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人教版高中数学必修四尖子班讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 15:30
tags:高中数学必修4

乐乐课堂高中数学视频-北京高中数学教材是人教版吗


任意角的三角函数
知识讲解
一、角的概念



1.
定义:
一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其 中顶点,始边,
终边称为角的三要素.掌握角的概念应注意角的三要素:顶点,始边,终边.角可以是任 意
大小的.

2.
范围:
R
3.正角、负角、零角
①正角:习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;

②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;

③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角.

4.
终边 相同的角
:

?
表示任意角,所有与
?
终边相同的角,包括
?
本身构成一个集合,
这个集合可记为
S?
?
??
?
?
?k?360?,k?Z
?
.集合
S
的每一个元素都与
?
的终边相同,当
k?0
时,对应元素为
?

< br>5.
象限角
:
能用集合的形式表示终边落在四个象限以及坐标轴上的角,

如:
终边落在第一象限的角:
?
??
?
?
|2
k
?
?
?
?
2
k
?
?
,
k?Z
?
2
??
?
2
?

???
{
?
|k360??
?
?90??k360?,k?Z}< br>终边落在
y
轴上的角:
?
?
|
?
?k
?
?,k?Z
?

{
?
|
?
?90?? k180?,k?Z}


6.
角的运算
:
掌握基本的角的 运算如

?
?
?
,2
?
?
?
,?
?
,2
?
,
2
??
2

等.
二、弧度制
1.
定义
:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做
1
弧度的角.

2.
弧度与角度的换算
:
18 0??
?
rad
?
180?
?
1rad?
?
30?=57?18'


?
?57.
?
?
?< br>,
1??
?
180?
?0.01745rad

3. 弧长与扇形面积公式:
①弧长公式:
l?
?
r

< br>11
②扇形面积公式:
S?lr?
?
r
2

22
三、三角函数的概念
1.
定义
:
在直角坐标系中,设
?
是一个任意角,
?
终边上任意一点
P
(除了原点)的坐标 为
(x,y)
,它与原点的距离为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?x
2
?y
2
?0)
,那

1
)比值
2
)比值
3
)比值
4
)比值
y
y
叫做
?
的正弦,记作
sin
?
,即
sin
?
?


r
r
x
x
叫做
?
的余弦,记作
cos
?
,即
cos
?
?


r
r
y
y
叫做
?
的正切,记作
tan
?
,即
tan
?
?


x
xxx
叫做
?
的余切,记作
cot
?
,即
cot
?
?


y
y
2.符号:
1
)正弦值
2
)余弦值
3
)正切值
y
< br>对于第一、二象限为正(
y?0,r?0
),对于第三、四象限为负(
y?0, r?0
);
r
x

对于第一、四象限为正(
x?0,r?0
),对于第二、三象限为负(
x?0,r?0
);
r
y
对于 第一、三象限为正(
x,y
同号),对于第二、四象限为负(
x,y
异号).

x
可以用右图表示:
若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值.



3.
特殊角的三角函数:
对于一些常见的、特殊角的三角函 数值需要熟练记忆,如


?

sin
?

cos
?

π

6
1

2
π

4
π

3
π

2


3


4


6
1

2
π



2


0

2

2
2

2
3

2
1

2
1

0

3

2
1
?

2
?3

2

2
?
2

2
?
?
0

?1

0

3

2
3

3
3

2
3

3
?1

0

1

0

tan
?

1

3

不存在

?1

不存在

4.三角函数线
1
)单位圆:半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆

x
轴交点分别为
A(1,0)

A
?
(?1,0)
,而与
y
轴的交点分别为
B(0,1)

B
?(0,?1)
.由三角函
os(nis,)
?
数的定义可知,点
P
的坐标为
(cos
?
,sin
?
)
,即
Pc
?


sin
?
?ON
.其中
cos
?
?OM

T
(1,tan
?
)
y
B
(0,1)
N
A'
(-1,0)
P(
cos
?
,sin
?
)
A
(1,0)
y
?
O
B'
(0,-1)
M
x
O
A
(1,0)

x
T'
这就是说,角
?
的余弦和正弦分别等于角
?
终边与 单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点
A(1,0)
作单位圆的切线,它与角
?
的终边或其反向延长线交与点
T
(或
T
?
),则
tan?
?AT
(或
AT
?
).

2
)有向 线段:坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向
的线段叫做有向线段.

规定:
与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负.



3
)三角函数线的定义:


设任意角< br>?
的顶点在原点
O
,始边与
x
轴非负半轴重合,终边与单位圆 相交于点
P
(x,y)


P

x
轴的垂 线,垂足为
M
;过点
A(1,0)
作单位圆的切线,它与角
?
的终边或其反向延
长线交与点
T
.我们就分别称有向线段
MP
,< br>OM

AT
为正弦线、余弦线、正切线.

5.同角三角函数基本关系式
平方关系:
sin
2
x?cos2
x?1

sec
2
x?tan
2
x?1
csc
2
x?cot
2
x?1

sinxcosx
?tanx

?cotx

cosxsinx
111
,cscx?,tanx?

倒数关系:< br>secx?
cosxcosxcotx
商数关系:


典型例题
一.选择题(共2小题)

1.(2015?上海)已知点A的坐标为(4
转至OB,则点B的纵坐标为( )

,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋
A. B. C. D.

2.(2017春?莲湖区校级期中)若0<x<,则2x与3sin x的大小关系( )

A.2x>3sin x B.2x<3sin x

C.2x=3sin x D.与x的取值有关

二.填空题(共3小题)
3.(2017?咸阳二模)已知tanα=2,则= .

4.(2017春?林芝地区期末)已知,则= .

5.(2017春?长安区校 级期中)已知tanα=﹣2,则2sinαcosα﹣cos
2
α的值是 .

三.解答题(共8小题)
6.(2016春?台中市校级期中)已知角θ的终边经过点P(, m)(m≠0)
且sinθ=


试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.






7.(2012秋?延川县校级月考)角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合.

(1)若角α终边经过点(3,﹣4).求角α的正弦函数值、余弦函数值.

(2)若角α的终边经过点(4,y),且




8.(2017秋?黄陵县校级期末)已知tanα=﹣,求



9.(2017春?长安区校级月考)已知




10.(2016春?咸阳校级期中)f(x)=2cos
2
x﹣2acosx﹣1﹣2a 的最小值为g(a),
a∈R

(1)求g(a);

(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.


,求y的值.

的值.

,求y=sinβ﹣cos
2
α的最值.



任意角的三角函数

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 已知 是第二象限角,,则
A. B. C.

2. 的值为
A. B. C.

3. 的值为
A. B. C.

4. 已知扇形的周长为 ,圆心角为 弧度,则该扇形的面积为
A. B. C.

5. 知 ,则 的值为
A. B. C.

6. 已知点 在第三象限,则角 的终边在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限




7. 若 ,且 为第四象限角,则 的值等于
A. B. C.

8. 已知 ,并且 是第二象限的角,那么 的值等于
D.
D.
D.

D.
D.
D. 第四象
D.




A. B. C. D.
9. 已知角 的终边经过点 ,则 的值是


A. B. C. D.
10. 已知 ,则 的值为


A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系 中,角 以 为始边,终边与单位圆交于点 ,则
的值为


A. B. C. D.
12. 设函数 满足 .当 时,,

A. B. C. D.
二、填空题(共6小题;共30分)
13. 已知

14. 若扇形的中心角为 ,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 .

15. 已知角

16.

的终边过点 ,则 的值
,则
是 .
的值是 .


