人教版高中数学必修四+三角函数

人教版高中数学必修四 三角函数


一．选择题（共16小题）
1．（2014?商丘二模）已知α∈（﹣

A．

B．
，0），sin（﹣α﹣π）=

C．
﹣
，则sin（﹣π﹣α）=（ ）

D．
﹣

2．（2014?河南模拟）tan（﹣480°）=（ ）



A．B．
﹣

3．（2014?温州二模）已知函数f（x）=

A．f（x）的最小正周期是2π

C．
f（x）的图象关于x=对称

4．（2015?河南二模）将函数y=sin（x﹣
数的图象向左平移

A．
y=cosx

5．（2015?资阳模拟）将函数
φ的最小值为
（ ）

A．

C．

D．

，则下列结论中正确的是（ ）
B． f（x）在[4，5]上单调递增
D．
f（x）的图象关于点（，0）对称
）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得函
个单位，则最终所得函数 图象对应的解析式为（ ）
y=sin2x
B． C．
y=sinx
D．
y

=cos2x
的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点O对称，则
B．

C．

D．


6．（2014?河南）若tanα＞0，则（ ）

A．sinα＞0 B． cosα＞0

7．（2014?漳州二模）函数

A．


B．

C． sin2α＞0 D． cos2α＞0
的最小正周期是（ ）
2π
C． D．
5

π 8．（2014?河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+
的所有函数为（ ）
①②③

A．

）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π
①③④
B．
②④
C．
①③
D．
1

9．（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=

A．B．
向右平移个单位 向左平移

C．
向右平移

10．（2014?浙江模拟）与角﹣

A．

终边相同的角是（ ）

C．

D．

个单位
D．
向左平移
cos3x的图象（ ）
个单位
个单位
B．

11．（2014?洛阳三模）已知△ ABC为锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cosC﹣sinB）必位于直角坐标系中的（ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
12．（2014?闵行区三模）角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角2α的终边上的点是（ ）

A．（3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （4，3） D． （﹣4，﹣3）

13．（2012?海淀区二模）若sinθcosθ＜0，则角θ是（ ）

A．第一或第二象限角 B． 第二或第三象限角

第三或第四象限角 C．D． 第二或第四象限角

14．（2014?南昌模拟）函数f （x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜
象，则只需将g（x）=sin2x的图象（ ）
）的图象如图所示，为了得到f（x）的图


A．
向右平移

C．
向右平移

15．（2014?荆州模拟）要得到函数

A．
向左平移

B．
向左平移

C．
向左平移

D．
向左平移

16．（2014?南昌模拟）若函数y=sin2x的图象向左平移

A．f（x）=cos2x


个长度单位
个长度单位
B．
向左平移
D．
向左平移
个长度单位
个长度单位
的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（ ）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
个单位得到y=f（x）的图象，则（ ）
C． f（x）=﹣cos2x
2
B． f（x）=sin2x D． f（x）=﹣sin2x

二．填空题（共9小题）
17．（2014?淄博二模）已知α∈（

18．（2015?成都模拟）已知α∈（0，

19．（2014?嘉定区三模）函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间是 _________ ．
），cosα=，则sin（π﹣α）= _________ ．
，π），且sinα=，则tanα的值为 _________ ．

20．（2014?淮安模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）= _________ ．


21．（2013?自贡模拟）计算：= _________ ．

22．（2013?普陀区一模）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是 _________ ．

23．（2011?资中县模拟）已知sinα+cosα=1，则sinα﹣cosα= _________ ．

24．（2011?杭州一模）已知△ABC中，tanA=﹣

25．（2011?淮南一模）设α是第三象限角，

三．解答题（共5小题）
26．（2012?北京模拟）已知
（1）求tanα的值；
（2）求











3

，则cosA= _________ ．
，则cosα= _________ ．
，．
的值．

27．（201 4?信阳一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
（1 ）试确定f（x）的解析式；
（2）若f（）=，求的值．
）的部分图象如图所示：














28．（2013?东城区模拟）已知函数f（x）=si n（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）f（x﹣），求函数g（x）的单调递增区间．







4

< br>29．（2013?普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+?）（A＞0，ω＞0，）的图象 与y轴的交点为（0，
1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x
0
，2）和（x
0
+2π，﹣2）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．











