2016高中数学必修3和必修4基础知识和基本题型汇编

必修3—统计类
【基础知识1】
1）简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的共同特点是每个个体被抽到的概率相等；
2）统计数据的几种形式是条形图、折线图、扇形图和茎叶图；
3)数据的数字特征：平均数 、中位数、众数；极差、方差（s）、标准差(s)；注：数据
x
1
,x
2< br>???x
n
的平均
数和方差分别为
x
和s,则数据
a x
1
?b,ax
2
?b???ax
n
?b
的平均数 和方差分别为
ax?b
和
as
；
4）频率分布直方图中每个小矩形 的宽为
?x
i
,高为
22
2
f
i
,其面积 为每组频率
f
i
，所有小矩形面积之和为1.
?x
i
5）相关性：变量与变量之间不满足函数关系但存在着某种联系；
6 ）最小二乘估计求线性回归方程
y?a?bx
：
b?
x
1
y
1
?x
2
y
2
?????x
n
y
n
?nxy
x?x
2
?????x
n
?nx
21
22
2
，
a?y?bx
；这里a、
b为回归系数，< br>(x,y)
是平均点；
注：回归直线特征：散点图中所有点不一定在回归直线上，但平 均点一定在回归直线上，所有点都距离回
归直线最近；
必修3—算法初步
【基础知识2】
1）算法特征:有穷性；确定性；有序性；不唯一性；普遍性；
2 ）排序法：有序列直接插入排序法和有序列折半插入排序法；折半插入排序法先与“中间位置”进行比
较 ，若有2n+1个数则“中间位置”是第n+1个数，若有2n个数则“中间位置”是第n个数，然后插入到靠左边的一半；（辗转相除法:例：18和32的最大公约数:先用18整除32余，14再用14整除18 余4，再
用4整除14余2，再用2整除4，即2为最大公约数）
3）框图含义：三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构； 是终端框表示算法的开始与结束；
是处理框表示算法的各种处理操作； 是判断框表示算法条件的转移; 是输
入输出框表示输入输出操作；是指向线指向另一操作；
4）变量与赋值：如a=1表示赋 予变量常数值；b=2a+1表示将含有其它变量的表达式赋予变量，输出b；
5）条件语句结构：If条件Then 循环语句结构：For语句的一般形式是： Do Loop语句：
语句1 For循环变量=初始值To终值 Do
Else(否则) 循环体 循环体
语句2 Next Loop While条件为真
End If
必修3—概率
【基础知识3】
1）在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机 事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事
件A发生的频率具有稳定性，这个常数叫作随机事件 A的概率。（0《P（A）《1）
2）古典概型：①特征：一是试验所有结果只有有限个，每次试验只 出现其中的一个结果；二是每一个试
验结果出现的可能性相同；②古典概型概率公式：P（A）= mn.
3)互斥事件概率公式：在一个随机试验中，不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件，其 概率计算公
式为：P（A+B）=P（A）+P（B）；P（A）=1-
p(A)
； （概率计算中要合理利用列表法、树图法、列举法来
列出所发生事件是解决问题的关键）
4）几何概型：P（点M落在G
1
）= G
1
的面积G的面积= G
1
的长度G的长度= G
1
的体积G的体积

1

必修4—同角部分
【基础知识1】同角部分
?
?
Ⅱ:
?
?
?
1.(逆正顺负；逆加顺减)1)象限角: Ⅰ:
?
?
?
|2k
?< br>?
?
?2k
?
?
??
?
|2k
?< br>??
?
?2k
?
?
?
?
?
2
??
2
?
3
?
3
?
?
??
Ⅲ:
?
?
?
?2k
?
?2
?
?
?
?
|2k
?
?
?
?
?
?2k
?
?
?
Ⅳ:
?
?
|2k
?
?
?
2
?
?
2
?
?
?
2)坐标轴角:
x
轴:
?
?
|
?
?k
?
?
y轴:
?
?
?
|
?
?k
?
?
?

