2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修四
全册同步检测
目 录
第1章1.1-1.1.1任意角
第1章1.1-1.1.2弧度制
第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数
第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四
第1章1.3第2课时诱导公式五、六
第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性
第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值
第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象
第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第1章1.6三角函数模型的简单应用
第1章章末复习课
第1章单元评估验收(一)
第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念
第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义
第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理
第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算
I

第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示
第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第2章2.5平面向量应用举例
第2章章末复习课
第2章单元评估验收(二)
第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式
第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
第3章3.2简单的三角恒等变换
第3章章末复习课
第3章单元评估验收(三)
模块综合评价
II

人教A版高中数学必修4同步检测
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
A级 基础巩固
一、选择题
1 ．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系
是( )
A．B＝A∩C
C．A

C
B．B∪C＝C
D．A＝B＝C
C，选项B正确． 解析：钝角大于90°，小于180°，故B

答案：B
2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角，又是第四象限角
D．不是任何象限的角
解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．
答案：D
3．若α是第四象限角，则－α一定在( )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
解析：因为α是第四象限角，
所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.
所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，
1

人教A版高中数学必修4同步检测
由此可知－α是第一象限角．
答案：A
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解 析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的
集合为{α|α＝k ·90°，k∈Z}．
答案：D
5．下面说法正确的个数为( )
(1)第二象限角大于第一象限角；
(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(3)钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：第二象 限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为
直角，直角既不是第一象 限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是
对的．所以正确的只有1个．
答案：B
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时 针方向旋转3周，所得的
角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1
030°，故所得的角为－1 030°.
2

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答案：－1 030°
7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．
解析：α为锐角，则角α是第一象限角，
所以角－α是第四象限角，
又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，
所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．
答案：四
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°
(k∈Z )，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°
范围内角 为120°.
答案：120°，300°
三、解答题
9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出
－950°12′是否是该集合中的角．

解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．
3

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(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．
解：(1)因为角β的终边在 直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，
所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋ k·180°，k∈Z}．
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，
取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－ 360°＜
β
＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，
240°， 420°，600°.
B级 能力提升
1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈ Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等
于( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
答案：C
2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的 位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是________．
4

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解析：终边落在OA的位置上的 角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落
在OB的位置上的角的集合是{α| α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，
k∈Z})，取k＝ 0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．
答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}
3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)集合M的角可以分成四类，即 终边分别与－150°，－60°，30°，120°的
终边相同的角．
1311
(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－33
又因为k∈Z，
所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－
150 ，－60°，30°，120°，210°，300.
(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.

5

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第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制

A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
1414
A.
π B．－π
33
7
C. π
18
7
D．－
π
18
7
解析：显然分针 在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为
3
714
－×2π＝ －
π.
33
答案：B
3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
40
A.π
3

20
B.π
3
6

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C.
200
3
π D.
400
3
π
解析：240°＝
2404
180
π＝
3
π，
所以弧长l＝|α|·r＝
440
3
π×10＝
3
π.
答案：A
4．把－
11π
4
表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式， 使|θ|最小的θ值是( )
A．－
3π
4
B．－
π
4

C.
π
D.
3π
44

解析：令－
11π
4
＝θ＋2kπ (k∈Z)，则θ＝－
11π
4
－2kπ(k∈Z)．
取k≤0的值，k＝ －1时，
θ
＝－
3π3π
4
，|
θ
|＝
4
；
k＝－2时，
θ
＝
5π
4
，|
θ|＝
5π3π
4
>
4
；
k＝0时，
θ
＝－
11π11π3π
4
，|
θ
|＝
4
>
4
.
答案：A
5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为(
A.
π
2
B.
π
3

C.3 D.2
解析：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为2a，
所以弧长等于a的圆弧所 对的圆心角为α＝
l
r
＝
a
2
＝2.
2
a
答案：D
7
)

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二、填空题
π
6． rad＝________度，________ rad＝－300°.
12
π5π
π
180°
解析：＝＝15°；－300°＝－300×＝－.
121803
12
答案：15 －
5π