30．（2012?湖南）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．
）的部分图象如图所示．


5

人教版高中数学必修四 三角函数

参考答案与试题解析


一．选择题（共16小题）
1．（2014?商丘二模）已知α∈（﹣

A．

B．
，0），sin（﹣α﹣π）=

C．
﹣
，则sin（﹣π﹣α）=（ ）

D．
﹣

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 已知等式左 边变形后，利用诱导公式化简求出cosα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系
求出s inα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．
解答：
解：∵sin（﹣α﹣π）=﹣sin（α+π）=cosα=，α∈（﹣，0），
∴sinα=﹣=﹣，
． 则sin（﹣π﹣α）=﹣sin（π+α）=sinα=﹣
故选：D．
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．（2014?河南模拟）tan（﹣480°）=（ ）



A．B． C．
﹣


D．

考点： 诱导公式的作用．
专题： 计算题．
分析： 原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．
解答：
解：tan（﹣480°） =tan（﹣360°﹣120°）=﹣tan120°=﹣tan（180°﹣60°）=tan60°=故选A
点评： 此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

．
3．（2014?温州二模）已知函数f（x）=

A．f（x）的最小正周期是2π

C．
f（x）的图象关于x=对称
，则下列结论中正确的是（ ）
B． f（x）在[4，5]上单调递增
D．
f（x）的图象关于点（，0）对称

考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： f（x）解析式利用诱导公式化简后，再利用同角三角函数间基本关系变形，求出最小正周期，利用正切函数的对称性及增减性判断即可．
解答：
解：f（x）==tanx，
6

∵ω=1，∴T==π，即最小正周期为π，选项A错误；
+kπ＜x＜+kπ，k∈Z， 正切函数y=tanx的递增区间为﹣
而4＜x=＜5时，f（x）没有意义，选项B错误；
，0），k∈Z对称，选项C错误；
，0）对称，选项D正确，
f（x）图象关于（
f（x）的图象关于点（
故选D
点评： 此题考查了运 用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的
关键．

4．（2015?河南二模）将函数y=sin（x﹣
数的图象向左平移

A．
y=cosx

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．
解答：
解：函数y=sin（x﹣）的图象 上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin（2x﹣
）的图象上所有点的横坐标缩 短为原来的（纵坐标不变），再将所得函
个单位，则最终所得函数图象对应的解析式为（ ）
y=sin2x
B． C．
y=sinx
y=cos2x
D．
），
再将所得函数的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣] =sin（2x+）=cos2x，
故选：D
点评： 本题主要考查函数解析的求解，根据函数关系和函数解析式之间的关系是解决本题的关键．

5．（2015?资阳模拟）将函数
φ的最小值为
（ ）

A．


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析：
利用三角函数平移变换可得g（x）=s in[2（x﹣φ）+]，利用其图象关于坐标原点对称，可得
的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所 得图象关于原点O对称，则
B．

C．

D．

﹣2φ=kπ
（k∈Z），从而可求得正数φ的最小值．
解答：
解：的图 象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到g（x）=sin[2（x﹣φ）+
]的图象关于原点O对称，
﹣kπ（k∈Z），又φ＞0，
7

]，
∵g（x）=sin [2（x﹣φ）+
故﹣2φ=kπ（k∈Z），所以2φ=

显然，k=0时，φ=
故选：C．
点评：
本题考查三角函数平移变换与正 弦函数的奇偶性，求得2φ=﹣kπ（k∈Z，m＞0）是关键，属于中档题．
为正数中的最小值，

6．（2014?河南）若tanα＞0，则（ ）

A．sinα＞0 B． cosα＞0

考点： 三角函数值的符号．
专题： 三角函数的求值．
分析： 化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
解答： 解：∵tanα＞0，
C． sin2α＞0 D． cos2α＞0
∴，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．
点评： 本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．

7．（2014?漳州二模）函数

A．

B．

的最小正周期是（ ）
2π
C．
5π
D．

考点： 三角函数的周期性及其求法．
分析：
根据T=可得答案．
解答：
解：T==5π
故选D．
点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．

8．（2014?河南）在函数 ①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期 为π
的所有函数为（ ）
①②③ ①③④ ②④

