高一数学必修4《向量》试卷

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高一数学必修4《向量》试卷
班级： 姓名： 座号： 第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要< br>求的.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
1、化简 < br>AC
－
BD
＋
CD
—
AB
得………………… ……………………………（ ）
uuur
r
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0

2、下列命题正确的是………………………………………………………………（ ）
A．单位向量都相等 B．若
a
与
b
是共线向量，
b与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量
rr
b?0
D．若
a
0
与
b0
是单位向量，则
a
0
g
b
0
?1
C．
|a?b|?|a?b|
，则
ag
3、下列命题中错误的是……………… ………………………………………………（ ）
rr
r
r
r
r
b
=0，则
a
=
0
或
b
=
0
A．对于任意向量< br>a
，
b
，有|
a
+
b
|≤|
a|+|
b
| B．若
ag
rr
rr
b|
≤
|a||b|
C．对于任意向量
a
，
b
，有
|ag
?

rr
rr
rr
b
= ±|
a
||
b
| D．若
a
，
b
共线，则
ag
?
4、按向量
a
将点
(2,?3)
平移到点
(1,?2)
，则按向量
a
将点
(?2,3)
平移到……（ ）
A.
(?3,4)

5、把
B.
(?1,2)
C.
(4,?3)
D.
(2,?1)

y?x
2
?4x?5
的图像按向量
a
经过一次平移后得到
y?x
2
的图像，则
a
为( )
A.
(2,1)
B.
(?2,1)
C.
(?2,?1)
D. (2,
?1
)
uuuruuur
6、已知
P
1
(?4,7),P
2
(?1,0),
且点P在线段
P
1
P< br>2
的延长线上，且
|PP
1
|?2|PP
2
|
，则点
标………………………………………………………………………………（ ）
A.
(?2,11)
B.
(
P的坐
42
,1)
C.
(,3)
D.
(2,?7)

33
2
，那么∠B为………………………………（ ） 7、已知△ABC中，A=45°，a=2，b=
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
8、在△ABC中，
c?
A ．
a
2
?b
2
?ab
，则∠C为……………………………… ……（ ）
D．
2
?
??
B． C．
3
43
?
2
?
或
3
3

9、若三点A(2,3)，B(3,a)，C(4,b)共线，则有……………………………………（ ）
A．a=3,b=-5 B．a-b+1=0 C．2a-b=3 D．a-2b=0
rr
rr
rrr
a?0
，则
a
、
b
的夹角为…………………………（ ） 10、
|a|?1,|b|?2
，且
(a?b)g
A．60° B．90° C．120° D．150°
11、△ABC中,|
12、设< br>0?
?
AB
|=5,|
AC
|=8,
AB
·
AC
=20,则|
BC
|为……（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
?2
?
，已知两个向量
OP
2
?
?
2?sin
?
,2?cos
?
?
，则 向量
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
，
OP
B.
P
1
P
2
长度的最大值是……… …………………………………………………（ ）
A.
2

3
C.
32


D.
23

.

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第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.
13、已知|
a
| =3,｜
b
｜＝2，
a
与
b
的夹角为60，则｜
a
－
b
｜＝
0
rr
rrr< br>a?(3,?4),b?(2,3)
2|a|?3agb?
14 、已知，则
15、已知向量
a
=（1，2），
b
=（－2，3），< br>c
=（4，1），用
a
和
b
表示
c
，则c
=__________
16、在△ABC中,若B=30，AB=2

三、解答题：本大题共6小题；共74分.
17、（8分）已知
Y
ABCD的顶点A（0，-9），B（2，6）， C（4，5），求第四个顶点D的坐标．












0
???????
3
，AC=2，则△ABC的面积S是 ；
r
uuur
r
18、（14分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是 BC，DC的中点，G为DE、BF交点。若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
rr
r
uuur
uuu
试以
a< br>，
b
为基底表示
DE
、
BF
、
CG
．



19、（14分）已知
a
=(1,2),
b
D

F
G
E
B
C
（1）k
a+
b
与
a
-3
b
垂直？
?(?3,2)
,当k为何值时，
A
（2）k
a
+
b
与
a
-3
b
平行？平行时它们是同向还是反向？











.

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rr
r
20、（14分）求与向量
a
=（1，2），
b
=（2，1）夹角相等的单位向量
c
的坐标．











21、（12分）△ABC中，若sinB=2sinAcosC，且最小角的余弦为
（1）判断△ABC的形状 （2）求△ABC最大角










22、（12分）某沿海城市附近海 面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以
20kmh的速度向北 偏西
?
方向移动（其中
cos
?
3
，
4
?
19
）,台风当前影响半径为10km，并以10kmh的速
20
度不断增 大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？










.