17. 已知函数

为 .
18. 若角 的终边与角 的终边关于直线
,且 ,则 的值
对称,且 ,则

三、解答题(共5小题;共60分)
19. 求下列各三角函数值:
(1);
(2);
(3)


20. 判断下列各式的符号:
(1)
(2)

21. 已知 ,求下列各式的值:


(1);
(2)

22. 在

23. (1)已知

范围内,找出与 终边相同的角.
,且 在第三象限,求 和 .
(2)已知 ,求 的其他三角函数值.
(3)已知 ,求 及 的值.


三角函数的诱导公式
知识讲解
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系:
sin
2
x?cos< br>2
x?1

sec
2
x?tan
2
x?1< br>,
csc
2
x?cot
2
x?1

商数关系:
sinxcosx
?tanx

?cotx
< br>cosxsinx
111
倒数关系:
secx?
cosx
,c scx?
cosx
,tanx?
cotx

22
注意:①“ 同角”,至于角的形式无关重要,如
sin4
?
?cos4
?
?1< br>等;
②这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如
③对这些关系式不仅要牢固掌 握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),如:
sin
?
cos
??
cos
?
??1?sin
2
?

sin2
?
?1?cos
2
?

tan
?
等 .
④特殊角的三角函数值
πππ

0


?

643
tan
?
?cot
?
?1(
?
?
k
π
,k?Z)
2

π

2


3
3

2


4
2

2
?
2

2


6
π



2


0

sin
?

cos
?

0

1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
3

2
1

0

1

2
?
?
3

2
3

3
0

?1

0

不存在

1

0

1

2
3

1
?

2
?1

0

1

0

tan
?

1

不存在

?3

?1



二、诱导公式
1.角
?

?
?k?2π(k?Z)
的三角函数间的关系
sin(
?
?2kπ)?sin
?
,
cos(
?< br>?2kπ)?cos
?
,
tan(
?
?2kπ)=tan?

2.角
?

?
?
的三角函数间的关系 < br>sin(?
?
)??sin
?
,
cos(?
?
)?cos
?
,
tan(?
?
)??tan
?

3.角
?

?
?(2k?1)π(k?Z)
的三角函数间的 关系
sin
?
?
?(2k?1)π
?
??sin
?
,
cos
?
?
?(2k?1)π
?
??cos< br>?
,
tan
?
?
?(2k?1)π
?
?ta n
?

4.角
?

?
?
?
2
的三角函数间的关系
π
?
π
?
π
????
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?
,
tan
?
?
?
?
??cot
?

2
?
2
?
2
? ???
诱导公式的记忆方法:“奇变偶不变,符号看象限”,具体指的是对于任意三角函数,以
π
??
π
y?sin
?
m??
?
?
2< br>??
为例,若
m

2
的偶数倍,则函数名不改变,根据角?
所在象限判断
π
变换后的三角函数的符号,若
m

2
的奇数倍,则函数名改变成余弦,符号同理仍然看
象限.




典型例题

一.选择题(共10小题)
],β∈[﹣,0],且(α﹣)
3
﹣sinα 1.(2016秋?重庆期末)已知α∈[,
﹣2=0,8β
3
+2cos
2
β+1=0,则sin(+β)的值为( )

A.0 B. C. D.1

2.(2015春?上饶期末)已知函数f(x)=sin(+x)cos(﹣x), 给出下列四个
说法:

①若x
1
=﹣x
2
,则f( x
1
)=﹣f(x
2
);

②f(x)的最小正周期是2π;

③f(x)在区间[﹣,]上是增函数;

④f(x)的图象关于直线x=对称.

其中正确说法的个数为( )

A.4 B.3 C.2 D.1

3.(2013秋?和平区期末)下列各组中的两个三角函数值的大小关系正确的是
( )

A.sin508°>sin144° B.cos760°<cos(﹣770°)

C. D.

4.(2013 春?福建校级期末)已知角α的终边过与单位圆交于点P(,﹣),


则?等于何值( )

A. B. C. D.﹣



5.(2011秋?枣庄期中)已知
的值为( )

A. B. C. D.

6.(2011春?绍兴期中)已知f(x)=2cosx,则f(1)+f(2)+f (3)+…+f(2012)
=( )

A. B.2 C. D.

7.(2010?桂林二模)已知tan()=2,则tan()的值为( )

A. B.1 C.2 D.3

8.(2010?广东模拟)设,则值是( )

A.﹣1 B.1 C. D.

9.(2009秋?永州期末)若函数 f(x)满足f(x)=cosx(x∈R),则
A.sinx B.﹣sinx C.cosx D.﹣cosx

10.已知函数f(n)=cos
A.1 B.0
(n∈N
*
),则
=( )

=( )

C.﹣1 D.4

二.填空题(共3小题)
11.(2015秋?凉山州期末)已知cos(α+)=,求sin(﹣α)的值 .


12.(2017秋?潮南区期末)已知tan(3π+α)=2,则
= .

2
+tan(﹣)+sin13.(2015秋?北京期末)cos﹣tan+c os
2
+sin= .

三.解答题(共2小题)
14.(2015春?文昌校级期中)设,

(1)若,求f(α)的值;

(2)若α是锐角,且




,求f(α)的值.

15.(2014春?泗县校级月考)设f(θ)=,


的值.

三角函数的诱导公式

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 若 ,则 的值为


A. B. C. D.


2. 如图所示,角 的终边与单位圆交于点 ,则 的值为

A.

B. C. D.


3. 设 ,,,则
A. B. C.


4. 的值是
A. B. C.

5. 已知 ,则 的值为
A. B. C.

6. 若点 是 角终边上异于原点的一点,则 的值为
A. B. C.

7. 已知 ,则
A. B. C.

8. 化简 的结果是
A. B. C.

9. 已知 ,则 的值为
A. B. C.

10. 设角 ,则 的值等于
D.
D.
D. 不确定

D.
D.
D.
D.


















A. B. C. D.
11. 已知 ,则 的值为


A. B. C. D.
12. 设 ,.若对任意实数 都有 ,则满足条
件的有序实数对
A.
的对数为
B.

C. D.


二、填空题(共5小题;共25分)
13. 若

14. 已知 为锐角,且 ,
,且 ,则 .
,则

15. 已知函数 ,
的值是 .
.若 ,,则


16. 化简:

17. 已知 ,则 .



三、解答题(共5小题;共65分)
18. 已知 ,求下列各式的值.


(1);
(2)

19. 已知

,求
的值.

20. (1)已知 ,求 的值.
(2)在 中,若 ,,
求角 的大小.

21. 已知 为第三象限角,且
(1)化简 ;

(2)若 ,求 的值;
(3)若

22. 已知
(1)化简
(2)已知


,求 的值.

,求 的值.


三角函数的图像与性质
知识讲解
一、三角函数的性质
1.三角函数的图象

-
2?







-
2?


y
2?
y
-
?
O
?
x
-?

2?

2
O
?
3?

2
y=sinx
x
y-
?
O
?
2?
-
3?

2
-< br>?
x
x
y=cosx

y=tanx
2.函数< br>y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像与函数
y ?sinx
图像的关系
振幅变换:
y?Asinx
?
A?0,A? 1
?
的图像,可以看成是
y?sinx
图像上所有点的纵坐标都伸

?
A?1
?
或缩短
?
0?A?1
?
到原来 的
A
倍(横坐标不变)而得到的.

周期变换:
y?sinwx(w ?0,w?1)
的图像,可以看成是
y?sinx
的图像上各点的横坐标都
缩 短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
? 1
?
到原点的
1
倍(纵坐标不变)而得到的,由于
y?sinx的图像
?
得到
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像主要有下列两种方法:

相位变换周期变换振幅变换
y?sinx ?????y?sin
?
x?
?
?
?????y?sin
?
?
x?
?
?
?????Asin
?
?
x?
?
?

