高一数学高中数学必修一必修四测试题含答案

年度第一学期高一数学期末考试
模 拟 试 题
一、选择题
1． 若向量
r
a?(1,1)
，
r
b?(2,5)
，
r
c?(3,x)
满足条件
(8
r
a?
r
b)?r
c?30
，则
x
=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如果
cos(
?
?
?
) ??
1
3
，那么
sin(
5
?
2
?
?
)
等于（ ）
A．
22
3
B．
?
22
3
C．
?
1
3
[ D．
1
3

??????
3．已知向量
a?(1,1), b?(?1,0),
?
a?
?
b与a?2b共线，则
?
?< br>=
（ ）
A．
1
2
B．
?
1
2
C．
2
D．
?2

4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为（ ）
A．
?
3
B．
2
?
3
C．
3
D．2
5．若
3sin
?
?cos
?
?0
,则
1
cos
2
?
?sin2
?
的值为（ ）
A．
10
3
B．
5
3
C．
2
3
D．
?2

6．函数
y?Asin(
?
x?
?)
在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）
A．
y?2sin (2x?
2
?
3
)
B．
y?2sin(2x?
?< br>3
)

C．
y?2sin(
x
2
?
?
3
)
D．
y?2sin(2x?
?
3
)

7．已知函数
f(x)?
?
?
?
2
x
?1
?

x?0
0
，若函数
g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围（ ）.
?
?x
2
?2x
x?
A．(0,
1
2
) B．
?
?
1
?
2
,1
?
?
?
C．
?
0,1
?
D． （0,1）
8．
A
为三角形
ABC
的一个内角,若
sinA?cosA?
12
25
,则这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
9 ．设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且
f(x?3)?f(x)? ?1
，
f(?1)?2
，则
f(2008)?
（ ）

A．0 B． 0.5 C．2 D．
?1

10．已 知函数
f(x)?
?
?
(3a?1)x?4a,(x?1)
满足:对 任意实数
?
log
x
1
,x
2
a
x,(x ?1)
,当
x
1
?x
2
时,总有
f(x
1
)?f(x
2
)?0
,那么实
数
a
的取值范围是 ( )
A．
[
1
,
1
73
)
B．
(0,
1
)
C．
(
1
,
1
)
D．
[
1
3737
,1)

二、填空题
11．已 知
I?{1,2,3,4,5,6},A?{1,3,4}
,则
C
I
A
= .
12．方程
2sin(x?
?
3)?a?1?0
在
?
0,
?
?
上有两个不等的实根，则 实数
a
的取值范围是
13．设
f(x)?
??
x
2
?1(x?0)
，则
f
?
?2lgx( x?0)
?
f(100)
?
?

14．若
AB?8,AC?5
，则
BC
的取值范围是
15．关于x的方程
x
2
?2(m?1)x?m?4?0
有实根，且 一个大于2，一个小于2，则m取值范围为_ __ __.
三、解答题
16． 已知集 合
A?
?
x|2?x?4
?
，
B?
?
x| 3x?7?8?2x
?
,
C?
?
x|x?a
?
。
（1）求
A?B
；（2）求
A
?
(C
R
B )
；（3）若
A?C
，求
a
的取值范围








17．已知向量
a
与
b
的夹角为30°，且|
a
|＝
3
，|
b
|＝1，
（1）求|
a
－2
b
|的值
（2）设向量< br>p
＝
a
＋2
b
，
q
＝
a
－ 2
b
，求向量
p
在
q
方向上的投影

18．已知向量a＝
?
?
cos x，－
1
2
?
?
，b＝(3sin x，cos 2x)，x∈
R
，设函数
f(x)
＝a·b.
（1）求
f (x)
的最小正周期；（2）求
f(x)
在
?
?
0，
π
2
?
?
上的最大值和最小值．







19．设
f(x)
是定义在R上的奇函数 ，且对任意a、b
?R
，当
a?b?0
时，都有
f(a)?f(b)
a?b
?0
.
（1）若
a?b
，试比较
f(a)
与
f(b)
的大小关系；
（2）若
f(9
x
?2 ?3
x
)?f(2?9
x
?k)?0
对任意
x?[0,?? )
恒成立，求实数k的取值范围.









