1
?
8
?

?
(8kπ+,6)(k∈Z)
8
?
63
___________,图象最高 点的坐标是_______________.
解:6 8π

例2 若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(
和一个 最低点(
?
,3)
12
?
,-5),求这个函数的解析式.
12
活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的 解析式
为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学 生思考它与
y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0 ,ω>0)的图象向上(B>0)或向下
(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值 时相应的x的值之差的绝对值只是半个
周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给 出图象,不像例1那样能明显
地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取 离y轴最近的一个即可.
解:由已知条件,知y
max
=3,y
min
=-5,
则 A=
T7
?
?
?
11
(y
max
-ymin
)=4,B= (y
max
+y
min
)=-1,=-=.
212
12
2
22
∴T=π,得ω=2.
故有y=4sin(2x+φ)-1.
??
,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,
1212
?
????
即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=.
62623
?
故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.
3
由于点(


点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明 了,题中无图但脑中应有图或根据题意
画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注 意初相φ的确定.求初相也是这
节课的一个难点.
变式训练
已知函数y=Asin (ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.

解: 根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择
对应的方程ωx< br>i
+φ=0,
?
3
?
,π,,2π(i=1,2,3,4,5 ),得出φ的值.
2
2
方法一:由图知A=2,T=3π,
22
,∴y=2sin(x+φ).
?
33
3
?
由“五点法”知,第一个零点为(,0),
4
?
2
3
?
∴·+φ=0φ=-,
2
4
3
2
?
故y=2sin(x-).
3
2
2
方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.
3
3
?
9
?
由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.
44
?
2
9
?
∴·+φ=πφ=
?
.
42
3
2
?
∴y=2sin(x-).
3
2
由=3π,得ω=
点评:要熟记判断“第一点”和“第 二点”的方法,然后再利用ωx
1
+φ=0或ωx
2
+φ=π求
出φ .
2.2007海南高考,3函数y=sin(2x-
2
?
?
?< br>)在区间[
?
,π]上的简图是( )
3
2



图9
答案:A

(四)、课堂小结
1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习 的数学方法:由简单到
复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的 应用价值.
2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象, 这种题
目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可;如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面
的 系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第
一零点(
?

(五)、作业






?
,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.
?

1.6 三角函数模型的简单应用
一、教学分析
三角函数 作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画
周期变化规律、预测其未 来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函 数模型刻画周期变化现象的学
习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的 应用,在素材的选择
上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的 应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科
的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际

问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数
据的散 点图,根据散点图进行函数拟合等.
二、教学目标
1、知识与技能:
掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)
将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、过程与方法:
选择 合理三角函数模型解决实际问题,注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相
关学科知识来帮 助理解问题。切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值
和作用及数学和日常生活和 其它学科的联系。
3、情态与价值:
培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来 建立三角函数模
型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
四、教学设想:
三角函数模型的简单应用(一)

一、导入新课
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期
性变化的现象 无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到底
能发挥哪些作用呢?由此展 开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期 性.在
现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢?回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模
型来刻 画它呢?以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.

二、推进新课、新知探究、提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型 都是常用来描述现实世界中的
哪些规律的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?
④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生 互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已
经做好复习的学生给予表 扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对
还没有进入状态的学生,教师要帮助 回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生
能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是: 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解
函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教
学要求,不是教 师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作
探究中自己解决问题,探求 新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.


②简单地说 ,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似
地反映实际问题时,所得出 的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以
抽象概括,建立相应的数学模型,利用 这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系;
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型;
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论;
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.

三、应用示例
例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.

图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究< br>温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗?给出的模型函数
是什 么?要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间 段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象
的解析式,然后再求函数的最值差 .教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指
的是“求6是到14时这段时间的最大温差 ”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不
必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体 问题时的不同作用.第(2)小题只要用
待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中 求ω是利用半周期(14-6),通过
建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
11
(30-10)=10,b= (30+10)=20.
22
1
2
?
∵·=14-6,
?
2
∴A =
∴ω=
?
.将x=6,y=10代入上式,解得φ=
综上,所求解 析式为y=10sin(
?
x+
?
8
3
?
.
4
?
8
3
?
)+20,x∈[6,14].
4
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒 学生注
意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.



例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.(
?
π)
答案:C

例3 如图2,设地球表面某 地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,
那么这三个量之间的关系是θ=9 0°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北 纬40°)的一幢高为h
0
的楼房北面盖一新楼,要使新楼一
层正午的太阳全年不被前 面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较 多,综合性比较强,需调动相关学科的知识
来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充 分熟悉实际背景,理解各个量的
含义以及它们之间的数量关系.
?
??
3
?
3
?
3
?
,) B.(,) C.(π,) D.(,2
444
422

首先由题意要知道太阳高度角的定义:设 地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,
此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ =90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬
半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图
易知
太阳高度角θ、楼高h
0
与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h
0
=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体 的影子最短,直射南回归线时物体
的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考 虑太阳直射南回归线时
的情况.

图3
解:如图3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影
点.要使新楼一层正午的太阳全年不被 前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,
此时的太阳直射纬度-23°26′.依题意两楼 的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C=90°-|40°-(-23°26′)|=26°34′,
所以MC=
h
0
h
0
=≈2.000h
0
,
tanC
tan26
?
34'
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.


点评: 本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三
角函数有关的简单函数模 型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数
模型,学生会有一定困难,而解决这 一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立
函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一 定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的
基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生 进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的 楼高7层,每层3米,楼与楼之
间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡, 他应选择哪几层的
房?

图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan[90°-(23°+23°26′)]=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上.

四、课堂小结
1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根 据解析式作
出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解
决实际问题的基本步骤吗?
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知 识才能解决它.因此,在应
用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系, 还要调动相关学
科知识来帮助理解问题.

五、作业
1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系

图5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
?
)在一个周期内的图象.
2
1
s的时间内电流I能同时取得最大值和
100
(1)根据图象写出I=A sin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段
最 小值,那么正整数ω的最小值为多少?


11
,0),第二个零点为(,0),
300150
11
??
∴ω·(-)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=10 0π,φ=,∴I=300sin(100πt+).
30015033
12
?1
(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ω
min
=629.
100
?
100
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(-

2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体 内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、
体温、睡眠节奏、饥饿程 度等;
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层 ,
虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮;蜕下的“旧表皮”称为
“蜕 ”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准
备和蜕皮过 程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双
层角质层,其外层在定 期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为
一个周期可完整地脱落1次,称 为蛇蜕.





















































































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