高中数学必修三第二章-高中数学排例组合公式问题
高一数学必修4《向量》试卷
班级: 姓名:
座号: 第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题;每小题5
分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
1、化简 <
br>AC
-
BD
+
CD
—
AB
得…………………
……………………………( )
uuur
r
A.
AB
B.
DA
C.
BC
D.
0
2、下列命题正确的是………………………………………………………………( )
A.单位向量都相等 B.若
a
与
b
是共线向量,
b与
c
是共线向量,则
a
与
c
是共线向量
rr
b?0
D.若
a
0
与
b0
是单位向量,则
a
0
g
b
0
?1
C.
|a?b|?|a?b|
,则
ag
3、下列命题中错误的是………………
………………………………………………( )
rr
r
r
r
r
b
=0,则
a
=
0
或
b
=
0
A.对于任意向量<
br>a
,
b
,有|
a
+
b
|≤|
a|+|
b
| B.若
ag
rr
rr
b|
≤
|a||b|
C.对于任意向量
a
,
b
,有
|ag
?
rr
rr
rr
b
=
±|
a
||
b
|
D.若
a
,
b
共线,则
ag
?
4、按向量
a
将点
(2,?3)
平移到点
(1,?2)
,则按向量
a
将点
(?2,3)
平移到……( )
A.
(?3,4)
5、把
B.
(?1,2)
C.
(4,?3)
D.
(2,?1)
y?x
2
?4x?5
的图像按向量
a
经过一次平移后得到
y?x
2
的图像,则
a
为( )
A.
(2,1)
B.
(?2,1)
C.
(?2,?1)
D.
(2,
?1
)
uuuruuur
6、已知
P
1
(?4,7),P
2
(?1,0),
且点P在线段
P
1
P<
br>2
的延长线上,且
|PP
1
|?2|PP
2
|
,则点
标………………………………………………………………………………( )
A.
(?2,11)
B.
(
P的坐
42
,1)
C.
(,3)
D.
(2,?7)
33
2
,那么∠B为………………………………( )
7、已知△ABC中,A=45°,a=2,b=
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
8、在△ABC中,
c?
A
.
a
2
?b
2
?ab
,则∠C为………………………………
……( )
D.
2
?
??
B.
C.
3
43
?
2
?
或
3
3
9、若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有……………………………………(
)
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0 C.2a-b=3
D.a-2b=0
rr
rr
rrr
a?0
,则
a
、
b
的夹角为…………………………( )
10、
|a|?1,|b|?2
,且
(a?b)g
A.60°
B.90° C.120° D.150°
11、△ABC中,|
12、设<
br>0?
?
AB
|=5,|
AC
|=8,
AB
·
AC
=20,则|
BC
|为……( )A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
?2
?
,已知两个向量
OP
2
?
?
2?sin
?
,2?cos
?
?
,则
向量
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
,
OP
B.
P
1
P
2
长度的最大值是………
…………………………………………………( )
A.
2
3
C.
32
D.
23
1
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.
13、已知|
a
|
=3,|
b
|=2,
a
与
b
的夹角为60,则|
a
-
b
|=
0
rr
rrr<
br>a?(3,?4),b?(2,3)
2|a|?3agb?
14
、已知,则
15、已知向量
a
=(1,2),
b
=(-2,3),<
br>c
=(4,1),用
a
和
b
表示
c
,则c
=__________
16、在△ABC中,若B=30,AB=2
三、解答题:本大题共6小题;共74分.
17、(8分)已知
Y
ABCD的顶点A(0,-9),B(2,6),
C(4,5),求第四个顶点D的坐标.
0
???????
3
,AC=2,则△ABC的面积S是 ;
r
uuur
r
18、(14分)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是
BC,DC的中点,G为DE、BF交点。若
AB
=
a
,
AD
=
b
,
rr
r
uuur
uuu
试以
a<
br>,
b
为基底表示
DE
、
BF
、
CG
.
19、(14分)已知
a
=(1,2),
b
D
F
G
E
B
C
(1)k
a+
b
与
a
-3
b
垂直?
?(?3,2)
,当k为何值时,
A
(2)k
a
+
b
与
a
-3
b
平行?平行时它们是同向还是反向?
2
rr
r
20、(14分)求与向量
a
=(1,2),
b
=(2,1)夹角相等的单位向量
c
的坐标.
21、(12分)△ABC中,若sinB=2sinAcosC,且最小角的余弦为
(1)判断△ABC的形状 (2)求△ABC最大角
22、(12分)某沿海城市附近海
面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面P处,并正以
20kmh的速度向北
偏西
?
