高中数学必修四第一章题型汇总

第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和 弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意
角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
象限角与终边相同的角

1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限
C．第二或第四象限
B．第一或第二象限
D．第三或第四象限
A [当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象 限角，所以α为
第一或第三象限角．故选A.]
α
2．若角α是第二象限角，则
2
是( )
A．第一象限角
C．第一或第三象限角
B．第二象限角
D．第二或第四象限角
π
C [∵α是第二象限角，∴
2
＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， < br>παπ
∴
4
＋kπ＜
2
＜
2
＋kπ，k∈Z .
α
当k为偶数时，
2
是第一象限角；
α
当k为奇数时，
2
是第三象限角．
α
综上，
2
是第一或第三象限角，故选C.]
3．与－2 015°终边相同的最小正角是________．
145° [－2 015°＝6×(－360°)＋145°，因此与－2 015°终边相同的最小正角是145°.]
4．终边在直线y＝3x上的角的集合是________．
1

{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [如图，直线y＝3x过原点，倾斜角为60°，
扇形的弧长、面积公式

【例1】 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r，则
2r＋rθ＝10，
?
?
?
1
2
θ·r
＝4，
?
?
2

r＝4，
?
?
?
r＝1，
解得
?
(舍去)或
?
1
θ＝
，
?
θ＝8
?
?
2



1
∴扇形的圆心角为
2
.
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
11
又S＝
2θr
2
＝
2
r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)
2
＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝ 40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇
形的面积最大．
(1)若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，
则弧长l＝________cm.
83
3
π [设扇形的半径为r cm，如图．
2

6
由sin 60°＝
r
，得r＝43 cm，
2π
83
∴l＝|α|·r＝
3
×43＝
3
π cm.]
(2)已知扇形AOB的周长为C，当圆心角为多少时，扇形的面积最大？
[解] 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，由题意可知
C＝l＋2r ①
?
?
?
1
S＝
?
2
lr ②
?

C
?
1C
2
?
∴l＝C－2r，代 入②可得：S＝
2
(C－2r)·r＝
2
r－r
?
0＜r＜
2
?
，
??
2
CCCCl
?
C
?
2
C
∵S＝－
?
r－
4
?
＋
1 6
，0＜r＜
2
，∴当r＝
4
时，S最大，此时l＝C－
2
＝
2
，∴α＝
r
＝2.
??
三角函数的定义

?考法1 利用三角函数的定义求值
4π
【例2】 (1)已知点P在角
3
的终边上，且|OP|＝4，则点P的坐标为( )
A．(－2，－23)
C．(－23，－2)
?
13
?
B.
?
，－
?

2??
2
?
31
?
D.
?
－，－
?
2
??
2
3

511
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－
13
，则
sin α
＋
tan α
＝________.
y
4π
x
4π4π
2
(1)A (2)－ [(1)设P(x，y)，由三角函数的定义知，
4
＝sin
3
，
4
＝cos
3
，即y＝4sin
3
3
4π
＝－23 ，x＝4cos
3
＝－2，即点P的坐标为(－2，－23)，故选A.
5
(2)r＝x
2
＋36，由cos α＝－
13
得
55
解得x＝
2
或x＝－
2
(舍去)
?
5?
所以P
?
－
2
，－6
?
，
??
12sin α12
所以sin α＝－
13
，所以tan α＝
cos α
＝
5
，
111352
则
sin α
＋
tan α
＝－
12
＋
12
＝－
3
.]
?考法2 三角函数值的符号判定
cos α
【例3】 (1)若sin αtan α＜0，且
tan α
＜0，则角α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0
C．等于0
B．大于0
D．不确定
B．第二象限角
D．第四象限角
－x
5
＝－

2
13
x＋36
(1)C (2)A [(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而可判断角α为第二或第三象
限角．
cos α
由
tan α
＜0可知cos α，tan α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角．
综上可知，角α为第三象限角．
(2)sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，则sin 2·cos 3·tan 4＜0，故选A.]
?考法3 三角函数线的应用
【例4】 函数y＝2cos x－1的定义域为________．
4

ππ
??
?2kπ－
3
，2kπ＋
3
?
(k∈Z)
??
[∵2cos x－1≥0，
1
∴cos x≥
2
.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
ππ
??
2kπ－，2kπ＋
∴x∈
?
(k∈Z)．]
33
?
??
(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动
2π
3
弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
?
1
??
1
?
3
?
31
?
3
?
31
?< br>A.
?
－，
?
B.
?
－，－
?
C.
?
－，－
?
D.
?
－，
?