3

7．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．
π
解析：因为60°＝ rad
3
1
π
3
2
则扇形的面积S＝××3＝π.
232
3
答案：π
2
8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
π
解析：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
180
1180
l
所以r＝＝＝.
|α|
ππ
1 80
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝
180
答案：(1) (2)1
π
三、解答题
9．已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β [k∈Z，β∈[0，2π)]的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
8
＝1.
|
α
|
l

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解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋
(2)θ与α的终边相同， 故θ＝2kπ＋
10
π.
9
10
π，k∈Z，
9
46π
10
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，
θ
＝4π＋π＝.
99
10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－
ππ5π
，而75°＝75×＝，
618012
所以终边落在阴影部分内(不包括边 界)的角的集合为
???
π5π
?
θ
?
2kπ－＜θ＜2k π＋，k∈Z
?
.
612
???
π7π
(2)如题图②， 因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，
66
π
因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
6
π
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
2
从而终边落在 阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
???
ππ
?
θ
?
kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z
?
.
62
???
B级 能力提升 < br>???
ππ
?
1．集合α
?
kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z?
中角的终边所在的范围(阴影部分)是
42
???
9

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( )

解析：当k ＝2m，m∈Z时，2mπ＋
ππ
≤
α
≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1 ，m
42
5π3π
∈Z时，2mπ＋≤
α
≤2mπ＋，m∈Z，所以 选C.
42
答案：C
2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad，
π
所以经过一小时，时针转过－ rad.
6
π
答案：－
6
3．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10 .求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧
所在的弓形的面积S.
解：由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
π
所以α＝∠AOB＝60°＝.
3
π10π
所以弧长l＝a·r＝×10＝，
33
50π
11
10π
所以S
扇形
＝lr＝××10＝，
2233
1 1503
又S
△
AOB
＝·AB·53＝×10×53＝，
222
?
π
3
?
所以S＝S
扇形
－S
△
AOB
＝50
?
－
?
.
2
??
3

10

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第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数

A级 基础巩固
一、选择题
1．已知角α终边经过P
?
?
3
?
2
，
1
?
2
?
?
，则cos α等于( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
3
3
D．±
1
2

解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故
cos α＝
3
2
.
答案：B
2．如果MP和OM分别是角α＝
7π
8
的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是(
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP
C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：因为
7
8
π是第二象限角，
所以sin
77
8
π＞0，cos
8
π＜0，
所以MP＞0，OM＜0，
所以MP＞0＞OM.
答案：D
11
)

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2π
3．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
3
?
13
?
A.
?
，
?
< br>2
??
2
?
31
?
C.
?
－，?

22
??
?
13
?
B.
?< br>－，
?

2
??
2
?
13
?
D.
?
，－
?

2
??
2
2π
解析：设P(x，y)，因为角α＝在第二象限，
3
1
所以x＝－，y＝
2
?
13
?
所以P
?
－，
?
.
2
??
2
?
1
?
2
3
??
－
1－
2
＝，
2
??
答案：B
4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：因为sin
α
cos
β
＜0，
α
，
β
∈(0，π)，所以sin
α
＞0，cos
β
＜0，所以β
为钝角．
答案：B
1
5．函数y＝的定义域为( )
1＋sin x
???
3π< br>?
?
A.x
x≠＋2kπ，k∈Z
?

2
? ??
???
π
B.
?
x
?
x≠＋2kπ，k∈Z< br>?

2
???
C.
{
x
|
x≠2k π，k∈Z
}

???
3π
?
D.x
?
x ≠－＋2kπ，k∈Z
?

2
???
解析：因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1.
12

人教A版高中数学必修4同步检测
3π
又sin ＝－1，
2
3π
所以x≠＋2kπ，k∈Z.
2
答案：A
二、填空题
6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．
1
解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝.
2
1
答案：
2
7．sin 1 485°的值为________．
2
解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝.
2
答案：
2

2
?
π
π
?
8．已知θ∈
?
，
?
，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是M P，OM，
2
??
3
AT，则它们从大到小的顺序为___________ _．
?
π
π
?
π
解析：作图如下，因为θ∈
?< br>，
?
，所以θ >，根据三角函数线的定义可知
4
2
??
3
AT>MP>OM.