A．B． C．

考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
解答：
解：∵函数①y=cos丨2x丨的最小正周期就是y=cos2x的最小正周期，为

D．
①

③
=π，
②y=丨cosx丨的最小正周期为
③y=cos（2x+）的最小正周期为
=π，
=π，
8

④y=tan（2x﹣）的最小正周期为 ，
故选：A．
点评： 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．

9．（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=

A．B．
向右平移个单位 向左平移

C．
向右平移

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角 的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即
可．
解答：
解：函数y=s in3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到
cos3x的图象 （ ）
个单位
个单位 个单位
D．
向左平移
y==的图象．
故选：C．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．

10．（2014?浙江模拟）与角﹣

A．

终边相同的角是（ ）

C．

D．

B．

考点： 终边相同的角．
专题： 三角函数的求值．
分析：
与终边相同的角为 2kπ，k∈z，选择适当k值，得到选项．
，k∈z，当 k=1时，此角等于，
解答：
解：与
故选：C．
终边相同的角为 2kπ
点评：
本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与 终边相同的角为2kπ，k∈z，是解题的关键．

11．（2014?洛阳三模）已知△ ABC为锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cosC﹣sinB）必位于直角坐标系中的（ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 象限角、轴线角；不等关系与不等式．
专题： 计算题．
分析：
依题意，A+B＞90°，利用y=sinx在（0，）上单调递增的性质即可判断P（sinA﹣cosB， cosC﹣sinB）的
位置．
解答： 解：∵A、B是锐角△ABC的两个内角
∴A+B＞90°，
∴90°＞A＞90°﹣B＞0，
9

又y=sinx在（0，）上单调递增，
∴sinA＞sin（90°﹣B）=cosB，
∴sinA﹣cosB＞0；
同理可得，cosC﹣sinB＜0，
∴点P在第四象限．
故选D．
点评： 本题考查象限角，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式，属于中档题．

12．（2014?闵行区三模）角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角2α的终边上的点是（ ）

A．（3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （4，3） D． （﹣4，﹣3）

考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： 求出角α的正弦函数值以及余弦函数值，然后求出 2α的正弦函数值以及余弦函数值，通过三角函数判断选
项即可．
解答：
解：角α终边上有一点（﹣1，2），由三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，
∴ sin2α=2sinαcosα=
cos2α=2cosα﹣1=
2
=﹣，
=﹣，
由三角函数的定义可知，（﹣3，﹣4）是角2α的终边上的一点，
故选：B．
点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，考查计算能力．

13．（2012?海淀区二模）若sinθcosθ＜0，则角θ是（ ）

A．第一或第二象限角 B． 第二或第三象限角

第三或第四象限角 C．D． 第二或第四象限角

考点： 象限角、轴线角．
专题： 计算题．
分析： 直接利用三角函数的值的符号，判断θ所在象限即可．
解答：
解：因为sinθcosθ＜0，所以sinθ，cosθ异号，即或，所以θ第二或第四象限角．
故选D．
点评： 本题考查三角函数值的符号，角所在象限的判断，基本知识的应用．

14．（2014?南昌模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ |＜
象，则只需将g（x）=sin2x的图象（ ）
）的图象如图所示，为了得到f（x）的图


A．
向右平移

个长度单位
B．
向左平移
10
个长度单位

C．
向右平移个长度单位
D．
向左平移个长度单位

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由 函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数f（x）的解析式．再根据
y=
Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．
解答：
解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得 A=1，=，解得ω=2．
再由五点法作图可得 2×
故函数f（x）=2sin（2x+
+φ=π，解得 φ=
）=2sin2（x+
，
），
故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，
故选B．
点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由 周期求出ω，由五点
法作图求出φ的值，y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．

15．（2014?荆州模拟）要得到函数

A．
向左平移

B．
向左平移

C．
向左平移

D．
向左平移
的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（ ）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．
专题： 计算题．
分析： 可先求得f′（x）=2cos（2x+）=2sin[+（2x+）]，再利用平移规律即可得到答案．
解答：
解：∵f（x）=sin（2x+
∴f′（x）=2cos（2x+
），
）=2sin[+（2x+
）+
）]=2sin[2（x+）+]，
）的图 象向左平移个单∴要得到导函数f′（x）2sin[2（x+]的图象，只需将f（x））=sin（2x+< br>位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）即可．
故选C．
点评： < br>本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，利用复合函数的求导公式得到f′（x）=2cos （2x+
考查三角函数间的诱导公式的灵活应用，属于中档题．

