2018年人教A版高中数学必修4全册教案优化设计精美整理版

新课标高中数学必修4教案
目 录
第一章 三角函数 ............................................. .................................................. .................................................. ........... 1

4-1.1.1任意角（1） .............. .................................................. .................................................. .................................... 1

4-1.1.1任意角（2） ................................ .................................................. .................................................. .................. 5

4-1.1.2弧度制（1） ....... .................................................. .................................................. ........................................... 9

4-1.1.2弧度制（2） ................................ .................................................. .................................................. ................ 11

4-1.2.1任意角的三角函数（1） ... .................................................. .................................................. ......................... 13

4-1.2.1任意角的三角函数（2） ........................... .................................................. .................................................. . 17

4-1.2.1任意角的三角函数（3） .................. .................................................. .................................................. .......... 21

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1） ...... .................................................. .................................................. .......... 23

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2） ...... .................................................. .................................................. .......... 27

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3） ...... .................................................. .................................................. .......... 31

4-1.3三角函数的诱导公式 ............. .................................................. .................................................. ........................ 35

4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1） ......................... .................................................. ............................................. 41

4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2） .................. .................................................. .................................................. .. 45

4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) ............... .................................................. .................................................. ........ 49

4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) ...... .................................................. .................................................. .............. 53

4-1.4.3正切函数的性质与图象（1） ... .................................................. .................................................. ................. 57

4-1.4.3正切函数的性质与图象（2） .................................................. .................................................. .................... 61

4-1.5函数
Y
=A
SIN
(
WX
+?)(A>0，
W
>0的图象 ..... .................................................. .................................................. . 63

4-1.6三角函数模型的简单应用 .................... .................................................. .................................................. ......... 67

三角函数小结和复习 ................... .................................................. .................................................. ........................... 69

第二章 平面向量 .. .................................................. .................................................. .................................................. .... 73

§2.1

平面向量的实际背景及基本概念 ..... .................................................. .................................................. ........... 73

§2.2.1

向量的加法运算及其几何意义 ................................ .................................................. ................................... 76

§2.2.2

向量的减法运算及其几何意义 ................ .................................................. .................................................. . 79

2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ................... .................................................. .................................................. . 83

§2.3.1

平面向量基本定理 ............. .................................................. .................................................. .......................... 83

§2.3.2—§2.3.3

平面向量的正交分解和坐标表示及运算 ...... .................................................. ................................. 85

§2.3.4

平面向量共线的坐标表示 ................... .................................................. .................................................. ........ 87

§2.4平面向量的数量积 ................. .................................................. .................................................. ......................... 89

§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 ...................... .................................................. ............................... 89

§2.4.2平面向量数量积的运算律 ............................ .................................................. ................................................. 93

第三章 三角恒等变换 .......................... .................................................. .................................................. ................ 103

§3.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ............................. .................................................. ........................... 105

3.1.1

两角差的余弦公式 ..................................... .................................................. .................................................. .. 105

§3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ... .................................................. .................................................. .. 106

§3.1.3

二倍角的正弦、余弦和正切公式 ... .................................................. .................................................. ....... 109

3.2

简单的三角恒等变换（3个课时） .. .................................................. .................................................. ............. 111

《三角恒等变换》复习课（2个课时） ...... .................................................. .................................................. ....... 113

第一章 三角函数
4-1.1.1任意角（1）
教学目标：要求学生掌握用“旋 转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系
来讨论角；并进而理解“正角” “负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角 函数值、研究一些三角
形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中 大家会发现三角学有着
极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的 应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射 线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端
在于“狭隘”
○○
师：初中时，我们已学习了0～360角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图 1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转 开始时的射线OA叫做角的始边，OB
B
叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

o
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体2周），
α
o
O A
需将分针“转体1080”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，
图1
怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
00
生：逆时针旋转30；顺时针旋转30.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水 运动员身体旋转．说明旋转第二周、第
三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有 的认识范围。本节课将在已掌握

～

角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成 了角
α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
00
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成 的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于30与750；
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， 那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
00
师：如图3，以OA为始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作 任何旋转时，我们也认为
这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这 样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单
起见，在不引起混淆的前 提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角 坐标系内讨论角，为此我们必
须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答
什 么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那
么，角的终 边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几
象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回 答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上
象限角的定义划好，同时思考这 么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就 认为这个角不属于任
一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理 、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，
这样的预习才是有效果的。
00000
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60 角，都是第四
0
象限角；585角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明 ，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什
么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
0
师：（2）锐角就是小于90的角吗？
0
生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
00
师：（3）锐角就是0～90的角吗？
000000
生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.
学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并< br>指出它们是哪个象限的角？
0000
（1）420； （2）-75； （3）855； （4）-510.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现? 390? ?330? 30? 1470? ?1770?
生:终边重合.
0
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？

生：图中 发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30； 与30角同
00
终边的角还有750，-690等。
0000
师：好！这位 同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例如：750=2×360+30；< br>0000
-690=-2×360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角还有：
0000
3×360+30 -3×360+30
0000
4×360+30 -4×360+30
……， ……，
000
由此，我们可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}来表示所有与3 0角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ < br>0
生：S={β|β=α+k×360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和。
6.例题讲评
{第一象限的角｝
，例1 设
E?{小于90的角｝　F?{锐角｝，G＝