周期变换相位变换振幅变换
y?sinx?????y?si n
?
x?????y?sin
?
?
x?
?
?
?????y?Asin
?
?
x?
?
?



3.
三角函数的性质

函数







值域

奇偶性







周期性

有界函数
|sinx|?1

有界函数
|cosx|?1

无界函数

无界函数

[?1,1]

[?1,1]

y?sinx

y?cosx

y?tanx

y?cotx

{x|x?R,且x?
R

R

{x|x?R,且x?k< br>?
,
?
k
?
?,k?Z}
k?Z}
2


R

奇函数

R

奇函数

奇函数

偶函数

T?2π

ππ
[2k π?,2kπ?]
22
π3π
[2kπ?,2kπ?]
22
(π?Z )
T?2π

T?π

ππ
[(kπ?,kπ?]
22
(k?Z)

T?π







[(2k ?1)π,2kπ]
[2kπ,(2k?1)π]
(k?Z)
,

[(kπ,kπ?π]
(k?Z)


π
x?2kπ?,
y
max
?1
;
2
最值

x?2kπ,
y
max
?1
;
x?(2k?1)π


y
min
??1
(k?Z)

x?2kπ?
π

2




y
min
??1
(k?Z)

对称







(kπ,0)(k?Z)

x?k
π
?
π
(
k?Z)

2
x?kπ(k?Z)





(kπ+
π
,0)(k?Z)
2

(
k
π
,0)(k?Z)
2

(
k
?
,0)(k?Z)

2




典型例题

一.选择题(共10小题)
1.(2 018?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=2cos
2
x﹣sin
2
x+2,则 ( )

A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

2.(2018?湖北模拟)已知函 数f(x)=cos()(ω>0)且f()=f(),
若f(x)在区间()上有最大值,无最小值, 则ω的最大值为( )

A. B. C. D.

3.(2018?太原 一模)已知函数f(x)=sin(ωx﹣)(ω>0),若f(0)=﹣f()
且在(0,)上有且仅 有三个零点,则ω=( )

A. B.2 C. D.

4.(2018 ?潍坊一模)已知函数的最小正周
期为4π,其图象关于直线对称.给出下面四个结论:

①函数f(x)在区间上先增后减;

②将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称;


③点是函数f(x)图象的一个对称中心;

④函数f(x)在[π,2π]上的最大值为1.

其中正确的是( )

A.①② B.③④ C.①③ D.②④



5.(201 8?赣州一模)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分
图象如图所示, 下列关于函数g(x)=Acos(ωx+φ)(x∈R)的表述正确的是( )


A.函数g(x)的图象关于点()对称

B.函数g(x)在[]递减

C.函数g(x)的图象关于直线x=对称

D.函数h(x)=cos2x的图象上所有点向左平移个单位得到函数g(x)的图象
6.(2018?日照二模)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),已知集合A={(x
0
,f
(x
0
))|x
0
为f(x)的极值点},,若存 在实数φ,使
得集合A∩B中恰好有5个元素,则ω的取值范围是( )

A. B. C. D.

7.(2018?内江三模)某游乐园的摩天轮半径为40m,圆心O距地 面的高度为43m,
摩天轮作匀速转动,每24分钟转一圈.摩天轮在转动的过程中,游客从摩天轮距地面最低点处登上吊舱,若忽略吊舱的高度,小明在小强登上吊舱4分钟后登
上吊舱,则小明登上 吊舱t分钟后(0≤t≤24),小强和小明距地面的高度之差
为( )


A.40cos(+) B.40sin(+) C.40cos(+) D.40sin(+)

8.(2018?丹东二模)设(fx)=sin(ωx+φ)(ω>0),若
( )

A.是奇函数 B.的图象关于点对称

,则函数
C.是偶函数 D.的图象关于直线对称

9.(2018?丰台区一模)设函数,若函数y=f(x)
+a(a∈R)恰有三个零点x
1
,x
2
,x
3
(x< br>1
<x
2
<x
3
),则x
1
+x
2
+x
3
的取值范围是( )

A. B. C. D.

10.(2018?泰安二模)设函数f(x)=sin(ωx+φ>(ω>0,φ>0)的最小正周< br>期为π,且f(x)≤f(),则下列说法不正确的是( )

A.f(x)的一个零点为﹣

B.f(x)的一条对称轴为x=

C.f(x)在区间(,)上单调递增

D.f(x+)是偶函数

二.填空题(共3小题)
11.(2015春?建瓯市校级期末)函数f(x)=sin2x +2cos
2
x﹣,函数g(x)


=mcos(2x﹣)﹣2m+3( m>0),若对所有的x
2
∈[0,]总存在x
1
∈[0,],
使得 f(x
1
)=g(x
2
)成立,则实数m的取值范围是 .

12.(2011春?东港区校级期末)下列说法:

①函数是最小正周期为π的偶函数;

②函数可以改写为;

③函数的图象关于直线对称;

④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为(kπ,0),k∈Z;

⑤将函数y =sin2x的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长为
原来

的2倍,所得图象的函数解析式是;

其中所有正确的命题的序号是 .(请将正确的序号填在横线上)



13.(2018?河南模拟) 设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x
1
,x
2
∈D,
当 x
1
+x
2
=2a时,恒有f(x
1
)+f(x
2
)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象
的对称中心.研究函数的某一个对称中心 ,并利用对
称中心的上述定义,可得到
为 .

的值
三.解答题(共2小题)
14.(2017春?新余期末)已知函数
∈R,a为常数).

(Ⅰ)求函数的最小正周期;

(Ⅱ)求函数的单调递减区间;

(Ⅲ)若







15. (2017春?新余期末)设=,=(4sinx,cosx﹣sinx),
时,f(x)的最小值为﹣ 2,求a的值.

+cos2x+a(a
f(x)=?.

(1)求函数f(x)的解析式;


(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间
围;

(3)设集合A=
的取值范围.

是增函数,求ω的取值范
,B={ x||f(x)﹣m|<2},若A?B,求实数m
三角函数的图像与性质

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 有下列说法:
①作正弦函数的图象时,单位圆的半径长与 轴的单位长度要一致;② ,
的图象关于点 对称;③ , 的图象关于直线
成轴对称;④正弦函数 的图象不超出直线 和 所夹
的区域.其中正确说法的是


A. B.

C. D.
2. 已知函数 ,则下列结论正确的是


A.
B.
的最小正周期是


上单调递增
C. 的图象关于 对称


D. 的图象关于点 对称
3. 已知函数



A. 是奇函数
C. 定义域是
,则下列结论中,正确的是
B. 不是周期函数
D. 值域是


4. 若函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,

A. B. C.

5. 已知函数 ,下面结论错误的是
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在区间 上是 增函数
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 是奇函数

D.









6. 如图所示,对单摆施加一个作用力后单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 的
距离 (厘米)和时间 (秒)的函数关系为 ,单摆摆动时从最
右边到最左边的距离为



A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
7. 函数 (,且 )的图象是
A. B.
C. D.

8. 已知 ,,直线 和 是函数 的图象
的两条相邻的对称轴,则


A. B. C. D.



9. 函数 在区间 内的图象是
A. B.
C. D.

10. 已知函数 ,其部分图象如图所示,点 , 分
别为图象上相邻的最高点与最低点, 是图象与 轴的交点,若 点的横坐标为
,,,则函数 的解析式可以是

A. B.


C. D.



11. 函数 在一个周期内的图象是
A. B.
C. D.

12. 设 ,且 ,下列不等式中成立的是
① ;
② ;
③ ;



A. ①②

B. ③④ C. ①④ D. ②③


二、填空题(共5小题;共25分)
13. 如果函数 是定义在 上的偶函数,其在 上的图象如图所示,那么
不等式 的解集为 .




14. 锐角三角形的内角分别是
是 .