方向移动(其中
cos
?
3
,
4
?
19
),台风当前影响半径为10km,并以10kmh的速
20
度不断增
大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多长?
3
高一数学必修4《向量》答案
班级:
姓名: 座号:
第I卷(选择题
共60分)
一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要
求的.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
1、化简 <
br>AC
-
BD
+
CD
—
AB
得…………………
……………………………( D )
uuur
r
A.
AB
B.
DA
C.
BC
D.
0
2、下列命题正确的是………………………………………………………………( C )
A.单位向量都相等
B.若
a
与
b
是共线向量,<
br>b
与
c
是共线向量,则
a
与
c
是共线向量
rr
b?0
C.
|a?b|?|a?b|
,则<
br>ag
D.若
a
0
与
b
0
是单位向量,则a
0
g
b
0
?1
3、下列命题中错误的是………………………………………………………………( B )
rr
r
r
r
r
b
=0,则
a
=
0
或
b
=
0
A.对于任意向量<
br>a
,
b
,有|
a
+
b
|≤|
a|+|
b
| B.若
ag
rr
rr
|agb|ab
|a||b|
C.对于任意向量,,有≤
?
rr
rr
rr
b
=
±|
a
||
b
|
D.若
a
,
b
共线,则
ag
?
4、按向量
a
将点
(2,?3)
平移到点
(1,?2)
,则按向量
a
将点
(?2,3)
平移到……( A )
A.
(?3,4)
5、把
B.
(?1,2)
C.
(4,?3)
D.
(2,?1)
y?x
2
?4x?5
的图像按向量
a
经过一次平移后得到
y?x
2
的
图像,则
a
为 ( D )
A.
(2,1)
B.
(?2,1)
C.
(?2,?1)
D.
(2,
?1
)
uuuruuur
6、已知
P
1
(?4,7),P
2
(?1,0),
且点P在线段
P
1
P<
br>2
的延长线上,且
|PP
1
|?2|PP
2
|
,则点
标………………………………………………………………………………( D )
A.
(?2,11)
B.
(
P的坐
42
,1)
C.
(,3)
D.
(2,?7)
33
2
,那么∠B为………………………………( A )
7、已知△ABC中,A=45°,a=2,b=
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
8、在△ABC中,
c?
A
.
a
2
?b
2
?ab
,则∠C为………………………………
……( C )
D.
2
?
??
B.
C.
3
43
?
2
?
或
3
3
9、若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有……………………………………(
C )
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0 C.2a-b=3
D.a-2b=0
rr
rr
rrr
a?0
,则
a
、
b
的夹角为…………………………( C )
10、
|a|?1,|b|?2
,且
(a?b)g
A.60°
B.90° C.120° D.150°
11、△ABC中,|
AB
|=5,|
AC
|=8,
AB
·
AC
=20,则|
BC
|为……………………( B )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
4
12.设
0?
?
?2
?
,已知两个向量
OP
2
?<
br>?
2?sin
?
,2?cos
?
?
,则向量
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
,
OP
B.
P
1
P
2
长度的最大值是………………………
…………………………………( C )
A.
2
3
C.
32
D.
23
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.
13、已知|
a
|
=3,|
b
|=2,
a
与
b
的夹角为60,则|
a
-
b
|=
0
7
rr
rrr
a
?(3,?4),b?(2,3)
2|a|?3agb?
28 14、已知,则
r
r
15、已知向量
a
=(1,2),
b
=(-2,3),
c
=(4,1),用
a
和
b
表示
c
,则
c<
br>=
2a?b
???????
16、在△ABC中,若B=30,AB
=2
0
3
,AC=2,则△ABC的面积S是
43
;
三、解答题:本大题共6小题;共74分.
17、(8分)已知
Y
ABCD的顶点A(0,-9),B(2,6),
C(4,5),求第四个顶点D的坐标.
解法一:设D坐标为(x,y),对角线AC与BD的交点为O
0?4?9?5
∵点O为A、C中点,易得O(),即O(2,-2)
,
22
D
A
O
B
C
?
2?x
?2
?
?
x?2
?
2
又∵点O为B、D中点,则
?
,解得
?
,故D坐标为(2,-10)
6?y
y??10
?
?<
br>??2
?
?2
uuuruuur
解法二:设D坐标为(x,y),依题
意得,
AB?DC
uuur
uuur
?
4?x?2
而
AB?(2,15)
,
DC?(4?x,5?y)
,
则
?
,
5?y?15
?
解得解得
?