，那么有（ D
o
）．
A． B． C．（

） D．

例2用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在

轴右侧的角的集合．
ooo
解：(1) 第一象限角：｛α|k360
π＜α＜k360
+90,k∈Z｝
oooo
第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝
oooo
第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝
ooo
第四象限角：{α|k360+270
o
＜α＜k360+360 ,k∈Z｝
（2）在

得

～

中，

轴右侧的角可记为

，

，故

．
说明：一个角按顺、逆时针旋转

（

，同样把该范围“旋转”
轴右侧角的集合为

后，
）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按
2

顺逆时针旋转

o
（

）角后，所得“区间”仍与原
位置时的角的集合是__{α|α
区间重叠．
＝
内的角的集合
例3 （1）如图，终边落在

k360+120
o
,k∈Z }；终边落在

位置，且在

oo
是_{－45,225}_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
ooo
是_{α|k360－45
o
＜α＜k360+120 ,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
①

角．
～

间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于

解答（1）①

； ②

；
③

； ④


（2）分别写出：
①终边落在

轴负半轴上的角的集合； ②终边落在

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
轴上的角的集合；
解答（2）①

； ②

；
③

说明：第一象限角未必是锐角，小于

括

，但不包含

～
；（2）
．
例4在
（1）
解：（1）∵

∴与

（2）∵

∴与

（3）

所以与

角终边相同的角是

； ④

的角不一定是锐角，

～

．
间的角，根据课本约定它包
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
；（3）

角终边相同的角是


终边相同的角是

，它是第四象限的角；

，它是第二象限角．
角，它是第三象限的角；
．
3

，商是负数， 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以

，按通常除去进行；负的角度除以

它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o
_．
（2）集合M＝{α=k
?90
，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）
A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，
C． 轴或 轴上， D． 轴正半轴或 轴正半轴上
（3）设

oo
，





C＝{α|α= k180+45
,
k∈Z}

，




则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本节课我们学习了正角、 负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这
个角不属于任何象限，本 节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角

象限，

同；若角

是第几象限角，只要把

改写成

适合关系：

，

，则

、

，

，

，那么

，则

、

在第几
终边相就是第几象限角，若角

与

适合关系：

与角

终边互为反向延长线．判断一
，

这种模式个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：

（

），然后只要考查

课内容的重要思想方法．
四.作业:
的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本
4

4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角 的概念，学会在平面内建立适当的坐标系
来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同 的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还 学习了象限角的概念，
下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
0
S={β|β=α+k×360，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
00
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360≤β<720的元素β 写出来：
000，
（1）60； （2）-21； （3）36314
0000
解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适合-360≤β<720的元 素是
000 000 000
60+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.
0000
（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是
000 000 000
-21+0×360=-21 -21+1×360=339-21+2×360=699
0 000
说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。
0，000
（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是
0，00， 0，00， 0，00，
3 6314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360= 36314
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析 ：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后
0< br>在后面加上k×360即可。
○○0
解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴 上的角为180，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的
00
集合是{β|β=180+k×3 60，k∈Z }
○○000
（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和 270，∴与90角终边相同的角构成的集
00
合是S
1
={β|β=90+ k×360，k∈Z }
000
同理，与270角终边相同的角构成的集合是S
2< br>={β|β=270+k×360，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
0000
S
1
={β|β=90+k×360，k∈Z }={β|β=90+2k×180，k∈Z }………………（1）
00000
S
2
={β|β=270+k×360，k∈Z }={β|β=90+180+2k×180，k∈Z }
00
={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z } …………………（2） 00
师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是 180的所有奇数
000
（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1） 式和（2）式可统一写成90+n×180（n∈Z），
故终边在y轴上的角的集合为
0000
S= S
1
∪S
2
={β|β=90+2k×180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z }
00
={β|β=90+n×180，n∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
00
（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z },{β|β=k×90，k∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
00
答：{β|β=45+n×180，n∈Z }
0
推广：{β|β=α+k×180，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1 若
?
是第二象限角，则
2
?
，
师：
?
是第二象限角，如何表示？
0000
解：（ 1）∵
?
是第二象限角，∴90+k×360<
?
<180+k×360（k ∈Z）
0000
∴ 180+k×720<2
?
<360+k×720
∴2
?
是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
．．．． ．．．．
（2）∵
k?180?45?
??
??
，分别是第几象限的 角？
23
?
2
?k?180
?
?90(k?Z)
，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
?
是第一象限的角；
2
2
?
?
????
当
k?2n?1(n?Z)
时，
n?360?225??n?360?270(k?Z )
，是第三象限的角。
2
2
?
∴是第一或第三象限的角。
2
当
k?2n(n?Z)
时，
n?360?45?
??
?
?n?360
?
?90
?
(k?Z)
，
说明：配以 图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（
进一步求
?
?
是第几象限的角（
?
?
是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结
1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
0
θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习

练习2 若
?
的终边在第一、三象限的角平分线上，则
2
?
的终边在y轴的非负半轴上.
练习3 若
?
的终边与60角的终边相同，试写出在（ 0，360）内，与
000
?
是第一或第二或第四象限的角）
3
?
0
角的终边相同的角。 （20，
3
120
0
y

O
x
250
0
140，260）

（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
0，
的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。
0000
（{α| 120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）


探究活动
经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
00
1．与

终边相同的角的集合是_________ __，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是
___________，最大 负角是___________．
2．在0
o
~360
o
范围内 ，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265 （2）－1000
o
（3）－843
o
10’ （4）3900
o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
6
?