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高一数学必修4《向量》答案
班级： 姓名： 座号：

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要
求的.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
1、化简 < br>AC
－
BD
＋
CD
—
AB
得………………… ……………………………（ D ）
uuur
r
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0

2、下列命题正确的是………………………………………………………………（ C ）
A．单位向量都相等
B．若
a
与
b
是共线向量，< br>b
与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量
rr
b?0
C．
|a?b|?|a?b|
，则< br>ag
D．若
a
0
与
b
0
是单位向量，则a
0
g
b
0
?1

3、下列命题中错误的是………………………………………………………………（ B ）
rr
r
r
r
r
b
=0，则
a
=
0
或
b
=
0
A．对于任意向量< br>a
，
b
，有|
a
+
b
|≤|
a|+|
b
| B．若
ag
rr
rr
|agb|ab
|a||b|
C．对于任意向量，，有≤
?

rr
rr
rr
b
= ±|
a
||
b
| D．若
a
，
b
共线，则
ag
?
4、按向量
a
将点
(2,?3)
平移到点
(1,?2)
，则按向量
a
将点
(?2,3)
平移到……（ A ）
A.
(?3,4)

5、把
B.
(?1,2)
C.
(4,?3)
D.
(2,?1)

y?x
2
?4x?5
的图像按向量
a
经过一次平移后得到
y?x
2
的 图像，则
a
为 ( D )
A.
(2,1)
B.
(?2,1)
C.
(?2,?1)
D. (2,
?1
)
uuuruuur
6、已知
P
1
(?4,7),P
2
(?1,0),
且点P在线段
P
1
P< br>2
的延长线上，且
|PP
1
|?2|PP
2
|
，则点
标………………………………………………………………………………（ D ）
A.
(?2,11)
B.
(
P的坐
42
,1)
C.
(,3)
D.
(2,?7)

33
2
，那么∠B为………………………………（ A ） 7、已知△ABC中，A=45°，a=2，b=
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
8、在△ABC中，
c?
A ．
a
2
?b
2
?ab
，则∠C为……………………………… ……（ C ）
D．
2
?
??
B． C．
3
43
?
2
?
或
3
3

9、若三点A(2,3)，B(3,a)，C(4,b)共线，则有……………………………………（ C ）
A．a=3,b=-5 B．a-b+1=0 C．2a-b=3 D．a-2b=0
rr
rr
rrr
a?0
，则
a
、
b
的夹角为…………………………（ C ） 10、
|a|?1,|b|?2
，且
(a?b)g
A．60° B．90° C．120° D．150°
11、△ABC中,|
AB
|=5,|
AC
|=8,
AB
·
AC
=20,则|
BC
|为……………………（ B ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
.

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12．设< br>0?
?
?2
?
，已知两个向量
OP
2
??
2?sin
?
,2?cos
?
?
，则向量
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
，
O P
B.
P
1
P
2
长度的最大值是………………………… ………………………………（ C ）
A.
2

3
C.
32
D.
23

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.
13、已知|
a
| =3,｜
b
｜＝2，
a
与
b
的夹角为60，则｜
a
－
b
｜＝
0
7

rr
rrr
a ?(3,?4),b?(2,3)
2|a|?3agb?
28 14、已知，则
r r
15、已知向量
a
=（1，2），
b
=（－2，3），
c
=（4，1），用
a
和
b
表示
c
，则
c< br>=
2a?b

???????
16、在△ABC中,若B=30，AB =2
0
3
，AC=2，则△ABC的面积S是
43
；
三、解答题：本大题共6小题；共74分.
17、（8分）已知
Y
ABCD的顶点A（0，-9），B（2，6）， C（4，5），求第四个顶点D的坐标．
解法一：设D坐标为（x,y），对角线AC与BD的交点为O
0?4?9?5
∵点O为A、C中点，易得O（），即O(2,-2)
,
22
D
A
O
B
C
?
2?x
?2
?
?
x?2
?
2
又∵点O为B、D中点，则
?
，解得
?
，故D坐标为(2,－10)
6?y
y??10
?
?< br>??2
?
?2
uuuruuur
解法二：设D坐标为（x,y），依题 意得，
AB?DC

uuur
uuur
?
4?x?2
而
AB?(2,15)
，
DC?(4?x,5?y)
， 则
?
，
5?y?15
?
解得解得
?
?
x ?2
，故D坐标为(2,－10)
?
y??10
uuurrr
18 、（14分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE、CF交点。若
AC
=
a
，
AD
=
b
，
rr
uu ur
uuur
试以
a
，
b
为基底表示
DE
、
CF
、
BG
．
D F
G
C
E
B
uuuruuuruuuruuurrr
1
r
1
uuu
解：
DE?DB?BE?AC?(?AD)?a?b< br>
22
A
uuuruuuruuuruuurrr
1
r1
uuu
CF?CB?BF?AD?(?AC)?b?a