15. 已知 ,,.若 ,,






,,,并且 .下面三个不等式成立的


16. 已知函数
的值为 .
,则下面结论错误的是 .(填序号)
①函数 的最小正周期为 ;
②函数 在区间 上是增函数;



③函数
④函数
的图象关于直线
是奇函数.
对称;
17. 函数 的最大值为 ,最小值为 .


三、解答题(共5小题;共65分)
18. 求下列函数的最小正周期:
(1);


(2)

19. 已知函数


(1)当
(2)当

20. 若

时,求函数
时, 在
的单调递减区间;
上的值域为 ,求 , 的值.
的图象的一个对称中心为 且 ,求 的值.
21. 在锐角三角形

22. 已知函数
中,求证:.

(1)画出
(2)判断


的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值.
是否为周期函数,如果是,求出最小正周期.
正弦型三角函数的图像
知识讲解
一、正弦型三角函数的性质
1.函数< br>y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像与函数
y ?sinx
图像的关系
的图像,可以看成是
y?sinx
图像上所有点的纵 坐标都伸
振幅变换:

y?Asinx
?
A?0,A?1
?
?
A?1
?
或缩短
?
0?A?1
?
到原来 的
A
倍(横坐标不变)而得到的.
周期变换:
y?sinwx(w?0,w ?1)
的图像,可以看成是
y?sinx
的图像上各点的横坐标都
1
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1
?
到原点的
?
倍(纵坐标不变)而得到的,由于
y?sinx
的图像 缩短


得到
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像主要有下列两种方法:


相位变换周期变换振幅变换
y ?sinx?????y?sin
?
x?
?
?
?????y?sin
?
?
x?
?
?
?????Asin
?
?< br>x?
?
?
周期变换相位变换振幅变换
y?sinx?????y?si n
?
x?????y?sin
?
?
x?
?
?
?????y?Asin
?
?
x?
?
?



2.三角函数的性质
函数



值域
奇偶性



周期性



y?sinx

y?cosx

y?tanx

y?cotx

{x|x?R,且x?k
?
,
k?Z}

{x|x?R,且x?
R

[?1,1]

R

[?1,1]

k
?
?
?
2
,k?Z}

奇函数
有界函数
|sinx|?1

偶函数
有界函数
|cosx|?1

R

奇函数
无界函数
R

奇函数
无界函数
T?2π
< br>ππ
[2kπ?,2kπ?]
22
π3π
[2kπ?,2kπ?]22
(π?Z)
T?2π

T?π

T?π

[(kπ,kπ?π]
(k?Z)
[(2k?1)π,2kπ]
[2kπ,( 2k?1)π]
(k?Z)


,
ππ
[(kπ?,kπ?]
22
(k?Z)


最值
π
x?2kπ?,
2
y
max
?1
;
π
x?2kπ?
2
x?2kπ,
y
max
?1
;

x?(2k?1)π

y
min
??1
(k?Z)

无 无
y
min
??1
(k?Z)
对称轴

x?k
π
?
π
(
k?Z)
2

x?kπ(k?Z)

无 无

称点
(kπ,0)(k?Z)

(kπ+

π
,0)(k?Z)
k
π
(,0)(k?Z)
2
2

(
k
?
,0)(k?Z)
2

3.
函数
定义域
值域
奇偶性
周期
y?sinx

y?sinx
的性质
y?sinx

y?sinx

R

[0,1]

偶函数
T?π

π
[kπ,kπ?]
2
为增区间,
R

[?1,1]

偶函数
不是周期函数
单调性
π
??
k
π
?
,
k
π< br>?
π
??
2
??
为减区间
(k?Z)

增减区间规律不明显,只能就具体区间分




典型例题

一.选择题(共10小题)
1.(2018?南昌二模)如图,已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣φ
< 0)的部分图象与x轴的一个交点为A(﹣),与y轴的交点为B(0,),
那么函数f(x)图象上的 弧线AB与两坐标所围成图形的面积为( )


A. B. C. D.

2.(2018?河南一模)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础
上,按月 呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b (A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x
为月份),已 知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上
条件可确定f(x)的解析式为( )

A.f(x)=2sin(x﹣)+7 (1≤x≤12,x∈N
+


B.f(x)=9sin(x﹣) (1≤x≤12,x∈N
+


C.f(x)=2sinx+7 (1≤x≤12,x∈N
+


D.f(x)=2sin(x+)+7 (1≤x≤2,x∈N
+


3.(2018?全国I模拟)已知曲线E:y=sin(2x+φ) (ω>0,π>φ>0)的一条


对称轴为x=.曲线C的方程为y=cosx,以下哪个坐标变换可以将曲线C变换成曲线E( )

A.将横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移个单位

B.向左平移个单位,再把所得曲线的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变

C.将横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向左平移个单位

D.向左平移个单位,再把所得曲线的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变

4.(20 18?河南一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象与函数g(x)
=cos( 2x+φ)(|φ|<)的图象的对称中心完全相同,则φ=( )

A. B.﹣ C. D.﹣

5.(2018?石家庄二模)将函数f(x)=2sinx图象上各点的横坐标缩短 到原来的,
纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,若关于x的方程
g (x)=a在
A.[﹣2,2]
上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是( )

B.[﹣2,2) C.[1,2) D.[﹣1,2)

6.(201 8?宁城县模拟)已知x
1
,x
2
是函数f(x)=2sin2x+cos2 x﹣m在区间[0,]
内的两个零点,则sin(x
1
+x
2
)=( )

A. B. C. D.


7.(2018?三明模拟) 函数f(x)=cos(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,
设P是图象的最高点,A,B是图 象与x轴的交点,则tan∠PAB等于( )


A.1 B.2 C.3 D.4

8.(2018?青州市三模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<)的图象
过点B(0,﹣1),且在(,)上单调,同时f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合,当x
1
,x
2
∈(﹣
(x
2< br>),则f(x
1
+x
2
)=( )

A.﹣ B.﹣1 C.1 D.

,﹣),且x
1
≠x
2
时,f( x
1
)=f



9.(2018?滨州二模)如图,函数f(x )=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图
象过A(0,1)和B(2,﹣2)两点,将函 数f(x)的图象向右平移1个单位长
度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的递增区间是( )


A.[6k,6k+3](k∈Z) B.[3k﹣3,3k﹣1](k∈Z)
D.[6k﹣3,6k](k∈Z)

C.[3k,3k+2](k∈Z)
10.(2018?乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常
数 ,且A>0,ω>0,
的值为( )

)的部分图象如图所示,若,则

A. B. C. D.

二.填空题(共3小题)
11.(2013?揭 阳校级模拟)如图为y=Asin(ωx+φ)(A<0,ω>0,
象的一段,其解析式为: .

的图


12.(2013秋?滨江区校级期末)关于x的 不等式(sinx+1)|sinx﹣m|+≥m对x
∈[0,]恒成立,则实数m的取值范围是 .

13.已知x∈R,则函数f(x)=max
的和等于 .

的最大值与最小值
三.解答题(共2小题)
14.(2017秋?天津期末)已知函数
分图象如图所示.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)若α为第二象限角且,求f(α)的值.

的部

15.(2 017秋?宜昌期末)如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
<,x∈ R)的部分图象.

(1)求函数解析式;

(2)求函数f(x)的单调递增区间;

(3)若方程f(x)=m在上有两个不相 等的实数根,则实数m的取值


范围.



正弦型三角函数的图像

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 要得到函数 的图象,只要将函数 的图象
A. 向右平移 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变
B. 向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变
C. 向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变


D. 向右平移 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变
2. 函数 的部分图象如图所示,如果
且 ,则 等于



A. B. C. D.


3. 将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 个单位,得到
函数 的图象,则 的解析式为
A. B.
C. D.