4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 －360
o
≤β＜360
o
的元素写出来：
(1)60
o
(2)－75
o
(3) －824
o
30’ (4) 475
o
(5) 90
o
(6) 270
o
(7) 180
o
(8) 0
o

C组：若

是第二象限角时，则

，

，

分别是第几象限的角？
7

4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：要求学生 掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集
R
一一
对 应关系的概念。
教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半
l=2
B C
径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
r
r

1rad

2rad

r
如图：?AOB=1rad
A A

o

o

?AOC=2rad
周
角=2?rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角?的弧度数的绝对值
?
?
l
（
l
为弧长，
r
为半径）
r
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360?=2?rad ∴180?=? rad
∴ 1?=
?
180
rad?0.01745rad

?
?
180
?
??

1rad?
??
?57.30?5718'

?
?
?
例一 把
6730'
化成弧度
?
?
13
?
1
?
?
rad?67?
?rad
解：
67
?
30'?
?
67
?
∴
6730'?
18028
?
2
?
3
?
rad
化成度
5
33
??
解：
?
rad??180?108

55
例二 把
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin?
表示?rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4 ．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与
实数的集合之间建 立一种一一对应的关系。





?
正角
零角
负角
正实数
零
负实数

任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1?终边在
x
轴上的角的集合 2?终边在
y
轴上的角的集合 3?终边在
坐标轴上的角的集合
解：1?终边在
x
轴上的角的集合
S
1
?
?
?< br>|
?
?k
?
,k?Z
?

2?终边在
y
轴上的角的集合
S
2
?
?
?
|
?
?k
?
?
3?终边在坐标轴上的角的集合
S
3
?
?
?
|
?
?
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业：

?
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
k
?
?
,k?Z
?

2
?
10

4-1.1.2弧度制（2）
教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
教学过程：
一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：
?
?
ln
?
r
?

l?r?
?
比相应的公式
l?
简单
r180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
1
lR
其中
l
是扇形弧长，
R
是圆的半径。
2
1
?
R
2
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
2
?
R
l
rad
弧长为的扇形圆心角为
l
o
S
R
l
l11
?
?
R
2
?lR
∴
S??
R2
?
2
例一 利用弧度制证明扇形面积公式
S?
比较这与扇形面积公式
S
扇
n
?
R
2
?
要简单
360
例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
解：
r?10cm
⑴：
l?
?
?r?
4
?
?
⑵
165

3
4
?
40
?
?10?(cm)

33
?
⑵：
165?
?
180
?165(
rad
)?
11
?
11
?
55
?
rad
∴
l??10?(cm)

12126
A
o
B
例三 如图，已知扇形
AOB
的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为
l
，则有
r?l?6
?
r ?2
?
1
?
2
2
?
?

?
l
∴ 扇形的面积
S?rl?2(cm)

?1
2
?
l?2
?
?
r
?
例四 计算
sin

tan1.5

4
解：∵
?
4
?45
?
∴
sin
?
4
?sin45
?
?
2

2
1.5rad?57.30
?
?1.5?85.95
?
?85< br>?
57'

∴
tan1.5?tan8557'?14.12

例五 将下列各角化成0到2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
⑴
?
19
?
⑵
?315
?

3

解：
19
?
?
??6
?

33
?315< br>?
?45
?
?360
?
?
?
4
?2
?

60
R=45
例六 求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
60?
∴
l?
三、练习：
四、作业：
?
?
3

?
?R?
?
3
?45?3.14?15?47(m)

12

4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解
决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数 就是角度（自变量）与比值（函数值）
的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦 、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），
以及这三种函数的第一 组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式
表示出来.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边 为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为
aba
sinA?,cos A?,tanA?
．
ccb
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α 终边上任意一点
P
（除了原点）的坐标为
(x,y)
，它与原点的
距 离为
r(r?|x|?|y|?
（1）比值
22
x
2
?y< br>2
?0)
，那么
y
y
叫做α的正弦，记作
sin< br>?
，即
sin
?
?
；
r
r
xx< br>（2）比值叫做α的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
?
；
rr
y
y
（3）比值叫做α的正切，记作
tan< br>?
，即
tan
?
?
；
x
x
xx< br>（4）比值叫做α的余切，记作
cot
?
，即
cot
?
?
；
yy
rr
（5）比值叫做α的正割，记作
sec
?
，即
sec
?
?
；
xx
rr
（6）比值 叫做α的余割，记作
csc
?
，即
csc
?
?
．
yy
说明：①α的始边与
x
轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正 角或负角，以及α的大小，只表
明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知 识，对于确定的角α，六个比值不以点
P(x,y)
在α的终边上的位置的改变
而改变 大小；
③当
?
?


?
2
?k
?
(k?Z)
时，α的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐标
x< br>都等于
0
，所以

tan
?
?
xr
yr
与
sec
?
?
无意义；同理，当
??k
?
(k?Z)
时，
coy
?
?
与
csc
?
?
无意义；
yy
xx
x
r
r< br>y
x
y
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、、、分别是一个确定 的实数，
y
x
y
r
rx
所以正弦、余弦、正切、余切、正割 、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统
称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域

函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?

y?cos
?

R

R

{
?
|
?
?
[?1,1]

[?1,1]

y?tan
?