2
?
2
??
22
??
2
?
2?
22
?
2
(2)若角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且si n θ＝
4
m，则cos θ的值为________．
(3)函数y＝lg(2sin x－1)的定义域为________．
π
5?
6
?
2kπ＋，2kπ＋
?
(1)A (2)－ (3)
k∈Z [(1)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)
66
π
?
4??
2π
1
2π
3
满足x＝cos
3
＝－
2
，y＝sin
3
＝
2
. ?
13
?
∴Q点的坐标为
?
－，
?
，故选A.
?
22
?
(2)由题意知r＝3＋m
2
，
m2
∴sin θ＝＝m，
3＋m
2
4
5

∵m≠0，∴m＝±5，∴r＝3＋m
2
＝22，
∴cos θ＝
－3
22
＝－
6
4
.
(3)由题意知2sin x－1＞0，即sin x＞
1
2
，
根据三角函数线，画出x满足条件的终边范围．(如图阴影所示)
∴
?
?< br>?
x
?
?
2kπ＋
π5π
?
?
6< br>＜x＜2kπ＋
6
，
?
?
?
k∈Z

?
?
?


1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )
A．sin 2α>0 B．cos α>0
C．sin α>0 D．cos 2α>0
A [∵tan α>0，∴α∈
?
?
?
kπ，kπ＋
π
2
?
?
?
(k∈Z)是第一、三 象限角．
∴sin α，cos α都可正、可负，排除B，C.
而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，
结合正、余弦函数图象可知，A正确．
取α＝
π
4
，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．]
2．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(
A．
4
5
B．
3
5

C．－
3
5
D．－
4
5

6
)

x4
D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝
r
＝－
5
.]
第2节 诱导公式
π
[考纲传真] 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的 诱导
2
公式．

诱导公式的应用

【例1】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.
?
π
??
5π
??
2π
?
(2)已知cos
?
6
－θ
?
＝a，则cos
?
6
＋θ
?
＋sin?
3
－θ
?
＝________.
??????
(3)已知A＝
sin?kπ＋α?cos?kπ＋α?
sin α
＋
cos α
(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
3
(1) (2)0 (3){2，－2} [(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290°
4
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cos 210°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
333
＝sin 60°cos 30°＝
2
×
2
＝
4
.
?
π
?
π
??
?
5π
???
π
???π
??
2π
?
＋θ－θ－θ－θ
?
＝cos
?
π－
?
6
??
＝－cos
?
6
?
＝－a，sin
?
3
?
＝sin
?
2
＋
?
6
－θ
?
?
＝(2)cos
?
6
???
??????????
?
?
π
?
cos
?< br>6
－θ
?
＝a
??
?
5π
??
2 π
?
∴cos
?
6
＋θ
?
＋sin
?3
－θ
?
＝－a＋a＝0.
????
7

－sin α
cos αsin αcos α
(3)当k为偶数时，A＝
sin α
＋
cos α
＝2；k为奇数时，A＝
sin α
－
cos α
＝－2，因此A的
值构成的集合为{2，－2} .]
[规律方法] 1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正，化大为小，化到锐角为止．
ππ
( 2)角中含有加减
2
的整数倍时，用公式去掉
2
的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
ππππππ
(1)常见的互余的角：
3
－α与
6
＋α；
3
＋α与
6
－α；
4
＋ α与
4
－α等．
π2ππ3π
(2)常见的互补的角：
3
＋θ与
3
－θ；
4
＋θ与
4
－θ等．
3．三角函数式化简的方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
π
??
?
α＋
2
?
tan
??
5
?
π
?
(1)已知α∈
?
2
，π
?
，且cos α＝－
13
，则
??
cos?α＋π?
＝( )
12
A.
13