16．（2014?南昌模拟）若函数y=sin2x的图象向左平移

）是关键，
个单位得到y=f（x）的图象，则（ ）
11

A．f（x）=cos2x B． f（x）=sin2x C． f（x）=﹣cos2x D． f（x）=﹣sin2x

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： < br>根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，我们易得到函数y=sin2x的图象向左平移个 单位
后，得到的图象对应的函数解析式，化简变形后，即可得到结论．
解答：
解： 函数y=sin2x的图象向左平移
y=sin2（x+）=sin（2x+
个单位，得到的图 象对应的函数为
）=cos2x．
故选：A．
点评： 本题考查的知识点是函数 图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解
答本题的关键．

二．填空题（共9小题）
17．（2014?淄博二模）已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为 ﹣ ．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．
解答：
解：∵α∈（，π），且sinα=，
∴cosα=﹣
则tanα==﹣．
=﹣，
故答案为：﹣
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

18．（2015?成都模拟）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）= ．

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案．
解答：
解：∵cosα=，α∈（0，），
∴sin（π﹣α）=sinα=
故答案为：．
=．
点评： 本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系的应用，属于基础题．

19．（2014?嘉定区三模）函数y=cos（2x﹣

12

）的单调递减区间是 [kπ+，kπ+]（k∈Z） ．

考点： 余弦函数的单调性．
专题： 计算题．
分析：
先根据余弦函数的单调性判断出单 调递减时2x﹣的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．
≤2kπ+π
解答：
解：∵对于函数
即kπ+≤x≤kπ+
的单调减区间为2kπ≤2 x﹣
故函数f（x）的单调减区间为[kπ+
故答案为：[kπ+，kπ+
，kπ+] （k∈Z）
]（k∈Z）
点评： 本题主要考查了余弦函数的单调性．考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握．

20．（2014?淮安模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）= ﹣ ．


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．
解答：
解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得?T=?=3﹣1，ω=．
再根据五点法作图可得
∴φ=﹣，∴f（x）=sin（
﹣
．
×1+φ=
x﹣
，
），
=﹣sin=﹣， ∴f（2）=sin（
故答案为：﹣
）=sin
点评： 本题主要考查利用y=Asi n（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档
题．

21．（2013?自贡模拟）计算：= ．

考点： 运用诱导公式化简求值；任意角的概念．
分析： 先将大角用诱导公式化为小角，然后求解．
解答：
解：
故答案为：
点评： 此题是直接考查诱导公式的运用．
13

22．（2013?普陀区一模）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是 π ．

考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 计算题．
分析：
先根据两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=得到答案．
解答：
解：y=sin2x﹣cos2x=
∴T==π
（）=sin（2x﹣）
故答案为：π
点评：
本题主要考查三角函数最 小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=
题．

23．（2011?资中县模拟）已知sinα+cosα=1，则sinα﹣cosα= ±1 ．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 将等式两边平方得sinαcosα=0，进而可得（sinα﹣cosα）
2
=1，故可 解．
解答： 解：由题意，两边平方得sinαcosα=0
2
∴（sinα﹣cosα）=1
∴sinα﹣cosα=±1
故答案为±1
点评： 本题以三角等式为载体，考查同角三角函数关系，关键是利用平方关系．

可解
24．（2011?杭州一模）已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ﹣ ．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： △ABC中，由tanA=﹣＜0，判断A为钝角，利用=﹣和sin
A+cosA=1，求出co sA的值．
22
解答：
解：∵△ABC中，tanA=﹣
由=﹣
2
，∴A为钝角，cosA＜0．
2
，sinA+cosA=1，可得cosA=﹣
．
，
故答案为﹣
点评： 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，注意判断A为钝角．

25．（2011?淮南一模）设α是第三象限角，，则cosα= ．

考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 由α是第三象限角，得到cosα 小于0，然后根据同角三角函数间的基本关系，由tanα的值即可求出cosα
的值．
14

解答：
解：由α是第三象限角，
得到cosα=﹣=﹣
，
=﹣=﹣．
故答案为：﹣
点评： 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．做题时注意角度的范围．