答案：AT>MP>OM
三、解答题
9．求下列各式的值：
13

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(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°；
17π
?
23
?
(2)cos
?
－
3
π
?
＋tan .
4
??
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)co s(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋
3311
60°)sin(2×36 0°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos
?
?
π
?
3
＋（－4）×2π
?
?
?
＋tan
?
?
π
?
4
＋2 ×2π
?
?
?
＝
cos
π
3
＋tan
π
13
4
＝
2
＋1＝
2
.
10．已知P(－2，y)是角α终边上一点，且sin α＝－
5
5
，求< br>解：因为点P到原点的距离为r＝4＋y
2
，
所以sin α＝
y< br>5
2
4＋y
2
＝－
5
，所以y＋4＝5y
2
，
所以y
2
＝1.
又易知y<0，所以y＝－1，所以r＝5，
所以cos α＝
－2
5
＝－
25
5
，tan α＝
－1
－2
＝
1
2
.
B级 能力提升
1．若α是第三象限角，则
|sin α|
sin α
－
cos α
|cos α|
＝( )
A．0 B．1 C．2 D．－2
解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，
所以
|sin
α
|
sin
α
－
cos
α
|cos
α
|
＝－1－(－1)＝0.
答案：A
14
2222
cos α与tan α的值．

人教A版高中数学必修4同步检测
?
π
?
?
2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈
，π
?
，则cos α＝________．
?
2
?
?
π
?
?
解析：因为
θ
∈
，π
?
，所以cos
θ
<0，
?
2
?
所以点(－3cos
θ
，4cos
θ
)到原点的距离r＝5|cos
θ
|＝－5cos
θ
，
－3cos
θ
3
所以cos α＝＝.
－5cos
θ
5
3
答案：
5
3．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．
解：如图，作出单位圆．

??
ππ
?
所以角α满足的集 合为
?
a
?
kπ－
4
＜α＜kπ＋
4
，k ∈Z
?
.
???

15

人教A版高中数学必修4同步检测
第一章 三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系

A级 基础巩固
一、选择题
1．化简1－sin
2
160°的结果是( )
A．cos 160°
C．±cos 160°
解析： 1－sin
2
160°＝
B．－cos 160°
D．±|cos 160°|
cos
2
160°＝
|cos 160°|＝－cos 160°.
答案：B
?
π
?
3
2．已知α∈
?
，π
?
，且sin α＝，则tan α＝( )
5
?
2
?
3344
A. B．－ C. D．－
4433
?
π
?
sin
α
34
2
解析：由sin α＝，α∈
?
，π
?
得cos α＝－1－sin
α
＝－，所以tan α＝
55
cos
α
?
2
?
3
＝－.
4
答案：B
2
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则三角形是( )
3
A．钝角三角形
C．直角三角形

B．锐角三角形
D．等边三角形
16

人教A版高中数学必修4同步检测
24
解析：将sin
α
＋cos
α
＝两边平方，得1＋2sin
α
cos
α
＝，即2sin
α
·cos
α
39
5
＝－.又α是三角形的内角，所以sin
α
＞0，cos
α
＜0，所以α为钝角．
9
答案：A
4．若sin θ＝
m－34－2m
m＋5
，cos θ＝
m＋5
，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3解析：由sin
2
θ
＋cos
2
θ
＝1得
?
?
m－3
?
?
m＋5
?
2
?
＋
?
?
4－2m
?
?
m＋5
?
2
?
＝1，解得m＝0或8.
答案：C
5．已知sin αcos α＝
1
8
，且π＜α＜
5π
4
，则cos α－sin α的值为(
A.
3
2
B．－
3
2

C.
3
D．－
3
44

解析：(cos
α
－sin
α
)2＝1－2sin
α
cos
α
＝1－2×
13
8
＝
4
，
因为π＜α＜
5
4
π，所以cos
α
＜sin
α
，
所以cos
α
－sin
α
＜0，
所以cos
α
－sin
α
＝－
33
4
＝－
2
.
答案：B
二、填空题
6．在△ABC中，若cos(A＋B)>0，sin C＝
1
3
，则tan C等于________．
17
)

