高中数学必修四期末试题及答案

必修四期末测试题
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的．
1．sin 150°的值等于( )．
A．
1
2
B．－
1
2
C．
3
2
D．－
3
2

2．已知
AB
＝(3，0)，那么
AB
等于( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在0到2?范围内，与角－
4?
3
终边相同的角是( )．
A．
??
C
2?
6
B．
3
．
3
D．
4?
3

4．若cos ?＞0，sin ?＜0，则角 ??的终边在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．
A．
1
3
4
B．
2
C．
1
2
D．
3
4

6．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )．
A．
AB
＝
CD
B．
AB
－
AD
＝
BD

D
C
C．
AD
＋
AB
＝
AC
D．
AD
＋
BC
＝
0

A B
7．下列函数中，最小正周期为 ??的是( )．
(第6题)
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x C．y＝sin

x
2
D．y＝cos

x
4

8．已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x等于( )．
A．10 B．5 C．－
5
2
D．－10
9．若tan ?＝3，tan ?＝
4
3
，则tan(?－?)等于( )．
A．－3 B．3 C．－
1
3
D．
1
3

10．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( )．
A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1
11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(1，2)，C(0，c )，若
AB
⊥
BC
，那么c的值是(
A．－1 B．1 C．－3 D．3

第 1 页
)．

12．下列函数中，在区间[0，
A．y＝cos x
13．已知0＜A＜
A．

?
]上为减函数的是( )．
2
D．y＝sin(x－B．y＝sin x C．y＝tan x
?
)
3
?
3
，且cos A＝，那么sin 2A等于( )．
5
2
B．
4

25

7

25
C．
12

25
D．
24

25
14．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向 量a，b之间的运算“
?
”为a
?
b＝(ms，nt)．若向量
p＝ (1，2)，p
?
q＝(－3，－4)，则向量q等于( )．
A．(－3，－2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．已知角 ??的终边经过点P(3，4)，则cos ??的值为 ．

16．已知tan ?＝－1，且 ?∈[0，?)，那么 ??的值等于 ．

17．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是 ．

18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数T＝Asin(?t＋?)＋b(其中
T℃
30
20
10
O 6 8 10 12 14 th
B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(－3，2)
?
＜?＜?)，6
2
时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上
述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14
时温差的最大值是 °C；图中曲线对应的
函数解析式是________________．

(第18题)
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．(本小题满分8分)
已知0＜?＜





第 2 页
π
?
?
4
?
，sin ?＝．(1)求tan ??的值； (2)求cos 2?＋sin
?
?
＋
?
的值．
2
?
5
2
?

20．(本小题满分10分)
已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b) ·(a＋b)＝
(1)求|b|；(2)当a·b＝









21．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝sin ?x(?＞0)．
(1)当 ?＝?时，写出由y＝f(x)的图象向右平移
(2)若y＝f(x)图象过点(







1
．
2
1
时，求向量a与b的夹角 ??的值．
2
?
个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式；
6
2π
?
，0)，且在区间(0，)上是增函数，求 ??的值．
3
3
第 3 页

期末测试题
参考答案

一、选择题：
1．A
解析：sin 150°＝sin 30°＝
2．B
解析：
AB
＝
9＋0
＝3．
3．C
解析：在直角坐标系中作出－
4．D
解析：由cos ?＞0知，??为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin ?＜0知，??为第三、四象限或y
轴负方向上的角，所以 ??的终边在第四象限．
5．B
解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝
6．C
解析：在平行四边形ABCD中，根据向量加法的平行四边形法则知
AD
＋
AB
＝
AC
．
7．B
解析：由T＝
8．D
解析：因为a∥b，所以－2x＝4×5＝20，解得x＝－10．
9．D
4
tan
?
－tan
?
3
＝
1
． 解析：tan(?－?)＝＝
1＋tan
?
tan
?
1＋4
3
3－
3
．
2
1
．
2
4?
由其终边即知．
3
2π
?
＝?，得 ?＝2．
10．B
解析：因为cos x的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是1
和－3．
11．D
解析：易知
AB＝(2，2)，
BC
＝(－1，c－2)，由
AB
⊥
BC
，得2×(－1)＋2(c－2)＝0，解得c＝3．
12．A
解析：画出函数的图象即知A正确．
第 4 页

13．D
解析：因为0＜A＜
14．A
解析：设q＝(x，y)，由运算 “
?
”的定义，知p
?
q＝(x，2y)＝(－3，－4)，所以
q＝(－3，－2)．
二、填空题：
15．
4
24
?
，所以sin A＝
1－cos
2
A＝
，sin 2A＝2sin Acos A
＝
．
25
2
5
3
．
5
3
．
5
解析：因为r＝5，所以cos ?＝
16．
3?
．
4
3?3?
，故 ?＝．
44
解析：在[0，?)上，满足tan ?＝－1的角 ??只有
17．(－3，－5)．
解析：3b－a＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)．
18．20；y＝10sin(
?3?
x＋)＋20，x∈[6，14]．
84
解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C．
因为从6~14时的图象是函数y＝Asin(?x＋?)＋b的半个周期的图象，
11
(??－??)＝10，b＝(30＋１0)＝20．
22
2ππ
1
?
π
?
因为·＝14－6，所以 ?＝，y＝10sin
?
x ＋
?
?
＋20．
2
?
8
?
8
?
所以A＝
将x＝6，y＝10代入上式， < br>?
π
??
3π
?
得10sin
?
?
6 ＋
?
?
＋20＝10，即sin
?
＋
?
?
＝－1，
?
8
??
4
?
3?
?
由于＜?＜?，可得 ?＝．
2
4
3π
??
π
综上，所求解析式为y＝10si n
?
x ＋
?
＋20，x∈[6，14]．
4
??
8
三、解答题：
19．解：(1)因为0＜?＜
?
3
4
4
，sin ?＝， 故cos ?＝，所以tan ?＝．
5
3
5
2
32
3
8
?
π
?
(2)cos 2?＋sin
?
＋
?
?
＝1－2sin
2
? ＋cos ?＝?－＋＝．
2 5
5
25
?
2
?
20．解：(1)因为(a－b)·(a＋ b)＝
所以|b|
2
＝|a|
2
－
11
，即a2
－b
2
＝，
22
2
111
＝1－＝，故|b|＝．
2
222
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(2)因为cos ?＝
2
a· b
＝，故 ?＝??°．
2
ab
π??
21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f(x)＝sin
?
x －
?
．
6
??
(2)由y＝f(x)的图象过
?
即 ?＝
?
2π
?
2?2?
， 0
?
点，得sin?＝0，所以?＝
k
?，
k
∈Z． 33
?
3
?
3
k
，
k
∈Z．又?＞0 ，所以
k
∈N*．
2
33
4?
，f(x)＝sinx，其周期为，
22
3< br>当
k
＝1时，?＝
此时f(x)在
?
0 ，
?
上是增函数；
当
k
≥2时，?≥3，f(x)＝sin ?x的 周期为
?
?
π
?
3
?
2π
2?4?
≤＜，
33
?
此时f(x)在
?
0 ，
?
上不是增函数．
所以，?＝



?
?
π
?
3
?
3
．
2
第 6 页