13
C.
12

12
B．－
13

13
D．－
12
π
?
12
??
π
?
(2)已知sin
?
α＋
3
?
＝
13
，则cos
?
6
－α< br>?
＝________.
????
8

π
?
π
???
tan
?
α＋
2
?
sin
?
α＋
2
?
????
cos α1
12
(1)C (2) [(1)＝＝＝，
π
sin αcos αsin α
13
α＋π
??
()
cos
cos
?
α＋
2
?
cos?α＋π?
??
512
?
π
?
又α∈
?< br>2
，π
?
，cos α＝－
13
，则sin α＝
13
，
??
π
??
tan
?
α＋< br>2
?
??
113
从而＝
sin α
＝
12
，故选C.
cos?α＋π?
π
??
π
??
π
(2)因为
?
α＋
3
?
＋
?
6
－α
?
＝
2
.
????
π
???
π
?
?
π
?
α＋
3
?
?< br>
所以cos
?
6
－α
?
＝cos
?
2
－
?
??
?
??
?
π
?
12
?
＝sin
?
α＋
3
?
＝
13
. ]
??
第3节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解
正弦函数、余弦函数在 [0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理
?
ππ
?
解正切函数在区间
?
－
2
，
2
?
内的 单调性．
??
三角函数的定义域、值域

【例1】 (1)函数y＝2sin x－3的定义域为( )
π
2π
??
π
2π
??
A.
?
3
，
3
?
B.
?
2kπ＋
3
，2kπ＋
3
?
(k∈Z) < br>????
π
2π
?
π
2π
???
C.
?
2kπ＋
3
，2kπ＋
3
?
(k∈Z D.
?
kπ＋
3
，kπ＋
3
?
(k∈Z)
????
π
?
π
???
(2)函数f(x)＝3sin
?
2x－
6
?
在区间
?
0，
2
?
上 的值域为( )
????
?
33
?
A.
?
－< br>2
，
2
?

??
?
3
?
B.
?
－
2
，3
?

??
9

?
3333
?
?
C.
?
－< br>2
，
2
??
?
33
?
?
D.
?
－
2
，3
??
3
(1)B (2)B [(1)由2sin x－3≥0得sin x≥
2
，
π
2
∴3
＋2kπ≤x≤
3
π＋2kπ(k∈Z)，故选B.
π
?< br>π
?
π5π
??
0，－，
?
，
??
(2)因为x∈
2
?
，所以2x－
6
∈
?
??< br>66
?
π
??
1
?
π
??
3
???
所以sin
?
2x－
6
?
∈
?
－
2
，1
?
，所以3sin
?
2x－
6
?< br>∈
?
－
2
，3
?
，
????????π
???
3
?
所以函数f(x)在区间
?
0，
2
?
上的值域是
?
－
2
，3
?
，故选B.
????
?
πxπ
?
(1)函数y＝2sin
?
6
－
3
?
(0≤x≤9)的最大值与最
??
小值之和为( )
A．2－3 B．0 C．－1
(2)函数y＝
(1)A
1
的定义域为________．
tan x－1
D．－1－3
?
?
?
ππ
(2)
?
x
?
x≠< br>4
＋kπ，且x≠
2
＋kπ，k∈Z
?
?
?

?
?
?

?
?
ππxπ
[(1)因为0 ≤x≤9，所以－
3
≤
6
－
3
7π
?
3< br>?
πxπ
?
?
≤
6
，所以sin
?
6
－
3
?
∈
?
－，1
?
.
??
?
2
?
所以y∈[－3，2]，所以y
max
＋y
min
＝2－3.
10

tan x－1≠0，
?
?
(2)要使函数有意义，必须有
?
π
x≠＋kπ，k∈Z，
??
2
π
x≠
?
?
4
＋kπ，k∈Z，
即
?
π
x≠
?
?
2
＋kπ，k∈Z.



故函数的定义域为
?
?
?
ππ
?< br>x
?
x≠＋kπ，且x≠＋kπ，k∈Z
42
?
?
?