人教A版高中数学必修4同步检测
解析：在△ABC中，因为cos(A＋B)>0，
π
所以02
所以角C是钝角，所以cos C＝－
1
3
sin C2
所以tan C＝＝＝－.
cos C
－22
4
3
答案：－
2

4
22
1－sinC＝－，
3
2
4sin α－2cos α
7．若＝10，则tan α的值为________．
5cos α＋3sin α
4sin
α
－2cos
α
解析：因为＝10，
5cos
α
＋3sin
α
所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，
所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.
所以tan α＝－2.
答案：－2
π
1
8．已知－25
1124
解析：由sin x＋cos x＝，平方得sin
2
x＋2sin xcos x＋cos
2
x＝，即2sin xcosx＝－，
52525
49
所以(sin x－cos x)
2
＝1－2sin x·cos x＝，
25
π
7
又因为－0，sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.
25
7
答案：－
5
18

人教A版高中数学必修4同步检测
三、解答题
9．已知tan α＝
2
3
，求下列各式的值；
(1)
1
sin αcos α
；
(2)sin
2
α－2sin αcos α＋4cos
2
α.
sin
2
α
＋cos
2α
tan
2
解：(1)
1
α
＋1
13
sin
α
cos
α
＝
sin
α
cos
α
＝
tan
α
＝
6
.
(2)sin
2
α－2sin αcos α＋4cos
2
a＝
sin
2
α
－2sin
α
cos
α
＋ 4cos
2
α
sin
2
α
＋cos
2
α< br>＝
4
tan
2
α
－2tan
α
＋4－
4
＋4
tan
2
α
＋1
＝
9328
4
＝
13
.
9
＋1
10．化简：tan α·
1
sin2α
－1(α是第二象限角)．
解：tan
α
·
1
sin2
α
－1＝tan
α
·
1－sin2
α
sin2
α
＝
tan
α
·
cos2
α
sin
α
?
cos
α
?
sin2
α
＝
cos
α
·
?
?
sin
α
?
?
.
因为α为第二象限角，
所以sin
α
＞0，cos
α
＜0，
所以原式＝
sin
α
－cos
α
cos
α
·
sin
α
＝－1.
B级 能力提升
1．已知α是锐角，且tan α是方程4x
2
＋x－3＝0的根，则
A.
432
5
B.
5
C.
1
5
D.
5

19
sin α＝()

人教A版高中数学必修4同步检测
3
解析：因为方程4x
2
＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
4
又因为tan α是方程4x
2
＋x－3＝0的根且α为锐角，
334
所以tan α＝，所以sin α＝cos α，即cos α＝sin α，
443
又sin
2
α＋cos
2
α＝1，
所以sin
2
α＋
2
16
2
sinα＝1，
9
9
所以sinα＝(α为锐角)，
25
3
所以sin α＝.
5
答案：B
2．使
1－cos αcos α－1
＝成立的α的范围是__________．
1＋cos αsin α
1－cos
α
＝
1＋cos α
（1－cos
α
）
2
1－cos
α
cos
α
－1
＝＝，
sin
2
α
|sin
α
|sin
α
解析：
所以sin α<0，故2kπ－π<α<2kπ，k∈Z.
答案：{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}
?
1
?
3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·
?
1＋
tan α
?
＝
??
11
＋.
sin αcos α
??
sin
α
?
cos
α
?
?
＋cos
α
·
?
1＋
?
证明：左边＝sin
α
·
?
1＋
cos
α
sin
α
????
sin2
α
cos2
α
＝sin
α
＋＋cos
α
＋
cos
α
sin
α
20

人教A版高中数学必修4同步检测
sin2α
＋cos2
α
sin2
α
＋cos2
α
＝＋
sin
α
cos
α
11
＝＋＝右边．
sin
α
cos
α
即原等式成立．

21

人教A版高中数学必修4同步检测
第一章 三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四

A级 基础巩固
一、选择题
7π
1．sin 的值是( )
6
11
A．－ B．－2 C．2 D.
22
?
7π
π
π
?
1
解析：sin ＝sin
?
π＋
?
＝－sin ＝－.
6
62
6
??
答案：A
2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－
3311
B. C．－＋3 D.＋3
2222
3
.
2
解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝
答案：B
3
3．已知sin(π＋α)＝，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )
5
3344
A. B．－ C. D．－
5555
33
解析：因为sin(π＋α)＝，所以sin
α
＝－.
55
4
因为α为第三象限角，所以cos
α
＝－.
5
22