4. 如图,函数 的图象过点 ,则 的
图象的一个对称中心是



A. B. C. D.
5. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点
.若 位于函数 的图象上,则
A. , 的最小值为 B. , 的最小值为


C. , 的最小值为 D. , 的最小值为
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数

A. 在区间 上单调递减 B. 在区间 上单调递增


C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增


7. 已知 ,函数 在 上单调递减,则 的取值范围是



A. B. C. D.
8. 当 时,函数 取得最小值,则函数
A. 是奇函数且图象关于点 对称


B. 是偶函数且图象关于点
C. 是奇函数且图象关于直线
对称
对称


D. 是偶函数且图象关于直线 对称
9. 已知 ,将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数
的图象,则 的最小值是


A. B. C. D.
10. 函数 的图象(部分)如图所示,则 和 的取值可以是

A. , B. ,
C. , D. ,



11. 函数 的周期是 ,将 的图象向右平移 个单位长度后得到函
数 ,则 具有性质
A. 最大值为 ,图象关于直线 对称
B. 在 上单调递增,为奇函数
C. 在 上单调递增,为偶函数


D. 周期为 ,图象关于点 对称
12. 函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐
标之和等于
A.

B. C. D.


二、填空题(共5小题;共25分)
13. 设函数 (,, 是常数,,),若 在区间
上具有单调性,且
为 .
14. 已知函数
,则 的最小正周期

的图象如图所示,,则




15. 已知函数
象如图所示,则
(,, 为常数,

,)在 上的图


16. 函数
至少有 个零点,则

17. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数
的最小正周期为 ,当
的最小值为 .
时,
的图象,若对满足 的 ,,有 ,则



三、解答题(共5小题;共65分)
18. 已知函数 的图象关于直线 对
称,且图象上相邻两个最高点的距离为 .
(1)求 和 的值;
(2)当

时,求函数 的最大值和最小值.



19. 已知函数 ,其最小正周期为 .
(1)求 的表达式;
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长为
原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图象,若关于 的方程
在区间

20. 是否存在实数
上有且只有一个实数解,求实数 的取值范围.
,使得函数 在 上是单调递增函数?若
存在,求出 的一个值;若不存在,请说明理由.

21. 已知函数 .
(1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图;
(2)指出该函数的图象可由
得到?
(3)若 时,函数
的图象经过怎样的平移和伸缩变换
的最小值为 ,试求出函数 的
最大值并指出 取何值时,函数

22. 某同学用“五点法”画函数
取得最大值.
在某一个周期内
的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:


(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数
(2)将 图象上所有点向左平行移动
的解析式;
个单位长度,得到
的图象.若
(3)引申探究
在本例()中,将
图象的一个对称中心为 ,求 的最小值;
图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 的
图象,求


的解析式,并写出 图象的对称中心.



平面向量的基本概念与线性运算
知识讲解
一、平面向量的概念
1.
向量的概念

概念:
我们把具有大小和方向的量称为向量.有些 向量不仅有大小和方向,而且还有作用
点.例如,力就是既有大小和方向,又有作用点的向量.有些量只 有大小和方向,而无特定
的位置.例如,位移、速度等,通常把后一类向量叫做自由向量.高中阶段学习 的主要是自
由向量,以后我们说到向量,如无特别说明,指的都是自由向量.是可以任意平行移动的.向

量不同于数量,数量之间可以进行各种代数运算,可以比较大小,两个向量不能比较大小.< br>2.向量的表示:
①几何表示法:用有向线段表示向量,有向线段的方向表示向量的方向,线段 的长度表示向
量的长度.

②字母表示法:
AB
,注意起点在前,终点在后.

B
3.
相等向量:
同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等向量.

4.
向量共线或平行:
通过有向线段
AB
的直线,叫做向量
AB
的基线 .如果向量的基线
互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.向量
a
平行于向量b
,记作
a

b


说明:
共线向量的方向相同或相反,

注意:
这里说向量平行,包含向量基线重合的情形,与两条直线平行的概念有点不同.

A
5.
零向量:
长度等于零的向量,叫做零向量.记作:
0


注意:
零向量的方向不确定,零向量与任意向量平行.

6.< br>单位向量:
给定一个非零向量
a
,与
a
同方向且长度等于1
的向量,叫做向量
a
的单位向
量.如果
a
的单位向量 记作
a
0
,由数乘向量的定义可知
a?aa
0

a
0
?
a
a


7.
用向量表示点的位置:
任给一定点
O
和向量
a
,过点
O
作有向线段
OA?a
,则点
A

对于点
O
位置被向量
a所唯一确定,这时向量
OA
又常叫做点
A
相对于点
O
的 位置向量.


二、向量的线性运算
1.向量的加法:
D< br>b
a+b
a
C
c
b
b
b
A
a+b
a
a
a
b
B
C
a
a+b+c
O
a+b
a
b+c

B
b
A
1
)向量加法的三角形法则:已知向量
a,b
,在平面上任取一点
A
,作
AB?a

BC?b
,再
作向量
AC
,则向量
A C
叫做
a

b

的和(或和向量),记作
a?b< br>,即
a?b?AB?BC?AC
2
)向量求和的平行四边形法则:



已知两个不共线的向量
a

b
,作
A B?a

AD?b
,则
A

B

D
三点不共线,以
AB

AD

为邻边作平行四边形
ABC D
,则对角线上的向量
AC?a?b
,这个法则叫做向量求和


的平行四边

形法则.



向量的运算性质:

向量加法的交换律:
a?b?b?a

向量加法的结合律:
(a?b)?c?a?(b?c)

注:
关于
0

a?0?0?a?a

3
) 向量求和的多边形法则:已知
n
个向量,依次把这
n
个向量首尾相连,以第一 个向量的
始点为始点,第
n
个向量的终点为终点的向量叫做这
n
个向 量的和向量.这个法则叫做向量
求和的多边形法则.

2.向量的减法:
d
d
c
c
a
b
a+b+c+d
a
b


B
b
a-b

O
a
A

1
)相反向量:与向量
a
方向相反且等长的向量叫做
a
的相反向量,记 作
?a


注:
零向量的相反向量仍是零向量.

2
)差向量定义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为
始点 ,被减向量的终点为终点的向量.

推论:
一个向量
BA
等于它的终 点相对于点
O
的位置向量
OA
减去它的始点相对于点
O
的位
置向量
OB
,或简记

终点向量减始点向量

.< br>
3
)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量

3.向量的数乘
数乘向量:
实数
?
和向量
a
的乘 积是一个向量,记作
?
a
,且
?
a
的长
?
a?
?
a

4.向量共线的条件:
如果
a?
?< br>b
,则
a

b
;反之,如果
a

b
,且
b?0
,则一定存在唯一的一个实数
?

使
a ?
?
b



典型例题
一.解答题(共8小题)
1.(2017春?新建区校级月考)如图,在△ABC中,设点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.

(Ⅰ)若,求λ和μ的值;
< br>,,AP的中
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形
ANPM和三角形ABC的面积之比.




2.(20 16春?徐汇区校级月考)设=(cos25°,sin25°),=(cos70°,sin70°),=+k ,
求||的最小值.





3 .(2017春?德惠市月考)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为BC与DC
中点,G为B F与DE交点,若,,试以,为基底表示下面向量

(1)

(2)

(3)

(4).



4.(2015春?德州 校级月考)如图在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC
的中点,已知=,=,试用,表示, .




5.(2015秋?宿迁期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(2,1),B(4,5),
C(﹣1,﹣1).

(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

(2)若向量与向量垂直,求实数t的值.








6.(2016春?安徽校级期中)平面内有一个△ABC和一点O( 如图),线段OA,
OB,OC的中点分别为E,F,G,BC,CA,AB的中点分别为L,M,N, 设=,
=,=.