20. 在每年的“春运”期间，某火车站经统计每天的候车人数y
（万人）与时间
t
（小时），近似满足函数关系式
y?6sin(?
t?
?
)?10,
?
?0,
?
?
?
，
t?
?
0,24
?
，并且一天中候车人数最少是夜晚2点 钟，最多是在下午14
点钟。
（1）求函数关系式？
（2）当候车人数达到13万 人以上时，车站将进入紧急状态，需要增加工作人员应对。问在一天中的什么时间段
内，车站将进入紧急 状态？






21．已知函数
y ?Asin(
?
x?
?
)(A?0，
?
?0，
?< br>?
?
2
的图象过点
P(
?
12
,0)
，且图象上与
P
点最近的一个最高点
坐标为
(
?
3
,5)
.
（1）求函数的解析式； （2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向 左平行移动
?
6
个单位长度后，再向
下平行移动2个单位长度得到
g (x)
的图象，求
g(x)
在
x?
?
?
?
?
?
6
,
?
?
3
?
?
上的值域.













22．已知函数
f(x)?
x
2
? ax?a
x
,且a?1

（1）
当x?[1,??)时,
判 断
f(x)
的单调性并证明；（2）设函数
g(x)?x?f(x)?|x
2
?1|?(k?a)x?a,k为常数.
.
若关于x的方程g(x)=0在（0，2） 上有两个解x
1
1
，x
2
,求k的取值范围, 并比较
x
?
1
与4的大小.
1
x
2

高中数学必修一必修四检测题（一）参考答案
CDBCA ADBBA 11．
?
2,5,6
?
12．
(?1,1?3)
13．17 14．
?
3,13
?
15．
m??
4
5

16．解：（1）
?
B??
x|3x?7?8?2x
?
?
?
x|x?3
?

?
A?B?
?
x|2?x?4
?
?
?
x|x?3
?
=
?
x|3?x?4
?

（2）
?
R
B?
?
x|x?3
?


?
A(?
R
B)
?
?
x|2?x ?4
?
?
?
x|x?3
?
=
?
x|x?4
?

（3）
?
集合
A??
x|2?x?4
?
,
C?
?
x|x?a
?< br>，且
A?C
?
a?4

17．解（1）∵|
a
－2
b
|=
(a?2b)
2
=
a
2?4b
2
?4a?b
=
3?4?4?3?
3
2
=1
（2）（法一）：由（1）可知
q?a?2b?1
；
p?(a?2b)
2
?13
；
p?q?a
2
?4b
2
=?1

∴
cos?p,q?
=
p?q
p?q
=
?
13
13
；从而在方向上的投影为
pcos?p,q?
=
?1

（法二）：∵由（1）可知
q?a?2b?1
；
pc os?p,q?
=
p?
p?q
p?q
=
p?q
=< br>?1

18．解：f(x)＝
?
?
cos x，－
1
2
?
?
·(3sin x，cos 2x)
＝3cos xsin x－
131
2
cos 2x＝
2
sin 2x－
2
cos 2x
＝cos
π
6
sin 2x－sin
π
6
cos 2x＝sin
?
?
2x－
π
6
?
?
.
（1）f(x)的最小正周期为T＝
2π2π
ω
＝
2
＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
（2）∵0≤x≤
π
2
，∴－
π
6
≤2x－
π
6
≤
5π
6
.
由正弦函数的性质，知当2x－
π
6
＝
π
2
，即x ＝
π
3
时，f(x)取得最大值1；
当2x－
ππ
16
＝－
6
，即x＝0时，f(0)＝－
2
，
当2x－
π
6
＝
5π
6
，即x＝
π
2
时， f
?
π
?
2
?
?
＝
1
2
，
∴ f(x)的最小值为－
1
2
.
因此，f(x)在
?
?
0，
π
2
?
?
上的最大值是1，最小值是－< br>1
2
.

19．解：（1）因为
a?b
，所以
a?b?0
，由题意得： f(a)?f(?b)
a?b
?0
，所以
f(a)?f(?b)?0，又
f(x)
是定义在R上的奇函数，
?f(?b)??f(b)

?f(a)?f(b)?0
，即
f(a)?f(b)

（2）由（1）知
f(x)
为R上的单调递增函数，
?
f(9
x
?2?3
x
)?f(2?9
x
?k)?0
对任意
x?[0,??)
恒成立，
?f(9
x
?2?3
x)??f(2?9
x
?k)
，即
f(9
x
?2?3x
)?f(k?2?9
x
)
，
?9
x
? 2?3
x
?k?2?9
x
，
?k?3?9
x
?2? 3
x
对任意
x?[0,??)
恒成立，
即k小于函数
u ?3?9
x
?2?3
x
,x?[0,??)
的最小值.
令
t?3
x
，则
t?[1,??)
?u?3?9
x
?2?3
x
?3t
2
?2t?3(t?
1
)
2
?
1
33
?1
，
?k?1
.