?
2
?
3)例题:①若
?
是第一象限角,请判断
?
,
?
,90
?
?
?
,
?
?180
?
所在象限;
23
cos3nis3
②化简:
1?cos6
?1?sin6
；（
?2
2
?
）
2 .同角三角函数:1)定义:
sin
?
?
y
,cos
??
x
,tan
?
?
y
,cot
?
?< br>x
,sec
?
?
r
,csc
?
?
r

rrxyxy
2)同角三角函数定义有三种用法:
①计算如
0< br>?
,90
?
,180
?
,270
?
等特殊角 的值; ②判断各角三角函数值的正负号;
2
1
③推导同角公式如:sin
2
?
?
tan
?
,cos
2
?
?
.
1?tan
2
?
1?tan
2
?
【基本题型回顾】
能理解同角三角函数中比例关系，能利用“构造小直角三角形法”去求同角正余弦及正切值。
1
2
P(,cos
2
?
)
Q(sin
?
, ?1)
在角
?
的终边上，且
?
2
例：1、在平面直角坐标系 中，点在角的终边上，点
????????
1
OP?OQ??
2
。
?
1）求
cos2
?
的值；（13） 2）求
sin(
?
?
?
)
的值。（
10
10
）
2、已知点P

(sin
3
?
3
?
,co s)
落在角
?
的终边上,且
?
?[0,2
?
),则
?
的值为
7
?
;
44
4
3、会 利用小直角三角形计算如:已知
tan
?
?2
,求
sin
?
?cos
?
的值.
必修4—和差积倍角公式
【基础知识2】和差积倍角公式
sin(
?
?
?
)?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?
;
2222
tan(
?
?< br>?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
t an
?
tan
?
;
1?tan
2
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?
2
1?tan
?
2ta n
?
1?cos2
?
1?cos2
?

2tan< br>?
22
sin2
?
?2sin
?
cos
?< br>?;
tan2
?
?
sin
?
?;cos
?< br>?;
;
2
1?tan
?
22
1?tan
2< br>?
sin2
?
1?cos2
?
;
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?< br>?
?
)

tan
?
??
1?cos2
?
sin2
?
【基本题型回顾】
题型训练：1）是凑角思想的应用；2） 是“
sin
?
?cos
?
”型问题的通法研究；
例：1、 已知
?
为锐角,且
cos(
?
?
?
4
)?

3
5
,则
sin
?
?
10
.
2
2

2、已知
sin
?
?cos
?
??
1
，
?
?
(0，π)，则
tan
?
= -34 。
5
解析：方法1：由已知
1?2sin
?cos
?
?
∴
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?
1
25
∴
2sin
?
cos
?
??
24

25
49
25
又
?
?(
?
2
,
?
)
∴
sin
?
?cos
?
?0

3
4
∴
sin
?
?cos
?
?
7
∴
sin
?
?
5
则
tan
?
= -34 。
,cos
?
??
55
3、函数
f(x)?6c os
2
?
x
2
?3sin
?
x?3(
?< br>?0)
在一个周期内的图象如图所示，
A
为图象的最高点，
B
、
C
为图象与
x
轴的交点，且
?ABC
为正三角形. 1）求
?
的值及函数
f(x)
的值域；(
[?23,23])
2）若
f(x
0
)?
83
，且
x
0
?(?
10
,
2
)
，求
33
5
f(x
0
?1)
的值.(
7
5
6
)
解析 ：1）由题知
f(x)?3cos
?
x?3sin
?
x?23sin (
?
x?
?

3
)
∴
?ABC
的高为
23
则BC=4 ∴
T?8
，即
?
?
?
∴
f(x)
的值域为
[?23,23]

4
?
2）由1）知
f(x)?23sin(
?

4
x?
3
)
由
f(x
0
)?
83
得
sin(
?
4
5
4
x
0
?
?3
)?
5

??
∴
f(x
0
?1)?23sin(
?

4
x
0
?
4
?
3
)
??
??????
=23sin[(
?
=
4
x
0
?
3
) ?
4
]23[sin(
4
x
0
?
3
)co s
4
?cos(
4
x
0
?
3
)sin4
]
???
?
3
又
x
0
?(?
10
,
2
)
∴
?
∴
cos(
?