?
?
?
.
?
?
三角函数的单调性

π
??
【例2】 (1)函数f(x)＝sin
?
－2x ＋
3
?
的单调减区间为________．
??
π
???
π5π
?
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin
?
ωx＋
4
?
的一个单调递减区间为
?
8
，
8
?
，则ω＝________.
????
(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是
________．
π5π
?
π
?
π
?
3π
???
(1)
?
kπ－
12
，kπ＋
12
?
，k∈Z (2)2 (3)
4
[ (1)f(x)＝sin
?
－2x＋
3
?
＝－sin
?2x－
3
?
，函数f(x)
??????
π
??
的单调减区间就是函数y＝sin
?
2x－
3
?
的增区间． ??
πππ
由2kπ－
2
≤2x－
3
≤2kπ＋
2
，k∈Z，
π5π
得kπ－
12
≤x≤kπ＋
12
，k∈Z.
π5π
??
故所给函数的减区间为
?
kπ－
12
，kπ＋
12
?
，k∈Z.
??
π5ππππ5ππ
(2)由8
≤x≤
8
得
8
ω＋
4
≤ωx＋
4< br>≤
8
ω＋
4
.
π
3
??
又函数f (x)的单调递减区间为
?
2kπ＋
2
，2kπ＋
2
π?
(k∈Z)，
??
11

πππ
ω＋
＝2kπ＋
?
?
842
，
则
?
5
π3
πω＋
＝2kπ＋
?
?
842
π，

ω＝16k＋2
?
?
k∈Z即
?
16
ω＝
5k＋2
?
?

，解得ω＝2.
?
π
?
(3)f(x)＝cos x－sin x＝2cos
?
x＋
4
?
，
??
πππ
当x∈[0，a]时，
4
≤x＋
4
≤a＋
4
，
π 3π3π
由题意知a＋
4
≤π，即a≤
4
，故所求a的最大值为4
.]
π
??
π
??
[拓展探究] 本例(2)中， 若函数f(x)＝sin
?
ωx＋
4
?
在
?
2，π
?
上是减函数，试求ω的取值范围．
????
πππππ
[解] 由
2
＜x＜π，得
2
ω＋
4
＜ωx＋
4
＜πω＋
4
，
ππ
? ?
π3π
??
π
由题意，知
?
2
ω＋
4< br>，πω＋
4
?
?
?
2kπ＋
2
，2kπ＋< br>2
?
，k∈Z，
????
πππ
ω＋
≥2kπ＋< br>?
?
242
，k∈Z
∴
?
π3π
πω＋≤2kπ＋
?
?
42
，k∈Z，


15
∴4k＋
2
≤ω≤2k＋
4
，k∈Z，
15
当k＝0时，
2
≤ω≤
4
.
[规律方法] 三角函数单调性问题的解题策略
?1?已知三角函数的解析式求单调区间
①求函数的单调区 间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律
“同增异减”；②求形如y＝Asi n?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ??其中ω＞0?的单调区间时，要视
“ωx＋φ”为一个整 体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为
正数，防止把单调性弄错.
?2?已知三角函数的单调性求参数,已知函数y＝Asin?ωx＋φ?的单调性求参数，可先求t＝ ωx
＋φ的范围?a，b?，再根据?a，b?是函数y＝Asin t的单调区间的子集关系列不等式组求解.