?
2
?k
?
,k?Z}

R

注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与
x
轴的非负半轴重合.
(2) α是任意角，射线
OP
是角α的终边，α 的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按
什么方向旋转到OP的位置无关.
(3 )sin
?
是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角 三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”
同为正值. 所不同的是 ，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与
坐标、距离与坐标的比 来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角
的三角函数的定义是 由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将 直角三角形置于平面直角坐标系的
第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与
x
轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类
比记忆.
3．例题分析
例1．已知角α的终边经过点
P(2,?3)
，求α的六个函数制值。
解： 因为
x?2,y??3
，所以
r?2
2
?(?3)
2
?13
，于是
sin
?
?
y?3313x2213
；< br>cos
?
??
；
????
r13r13
1313< br>x2
y3
tan
?
???
；
cot
?
???
；
y3
x2
r13
r13
?
；
csc
?
???
．
x2
y3
sec
?
?

例2．求下列各角的六个三角函数值：
（1）
0
； （2）
?
； （3）
3
?
．
2
解：（1）因为当
?
?0
时，
x?r
，
y?0，所以
sin0?0
，
cos0?1
，
tan0?0
，
cot0
不存在，
sec0?1
，
csc0
不存在。
（2）因为当?
?
?
时，
x??r
，
y?0
，所以
sin
?
?0
，
cos
?
??1
，
tan
?
?0
，
cot
?
不存在，
sec
?
??1
，
csc
?
不存在。
14

（3）因为当
?
?
sin
3
?
2
3
?
tan
2
3
?
sec
2
3
?
时，
x?0
，
y??r
，所以
2
3
?
??1
，
cos?0
，
2
3
?
?0
， 不存在，
cot
2
3
?
??1
． 不存在，
csc
2

例3．已知角α的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求α的六个三角函数值。 解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?
当
a?0时， sin
?
?

cos
?
?
5|a|
，
x?a,y?2a

y2a2a25
；
???
r5
5|a|5a
15
xa5a
；
tan
?
?2;cot
?
?;sec
?
?5;csc
?
?
；
??
22
r5
5a
y2a2a25
当
a?0时，
；
sin
?
??? ??
r5
5|a|?5a
15
xa5a
；
tan
?
?2;cot
?
?;sec
?
??5;csc
?
? ?
．
???
22
r
?5a
5

cos
?
?
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
y
对于第一、二 象限为正（
y?0,r?0
），对于第三、四象限为负（
y?0,r?0
）；
r
x
②余弦值对于第一、四象限为正（
x?0,r?0
），对于第二 、三象限为负（
x?0,r?0
）；
r
y
③正切值对于第一、三象 限为正（
x,y
同号），对于第二、四象限为负（
x,y
异号）．
x
①正弦值
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。


sin
?
csc
?
tan
?
为正 全正
正弦、余割
余弦、正割
正切、余切
y
y
y
c ot
?
为正
cos
?
sec
?
为正

5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边
相同的角三角函数值相同。
即有：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
+
o
-
+
-
x
-
-
o
+
+
x
-
+
o
x
+
-
cos(
??2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z
．
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、巩固与练习
1 确定下列三角函数值的符号：
（1）
cos250
； （2）
sin(?
?
4
)
； （3）
tan(?672)
； （4）
tan
15
11
?
．
3

2 求函数
y?
cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0
|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
?0,y?0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
五、课后作业：
补充：1已知点P
(3r,-4r)(r?0)
，在角
?
的终边上，求
sin< br>?
、
cos
?
、
tan
?
的值。
2已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值
解：由定义 ：
r?5
sin?=?
六、板书设计：
342
cos?= ∴2sin?+cos?=?
555

16

4-1.2.1任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的 线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的
理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
，且
sin
?< br>?
2m
，求
cos
?
,sin
?
的值。 < br>4
2222
解：由题设知
x??3
，
y?m
，所以< br>r?|OP|?(?3)?m
，得
r?3?m
2
，
从而sin
?
?
2m
mm
2
??
，解得
m ?0
或
16?6?2m?m??5
．
4
r
3?m
2
当
m?0
时，
r?3,x??3
，
xy
cos
?
???1,tan
?
??0
；
rx
当
m?5
时，
r?22,x??3
，
cos
?
?
x6y15
??,tan
?
???
；
r4x3
当
m??5
时，
r?22,x??3
，
x6y15
??,tan
?
??
．
r4x3
cos
?
?
2．三角函数的符号：
练习2：已知
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，
（1）求角
?
的集合；（2）求角
???
?
终边所在的象限；（3 ）试判断
tan,sincos
的符号。
222
2
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）
cos
9
?
11< br>?
9
?
)
， （3）
sin
， （2）
tan(?
．
462
22
二、讲解新课：
当角的终边上一点
P(x,y)
的坐标满足
x?y?1
时，有三角函数正弦 、余弦、正切值的几何表示
——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点
O
，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：

设任意角
?
的顶点在原点
O
，始边与
x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P
(x,y)< br>，
过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点< br>A(1,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向延
长线交与点
T
.