(1)试用,,表示向量,,;

(2)证明:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.









7.(2016秋?江门月考)某人在静水中游泳的速度为
度为4千米时的河中游泳.

(Ⅰ)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为
千米时,他现在 水流速


多少?

(Ⅱ)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为
多少?








8.(2014?长葛市 三模)已知圆C
1
的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l
1
:x﹣
2 y+3=0相切,设点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足=+
(1﹣),设动点N的轨 迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程,

(Ⅱ)直线l与直线l
1
垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.



平面向量的基本概念与线性运算

C. 位移

D. 密度
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 下列各量中不是向量的是


A. 浮力
2. 如图,点 是
B. 风速
的重心,则



A. B. C. D.


3. 下列结论中,正确的是





A.

长的有向线段不可能表示单位向量
B. 若 是直线 上的一点,单位长度已选定,则 上有且只有两个点 ,,使
, 是单位向量
的向量与南偏东 的向量不可能是平行向量
不能表示这个人从 点到
C. 方向为北偏西
D. 一人从 点向东走 米到达 点,则向量
点的位移

4. 下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功,其中不是
向量的有


A. 个

B. 个 C. 个 D. 个



5. 如图,在 中,, 是 上的一点,若 ,则实
数 的值为



A. B. C. D.
6. 有三个命题;①向量 与 是共线向量,则 ,,, 必在同一条直线上;
②向量 与 平行,则 与 的方向相同或相反;③单位向量都相等,其中真命
题有


A. 个
7. 已知等差数列

B. 个
的前 项和为 ,若
等于
C. D.
C. 个 D. 个
,且 三
点共线(该直线不过点 ),则


A. B.
8. 已知 是正 的中心.若 ,其中 ,,则 的值为



A. B. C. D.
9. 设向量 和 的长度分别为 和 ,夹角为


A. B.

C.
,则

等于
D.


10. 下列命题不正确的是




A. 向量 与 是一对相反向量
中,,则此四边形是平行四边形 B. 若四边形
C. 向量 是与 同方向的单位向量


D. 若 ,则
成立,则下列各式成立的是 11. 若两个非零向量 , 使得





A.
B.
C.
D.
12. 已知 是正三角形
的面积之比是




内部一点,

,则 的面积与
A. B. C. D.


二、填空题(共5小题;共29分)
13. 设 是正方形
共线;④
14. 已知四边形
的中心,下列结论:① ;② ;③ 与

.其中正确结论的序号为 .
是菱形,,,则 ,

15. 在

中,点 在边 上,若 ,则 用 , 表示为


16. 如图,在 中, 为边 上的中线,,设 ,若
(),则 的值为 .


17. 判断题:

















(1) 与 是两平行向量.
. (2)若 是单位向量, 也是单位向量,则
(3)长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量.
(4)与任一向量都平行的向量为零向量.
(5)四边形 是平行四边形,当且仅当 .
(6)两向量相等,当且仅当它们的起点相同,终点也相同.
(7)若
(8)若
(9)若
答案:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

,,则
,且

,则四边形 是菱形.
是共线向量,则 ,,, 四点必在同一直线上.









(8)
(9)
解析:
(2)单位向量是模为 的向量,但方向不确定.
(6)两向量相等指的是模相等,方向相同.
(7)当 时, 与 可以不共线.
(9)共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量在同一
直线上.


三、解答题(共5小题;共65分)
18. 在四边形

形.
19. 如图,已知四边形

为正方形,且边长为 , 为
集合
,求集合 ,.
, 的交点.设点集

中,已知 ,且 .求证:四边形 是菱


20. 如图,四边形 和 都是平行四边形.

(1)写出与向量
(2)若

相等的向量;
,求 .



21. 如图所示,已知
且 , 和
中,点 是以 为中心的点 的对称点, 在
交于 ,设 ,.
上,

(1)用 和 表示向量
(2)若

22. 如图,四边形
点 从点
、 ;
,求实数 的值.
是正方形,延长 至 ,使得 ,连接 .若动
,其中 出发,按如下路线运动:


(1)当点 为
(2)满足


的中点时,求
的点 有几个?
的值;



平面向量的基本定理及坐标运算
知识讲解
一、平面向量的基本定理
1.
平面向量基本定理:
如果
e
1

e
2
是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任
一向量
a
,存在唯一的一对实数
a
1

a
2
,使
a?
a
1
e
1
?a
2
e
2


2.
基底:
我们把不共线向量
e
1

e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记作
?
e,e
?< br>.
ae?ae
12
1122
叫做向量
a
关于基底e
1
,e
2
的分解式.

??
注:
① 定理中
e
1

e
2
是两个不共线向量;


a
是平面内的任一向量,且实数对
a
1

a
2< br>是惟一的;

③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.

3.平面向量基本定理的证明:
在平面内任取一点
O
,作
OE1
?e
1

OE
2
?e
2

OA?a


由于
e
1

e
2
不 平行,可以进行如下作图:

过点
A

OE
2
的平 行(或重合)直线,交直线
OE
1
于点
M


过点
A

OE
1
的平行(或重合)直线,交直线
OE
2
于点
N


于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数
a
1

a
2

分别有
OM?a
1
e
1

ON?a
2
e
2


所 以
a?OA?OM?ON?a
1
e
1
?a
2
e2

证明表示的唯一性:如果存在另对实数
x

y
使< br>OA?xe
1
?ye
2
,则
a
1
e
1
?a
2
e
2
?xe
1
?ye
2



(x?a
1
)e
1
?(y?a
2< br>)e
2
?0
,由于
e
1

e
2不平行,如果
x?a
1

y?a
2
中有一个不等于0


不妨设
y?a
2
?0
,则
e< br>2
??
x?a
1
e
1


y?a< br>2
E
2
e
2
O
e
1
E
1< br>N
A
M
由平行向量基本定理,得
e
1

e< br>2
平行,这与假设矛盾,因此
x?a
1
?0

y?a
2
?0
,即
x?a
1

y?a
2


4‘证明
A

B

P
三点共线或点在线上的方法:
已知
A

B
是直线
l
上的任意两点,
O

l
外一点,则对直线
l
上任意一点< br>P
,存在实

t
,使
OP
关于基底
OA,O B
的分解式为
OP?(1?t)OA?tOB
……
①,并且满足①式的点
??
P
一定在
l
上.

证明:设点
P
在直线
l
上,则由平行向量定理知,存在实数
t
,使
?t(OB?OA)


AP?tAB
l
P
B
M
A
O

OP?OA?AP?OA?tOB?tOA?( 1?t)OA?tOB

设点
P
满足等式
OP?(1?t)OA?t OB
,则
AP?tAB
,即
P

l
上.

其中①式可称为直线
l
的向量参数方程式

5.
向量
AB
的中点的向量表达式:

M

AB
的中点,则
OM?(OA?OB)
.可推广到
1
?OAB
中,若
M
为 边
AB
中点,则有
OM?(OA?OB)
存在.

2
1
2
二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算:
e
2
互相垂直,如果基底的两个基向量
e
1
,则称这个基底为正交基底.在
1.
向量的直角坐标:
正交基底下分解向量,叫做正交分解.

向量的坐标 表示:
在直角坐标系中,一点
A
的位置被点
A
的位置向量
O A
所唯一确定.设

A
的坐标为
(x,y)
,由平面向量基 本定理,有
OA?xe
1
?ye
2
?(x,y)
,即点A
的位置向量
OA
的坐标
(x,y)
,也就是点
A的坐标;反之,点
A
的坐标也是点
A
相对于坐标原点的位置向量
OA
的坐标.

y
a
a
y
e
2
O
e
1
a
e
2

x
O
e
1
x
3.向量的直角坐标运算:

a?(a
1
,a
2
)

b?(b
1
,b
2
)
,则


a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
)
;②
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
)
;③
?< br>a?
?
(a
1
,a
2
)?(
?
a< br>1
,
?
a
2
)

注:


两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;



数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.