人教A版高中数学必修4同步检测
4
所以cos(π－α)＝－cos
α
＝.
5
答案：C
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 017)＝5，则
f(2 018)等于( )
A．4 B．3 C．－5 D．5
解析：因为f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－asin
α
－bcos
所以f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝asin
α
＋bcos
β
＝－5.
答案：C
5．设tan(5π＋α)＝m，则
sin （α＋3π）＋cos（π＋α）
sin（－α）－cos（π＋α）
的值等于( )
A.
m＋1
B.
m－1
m－1

m＋1

C．－1 D．1
解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝
tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m；
所以原式＝
sin（π＋α）－cos
α
－sin
α
－cos
α
tan
α
＋1
－sin
α
＋cos
α
＝
－sin
α
＋cos
α
＝
tan
α
－1
＝
m＋1
m－1
.
答案：A
二、填空题
6．已知tan
?
?
π
?
1
?
2π
?
?
3
－α
?
?
＝
3，则tan
?
?
3
＋α
?
?
＝_______ _．
解析：因为tan
?
?
2π
???
π
???
π
?
?
3
＋α
?
?
＝tan
?< br>?
π－
?
?
3
－α
?
?
?
?
＝－tan
?
?
3
－α
?
?
，
所以tan
?
?
2π
?
?
3
＋α
?1
?
＝－
3
.
23
＝5，
β

人教A版高中数学必修4同步检测
1
答案：－
3
4
7．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角 ，则cos(α－2π)＝________．
5
4
解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－.
5
故cos(α－2π)＝cos α＝
?
4
?
2
3
1－
?
－
5
?
＝.
5
??
1－sin
2
α
＝
3
答案： < br>5
8．化简sin
2
(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是 ________．
解析：原式＝(－sin α)
2
－(－cos α)·cos α＋1＝
sin
2
α＋cos
2
α＋1＝2.
答案：2
三、解答题
9．计算下列各式的值：
2π
π3π4π
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
5
555
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
?
π4π
??
2π3π
?
????
＝ 解：(1)原式＝
cos ＋cos
＋
cos ＋cos
55
? ?
55
??
?
??
π2π
π
?
??
2π
?
?
?
cos ＋cos
?
π－
?
?
＋
?
cos
?
?
＝
＋cos
?
π－
55
55
????????
?
ππ
??
2π2π
?
?
co s －cos
?
＋
?
cos
?
＝0.
－cos
5555
????
(2)原式＝sin(360°＋60°)co s(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)
＝
24

人教A版高中数学必修4同步检测
sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝
3
2
×
3
2
＋
1
2
×
1
2
＝1.
10．已知sin(α＋π)＝
4
5
，且sin αcos α<0，求
2sin（α－π）＋3tan（3π－α）
4cos（α－3π）
的值．
解：因为sin(α＋π)＝
44
5
，所以sin α＝－
5
，
又因为sin αcos α<0，
所以cos α>0，cos α＝ 1－sin
2
α
＝
3
5
，
所以tan α＝－
4
3
.
所以原式＝
－2sin
α
－3tan
α
－4cos
α
＝
2×
?
?
?
－
4
??
4
?
5
??
＋3×
?
?
－
3
?
?
＝－
7
4×
33
.
5
B级 能力提升
1．下列三角函数：① sin
?
?
?
nπ＋
4π
?
3
?
?
；②cos
?
?
?
2nπ＋
π
?
6?
?
；
cos
?
?
?
（2n＋1）π－
π
?
6
?
?
；
⑤sin
?
?
?
（2n＋1）π－
π
?
3
?
?
，上述中的n∈Z .
其中与sin
π
3
的值相同的是( )
A．①② B．①③④
25
③sin
?
?
?
2nπ＋
π
?
3
?
?
；④

人教A版高中数学必修4同步 检测
C．②③⑤ D．①③⑤
π
sin （n为奇数），
3
?
?
4
?
解析：①sin
?
nπ＋
3
π< br>?
＝
?