20．解：（1）由题意知
T
2
?12?T?24?T?
2
?
?
?24

解得：
?
?
?
12

即：
y?6sin(
?
12
t?
?
)?10,t?
?
0,24
?

又∵当< br>t?2
时，
sin(
?
6
?
?
)??1,< br>?
?
?

∴
?
??
2
?
3

∴
y?6sin(
?
2
?
12
t?
3)?10,t?
?
0,24
?



（2）问题等价于，
y?6sin(
?
2
?
12
t?
3
)?10?13

即
sin (
?
2
?
1
12
t?
3
)?
2< br>

∴
???
6
?
12
t?
2
3
?
5
?
6
?10?t?18

答：一天中10——18点，车站将进入紧急状态。

21．（1）由已知可得A?5,
T
4
?
?
3
?
?
12
?
?
4
?T?
??
?2

?y?5sin(2x?
?
)

由
5sin(2?
?
12
?
?
)?0
得
?
6
?
?< br>?0?
?
??
?
6

?y?5sin(2x?
?
6
)
……3分
（2）由2k
?
?
?
2
?2x?
?
6
?2k< br>?
?
?
2
得k
?
?
?
6
? x?k
?
?
?
3
(k?z)

?
增区间是
?
?
?
k
?
?
?
6
,k
?
?
?
?
3
?
?
(k?z)

（3）
g(x)?5sin
?
?
2(x?
??
?
?
6
)?
6
?
?2?5sin(2x?
?
?
6
)?2

?
????
6
?x?
3
??
?
6
?2x?
6
?
5
6

?
1
?
9
2
?sin(2x?
6
)?1?
2
?g(x)?3

?g(x)
的值域为
?
?
??
9
2
,3
?
?
?

22．解： （1）由题意得：
f(x)?x?
a
x
?a
，设
1?x1
?x
2
，
则
f(x
aa
1
)?f (x
2
)?(x
1
?
x
?a)?(x
2
? ?a)?x
aa
(xx?a)
1
?x
2
???(x
1
?x
2
)
12
1
x
2
x
1x
2
x
1
x
2
1?x
1
?x
2
，
?x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
?1
，又
a?1
，得
x
1
x
2
?a?0

?f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即< br>f(x
1
)?f(x
2
)
，∴
f(x)
在< br>[1,??)
上为增函数.
（2）
g(x)?xf(x)?|x
2< br>?1|?(k?a)x?a?x
2
?kx?|x
2
?1|
< br>g(x)?0
在
(0,2)
上有两个解
x
1
,x2
，不妨设
0?x
1
?x
2
?2

因为
g(x)?
?
?
2x
2
?kx?1, |x|?1
kx?1, |x|?1

?
所以
g(x)
在
(0,1]
是单调函数，故
g(x)?0
在
(0 ,1]
上至多一个解.
若
1?x
x
1
1
?x2
?2
，则
x
12
??
2
?0
，故不 符题意，因此
0?x
1
?1?x
2
?2

由
g(x
1
1
)?0
得
k??
x
，所以
k ??1
，
1
由
g(x
1
2
)?0
得k?
x
?2x
7
2
，所以
?
2
?k? ?1
；
2
故当
?
7
2
?k??1
时，方 程
g(x)?0
在
(0,2)
上有两个解.
方法一：因为
0?x
，所以
k??
1
2
1
?1?x
2
? 2
x
，
2x
2
?kx
1
?1?0

1
消去
k
得
2x
2
x
11
1
x
2
?x
1
?
2
?0
，即
x
??2 x
2

1
x
2
因为
x2
，所以
1 1
2
?
x
??4
.
1
x
2
方法 二：由
g(x
1
1
)?0
得
k??
x
< br>1
2
，得
x?
?k?k
2
由
2x?kx?1 ?0
?8?k?k
2
?8
4
，因为
x
2
? (1,2)
，所以
x
2
?
4
.
则
1x
?
1
??k?
?k?k
2
?8
?
1
(k
2
?8?k)
.
1
x
2
42
而
y?
1
2
(k
2
?8?k)
在
(?< br>7
2
,?1)
上是减函数
则
117
2
(k
2
?8?k)?
2
((?
2
)
2
?8?< br>7
2
)?4

因此
11
x
??4

1
x
2