π
??
(1)函数f(x)＝ tan
?
2x－
3
?
的单调递增区间是________．
??
12

π
???
ππ
?
(2)若函数f(x)＝sin ω x(ω＞0)在区间
?
0，
3
?
上单调递增，在区间
?3
，
2
?
上单调递减，则ω＝
????
_______ _.
3
πππ
kπ
π
?
kπ
π
kπ5π
?
(1)
?
2
－
12
，
2
＋
12
?
(k∈Z) (2)
2
[(1)由－
2
＋kπ＜2x－
3
＜
2
＋kπ(k∈Z)，得
2
－
12
＜x＜
??
kπ
5π
2
＋
12
(k ∈Z)．
?
kπ
π
kπ
5π
?
故函数的单调递增 区间为
?
2
－
12
，
2
＋
12
?
.
??
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
ππ
∴当0≤ωx≤
2
，即0≤x≤
2ω
时，y＝sin ωx是增函数；
π3ππ3π
当
2
≤ωx≤
2
，即
2ω
≤x≤
2ω
时，y＝sin ωx是减函数．
π
??
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在
?
0，
3
?
上单调递增，
??
ππ
3
3ππ
3
?
ππ
?
在
?
3
，
2
?
上单调递减知，
2ω
＝
3
，∴ω＝
2
，此时，
2ω
＝π＞
2
，符合题意，故ω＝
2< br>.]
??
三角函数的周期性、奇偶性、对称性


?考法1 三角函数的周期性
π
【例3】 (2019·大连模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋
6
，④y＝
π
??
2x－
?
tan中，最小正周期为π的所 有函数为( )
4
?
??
A．②④
C．①②③
C [①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图象知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
B．①③④
D．①③
13

π
④T＝
2
.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.]
?考法2 三角函数的奇偶性
π
??
【例4】 函数f(x)＝3sin
?
2x－
3＋φ
?
，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________．
??
5π
6
[由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3 sin
?
?
?
φ－
π
3
?
?
?< br>＝±3，
∴φ－
π
＝kπ＋
π
32
，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ＝
5π
6
.]
?考法3 三角函数的对称性
【例5】 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x＝
π
3
对称的是( )
A．y＝2sin
?
?
?
2x＋
π
3
?
?
?
B．y＝2sin
?
?
?
2x－
π6
?
?
?

C．y＝2sin
?
?
x
π
?
?
2
＋
3
?
?
D．y ＝2sin
?
?
π
?
?
2x－
3
?
?

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点
?
?
4π
?
?
3
，0
?
?
中心对称，那么|φ|的最小 值为(
A.
π
6
B.
π
4

C.
π
3
D.
π
2

(1)B (2)A [(1)根据函数的最小正周期为π知，排除C，
又当x＝
ππππππ
3
时，2x＋
3
＝π，2x－
6
＝
2
，2x－3
＝
3
，故选B.
(2)由题意得3cos
?
?4π
?
?
2×
3
＋φ
?
?

＝3cos
?
?
2π
?
3
＋φ＋2π
?
?
?
＝3cos
?
?
2π
?
3
＋φ
?
?
?
＝0，
∴
2π
φ＝kπ＋
π
3
＋
2
，k∈Z，
∴φ＝kπ－
π
6
，k∈Z，
14
)

π
取k＝0，得|φ|的最小值为
6
.]
[规律方法] 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路
?1?奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
y
＝
A cos
?
ωx
＋
φ
??
ω
＞
0
?
的最小正周期为利用函数
y
＝
Asin
?
ωx
＋< br>φ
?
，
?
2
?
周期的计算方法：
函数
y
＝
Atan
?
ωx
＋
φ
??
ω
＞
0
?
的最小正周期为求解
.

?
3
?
对称性的判断：对于函数
y
＝
Asin
?
ωx
＋< br>φ
?
，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，
对称中心的横坐标一定是函数 的零点，因此在判断直线
x
＝
x
0
或点
?
x
0
，
0
?
是否是函数的对称轴
或对称中心时，可通过检验
f
?
x
0
?
的值进行判断
.

，
(1)(2019·石家庄模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋
π
φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝
3
对称，则|φ|的最小值为 ( )
ππ5π
A. B. C.
1266
5π
D.
12
π
???
π
?< br>(2)若函数y＝cos
?
ωx＋
6
?
(ω∈N
*< br>)图象的一个对称中心是
?
6
，0
?
，则ω的最小值为( )
????
A．1 B．2 C．4 D．8
(1)B (2)B [(1)由题意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象关于直 线
πππππ
x＝
3
对称，所以2×
3
＋φ＝kπ＋
2
(k∈Z)，即φ＝kπ－
6
(k∈Z)，当k＝0时，|φ|取得最小值
6
，故
15

选B.
πωππ
(2)由题意知< br>6
＋
6
＝kπ＋
2
(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N
*
，所以ω
min
＝2，故选B.]