4
x
0
?
3
?[?
2
,
2
]
4
x
0
?
3
) ?
5
33
∴
f(x
0
?1)?
7
5
6

必修4—三角函数
【基础知识3】三角函数基本知识点
1)
y?sinx
①定义域:R②值域:[-1,1]③奇函数④单调递增区间:
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]
;单调递减区22
间:
[2k
?
?
?
,2k
?
?< br>3
?
]
⑤对称轴:
x?k
?
?
?
(此处可取得最值) ⑥对称中心:
(k
?
,0)
⑦最小正周
22
2
期:
2
?

|
?|
2)
y?cosx
①定义域:R②值域:[-1,1]③偶函数④单调递增区间 :
[2k
?
?
?
,2k
?
?2
?
]
;单调递减区
间:
[2k
?
,2k
?
?
?
]
⑤对称轴:
x?k
?
(此处可取得最值)
⑥ 对称中心:
(k
?
?
?
2
,0)
⑦最小正周期:< br>2
?
|
?
|


3

3)
y?tanx
①定义域:
(k
?
?
线:
x ?k
?
?
?
,k
?
?)
②值域:R③奇函数④单调 递增区间:
(k
?
?,k
?
?)
; ⑤渐近
222 2
|
?
|
???
?
2
?
;⑥对称中心:
(
k
2
,0)
;⑦最小正周期:
?

4)
sinx?cosx?x?(2k
?
?
?
,2k
?
?
5
?
);sinx?cosx?x?(2k
?
?
3
?
,2k
?
?
?
)

4444
5) < br>y?Asin(
?
x??)
(
??k
?
是奇函数，< br>??k
?
?
?
2
是偶函数)；
y?Acos(?
x??)
(
??k
?
?
?
2
是奇函 数,
??k
?
是偶函数).
6)三角形内特性：A>B大角所对的正弦大 （
sinA?sinB
）；大角所对的余弦小（
cosA?cosB
）；A、 B
为锐角三角形内角时，可知：
sinA?cosB
或
sinB?cosA< br>；
tanA?cotB?1

7）正弦函数与余弦函数互化公式为：
sinx?cos(x?
【基本题型回顾】
三角方程与三角不等式的解决通法为数形结合法；
例：1、已知函数
f(x)?3s inx?cosx,x?R
，若
f(x)?1
，则x的取值范围为( B )


?
??
?x?k
?
?
?
,k ?Z
??
x|k
?
?
3
?
A．
??
??
?
x|2k
?
??x?2k
?
?
?
,k?Z
?
3
?
B．
?
?
2
);cosx?sin(x?
?
2
)
。
C．
{x|k< br>?
?
?
6
?x?k
?
?
5
?
,k?Z}
6
D．
{x|2k
?
?
?
5
?
?x?2k
?
?,k?Z}
66

2、设f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?
，其中
?
?0
，则
f
?
x
?
是偶函数的充要条件是( D )
'
A.
f
?
0
?
?1
B.
f
?
0
?
?0
C.
f
?
0
?
?1

?
D.
f
'
?
0
?
?0

3、设函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)?cos(
?
x?
?
)(
?
?0,
?
?
?
?
?
?
)
2
的最小正周期为
?
，且
f(?x)?f(x)
，则 （A）
?
?
4
?
?
4
A.
f(x )
在
?
0,
?
?
单调递减 B.f(x)
在
?
?
,
3
?
?
单调递减
?
2
?
?
2
?
?
4
?
?
4
?
C.
f(x)
在
?
0,
?
?
单调递增 D.
f(x)
在
?
?
,< br>3
?
?
单调递增
4、函数
y?cos(
?
x?
?
)(
?
?0,0?
?
?
?
)
为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A、
B分别为最高点与最低点，且
|AB|?22< br>，则该函数图象的一条对称轴为 （ D ）

A.
x?
2

?
B.
x?
y
O
B
A
x
?
2
C.
x?2
D.
x?1

5、设
?
?0
,函数
y?sin(
?
x?
?
3
)?2
的图像向右 平移
4
?
个单位后与原图像重合，则
?
的最小值是 C
3
2
A.
2
B.
4
C.
3
D. 3
3
3
6、设函数
f(x)?c os
?
x(3sin
?
x?cos
?
x)
,其中< br>0?
?
?2
.
1)若
f(x)
的周期为
?
,求当
?