4.
坐 标含义:

A(x
1
,y
1
)

B(x< br>2
,y
2
)
,则向量
AB?OB?OA?(x
2?x
1
,y
2
?y
1
)
;即:一个向
量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.

5.用平面向量坐标表示向量共线条件:

a?(a
1
,a
2
)

b?(b
1
,b
2
)
,则
a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
就是两个向量平行的条件.


若向量
b
不平行于坐标轴,即
b
1
?0

b2
?0
,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.


典型例题
一.选择题(共7小题)
1.(2018?宁城县模拟)已知△ABC中,A=4 5°,B=60°,点H是△ABC的垂心,
存在实数s,t,使得=s,则s,t的值分别为( )

A.s=2﹣,t= B.s=2+,t= C.s=2﹣,t= D.s=,t=2﹣

2.(2018?浙江模拟)如图,在△ABC中,点D,E是线段BC 上两个动点,且
=x,则的最小值为( )


A. B.2 C. D.

3.(2018?西城区一模)已知O是正方形ABCD的中心.若=,其
中λ ,μ∈R,则=( )

A. B.﹣2 C. D.

4.(2018?安顺三模)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若,

A.1
等于( )

B.2 C.3 D.4


5.(2 018?和平区二模)如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=2,
G为线段EF上的一点,且=, =,则μ﹣λ的值为( )


A. B. C. D.

6.( 2018?淮南二模)若直线x+ky=0(k≠0)与函数f(x)=图
象交于不同的两点A,B,且 点C(9,3),若点D(m,n)满足
则m+n( )

A.k B.2 C.4 D.6

=,
=,
7.(2018?和平区二模)如图,在平行四边形ABC D中,已知=2,
G为线段EF上的一点,且=,=,则的值为( )


A. B. C. D.

二.解答题(共11小题)
8.(2017?阳 东县校级模拟)已知,为直角坐标平面xOy内x,y轴正方向上的


单位向量,=(x+ 1)+y,=(x﹣1)+y(x,y∈R),且||+||=6

(Ⅰ)求点M(x,y)的轨迹C的方程;

(Ⅱ)过点(0,1)作直线l与曲线C 交于A,B两点,=,是否存在
直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不 存在,请说
明理由.








9.(2017春?中山市期末)已知,,向量,的夹角为90°,
点C在AB上, 且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R),求的值.










10.(2017春 ?泉州期末)如图,梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB||CD,∠DAB=,

设=λ,=μ(λ>0,μ>0),=(+).

(1)当λ=,μ=时,点A,G,C是否共线,请说明理由;

(2)若△AMN的面积为,求||的最小值.






11.(2016秋?黄山期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,﹣2),B( ﹣
2,3),C(2,﹣1),以线段AB,AC为邻边作平行西变形ABDC.

(Ⅰ)求平行四边形ABDC两条对角线所成的角(非钝角)的余弦值;

(Ⅱ)设实数t满足(




12.(2017春?苏州 期末)平面直角坐标系xOy中,A(2,4),B(﹣1,2),C,
D为动点,

(1)若C(3,1),求平行四边形ABCD的两条对角线的长度

﹣t)⊥=0,求t的值.


(2)若C(a,b),且



,求取得最小值时a,b的值.

13.(2016春?诸暨市 校级期中)如图,矩形OABC的边长OA=a,OC=1,点A,C
分别在x,y正半轴上,D在AC 上,
BC于点E,交y轴于点F.

(1)写出AC中点及D坐标(用a表示);

(2)若直线l交y轴于负半轴,求a的取值范围;

(3)若直线l交y轴于正半轴,且l分矩形两部分的面积之比是2:7,求|CE|.

=,直线l垂直AC于D,且交直线



14.(2015春?绵 阳期末)如图,=(6,1),=(2,﹣3),=(x,y),
∥.

(1)求x与y间的关系;

(2)若⊥,求x与y的值以及四边形ABCD的面积.







15.(2015春?张掖校级月考)已知平面上三个点坐标为A(3 ,7),B(4,6),
C(1,﹣2),求点D的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.




16.(2012?普陀区一模)已知函数f(x)=kx +2,k≠0的图象分别与x轴、y轴
交于A,B两点,且,函数g(x)=x
2
﹣x ﹣6.当满足不等式f(x)
>g(x)时,求函数y=


的最小值.

17.(2012秋?沙坪坝区校级月考)已知直线l的方向向量为=( 1,1),且过直
线l
1
:2x+y+1=0和直线l
2
:x﹣2y +3=0的交点.

(1)求直线l的方程;

(2)若点P(x
0
,y
0
)是曲线y=x
2
﹣lnx上任意一点,求点P到直线l的距 离的最
小值.



18.(2011秋?徐汇区校级期中)已知函数f(x)=3
x
+k (k为常数) ,A(﹣2k,


2)是函数y=f

1
(x)图象上的点.< br>
(1)求实数k的值及函数f

1
(x)的解析式;
(2)将y=f

1
(x)的图象按向量=(3,0)平移,得到函数y=g(x )的图象,
若2f

1
(x+m﹣3)﹣g(x)≥1恒成立,求正实数m的 取值范围.


平面向量的基本定理及坐标运算

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 已知 在 上的投影为 , 在 轴上的投影为 ,,设 ,
则 为


A. B. C. D.
2. 和直线



A.
C.
3. 已知



A.
C.






平行的向量 及垂直的向量 分别是


,则
B.
D.


B.
D.


等于



4. 已知向量 与向量 共线,其中 是 的
内角,则角 的大小为


A. B. C. D.
5. 设向量

,,若向量 与向量 共线,则 的值


A. B.
6. 已知向量集合
,则
A.
C.
C. D.


B.
D.






7. 设 ,,,点 是线段 上的一个动点,

,若
,则实数 的取值范围是
A. B.


C. D.
8. 已知向量


A.
9. 若向量


10. 已知 ,
A.


B.
,则
B.
.若 与 垂直,则
C.
与 的夹角等于
C.

D.

D.
,.若点 是 所在平面内的一点.且
,则 的最大值等于


A. B. C. D.
11. 设两个向量 和 ,其中 均为实
数.若 ,则 的取值范围是


A. B. C. D.
12. 已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点,, 为
坐标原点,则


A.
的最大值为
B.

C. D.



二、填空题(共5小题;共25分)
13. 在平面直角坐标系 中,已知 ,,若 ,则
实数 的值为 .

14. 在平面直角坐标系 中,已知 ,.若 ,
则实数 的值为 .

15. 已知向量 ,,,且 ,, 三点共线,则


16.
个向量集合,则

17. 在平面直角坐标系中, 为原点,
则 的最大值是 .
,动点 满足 ,

等于 .
是两


三、解答题(共5小题;共65分)
18. 已知
(1)
(2)
?
?
,,当 为何值时,
(3) 与 的夹角为钝角?

19. (1)若向量
(2)在直角坐标系
三点共线.

20. 已知向量
(1)若向量
,向量
与向量

垂直,求实数 的值;

中,已知
共线且方向相同,求 .
,,,求证: 、 、


(2)当 为何值时,向量

向.
21. 已知向量 ,
与向量 平行?并说明它们是同向还是反
,.
(1)若
(2)求

22. 设
,求 ;
的最大值.
,, 、 两点满足 ,,
,求 、 两点的坐标(其中 是坐标原点).