π
??
2x＋
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin
?
的最小正周期为( )
3
?
??
π
A．4π B．2π C．π D.
2

π
?
2π
?
C [函数f( x)＝sin
?
2x＋
3
?
的最小正周期T＝
2
＝ π.
??
tan x
2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
1＋tan
2
x
ππ
A.
4
B.
2
C．π D．2π
sin x
cos x
tan xsin xcos x1
C [f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝所以f (x)的最小正周期T
sin
2
x
cos
2
x＋sin2
x
2
sin 2x，
1＋tan
2
x
1＋< br>cos
2
x
2π
＝
2
＝π.故选C.]
?
π
?
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos
?
x＋< br>3
?
，则下列结论错误的是( )
??
8π
A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝
3
对称
π
?
π
?
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
6
D．f(x)在
?
2
，π
?
单调递减
??
16

?
π
?
D [A，因为f(x)＝cos
?
x＋
3
?
的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
??
π
?
π
?
x＋
??
B，因为f(x) ＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－
3
(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直
?
3
?
8π
线x＝
3
对称，B项正确．
4ππ
5
π
?
4π
?
C项，f(x＋π)＝cos
?x＋
3
?
.令x＋
3
＝kπ＋
2
(k∈Z)， 得x＝kπ－
6
π，当k＝1时，x＝
6
，所
??
π
以f(x＋π)的一个零点为x＝
6
，C项正确．
π2π
??
π
??
D项，因为f(x)＝cos
?
x＋
3
?
的递 减区间为
?
2kπ－
3
，2kπ＋
3
?
(k∈Z) ，递增区间为
????
2π5π
???
π2π
??
2π?
?
2kπ＋
3
，2kπ＋
3
?
(k∈Z)， 所以
?
2
，
3
?
是减区间，
?
3
，π
?
是增区间，D项错误．
??????
π
??
3??
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sinx＋3cos x－
4
?
x∈
?
0，
2
??
的最大值是________．
????
2
3
?
3
?
1 [f(x)＝1－cos
2
x＋3cos x－
4
＝－
?
cos x－
?
2
＋1.
2
??
π
??
∵x∈
?
0，
2
?
，∴cos x∈[0,1]，
??
3
∴当cos x＝
2
时，f(x)取得最大值，最大值为1.]
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
[考纲传真] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理 意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，
φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单 实际问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
五点法作图及图象变换

2π
??
【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C
1
：y＝cos x，C
2
：y＝ sin
?
2x＋
3
?
，则下面结论正确的
??
是( )
17

π
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
个
单位长度，得到曲线C
2

π
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再 把得到的曲线向左平移
12
个
单位长度，得到曲线C
2

1
π
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐标不 变，再把得到的曲线向右平移
6
个单
位长度，得到曲线C
2

1
π
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平移
12
个
单位长度，得到曲线C
2

2π
?
2ππ
?
π
????
D [因为y＝sin
?
2x＋
3
?
＝cos
?
2x＋
3
－
2
?
＝cos
?
2x＋
6
?
，所以曲 线C
1
：y＝cos x上各点的
??????
1
横坐标缩短到原来 的
2
倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左π
?
π
?
π
??
平移
12
个单位长度 ，得到曲线y＝cos 2
?
x＋
12
?
＝cos
?
2x＋
6
?
，故选D.]
????
13
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
22
①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；

②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
[解] ①
18

π
?
π
?
②将y＝sin x的图象上的所有点向左平移
3
个单位长度，得到函数y＝sin
?
x＋
3
?
的图象，再< br>??
1
?
π
?
将y＝sin
?
x＋
3
?
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
(纵坐标不变)，得到函数f( x)＝
??
π
??
sin
?
2x＋
3
?< br>(x∈R)的图象．
??
(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都< br>1
π
缩小为原来的
2
，纵坐标保持不变，再把图象向右平移
6
个单位长度，则所得图象的解析式为
( )
π
??
A．y＝sin
?
2x－
3
?

??
?
x
π
?
C．y＝sin
?
2
－
3
?

