2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

-
第三章经典习题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部 分。满分150
分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择 题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的)
ππ
1．sin
2
12
－cos
2
12的值为( )
1
A．－
2

3
C．－
2

[答案] C
ππ
3
2
π
[解析] 原式＝－(cos
12
－s in
12
)＝－cos
6
＝－
2
.
2
1
B.
2

3
D.
2

2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是( )
π
A.
2
3
C．2π
[答案] B
π2π
[解析] f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－
4
)，故T＝
2
＝π.
1
3π
3．已知cosθ＝
3
，θ∈(0，π)，则cos(
2
＋2θ)＝( )
42
A．－
9

42
C.
9

[答案] C
7
B．－
9

7
D.
9

B．π
D．4π

-
3π
22142
[解析] cos(
2
＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×
3
×
3
＝
9.
4
4．若tanα＝3，tanβ＝
3
，则tan(α－β)等于( )
A．－3
C．3
[答案] D
tanα－tanβ
＝
1＋tanαtanβ
1
＝
43
.
1＋3×
3
4
3－
3
1
B．－
3

1
D.
3

[解析] tan(α－β)＝
5．cos2
75°＋cos
2
15°＋cos75°·cos15°的值是( )
5
A.
4

3
C.
2

[答案] A
15
[解析] 原式＝sin15°＋cos15°＋sin15°c os15°＝1＋
2
sin30°＝
4
.
22
6
B.
2

2
D．1＋
3

6．y＝cos
2
x－sin2
x＋2sinxcosx的最小值是( )
A.2
C．2
[答案] B
π
[解析] y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋
4
)，∴y
max
＝－2.
7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )
A．－1
1
B．－
5

B．－2
D．－2

-
5
C.
7

[答案] D
1
D.
7

tan?β－α?－tanα3－2
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝
1＋tan?β－α?tanα1＋6
1
7
.
→
8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ )，则|PQ|的最大值是( )
A.2
C．4
[答案] B
→→
[解析] PQ＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则|PQ|＝
→
?cosβ－cosα?
2
＋?sinβ－sinα?
2
＝2－2 cos?α－β?，故|PQ|的最大值为
2.
cos2x＋sin2x
9．函数y＝的最小正周期为( )
cos2x－sin2x
A．2π
π
C.
2

[答案] C
1＋tan2x
ππ
[解析] y＝＝tan(2x＋
4
)，∴T＝
2
.
1－tan2x
1
10．若函数f(x)＝sinx－
2
(x∈R)，则f(x)是( )
2
B．2
2
D.
2

B．π
π
D.
4

π
A．最小正周期为
2
的奇函数

-
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
[答案] D
111
2
[解析] f(x)＝sinx－
2
＝－
2
(1－2sinx)＝－
2
cos2x，∴f(x)的周期
2
为π的偶函数．
π
11．y＝sin(2x－
3
)－sin2x的一个单调递增区间是( )
ππ
A．[－
6
，
3
]
513
C．[
12
π，
12
π]
[答案] B
πππ
[解析] y＝sin(2x－
3
)－sin2x＝sin2xc os
3
－cos2xsin
3
－sin2x＝－
ππππ
( sin2xcos
3
＋cos2xsin
3
)＝－sin(2x＋
3
)，其增区间是函数y＝sin(2x＋
3
)
ππ3ππ7π
的减区 间，即2kπ＋
2
≤2x＋
3
≤2kπ＋
2
，∴kπ＋12
≤x≤kπ＋
12
，当
π7π
k＝0时，x∈[
1 2
，
12
]．
11
12．已知sin(α＋β)＝
2，sin(α－β)＝
3
，则log
A．2
C．4
[答案] C
[解析] 由
11
sin(α＋β)＝
2
， sin(α－β)＝
3
得
B．3
D．5
tanα
2
5
(
tanβ
)等于( )
π
7
B．[
12
，
12
π]
π5π
D．[
3
，
6
]

- 1
?
sinαcosβ＋cosαsinβ＝
?
2
?
1
?
sinαcosβ－cosαsinβ＝
?
3
tanα
∴
tanβ
＝5，
∴log

5
?
sinαcos β＝
?
12
，∴
?
1
?
cosαsinβ＝
?
12

，
tanα
2
(
5
tanβ
)＝log
5
5
2
＝4.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确
答案填在题中横线上)
13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.
[答案] 2
[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17° ＋
tan17°＋tan28°
28°)＝＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28 °＝1－
1－tan17°·tan28°
tan17°·tan28°，代入原式可得结果为 2.
π
?
4
?
?
14．(2012·全国高考江苏卷)设 α为锐角，若cos
α＋
6
?
＝
5
，则
??
π
??
?
sin
2α＋
12
?
的值为_____ _．
??
172
[答案]
50

π
?
4
π
???
ππ2π
[解析] ∵α为锐角， ∴
6
<α＋
6
<
3
，∵cos
?
α＋6
?
＝
5
，∴sin
?
α＋
6
?????
3
＝
5
；
π
?
π
??π
?
24
??
∴sin
?
2α＋
3
?
＝2sin
?
α＋
6
?
cos
?
α＋6
?
＝
25
，
??????