三．解答题（共5小题）
26．（2012?北京模拟）已知
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
，．

考点： 同角三角函数基本关系的运用．
专题： 计算题．
分析： （1）根据同角三角函数的基本关系可得答案．
（2）利用二倍角公式与诱导公式对已知进行化简，进而结合（1）可得答案．
解答：
解：（1）因为，，
所以
所以
，
．…（3分）
（2）根据二倍角公式与诱导公式可得：
．…（8分）
点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式与诱导公式．

27．（2014?信阳一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ| ＜
（1）试确定f（x）的解析式；
（2）若f（）=，求的值．
）的部分图象如图所示：


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．
专题： 计算题．
15

分析：
（1）由图可知，A =2，=，可求得ω，再利用ω+φ=
（2）由（1）知f（x）的解析式，结合已知f（
弦计 算即可求cos（
解答：
﹣α）的值．
可求得φ，从而可求得f（x）的解析式；
）=，可求得α的三角函数知，最后利用两角差的余
解：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又 ω＞0，
∴T==2，
∴ω=π；
由图可知，f（x）=Asin（ωx+φ）经过（，2），
∴ω+φ=
∴φ=，
）；
，即+φ=，
∴f（x）=2sin（πx+
（2）∵f（
∴2sin（
∴sin（
∴cos（
+
+
）=，
）=，
）=cos[
﹣α）=2
﹣（+）]=cos（
﹣1=2×
﹣）=，
． ﹣1=﹣
点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三 角函数中的恒等变换应用，考查两角差的余
弦，属于中档题．

28．（2013 ?东城区模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）f（x﹣），求函数g（x）的单调递增区间．


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；y=Asin（ω x+φ）中参数的物理意义．
专题： 计算题；数形结合．
分析：
（1）由图象 知，周期的四分之一为，故周期为T=π，用公式可求出ω的值，又图象过（，0），将其
代入方程即可 解得?的值．
16

（2）整理出g（x）的表达式， 变形为y=asin（ωx+?）+k的形式，利用其单调性求函数的单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）由图可知
又由
∵|?|＜π∴
，，（2分）
得，sin（π+?）=1，又f（0）=﹣1，得sinφ=﹣1
，（4分）
（6分）
=
，即
（9分）
（12分）
．（13分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
因为
所以，
故函数g（x）的单调增区间为
点评 ： 考查识图的能力与利用 三角恒等变换进行变形的能力，以及形如y=asin（ωx+?）+k的三角函数求单调区
间的方法．

29．（2013?普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+?）（A＞0，ω ＞0，）的图象与y轴的交点为（0，
1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 （x
0
，2）和（x
0
+2π，﹣2）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： （1）通过函数的图象，直接求出A，T 然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合?的范围求出?的值，即
可求函数f（x）的解析式；
（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．
解答： 解：（1）由题意可得A=2…（1分）
即T=4π，…（3分）
，f（0）=1
由
函数
（2）由于

且，得

且θ为锐角，所以


17

f（2θ）=
==

点评： 本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与 差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考
查计算能力．

30． （2012?湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜
（Ⅰ）求函 数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．
）的部分图象如图所示．


考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
专题： 计算题．
分析：
（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的 值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，
分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可； （II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数 看做整体，
置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间
解答：
解：（I）由图象可知，周期T=2（
∵点（
∴sin（
∵ 0＜φ＜
∴φ=
=1，A=2
）
）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）
﹣）=π，∴ω=
+φ）=0
，k∈z
=2
，0）在函数图象上，∴Asin（2×
+φ）=0，∴

+φ=π+kπ， 即φ=kπ+
∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin
∴函数f（x）的解析式为f（x）= 2sin（2x+
（II）g（x）=2sin[2（x﹣
=2sin2x﹣2（sin2x+
=2sin（2x﹣

）+]﹣2sin[2（x+
cos2x cos2x）=sin2x﹣
）
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由﹣+2kπ≤2x﹣
≤x≤kπ+
≤

）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z
+2kπ，k∈z
得kπ﹣
∴函数g（x）=f（x﹣
点评： 本题主要考查了y=Asin（ωx+φ ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合
三角函数单调区间的方法，属 基础题

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