??
π
??
B．y＝sin
?
2x－
6
?

??
?
x
π
?
D．y＝sin
?
2
－
6
?

??
19

π
?
4π
???
(2) (2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin
?
2x－
3
?
的图 象，只需把函数y＝cos
?
2x－
3
?
的图象
????
ππ
A．向左平移
4
个单位长度 B．向右平移
4
个单位长度
ππ
C．向左平移
2
个单位长度 D．向右平移
2
个单位长度
1
(1)A (2)A [(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
2
，纵坐标不变，
π
??
π
??
得到y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象 向右平移
6
个单位长度，得到y＝sin
?
2
?
x－
6
??
，即
????
π
??
y＝sin
?
2x－
3
?
的图象，故选A.
??
4π
??
4 π
?
π
?
?
π
?
??
5π
???
2x－
3
?
?
＝sin
?
?
2
?
x－
12
??
，
?
2x－
3
?
的 图象，(2)y＝cos
?
2x－
3
?
＝sin
?
2
＋
?
故要得到函数y＝sin
??
?
????????< br>?
π
?
π
??
5π
?
π
只需要平移
?
x－
6
?
－
?
x－
12
?＝
4
个单位长度，又
4
＞0，所以应向左平移，故选A.]
????
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

π
??
【例2】 (1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)
?
ω＞0，|φ|＜
2
?
的部分图象如图所示，
??
?
ππ
?
若x
1
，x
2
∈
?－
6
，
3
?
，且f(x
1
)＝f(x
2
)，则f(x
1
＋x
2
)＝( )
??

20

123
A.
2
B.
2
C.
2
D．1
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0 ，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则
函数f(x)的解析式为f(x)＝____ ____.

π
?
T
π
?
(1)C (2)2sin
?
2x－
3
?
＋1 [(1)由题图知，
2
＝
2
，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
??π
2π
?
π
???
因为点
?
3
，0< br>?
在函数f(x)的图象上，所以sin
?
2×
3
＋φ
?
＝0，即
3
＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ
????
π?
πππ
??
ππ
?
＝2kπ＋
3
，k∈Z， 又|φ|＜
2
，所以φ＝
3
，所以f(x)＝sin
?
2x ＋
3
?
，因为x
1
，x
2
∈
?
－
6
，
3
?
，且f(x
1
)
????
x
1
＋x
2
π
ππ
?
π
3
?< br>2×＋
??
＝f(x
2
)，所以
2
＝
12< br>，所以x
1
＋x
2
＝
6
，所以f(x
1＋x
2
)＝sin
63
?
＝
2
.
?
(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函< br>?
5π
?
π
??
－
?
?
数的最小正 周期为T＝2×
?
12
－
?
?
12
?
?< br>＝π，
?
2π
由
ω
＝π，解得ω＝2.
?
π
???
π
??
由f
?
－
12
?
＝2sin
?
2×
?
－
12
?
＋φ
?< br>＋1＝－1，
??????
π
?
ππ
?
得sin< br>?
φ－
6
?
＝－1，故φ－
6
＝2kπ－
2
(k∈Z)，
??
π
解得φ＝2kπ－
3
(k∈Z)，
π
又因为|φ|＜π，所以φ＝－
3
.
21

π
??
所以f(x)＝2sin
?
2x－
3
?
＋1.]
??
[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝
M－mM＋m
，b＝
22
.
2π
(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝
T
.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知) 或代入图象与直线y＝b的交
点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
π
“最大值点”(即图象的“峰点)时ωx＋φ＝
2
＋2kπ，k∈Z；
3π
“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝
2
＋2kπ，k∈Z.