- ππ
2
π
7
2
cos(2α＋
3
)＝cos( α＋
6
)－sin(α＋
6
)＝
25

π
?
ππ
?
π
?
π
π
?
π
????
???????
∴sin
2α＋
12
＝sin
2α＋
3
－
4
＝sin
2α－
3
cos
4
－c os
2α＋
3
?
sin
4
????????
172
＝
50
.
1
15．已知cos2α＝
3
，则si n
4
α＋cos
4
α＝________.
5
[答案]
9

12
2
[解析] cos2α＝2cos
α－1＝3
得cos
α＝
3
，由cos2α＝1－2sin
2
α
2
111
2222
＝
3
得sin
α＝
3< br>(或据sin
α＋cosα＝1得sinα＝
3
)，代入计算可得．
31
π
16．设向量a＝(
2
，sinθ)，b＝(cosθ，
3< br>)，其中θ∈(0，
2
)，若a
∥
b，则θ＝________.
π
[答案]
4

1
[解析] 若a
∥
b ，则sinθcosθ＝
2
，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，
ππ< br>又θ∈(0，
2
)，∴θ＝
4
.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤) < br>33
17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝
5
2，且π<α<< br>2
π，求
sin2α＋2sin
2
α
的值．
1－tanα
3218
[解析] 因为cosα－sinα＝
5
，所 以1－2sinαcosα＝
25
，所以

-
7
2sinαcosα＝
25
.
3π
42
又α∈ (π，
2
)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－
5
，
所以
sin2α＋2sin
2
α
1－tanα
＝
? 2sinαcosα＋2sin
2
α?cosα
cosα－sinα
＝
742
×?－
5
?
2sinαcosα?cosα＋sinα?
2 5
28
＝＝－
75
.
cosα－sinα
32
5
ππ
18．(本题满分12分)设x∈[0，
3
]，求函数y＝cos(2x －
3
)＋2sin(x
π
－
6
)的最值．
ππ
[解析] y＝cos(2x－
3
)＋2sin(x－
6
)
ππ
＝cos2(x－
6
)＋2sin(x－
6
)
πππ
1
2
3
＝1－2sin(x－
6
)＋2sin(x －
6
)＝－2[sin(x－
6
)－
2
]＋
2.
2
ππππ
∵x∈[0，
3
]，∴x－
6
∈[－
6
，
6
]．
π
11
∴sin(x－
6
)∈[－
2
，
2
]，
31
∴y
ma x
＝
2
，y
min
＝－
2
.
19．(本 题满分12分)已知tan
2
θ＝2tan
2
α＋1，求证：cos2θ＋s in
2
α
＝0.
222
cos
θ－sinθ
1－ tan
θ
222
[证明] cos2θ＋sin
α＝
22
＋ sin
α＝
2
＋sin
α＝
cos
θ＋sinθ
1 ＋tan
θ
22
－2tan
2
α
－tan
α
－sin
α
2222
＋sin
α＝
22
＋sin
α＝
22
＋sin
α＝－sinα
1＋2tan
α＋1
1＋ tan
α
cos
α＋sinα

-
＋sin
2
α＝0.
3x3xx
20．(本题满分12分)已知向 量a＝(cos
2
，sin
2
)，b＝(cos
2
，－x
sin
2
)，c＝(3－1)，其中x∈R.
(1)当a⊥b时，求x值的集合；
(2)求|a－c|的最大值．
3xx3xx
[解析] (1)由a⊥b得a·b＝0，即cos
2
cos< br>2
－sin
2
sin
2
＝0，则
kπ
πkπ
π
cos2x＝0，得x＝
2
＋
4
(k∈Z)，∴ x值的集合是{x|x＝
2
＋
4
，k∈Z}．
3x3x
2
(2)|a－c|＝(cos
2
－3)＋(sin
2
＋1)
2

2
3x3x
2
3x
＝cos
2
－23 cos
2
＋3＋sin
2
＋2sin
2
＋1
3x 3x3x
π
＝5＋2sin
2
－23cos
2
＝5＋4si n(
2
－
3
)，则|a－c|
2
的最大值为
9.∴ |a－c|的最大值为3.
2
π
21．设函数f(x)＝
2
cos (2x＋
4
)＋sin
2
x
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
π
??
π
??
0，
(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有 g(x＋
2
)＝g(x)，且当x∈
2
?
时，
?
1
g(x)＝
2
－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。
2
π
111
2
[解析] f(x)＝
2
cos(2 x＋
4
)＋sinx＝
2
cos2x－
2
sin2x＋2
(1－cos2x)
11
＝
2
－
2
sin2 x
2π
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝
2
＝π
2
3x

-
π
??
11
??
(Ⅱ)当x∈
0，
2
时，g(x)＝
2
－f(x)＝
2< br>sin2x
??
π
??
π
?
π
?
π
1
π
1
????
当x∈
－
2
，0
，(x＋
2
)∈
0，
2
g(x)＝g(x＋
2
) ＝
2
sin2(x＋
2
)＝－
2
????
sin2 x
π
??
当x∈
?
－π，－
2
?
时，
??
π
??
11
??
(x＋π)∈
0，
2
g(x)＝g(x＋π)＝
2
sin2(x＋π)＝
2
sin2x
??
得：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝
1
π
?
－sin2x?－
?
22
≤x≤0?
?
1
π?
?
2
sin2x?－π≤x<
2
?

π
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(1－tanx)·[1＋2sin(2x＋4
)]，
求：
(1)函数f(x)的定义域和值域；
(2)写出函数f(x)的单调递增区间．
sinx
ππ
[解析] f(x )＝(1－
cosx
)(1＋2sin2xcos
4
＋2cos2xsin< br>4
)＝(1－
sinx
222
)(2sinxcosx＋2cosx) ＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝2(cosx－sinx)
cosx
＝ 2cos2x.
π
(1)函数f(x)的定义域{x|x≠kπ＋
2
，k∈Z}．
∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2.
∴函数的值域为(－2,2] π
(2)令2kπ－π<2x≤2kπ(k∈Z)得kπ－
2

-
π
∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ－
2
，kπ](k∈Z)．





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