yy


T

P

P



M
o
A

x
A



o
M

x



（Ⅱ）
（Ⅰ）

T

y

T
y






M


o
A

x

o
M
A



P


x



（Ⅲ）
（Ⅳ）
P


T
由四个图看出：

当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
sin
?
?
y
r
?
y
1
?y?MP
，
cos
?
?
x
r
?
x
1
?x?OM
，
tan
?
?
yMP
x
?
OM
?
AT
OA
?AT
．
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴的垂直线段；余弦
线在
x
轴上；正切线在过单位圆与
x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位
圆内，一条在单位圆外。
②三条 有向线段的方向：正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与
?
的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有 向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正值，与
x
轴或
y
轴反向的
为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）
?
5
?
2
?
13
3
； （2）
6
； （3）
?
3
； （4）
?
?
6
．
解：图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1?
sin
2
?
3
与
sin
4
?
5
2? t an
2
?
4
?
2
?
4
?
3
与tan
5
3? cot
3
与cot
5

解： 如图可知：

S
2
S
1
B
P
2
P
1
sin
2
?
3
?
sin
4
?
5


o

A

M M S
T
2
tan
tan
4
?
T
1
5

18
2
?
3
?

cot
2
?
4
?

?
cot
35
1? sin?≥
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
1
3
2? tan?
?

3
2
解： 1? 2?
y
y


30?

T

P
2
P
1

o x
o x

A

30?≤?≤150? 30?
?
?
?
90?或
?
210
210
?
?
?
?
270?

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角
x
的范围。
11
； （2）
cosx?
；
22
1
1
（3）
0?x?
?
,sinx?
且
cosx?
；
2
2
11
（4）
|cosx|?
； （5）
sinx?
且
tanx??1
．
22
??
7
?
11
?
?2k
?
?x??2k
?
,k ?Z
；答案：（1）（2）
??2k
?
?x??2k
?
,k ?Z
；
66
66
?
5
?
????
,k? Z
；（3）
?x?
（4）
???k
?
?x???k
?
,k?Z
；
366262
?
3
?
?2k
?
,k?Z
． （5）
?2k
?
?x?
24
（1）
sinx??

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较
cos64,cos285
的大小；
2．若
?
4
?
?
?
?
2
，则比较
sin
?
、
cos
?
、
tan
?
的大小；
3．分别根据下列条件，写出角
?
的取值范围：
（1）
cos
?
?
六、板书设计：
33
； （2）
tan
?
??1
； （3）
sin
?
??
．
22
19

4-1.2.1任意角的三角函数（3）
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复习课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
3. .
x
取什么值时,
4．若三角形的两内角 ?，?满足sin?cos?
?
0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin?+cos?
?
0 B：tan??sin?
?
0
C：cos??cot?
?
0 D：cot?csc?
?
0
6．已知?是第三象限角且
cos
二、讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1）
y?
sinx?cosx
有意义?
tanx
?
2
?0
，问
?
是第几象限角？
2
2cosx?1
； （2）
y?lg(3?4sin
2
x)

?
1
?< br>2、已知
??
?
2
?
sin2
?
?1
，则?为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号；
（2）若tan(cosθ )cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出
?
的取值范围. 2
?
sin
?
?0
4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
?

tan
?
?0
?
证明：必要性：∵θ是第三象限角，
∴
?
?
sin
?
?0

?
tan
?
?0
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在
ｙ
轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.
∴θ为第三象限角.
5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．
三、巩固与练习
1 求函数
y?


cosx
tanx|cotx|sinx
的值域
???
|sinx|cosxtanxcotx

2 设?是 第二象限的角，且
|cos
?
2
|??cos
?
2
,求
?
2
的范围.
四、小 结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα2、
若0?x?
?
2
,求证：sinx?x?tanx.

3、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称
(ab?0)
，角β的终边上的 点Q与A关于直线y=x对称.
求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.
六、板书设计：
22

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）
教学目的：
知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： （1）牢固掌 握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决
三角的思维能力；
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角
?
是一个任意角，
?
终 边上任意一点
P(x,y)
，
它与原点的距离为
r(r?|x|?|y|? x
2
?y
2
?0)
，那么：
xr
yxyr
sin
?
?
，
cos
?
?
，
tan?
?
，
cot
?
?
，
sec
?
?
，
csc
?
?
．
yy
rrxx
3
，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值； 5
22
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα、ctgα的符号分 别是怎样的？
3．背景：如果
sinA?
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
?
sin
?
? csc
?
?1
?
（1）倒数关系：
?
cos
??sec
?
?1

?
tan
?
?cot
?
?1
?
sin
?
?
tan
?
?
?
cos
?
（2）商数关系：
?
cos
?
?< br>cot
?
?
sin
?
?
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
22
（3）平方关 系：
?
1?tan
?
?sec
?

?
1? cot
2
?
?csc
2
?
?
2. 给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？
（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒
sinA
数关系。
（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数
值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方 。有平
tgA1
方关系。
（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的< br>两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。
secA


cosA
ctgA
cscA

说明：
①注 意“同角”，至于角的形式无关重要，如
sin4
?
?cos4
?
? 1
等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
tan
?< br>?cot
?
?1(
?
?
22
k
?
, k?Z)
；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
2
?
?1?cos
2
?
，
cos
?
?
3．例题分析：
例1．（1）已知
sin?
?
（2）已知
cos
?
??
sin
?
等。
tan
?
12
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
,cot
?
．
13
4
，求
sin
?
,tan
?
． 5
22
解：（1）∵
sin
?
?cos
?
?1
，
12
2
5
222
∴
cos
?
?1?sin
?
?1?()?()
，
1313
又∵
?
是第二象限角，
5
∴
cos?
?0
，即有
cos
?
??
，从而
13
sin
?
1215
tan
?
???
，
cot
?
???
．
cos
?
5tan
?
12