??
π
?
－sin
3< br>（n为偶数）；
?
ππ
π
?
??
②cos
2 nπ＋
＝cos ＝sin ；
63
6
??
?
π
π
?
③sin
?
2nπ＋
?
＝sin ；
33
??
?
5ππ
π
?
④cos
?
（2 n＋1）π－
?
＝cos ＝－sin ；
63
6
??
?
π
π
?
⑤sin
?
（2n＋1）π－
?
＝ sin .
3
3
??
答案：C
?
?
sin π x（x<0），
?
11
??
11
?
2．已知f(x)＝?
则f
?
－
6
?
＋f
?
6
?
＝________．
????
?
f（x－1）－1（x>0），
?
?
π
?
π
1
?
11
??
5??
11
??
11
??
1
?
???????? ??
解析：f
－
6
＝sin
－
6
π
＝si n ＝，f
6
＝f
6
－1＝f
－
6
－2＝sin< br>?
－
?
－2＝
62
??????????
?
6
?
5
－，
2
?
11
??
11
?
15
??
所以f
－
6
＋f
?
6
?
＝－＝－2.
????
22
答案：－2
3．已知α是第二象限角，且tan α＝－2.
(1)求cos
4
α－sin
4
α的值；
(2)设角kπ ＋α(k∈Z)的终边与单位圆x
2
＋y
2
＝1交于点P，求点P的坐标．
解：(1)原式＝(cos
2
α＋sin
2
α)(cos
2
α－sin
2
α)＝cos
2
α－sin
2
α＝
26

人教A版高中数学必修4同步检测
cos
2
α
－sin
2
α
1－tan
2
α
1－（－2）< br>2
3
＝＝＝－.
5
cos
2
α
＋sin< br>2
α
1＋tan
2
α
1＋（－2）
2
(2) 由tan α＝－2得sin α＝－2cos α，
1
代入sin
2
α＋ cos
2
α＝1得cos
2
α＝，
5
因为α是第二象限，所以cos α<0，
所以cos α＝－
525
，sin α＝tan αcos α＝.
55
当k为偶数时，P的坐标
?
?
25
?
y＝sin（kπ＋α）＝sin
α
＝
5
，
当k为奇数时，P的坐标
5
x＝cos（kπ＋α）＝cos
α
＝－，
5
?
525
?
?
. 即P
?
－，
55
??
?

?
25
y＝sin（kπ＋α）＝sin（π＋α）＝－sin
α
＝－，
?
5
x＝cos（kπ＋α）＝cos（π＋α）＝－cos
α
＝
?
525
?
??
. 即P
，－
5
??
5
?
525
??
525
?
?或
?
，－
?
. 综上，点P的坐标为
?
－，
5 555
????
5
，
5

27

人教A版高中数学必修4同步检测
第一章 三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
第2课时 诱导公式五、六

A级 基础巩固
一、选择题
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
C．0
B．cos 5°
D．2sin 5°
解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：C
?
π
??
π
?
???
2．若sin
＋θ
<0，且cos
－θ
?
>0，则θ是( )
?
2
??
2
?
A．第一象限角
C．第三象限角
B．第二象限角
D．第四象限角
?
π
??
π
?
???
解析：由于sin
＋θ
＝cos
θ
<0，cos
－θ
?
＝sin
θ
>0.所以角 θ的终边落在第二
?
2
??
2
?
象限．
答案：B
?
34
??
π
?
????
＋cos(π－θ)＋t an(2π－θ)＝( )
－，＋θ
3．如果角θ的终边经过点
55
，那 么sin
2
????
4
A．－
3
3
C.
4
4
B.
3
3
D．－
4
28

人教A版高中数学必修4同步检测
434
解析：易知sin
θ
＝，cos
θ
＝－，tan
θ
＝－.
553
4
原式＝cos
θ
－cos
θ
－tan
θ
＝.
3
答案：B
4．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
A＋C
C．cos ＝sin B
2
B＋C
A
D．sin ＝cos
22
解析：因为A＋B＋C＝π，
A＋Cπ－BB＋Cπ－A
所以A＋B＝π－C，＝，＝，
2222
所以cos(A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，
sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
?
π
B
?
A＋C
B
cos ＝cos
?
－
?
＝sin ，
22
2
??
2?
π
A
?
B＋C
A
sin ＝sin
?
－
?
＝cos .
22
2
??
2
答案：D
?
π
?
1
?
π
?
????
＝( )
＋α－α
5．若sin
3
＝，则cos
6
??
3
??
A．－
1
C.
3
22