?
x
?2
,故D坐标为(2,-10)
?
y??10
uuurrr
18
、(14分)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE、CF交点。若
AC
=
a
,
AD
=
b
,
rr
uu
ur
uuur
试以
a
,
b
为基底表示
DE
、
CF
、
BG
.
D F
G
C
E
B
uuuruuuruuuruuurrr
1
r
1
uuu
解:
DE?DB?BE?AC?(?AD)?a?b<
br>
22
A
uuuruuuruuuruuurrr
1
r1
uuu
CF?CB?BF?AD?(?AC)?b?a
22
uuuruuuruuuruuur
2
uuurr
2
r
1
r
1
r
1
r
BG?BC?CG??AD?CF??b?(b?a)??
a?b
33233
19.(14分)已知
a
=(1,2
),
b
(1)k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直?
?(?3,2)
,当k为何值时,
5
(2)k
a
+
b
与
a
-
3
b
平行?平行时它们是同向还是反向?
解:k
a
+
b<
br>=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)
a
-3
b
=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)
(1)
若k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直,则(ka
+
b
)
g
(
a
-3
b
)=
0
即10(k-3)+(-4)(2k+2)=0,解得k=19
(2)解法一:若ka
+
b
与
a
-3
b
平行,则(-4)(k-3
)-10(2k+2)=0,解得k=
?
此时k
a
+
b
=(
-
1
3
104
,),
a
-3
b
=(10,-4),故它们反向。
33
解法二:
若k
a
+
b
与
a
-3
b
平行,设k
a
+
b
=
?
(
a
-3
b
)=<
br>?
a
-3
?
b
,
?
k?
?
1
∴
?
,解得
k???0
,它们反向
3
?1??3
?
rr
r
20、(14分)求与向量
a
=(1,2),
b
=(2,1)夹角相等的单位向量
c
的坐标.
rr
r
解:设
c?(x,y)
,
c
与
a
的
夹角为
?
rr
,
c
与
b
的夹角为
?
,
?
cos
?
?cos
?
依题意得
?22
?
x?y?1
rrrr
agcx?2ybgc2x?y
,<
br>cos
?
?
rr
?
,
cos
?
?<
br>rr
?
|b||c|
|a||c|
5
5
2
?
?
x?-
2
或
?
?
2
?
y?-
?
2?
2
2
2
2
?
?
x
?
?
解得x=y,代入x+y=1,解得
?
?
y?
?
?
22
rr
2222
,)或c?(?,?)
∴
c?(
2222
21、(12分)△ABC中,若sinB=2sinAcosC,且最小角
的余弦为
(1)判断△ABC的形状 (2)求△ABC最大角
3
,
4
b2aa
2
?b
2
?c
2
?g
解:(1)由正弦定理和余弦定理可知,
2R2R2ab
化简可得
b
2
(其中R为外接圆半径)
?a
2
?b
2
?c
2
即
a
2
?c
2
,
B
故△ABC为等腰三角形,其中∠A=∠C
3
(2)当最小角为∠B时,∠A=∠C为最大角,此时
cosB?
4
22
且
cosB??cos(A?C)??cos2A??(2cosA?1)?
1?2cosA
∴
cos
22
,
A?arccos
44
3
当最小角为∠A时,∠B为最大角,此时
cosA?
4<
br>A??
2
4
,又∠A为锐角,故
cosA?
A
C
B
A
C
6
??cos
(A?C)??cos2A??(2cos
2
A?1)?1?2cos
2
A<
br>
11
∴
cosB??
,可见∠B为钝角,
B?
?<
br>?arccos
88
且
cosB
22、(12分
)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面P处,并正以
2
0kmh的速度向北偏西
?
方向移动(其中
cos
?
?
19
),台风当前影响半径为10km,并以10kmh的速
20
度不断增大,问几小时后
该城市开始受到台风影响?影响时间多长?
解:如右图,设该市为A,经过t小时后台风开始影响该城
市,则t小时后台风经过的路程PC=(20t)km,
台风半径为CD=(10+10t)km,需满
足条件:CD≥AC
根据余弦定理可知,
AC
2
?AP
2
?PC
2
?2APgPCgcos
?
?2
00
2
?(20t)
2
?2g200g20tg
19
20<
br>?40000?400t
2
?7600
∴
40000?400t
2
?7600t?CD
2
?(10?10t)
2
整理得
300t
2
?7800t?39900?0
即
t
2
?26t?133?0
解得
7?t?19
∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达12小时。
D
10+10t
A
北
C
20t
200<
br>θ
E
P
10
7
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