（2）∵
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
sin
又∵
cos
?
??
22
2
?
?1 ?cos
2
?
?1?(?)
2
?()
2
，
4
5
3
5
4
?0
， ∴
?
在第二或三象限角。
5
3sin
?
3
当?
在第二象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin?
?
，
tan
?
???
；
5cos
?
4
3sin
?
3
?
． 当?
在第四象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin?
??
，
tan
?
?
5cos
?
4< br>总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求 值中，确定角的
终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时 ，
漏掉了负的平方根。
例2．已知
tan
?
为非零实数，用
tan
?
表示
sin
?
,cos
?
．
解：∵
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
?
222
22
sin
?
，
cos
?< br>2
∴
(cos
?
?tan
?
)?cos
?< br>?cos
?
(1?tan
?
)?1
，即有
cos又∵
tan
?
为非零实数，∴
?
为象限角。
2
?
?
1
，
1?tan
2
?
1 1?tan
2
?
当
?
在第一、四象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
?
，
?
22< br>1?tan
?
1?tan
?
tan
?
1?tan2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
?
； < br>1?tan
2
?
11?tan
2
?
当
?在第二、三象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
??
，
??
1?tan
2
?
1?tan
2
?
24

tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
??
．
2
1?tan
?
例3．已知
cot
?
?m
（
m?0
），求
cos
?

cos
?
cos
?
解： ∵
cot
?
?
， 即
sin
?
?
， sin
?
cot
?
22
又∵
sin
?
?cos
?
?1
，
cos
2
?
1m
2< br>1
222
2
?cos
?
?cos
?
(1?) ?1
，即
cos
?
(1?
2
)?1
，
co s
?
?
∴，
cot
2
?
cot
2
?
1?m
2
m
又∵
m?0
，∴
?
为象限 角。
m
2
当
?
在第一、四象限时，即有
cos
?
?0
，
cos
?
?
；
2
m?1
m
2
当
?
在第二、三象限时，即有
cos
?
?0< br>，
cos
?
??
．
m
2
?1
4．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
三、巩固与练习
第27页 练习1，2，3，4
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终 边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，
再用其它关系求值；若已知正切或余 切，则可构造方程组来求值。
五、课后作业：六、板书设计：
25

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：
sin
?
?c sc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1< br>，
tan
?
?cot
?
?1
．
sin?
cos
?
?tan
?
，
cot
?
?
．
cos
?
sin
?
222222
（3）平方关 系：
sin
?
?cos
?
?1
，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?csc
?
．
4
（练习）已知
tan
?
?
，求
cos?

3
（2）商数关系：
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例1．化简
1?sin440
．
解：原式
?1?sin(360?80)?1?sin80
?cos
2
80?cos8 0
．

例2．化简
1?2sin40cos40
．
解： 原式
?sin
2
40?cos
2
40?2sin40cos40

?(sin40?cos40)?|cos40?sin40|?cos40?sin40
．
例3、已知
sin??2cos?
，求
2
22
2
s in??4cos?
及sin
2
??2sin?cos?的值。

5sin??2cos?
解：
?sin??2cos??tan??2

sin??4cos?tan??4?21
?????

5sin??2co s?5tan??2126
sin
2
??2sin?cos?tan
2
??2tan?4?26
2
sin??2sin?cos?????

4? 15
sin
2
??cos
2
?tan
2
??1 强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2?“化1法”

例4、已知
sin??cos??
3
，求tan??cot?及sin??cos?的值。

3
1
3
解：将
sin??cos??
两边平方，得：
sin?cos???

3
3
1
?tan??cot????3

sin?cos?

(sin??cos?)< br>2
?1?2sin?cos??1?
2
3
?
5
3
?sin??cos???
15
3

例5、已知
tan??cot??
25
12
,

求 tan??cot?,tan
2
??cot
2
?,tan
3
??cot
3
?,sin??cos?

解：由题设：
tan2
??cot
2
??
625
144
?2,

∴
tan??cot???
625
144
?4??
712

tan
2
??cot
2
??(tan??cot ?)(tan??cot?)?
257175
12
?(?
12
)??
144

tan
3
??cot
3
??(tan?? cot?)(tan
2
??cot
2
??tan?cot?)

?
25337251934825

12
?(
144
?1)?
12
?
144
?
1728
sin??cos?? ?1?2sin?cos???1?2?
127
25
??
5

(
?tan??cot??
1
sin?cos?
?
25
1 2
?sin?cos??
12
25
)
例6、已知
sin? ?cos??
1
5
(0????)
，求
tan?及sin
3
??cos
3
?的值。

解：1? 由
sin?cos? ??
12
25
,0????,得：cos??0???(
?
2
,?)