3
1
B．－
3
22
D.
3
?
ππ
?
π
解析：因为－α＝－
?
3
＋α
?
.
62
??
?
??
π
?
π
?
π
?
??
?
＝
??
?
＋α
－α
－
所以cos
6
＝cos
?
?
??
?
2?
3
29

人教A版高中数学必修4同步检测
sin
?
?
π
?
1
?
3
＋α
?
?
＝
3

答案：C
二、填空题
6．若cos α＝1
5
，且α是第四象限角，则cos
?
?
?
α＋
π
?
2
?
?
＝________．
解析：因为cos α＝
1
5
，且α是第四象限角，
所以sin α＝－1－cos
2
α
＝－ 1－
?
?
1
?
2
26
?
5
?
?
＝－
5
.
所 以cos
?
?
π
?
26
?
α
＋
2
?
?
＝－sin α＝
5
.
答案：
26
5

7．已知sin
?
?
π< br>?
2
＋α
?
?
?
＝
10
10
，则sin
?
?
3π
?
2
－α
?
??
＝________．
解析：因为sin
?
?
π
?
1010
?
2
＋α
?
?
＝
10
， 所以cos α＝
10
.
又因为sin
?
?
3π
?
2
－α
?
?
?
＝－cos α，所以sin
?< br>?
3π
?
10
?
2
－α
?
?
＝－
10
.
答案：－
10
10

8．sin< br>2
1°＋sin
2
2°＋sin
2
45°＋sin
2
88°＋sin
2
89°＝________．
解析：原式＝(sin2
1°＋sin
2
89°)＋(sin
2
2°＋sin
2
88°)＋sin
2
45°＝(sin
2
1°＋
(sin
2
2°＋cos
2
2°)＋
?
?
2
??
2
?
2
?
＝1＋1＋
15
2
＝2
.
答案：
5
2

三、解答题
30
cos
2
1°)
＋

人教A版高中数学必修4同步检测
?
π
??
π??
π
?
sin
?
2
＋α
?
cos< br>?
2
－α
?
sin（π－α）cos
?
2
＋ α
?
??????
9．化简：＋.
cos（π＋α）sin（π＋α）?
π
??
π
?
解：因为sin
?
2
＋ α
?
＝cos
α
，cos
?
2
－α
?
＝sin
α
，
????
cos(π＋α)＝－cos
α
，sin(π－α)＝sin
α
，
?
π
?
??
＝－sin
α
，sin(π＋α)＝－sin
α
，
＋α
cos
2
??
cos
α
·sin
α
sin
α
·（－sin
α
）
所以原式＝＋＝
－cos
α
－sin
α
－sin
α
＋sin
α
＝0.
4
10．已知cos α＝－，且α为第三象限角．
5
(1)求sin α的值；
?
π
?
?
tan（ π－α）·sin（π－α）·sin
－α
?
?
2
?
(2) 求f(α)＝
cos（π＋α）
的值．
4
解：(1)因为cos α＝－，且α为第三象限角，
5
所以sin α＝－1－cos
α
＝－ < br>2
?
4
?
2
3
1－
?
－
5
?
＝－.
5
??
3
－
－tan
α
·sin
α
·cos
α
sin
α
5
?
3
?
(2)f(α)＝＝tan αsin α＝·sin α＝×
?
－
?
＝－
4
?
5
?
－cos
α
cos
α
－
5
9
.
20
B级 能力提升
1．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x

