高中数学培优竞赛讲座-高中数学必修五怎么学好
2015-1-23练习
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1、在梯形
ABCD
中,
ABCD
,
AB?2CD,M,N
分别是
CD,AB
的中点,设
AB?e
1
,AD?e
2<
br>,请将
MN
用
e
1
,e
2
表示.
2、已知
sin(
?
?
?
)?
335
??
,cos
?
??<
br>,且
0?
?
?,?
?
?
?
,求
si
n
?
的值.
651322
3、已知函数
f(x)?sin2x?cos2x
(
Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期;
(Ⅱ)求函数
f(x)
在[0,
?
]
上的单调递增区间;(Ⅲ)若
f(
?
)?<
br>
4、已知向量
a?b,|b|?1
. (Ⅰ)若
|a|?2,|a?b|?2
|a?b|
,求向量
a
与
b
的夹角;
(Ⅱ)对任意实数<
br>t
,恒有
|a?tb|?|a?b|
,求证:
(a?b)?b
.
3
,求
sin4
?
的值.
4
7
0.5
10
?
2
37
?20
5.计算
(2)?0
.1?(2)
3
?3
?
?
92748
π
cos?α+?
4
15
6.已知α为第二象限角,
且sinα=,求的值.
4
cos2α-sin2α+1
ax?b12
f()??
是定义在(-1,1)上的奇函数,且.
2
x?125
(1)求函数
f(x)
的解析式;(2)判断
f(x)
的单调性,并证明你的结论;
(3)解不等式
f(t?1)?f(t)
< 0.
7.已知函数
f(x)?
<
br>π
8.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为(,2)
,则此点到相邻
8
3π
ππ
最低点间的曲线与x轴交于点(,0),若φ∈(
-,).
822
(1)试求这条曲线的函数表达式;(2)求(1)中函数的单调递增区间;
(3)在如图2所示的坐标系中,用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.
1.【解:】由
MN?MD?DA?AN
(1)
又
MN?MC?CB?BN
(2)
M,N
分别是
CD,AB
的中点,
?MD?MC?0;AN?BN?0
所以由(1) (2)得
2MN?DA?CB?DA?CD?DA?AB
11
?2DA?BA?AB?2DA?AB
22
11
MN?DA?AB?e
1
?e
2
44
另解:取
AN
的中点
E
,
MNDE
且
MN?DE
易得
??
?
3
?
2.【解:】由
0
?
?
?,?
?
?
?
得
?
?
??
?
2222
335
,cos
?
??
又
sin(
?
?
?
)?
6513
5612
cos(
?
?
?
)??1?sin
2
(
?
?
?
)??,sin
?
?
6513
sin
?
?si
n[(
?
?
?
)?
?
]?sin(
?
?<
br>?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin<
br>?
?
3
5
2sin(2x?)
故该函数的最小正周期为
?
4
????
3
?
,k?Z
(Ⅱ)由
2k
?
??2x??2k
?
??k
?
??x?k
?
?<
br>24288
3
?
7
?
x?[0,
?
]
所以函数
f(x)
的单调递增区间为
[0,]
和
[,
?<
br>]
88
3397
?sin4
?
?
(Ⅲ)
因为
f(
?
)?
,所以
sin2
?
?cos2?
??1?sin4
?
?
441616
7
sin4?
的值为
16
3【解:】(Ⅰ)
f(x)?sin2x?cos2x?
?
3
4
(Ⅱ)两边平方,根据二次不等式恒成立,可得
(a?b?1)
2
?0?a?b?1<
br>即证
4【解:】(Ⅰ)两边平方,可得
cosa,b?
7
0.5
10
?
2
37
?20
5.(8分)计算
(2
)?0.1?(2)
3
?3
?
?
92748
答案: 100
π
cos?α+?
4<
br>15
6.(9分)已知α为第二象限角,且sinα=,求的值.
4
cos2
α-sin2α+1
π
22
cos?α+??cosα-sinα??cosα-si
nα?
422
解:==.
cos2α-sin2α+12cos
2
α-2sinαcosα
2cosα?cosα-sinα?
由sinα=15
4
及α为第二象限角,得cosα-sinα≠0.
又cosα=-1-s
in
2
α=-
1
cos?α+
π
4
?
2<
br>4
,∴
cos2α-sin2α+1
=
4cosα
=-2.
7.解:(1)∵f(x)是(-1,1)上的奇函数.
∴f(-x)=-f(x),即a?-x?+bax+b
?-x?
2
+1
=-
x
2+1
.
∴
-ax+b-?ax+b?
x
2
+1
=
x
2
+1
.
∵x
2
+1≠0,∴-ax+b=-ax-b,∴b=-b.
∴b=0,∴f(x)=
ax
x
2
+1
,
1又f(
1
2
)=-
2
2
a
2
5
,∴
?
1
=-,
2
?
2
+1
5
解得a=-1,∴f(x)=-
x
2
x
+1
.
(2)f(x)是单调减函数.证明:
设x
1
∈(-1,1),x
2
∈(-1,1)且x
1
,
∴x
1
x
2
<1,
则f(x-f(x
x
?x
2
-x
1
??x
1
x
2
2
-
1?
2
)
1
)=-
x
2
2
+
2<
br>+1x
2
x
1
=
1
+1?x
2
1<
br>+1??x
2
+1?
.
∵x
2
-x
1>0,x
1
x
2
-1<0,x
2
1
+1>0,
x
2
2
+1>0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)<0,
∴函数f(x)是单调减函数.
(3)∵f(t-1)+f(t)<0,∴f(t-1)<-f(t).
∵f(x)是奇函数,∴f(-t)=-f(t),∴f(t-1)
?
t-1>-t
∴
?
?
-1
?
-1<-t<1
解得
1
2
π
8
-
8
)=π,
∵T=
2π
|ω|
=π,ω>0,∴ω=2,∴y=2sin(2x+φ).
又曲线上的最高点为(
ππ
8
,2),∴sin(2·
8
+
φ)=1.
∵-
π
2
<φ<
π
2
,∴φ=
π
4
.∴y=2sin(2x+
π
4
).
(2)列出x、y的对应值表如下:
x
-
π
π
3π5π7π
8
8
8
8
8
2x+
π
π
4
0
2
π
3π
2
2π
作图3如下:
y
0
2
0
-2
0
图3