由
(sin??cos?)
2
?
497
25
,得：sin??cos??
5

?
?
1
?
4
?
s??ic?n?os
?
5
?
?
s??i
5
n
?t??a
4

?
?
?s??ic?n?o
7
?
3
?
3
n
5
s
?
?
c??o?
5
s
2?
sin< br>3
??cos
3
??(
4
5
)
3
? (?
3
3
91
5
)?
125

例7、已知
sin??
4?2m
m?5
,cos??
m?3
m?5,?是第四象限角，
求
tan?的值。
解：∵sin
2
? + cos
2
? = 1 ∴
(
4?2m
m?5
)< br>2
?(
m?3
m?5
)
2
?1

化 简，整理得：
m(m?8)?0?m
1
?0,m
2
?8

当
m
= 0时，
sin??
43
5
,cos?? ?
5
，(与?是第四象限角不合）

当
m
= 8时，sin???
12
13
,cos??
5
13
，?tan ???
12
5

三、巩固与练习
1：已知12 sin
?
+5 cos
?
=0，求sin
?
、cos
?
的值.
解：∵12 sin
?
+5 cos
?
=0 ∴sin
?
=
?
5
2
12
cos
?，又
sin
?
?cos
2
?
?1

28
联立

：

则（
?
5
12
cos
?
）+
cos2
2
?
=1，即
cos
?
=
2
144
169

5
?
5
?
sin
?
?? sin
?
?
?
12
??
13
?
13
∴cos
?
=± ∴
?

或
?
13
?
cos
?
?
12
?
cos
?
??
12
??
??
1313

4sin
?
?2cos
?
5
2.已知
tan
?
?3
，求（1）
5 cos
?
?3sin
?
；原式=
7

9
2 2
（2）
2sin
?
?sin
?
cos
?
?3cos
?
；原式=
5

说明：（1）为了直接利用
ta n
?
?3
，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以
cos
?
,
将分子、分母转化为
tan
?
的代数式； 22
（2）可利用平方关系
sin
?
?cos
?
?1< br>，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为
tan
?
的分式求值 ；
3
1
(1)tg
2
A?sin
2
A?tg< br>2
A?sin
2
A(2)设sinx?cosx?,求sin
3
x?cos
2
x
5

14cosx?5sinx
(3)c tgx?,求(1);(2)8sin
2
x?9cos
2
x.
46c osx?7sinx
(4)化简(1)sec
2
30??1(2)cos
2< br>x?6cosx?9
(3)sin
2
10??2sin10?cos10??c os
2
10?
1?sin
4
x?cos
4
xctg A?tgAsecA
(4)(5)?
1?sin
6
x?cos
6xsin
2
A?cos
2
A
sinA
4.已知secα —tgα=5，求sinα。
解1：∵secα—tgα=5=5×1=5（sec2α—tg2α） =5（secα+tgα）（secα—tgα），故 secα+tgα=15，
则secα=1 35，tgα=—125；sinα=tgα·cosα=
?
解2：由已知：

12

13
1?sin
?
?5,
?
sin
?
?1,?cos
?
?0

cos
?
12
2
则
1?sin
?
?51?sin
?
?sin?
?1,orsin
?
??

13
226
5. 已知
sin
?
?sin
?
?1
，求
cos
?
?cos
?
值；
解：可求
sin
?
?
5?1
2
cos
2
?
?cos
6
?
?si n
?
?sin
3
?
?sin
?
?(1?cos2
?
)sin
?
?2sin
?
?sin
2?
?3sin
?
?1
分析：本题关
5?135?5
?3 ??1?
22
2
键时灵活地多次运用条件
sin
?
?sin
?
?1
从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；
小结：化简三角 函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量
使分母不含 三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注
意在三 角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：
29

1=
sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan?
?csc
?
?cot
?

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：习题
4.4
第5，7，8题

思考:已知si n
?
=2sinβ，tan
?
=3tanβ，求
cos
2< br>?
的值.
解：sinβ=
sin
?
2
222222
tanβ=
tan
?
3
，

又1+ tanβ=
2
1
cos
?
2
∴1+
tan
?
9
?
1?
1
sin
?
4
2
，即8?
1cos
?
2
?
36
3?cos
?
3
8
2

即8
cos
?
?11cos
?
?3? 0，解得cos
?
?1或cos
?
?
六、板书设计：
4222

30

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：
sin
?
?c sc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1< br>，
tan
?
?cot
?
?1
．
sin?
cos
?
?tan
?
，
cot
?
?
．
cos
?
sin
?
222222
（3）平方关 系：
sin
?
?cos
?
?1
，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?csc
?
．
4
（练习）已知
tan
?
?
，求
cos?

3
（2）商数关系：
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例8．已知
1?sin
?
1?sin
?
???2tan
?
，试确定使等式成立的角
?
的集合。 1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin< br>?
(1?sin
?
)
2
(1?sin
?
)< br>2
|1?sin
?
||1?sin
?
??
?
解：∵=
?
22
1?sin
?
1?sin
?
|c os
?
||cos
?
|
cos
?
cos
?
1?sin
?
?1?sin
?
2sin
?
==．
|cos
?
|
|cos
?
|
1?sin
?
1?sin
?
???2tan
?
，
1?sin
?
1?sin
?
2sin
?
2sin
?
??0
， 即得
sin
?
?0
或
|cos
?
|??c os
?
?0
． ∴
|cos
?
|
cos
?
?
3
?
,k?Z}
． 所以，角
?
的集合为：{
?
|
?
?k
?
或
2k
?
? ?
?
?2k
?
?
22
例9．化简
(1?cot?
?csc
?
)(1?tan
?
?sec
?
)
．
cos
?
1sin
?
1
?)(1??)
解：原式 =
(1?
sin
?
sin
?
cos
?
co s
?
sin
?
?cos
?
?1cos
?
? sin
?
?11?(sin
?
?cos
?
)
21?1?2sin
?
?cos
?
??