(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|
π< br>2
?
π
??
π
?
＜
2
)的图象如图 所示，f
?
2
?
＝－
3
，则f
?
－
6
?
＝( )
????
22

2
A．－
3

121
B．－
2
C.
3
D.
2

?
5π
??
11π
?
(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω> 0，|φ|<π.若f
?
8
?
＝2，f
?
8
?＝0，
????
且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
2
π
A．ω＝
3
，φ＝
12

1
11π
C．ω＝
3
，φ＝－
24

2
11π
B．ω＝
3
，φ＝－
12

1
7π
D．ω＝
3
，φ＝
24

T
11π7ππ
(1)A (2)A [(1)由题图知
2
＝
12
－
12
＝
3
，
2π
所以T＝
3
，即ω＝3，
7π
当x＝
12
时，y＝0，
7ππ9ππ
即3×
12
＋φ＝2kπ－
2
，k∈Z，所以φ＝2kπ－
4
，k∈Z， 即k＝1时，φ＝－
4
，
π
?
222
??
3ππ
?
所以f(x)＝Acos
?
3x－
4
?
.即Ac os
?
2
－
4
?
＝－
3
，得A＝
3
，
????
π
?
22
?
2
?
π
?
22
?
ππ
?
3x－－－－
??????所以f(x)＝
3
cos
4
?
，故f
?
6?
＝
3
cos
?
24
?
＝－
3
.
?
?
5π
??
11π
?
(2)∵f
?
8
?
＝2，f
?
8
?
＝0，且f(x)的最小正 周期大于2π，
????
?
11π5π
?
∴f(x)的最小正周期 为4
?
8
－
8
?
＝3π，
??
23 < /p>

2π
2
?
2
??
2
5π
?< br>∴ω＝
3π
＝
3
，∴f(x)＝2sin
?
3
x＋φ
?
.∴2sin
?
3
×
8
＋φ
?
＝2，
????
ππ
得φ＝2kπ＋
12
，k∈Z.又| φ|<π，∴取k＝0，得φ＝
12
.故选A.]

π
?
1
?
1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin
?
2x＋
6< br>?
的图象向右平移
4
个周期后，所得图象对应的函数为
??
( )
π
?
π
???
2x＋2x＋
???
A．y＝2 sin
4
?
B．y＝2sin
?
3?
??
π
?
π
???
C．y＝2sin
?2x－
4
?
D．y＝2sin
?
2x－
3
?

????
π
?
π
?
1
π
??
D [函数y＝2sin
?
2x＋
6
?
的周期为π，将函数y＝2sin
?
2x＋
6
?
的图象向右平移
4
个周期即
4
个
????
π
?
ππ
?
2x－
单位长度 ，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－
4
＋
6
＝2sin
?< br>，故选D.]
3
?
??
2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asi n(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
24

π
?
π
???
A．y＝2sin
?
2x－
6
? B．y＝2sin
?
2x－
3
?

?? ??
?
π
??
π
?
C．y＝2sin
?
x ＋
6
?
D．y＝2sin
?
x＋
3
?

????
T
π
?
π
?
π2π
A [由图象 知
2
＝
3
－
?
－
6
?
＝
2
，故T＝π，因此ω＝
π
＝2.又图象的一个最高点坐标为
??
π ππ
?
π
?
，2
?
3
?
，所以A＝2，且 2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝
326
??< br>π
??
2sin
?
2x－
6
?
.故选A.]
??
3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )

13
?
13
???
A.
?
kπ－
4
，kπ＋
4
?
，k∈Z B.
?
2kπ－
4
，2kπ＋
4
?
，k∈Z
????
25

3
?
13
??
1< br>?
C.
?
k－
4
，k＋
4
?
，k∈ Z D.
?
2k－
4
，2k＋
4
?
，k∈Z
????
2π
?
51
?
－
??
D [由图象知，周期T＝2
44
＝2，∴
ω
＝2，∴ω＝π.
??< br>π
?
1
ππ
?
由π×
4
＋φ＝
2< br>＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝
4
，∴f(x)＝cos
?
πx＋4
?
.
??
π
13
由2kπ<πx＋
4<2kπ＋π，得2k－
4
4
，k∈Z，
13< br>??
∴f(x)的单调递减区间为
?
2k－
4
，2k＋
4
?
，k∈Z.故选D.]
??
4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移
________个单位长度得到．
π
?
π
?
?
x－
3
?
， [∵y＝sin x－3cos x＝2sin∴函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x
3
??
π
的图象向右平移
3
个单位长度得到．]

26