B．f(2π－x)＝sin x
31

人教A版高中数学必修4同步检测
?
π
?
?
C．f
x－
?
＝－cos x
2
??
D．f(π－x)＝－f(x)
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；
???
π
?
π
?
π
?
?????
f
x－
＝sin
x－
＝－sin
－x
?
＝－cos x；f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．
2
?
2
????
2
?
答案：C
?
5π
?
1
?
π
?
π
???
2．已知co s
＋α
＝
3
，且－π<α<－
2
，则cos
－α< br>?
＝
?
12
??
12
?
________．
π7π5ππ
解析：因为－π<α<－，所以－<＋α<－.
2121212
?
5π
?
1
又cos
?
＋α
?
＝>0，
?
12
?
3
?
5π
?
所以sin
?
＋α
?
＝
?
12
?
－
?
5 π
?
22
??
1－cos
＋α
＝－
3
，
?
12
?
2
?
π
??
5π
?π
???
由
－α
＋
＋α
?
＝
2
，
?
12
??
12
?
?
π
?
5π
?
π
?
?
?
得cos
?
－α
?
＝cos
?
－
?
＋α
?
?
＝
2
12
??
?
12
?
??
?
5π
?
22
sin
?
＋α
?
＝－.
3
12
??
22
答案：－
3
?
8
?
3．设tan
?
α＋
7
π
?
＝a.
??
?
15
??
13
?
???
sin
7< br>π＋α
＋3cos
α－
7
π
?
a＋3
??? ?
求证：＝.
?
20
??
22
?
a＋1
sin
?
7
π－α
?
－cos
?
α＋
7< br>π
?
????
32

人教A版高中数学必修4同步检测
??
8
????
8
??
sin
?
π＋
?
7
π＋α
??＋3cos
??
α
＋
7
π
?
－3π
?
????????
证明：左边＝
??
8
????
8
??
sin
?
4π－
?
α＋
7
π
??
－cos
?
2π＋
?
α＋
7
π
??
????????
?
8
??
8
?
???
－sin
α
＋
7
π
－3cos
α
＋
7
π< br>?
????
＝
?
8
??
8
?
－sin
?
α
＋
7
π
?
－cos
?
α
＋
7
π
?
????
?
8
?
t an
?
α
＋
7
π
?
＋3
??
＝.
?
8
?
tan
?
α
＋
7
π
?
＋1
??
a＋3
?
8
?
将tan
?
α
＋
7
π
?
＝a代入得，左边＝
＝右边，
??
a＋1
所以等式成立．

33

人教A版高中数学必修4同步检测
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

A级 基础巩固
一、选择题
1．点M
?
?
π
?
2，－m
?
?
?
在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：由题意－m＝sin
π
2
，所以－m＝1，所以m＝－1.
答案：C
2．在同一坐标系中函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同
解析：解析式相同，定义域不同．
答案：B
3．函数y＝－sin x，x∈
?
?
π3π
?
?
－
2
，
2
?
?
的简图是( )


34
)

人教A版高中数学必修4同步检测
3π
解析：可以用特殊点来验证：x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C.当x＝时，y
2
3π
＝－sin ＝1，排除B.
2
答案：D
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1
个交点．

答案：B
5．不等式cos x＜0，x∈[0，2π]的解集为( )
?π3π
?
A.
?
2
，
2
?
??
?
π
?
C.
?
0，
2
?

??
?
π3π
?
B.
?
2
，
2< br>?

??
?
π
?
D.
?
2
，2π
?

??
解析：由y＝cos x的图象知，
?
π3π
?
在[0，2π]内使cos x＜0的x的范围是
?
2
，
2
?
.
??
答案：A
二、填空题
6．用“五点法”画出y＝2sin x在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为
________________．
解析：可结合函数y＝sin x的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变
为原来的2倍即可．
35

人教A版高中数学必修4同步检测
?
π
??
3π< br>?
???
答案：(0，0)，
，2
，(π，0)，
，－2?
，(2π，0)
?
2
??
2
?
7．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
答案：[－1，0]
8．函数y＝log
1
sin x的定义域是______________．
2
解析：由log
1
sin x≥0知02
答案：{x|2kπ三、解答题
9．用“五点法”作函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：

x
－2cos x
－2cos x＋3
0
－2
1
π

2
0
3
π
2
5
3π

2
0
3
2π
－2
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：

x
10．判断方程sin x＝的根的个数．
10
解：当x＝3π时，y＝
x
3π
＝<1；
1010
36