?
6
?x?
?
3
时, 求
f(x)
的值域;( [0,32])
4

2)若函数< br>f(x)
的图像的一条对称轴为
x?
?
3
,求
?的值.(12)
必修4--向量
【基础知识4】向量几何形式和代数形式
1.平行四边形法则和三角形法则性质:
规律:首尾相接两向量之和等于依起点为起点终点为终点的向量.
B
?
? ???
1
????????
???
a
如图1，
a?b?c< br>; D是
?ABC
的中线，则
AD?(AB?AC)
.
2

?
????????
????????????
a如图1,若B,D,C三点共线,则有
BD?
?
DC
或
AD?< br>?
AB?
?
AC?
?
?
?
?1
.
?
D
?
c

b
C
?????????
2.代数运算基本公式:1)
?
(
?
a)?
??
a ;(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a;
?
(a?b)?
?
a?
?
b

A
图1
?
??
??
2)向量平行充要条件:几何法：向量
b
与非零
a
向共线充要条件是有且只有一个实数
?
,使得
b?
?a
.
??
代数法：若
a?(x
1
,y
1),b?(x
2
,y
2
)
，则
x
1
y
2
?x
2
y
1
；
??
??
3向 量垂直充要条件:几何法：
a?b?0
；代数法：若
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
????
?
4)
A(x
1
,y
1
)B( x
2
,y
2
)?AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
);
|a|?
??
?
2
?
a,|a|?x
2
?y
2
.

5)
cos
?
?
a?b
|a|?|b|
??
(0?
?< br>?
?
)
.
??
?????????
ab
3.特殊性质:①
|a?b|?|a ?b|?a?b
;②在上的投影是
|a|cos?a,b?
;
③直线方向向量的纵坐标与横坐标之比等于直线斜率.
基本形式 向量法 坐标法
??
ab

??
a?b

??
a?b

????
a?
?
b(b?0)

??
a?b?0

x
1
y
2
?x
2
y
1

x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

x
1
?x
2
?y
1
?y
2

x
2
?y
2

??
|a|?|b|cos
?

?
2
a

??
?
|a|

cos
?

a?b
|a|?|b|
??

x
1
?x
2
?y
1
?y
2
x?y?x
2
?y
2
2
1
2
1
22

【基本题型回顾】
平行四边形法则和三角形法则的应用中的三种题型：
1）三点共线问题；2）转换思想的应用；3）
平行四边形法则应用
??????? ?
????
例：1、已知
O
，
A
，
B
是平 面上的三个点，直线
AB
上有一点
C
，满足
BC?2AC?0
，则
OC?
（ A ）

5

????????
A．
2OA?OB

????????
B．
?OA?2OB

3
????????
2
????
1
????
|AC|
????OC?OA?OB
|AB|
= 13 .
33
2、在平面直角坐标系 中,O为坐标原点,A,B,C三点满足,则
C．
2
OA?
1
OB< br>
3
????????
????????
D．
?
1
OA?
2
OB

33
????????
3、在?
ABC
中，
M
是
BC
的中点，
AM
＝3，
BC
＝10，则
AB?AC
＝ 29 ．
AMMP??2
?ABC
AC
MCPB
P
M
BM
4、如 图，已知中,点在线段上, 点在线段上且满足,若
AB?2,AC?3,?BAC?120?
??????
,则
AP?BC
的值为A
??????
211
?
A．
?2
B．
2
C.
3
D．
3

5、如图，平面内有三个向量
OA
、
OB
、
OC
,其中与
OA
与
OB
的夹角
为120°，< br>OA
与
OC
的夹角为30°,且|
OA
|＝|
OB< br>|＝1，
|
OC
|＝
23
，
若
OC＝
λ
OA
+
μ
OB
（
λ，μ
∈R）, 则
λ+μ
的值为
6
.
6、如图(第21题)，三定点A(2,1),B(0,?1),C(?2,1);
三动点D、E、M满足
y
C
1
O
－2
－1
E
－1
1
D
xA
?????????????????????????
AD?tAB,BE?tBC,

DM?tDE,t?[0,1].

I）求动直线DE斜率的变化范围； (k
DE
∈[－1,1].)
2
II）求动点M的轨迹方程. (x=4y, x∈[－2,2])



（第21题）

6