22
uuuruuuruuuruuur
2
uuurr
2
r
1
r
1
r
1
r
BG?BC?CG??AD?CF??b?(b?a)?? a?b

33233

19.（14分）已知
a
=(1,2 ),
b
（1）k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直？
?(?3,2)
,当k为何值时，
.

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（2）k
a
+
b
与
a< br>-3
b
平行？平行时它们是同向还是反向？
解：k
a
+b
=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)
a
-3
b
=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)
(1) 若k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直，则（ka
+
b
）
g
（
a
-3
b
）＝ 0
即10(k-3)+(-4)(2k+2)=0，解得k=19
(2)解法一：若ka
+
b
与
a
-3
b
平行，则(-4)(k-3 )-10(2k+2)=0,解得k=
?
此时k
a
+
b
=( -
1

3
104
,),
a
-3
b
=(10,-4)，故它们反向。
33
解法二： 若k
a
+
b
与
a
-3
b
平行，设k
a
+
b
=
?
(
a
-3
b
)=< br>?
a
-3
?
b
，
?
k?
?
1
∴
?
，解得
k???0
，它们反向
3
?1??3
?
rr
r
20、（14分）求与向量
a
=（1，2），
b
=（2，1）夹角相等的单位向量
c
的坐标．
rr
r
解：设
c?(x,y)
，
c
与
a
的 夹角为
?
rr
，
c
与
b
的夹角为
?
，
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cos
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?cos
?
依题意得
?22
?
x?y?1
rrrr
agcx?2ybgc2x?y
，< br>cos
?
?
rr
?
，
cos
?
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?

|b||c|
|a||c|
5
5
2
?
?
x?－
2
或
?
?
2
?
y?－
?
2?
2
2
2
2
?
?
x ?
?
解得x=y，代入x+y=1，解得
?
?
y?
?
?
22

rr
2222
,)或c?(?,?)
∴
c?(
2222
21、（12分）△ABC中，若sinB=2sinAcosC，且最小角 的余弦为
（1）判断△ABC的形状 （2）求△ABC最大角
3
，
4
b2aa
2
?b
2
?c
2
?g
解：（1）由正弦定理和余弦定理可知，
2R2R2ab
化简可得
b
2
（其中R为外接圆半径）
?a
2
?b
2
?c
2
即
a
2
?c
2
，
B
故△ABC为等腰三角形，其中∠A＝∠C
3
(2)当最小角为∠B时，∠A＝∠C为最大角，此时
cosB?

4
22
且
cosB??cos(A?C)??cos2A??(2cosA?1)? 1?2cosA

∴
cos
22
，
A?arccos
44
3
当最小角为∠A时，∠B为最大角，此时
cosA?

4< br>A??
2
4
，又∠A为锐角，故
cosA?
A
C
B
A
C
.

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??cos( A?C)??cos2A??(2cos
2
A?1)?1?2cos
2
A
11
∴
cosB??
，可见∠B为钝角，
B?
??arccos

88
且
cosB

22、（12分） 某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以
20 kmh的速度向北偏西
?
方向移动（其中
cos
?
?
19< br>）,台风当前影响半径为10km，并以10kmh的速
20
度不断增大，问几小时后该 城市开始受到台风影响？影响时间多长？
解：如右图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市 ，则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）km，
台风半径为CD＝（10+10t）km，需满足 条件：CD≥AC
根据余弦定理可知，
AC
2
?AP
2
?PC
2
?2APgPCgcos
?


?20 0
2
?(20t)
2
?2g200g20tg
19
?400 00?400t
2
20
?7600
∴
40000?400t
2
?7600t?CD
2
?(10?10t)
2

整理得
300t
2
?7800t?39900?0

即
t
2
?26t?133?0
解得
7?t?19

∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。

D
10+10t
A
北
C
20t
200
θ< br>E
P
10
.