?
??2
．
sin
?
cos
?
sin< br>?
?cos
?
sin
?
?cos
?
又∵说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
cosx1?sinx
?
．
1?sinxcosx
证法一：由题义 知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
例10．求证：

∴左边=
cosx( 1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
??
右边． (1?sinx)(1?sinx)cos
2
x
cosx
∴原式成立．
证法二：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
又∵
(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx? cosx
，
22
cosx1?sinx
?
．
1?sin xcosx
证法三：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?s inx?0
．
∴
cosx1?sinx
cosx?cosx?(1?sin x)(1?sinx)
cos
2
x?1?sin
2
x
??0
，
?
?
(1?sinx)cosx
(1?sinx)cosx1?sinxcosx
cosx1?sinx
?
∴．
1?sinxcosx

例11．求证：
sinx?tanx?cosx?c otx?2sinx?cosx?tanx?cotx
．
证明：左边
?
si nx?
22
sinx1
?cos
2
x??2sinx?cosx
cosxtanx
sin
3
xcosx
?cos
2< br>x??2sinx?cosx

?
cosxsinx
sin
4
x?cos
4
x?2sin
2
xcos
2
x(sin
2
x?cos
2
x)
2
1
?

?
，
?
sinx?cosxsinxcosxs inxcosx
sinxcosxsin
2
x?cos
2
x1
???
右边
?
．
cosxsinxsinxcosxsinxcosx
2
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
1?3
(0?x?
?
)
，求
sinx,cosx
．
2
1?3
(0?x?
?
)
等式两边平方： 解：由
sinx?cosx?
2
1?3
2
sin
2
x?cos2
x?2sinxcosx?()
．
2
3
∴
sinxcosx??
（*），
4
?1?3
?
sinx?cosx?
?
2
即
?
，
?
sinxcosx??
3
?
?4
1?3313
z ??0
的两个根，解得
z
1
?,z
2
??
sinx ,cosx
可看作方程
z
2
?
．
2422
又∵< br>0?x?
?
，∴
sinx?0
．又由（*）式知
cosx?0

13
因此，
sinx?,cosx??
．
22
例12．已知
sinx?cosx?
三、巩固与练习
32

3. 求证：
(1)ctg
2
A(tg
2
A?sin
2
A)?sin
2
A
1
(2)sin
2
?
cos
2
?
?
sec
2
?< br>?csc
2
?

22222
(3)(1?sinA)(sec A?1)?sinA(cscA?ctgA)
cosx1?sinx
(4)?
1?si nxcosx
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数 最低；（2）尽量
使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的 应计算出来，其次要注
意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：
1=
sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan
?
?csc
?
?cot
?

2
2、已知方程
2x?(3?1)x?m?0
的两根分别是
sin?，cos?
，
222 222
3、已知
asec??ctan??d,bsec??dtan??c,求证：a?b? c?d
sin?cos?
?的值。

1?cot?1?tan?sin
2
?cos
2
?sin
2
??cos
2
?
???sin??cos?
解：
?原式?
sin??cos? cos??sin?sin??cos?
3?1
?由韦达定理知：原式?
（化弦法）
2
2222
求

?
asec??ctan??d(1)
证：由题设：
?
< br>222
sec?
2
??d
2
tan??
2
c (
2
b2)
a?b)c?d)tan
2
??c
2
? d
2

(1)
2
?(2)
?
2
：(
22
sec
2
??(
2
(a?
2
b)se c?
22
?(c
2
?d)sec?

?a?b?c?d

?
x?sin??cos?(1)
4、消去式子中的
?：
?

y?tan??cot?(2)
?
x
2
?1
2
?s in?cos??(3)
解：由
(1)：x?1?2sin?cos?
2
由
(2)：y?
sin?cos?1
??
cos?sin?sin?cos?< br>?sin?cos??
1
y
(4)
将(3)代入(4)：y?
2
x
2
?1

（平方消去法）
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：
六、板书设计：
33

4-1.3三角函数的诱导公式
一、教材分析
（一）教材的地位与作用：
1、本节课教学内容“诱导公式（二）、 （三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已
学习过的三角函数定义、同角三角函 数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导
公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的
重要 作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，
体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的
创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：
1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析
根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本
节 课的教学目标为：
1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结 构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并
进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能 力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化
思想方法 。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般
的数学 归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实
践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创< br>新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗 透从特殊
到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析
（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题
I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义
2、提问：试写出诱导公式（一）
3、提问：试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式（一）及结构特征：
诱导公式（一）
sin(k·2π+
?
)=sin
?
cos(k·2π+
?
)=cos
?

tg(k·2π+
?
)=tg
?

（k∈Z）
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
5、问题：试求下列三角函数的值
（1）sin1110° （2）sin1290°
学生：（1）sin1110°=sin（3×2π°+30°）=sin3 0°=
（2）sin1290°=sin（3×π°+210°）=sin210°
（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）
6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：




演示（一）
（1）210°能否用（180°+
?
）的形式表达？
（0°＜
?
＜90°＝（210°=180°+30°）
（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（3 ）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点
对称）
（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]
（5）sin210°与sin30°的值关系如何？
7、师生共同分析：
在求s in210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与
单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求 0°～
90°角的三角函数值。
36
210
0

30
0

1

2
х