平面向量的数量积及向量的应用
知识讲解
一、两个向量的夹角
定义:< br>已知两个非零向量
a

b
,作
OA?a

O B?b
,则
?AOB
称作向量
a
和向量
b

的夹
角,记作
?a,b?
,并规定
0≤?a,b?≤
?
, 在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定
了,并且有
?a,b???b,a?
.当< br>?a,b??
π

时,我们说向量
a
和向量
b
互相垂直,记作
a?b

2
二、向量的数量积(内积)定义
,记 作
a?b
,即
1.
定义:
abcos?a,b?
叫做向量< br>a

b
的数量积(或内积)
a?b?abcos?a,b?

2.向量内积的性质

e
是单位向量,则
a?e?e?a?aco s?a,e?



a

b?a?b?0
,且a?b?0?
a

b



a?a?a
,即
a?a?a



cos?a,b??
a?b
ab
2



a?b≤ab


3.向量数量积的运算律
①交换律:
a?b?b?a

?
(a?b)?(
?
a)?b?a?(< br>?
b)


②分配律:
(a?b)c?a?c?b?c



三、向量数量积的坐标运算与度量公式
1.
向量内积的坐标运算:
建立正交 基:
?
e
1
,e
2
?
,已知
a?(a1
,a
2
)

b?(b
1
,b
2)

a?b?a
1
b
1
?a
2
b2

2.
垂直条件:
a
?
b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?0

3.
向量的 长度公式:
已知
a?(a
1
,a
2
)
,则
a?a
1
2
?a
2
2
,即向量的长度等于它的坐标平
方和的算术平方根.

4.两点间的距离公式:
如果
A(x
1< br>,y
1
)

B(x
2
,y
2
),则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2


cos?a?b??
a
1
b
1
?a
2
b
2
a
1
2
?a
2
2
b
1
2
?b
2
25.两个向量夹角余弦的坐标表达式:


典型例题
一.选择题(共2小题)
1.(2018春?越城区校级期中)两非零向量,满足:||=| |,且对任意的x
∈R,都有|+x|≥
范围是( )

A.[(),(
,若||=2||,0<λ<1,则的取值
)] B.[(),) C.[(),2]
D.[1,()]

2.(2018春?温州期中)已知△ABC 中,AB=4,AC=2,若
最小值为2,则△ABC的面积为( )

A. B. C. D.


二.填空题(共8小题)
3.(2017?浙江模拟)设点 P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点,则?
(+)的取值范围为 .

4.(2017?浙江模拟)平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,∠BAD=,点E为BC< br>的中点,则的值为 .


5.(2017?浙江学业考试)正四面体 A﹣BCD的棱长为2,空间动点P满足
||=2,则的取值范围是 .

6 .(2016春?杭州期末)在矩形ABCD中,AB=2AD=2,若P为DC上的动点,则?
﹣的最 小值为 .



7.(2011春?温州期末)如图,△AOE和 △BOE都是边长为1的等边三角形,延
长OB到C使|BC|=t(t>0),连AC交BE于D点, 则向量
为 .

和的夹角的大小

8.(2008秋?绍兴期 末)在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中,D是CC
1
的中点,F是A
1
B
的中点,且=x+y,则x= ,y= .

9.设是两个互相垂直的单位向量,,,若⊥
,则λ的值为 .

10.有两根柱子相距20m,分别位于电车的两侧,在两柱之间连接一条水平的绳
子,电车的 送电线就悬挂在绳子的中点.如果送电线在这点垂直向下的作用力是
17.8N,则这条呈水平的绳子的 中点下降0.2m,求此时绳子所受张力的大小.



三.解答题(共8小题)
11.(2017秋?昌吉市期末)已知平面向量=(1,x),=(2x+3,﹣x)


(1)若与垂直,求x;

(2)若∥,求x.



12.(2017秋?黔南州期末)已知(x∈R,
a∈R,a是常数),且(其中 O为坐标原点).

(1)求函数y=f(x)的单调区间;

(2)若





13.(2018春?上高县 校级期末)已知||=4,||=3,(2﹣3)?(2+)=61.

时,f(x)的最大值为4,求a的值.

(1)求与的夹角θ;

(2)若




,且=0,求t及||

14.(2016秋?淄博校级月考)已知||=1,||=,


(1)若、的夹角为60°,求|+|;

(2)若﹣与垂直,求与的夹角.

(3)若∥,求?.







15.(2018春?武平县校级月考)如图所 示,在△ABC中,点O是BC的中点,过
点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M,N,记, ,

(1)若不相等的两个向量与共线,求实数k的值.

(2)若,求的值.






16.(2018春?南阳期末)如图,已知△OCB中,B、C关于点A对称,D是将OB


分成2:1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=,=.

(1)用,表示向量,;

(2)若=λ,求实数λ的值.









17.( 2017春?府谷县校级期末)在直角坐标系xOy中,已知点P(2cosx+1,
2cos2x+2 )和点Q(cosx,﹣1),其中x∈[0,π].若






18.(2017春?南木林县校级期末)(1)已知,,且(+k)⊥(
与垂直, 求x的值.

﹣k),求k的值;

(2)已知平面向量与向量

平行,且,求向量的坐标.

平面向量的数量积及向量的应用

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 用力 推动一物体 ,使其沿水平方向运动 , 与竖直方向的夹角为 ,则 对
物体 所做的功为
A.

2. 已知菱形 的边长为 ,,则
B.

C. D.



A. B. C. D.
3. 人骑自行车的速度为 ,风速为 ,则逆风行驶的速度的大小为




A. B. C. D.
4. 若两个非零向量 , 满足
角是
,则向量 与 的夹


A. B. C. D.
5. 设 ,, 均为非零向量,若



A.
C.


B.
D.

,则

.若 6. 当两人提起重量为
,则


A.
7. 在

中, 为

的旅行包时,夹角为 ,两人用力大小都为

B.
中点, 为
C.

D.
,若 中点,设
,则 的值是


A. B. C. D.
8. 在



A. 重心
9. 在
内,存在一点 ,使 最小,则点 是 的
B. 外心
中,点 满足 ,
C. 垂心

D. 内心
内一点,且满足
,则
A. B. C. D.



10. 定义
;②



A.
C.
11. 设 是


内一点,且 ,
为两个向量 , 间的“距离”,若向量 , 满足:①
;③对任意的 ,恒有
B.
D.
,定义



,则
其中 ,, 分别是 ,, 的面积,若 ,则
的最小值是


A. B. C. D.
12. 在边长为 的正六边形
别为 ,,,,
中,记以 为起点,其余顶点为终点的向量分
;以 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 ,,
,,.若 , 分别为 的最小值、最大值,
其中
A.






B. ,
,则
C.
, 满足


D.



二、填空题(共5小题;共25分)
13. 已知力 的大小为
向运动了

14. 已知 是平面



15. 平面内三个力 ,, 作用于同一个点且处于平衡状态,已知 , 的大小分
①若
②若
,则
,则
上一点,,.
,与水平方向的夹角为 (斜向上),使物体沿水平方
,则力 所做的功为 .

的最大值为 .
别为 ,, 与 的夹角为 ,则 与 的夹角

是 .
16. 已知 是平面


①若
②若
,则
,则
中,

上一点,,.

的最大值为 .
,,,,若
的取值范围

17. 如图,在直角梯形
, 分别是线段 上的动点,则
是 .



三、解答题(共5小题;共65分)
18. 已知 ,,, 的夹角为 ,如右图,若 ,,
为 的中点,求 .




19. 在风速为

的西风中,飞机以 的航速向西北方向飞行,
求没有风时飞机的航速和航向.
20. 已知
(1)若
(2)若

,求
, 与 的夹角为 .

与 垂直,求 .



21. 质量 的木块,在平行于斜面向上的拉力
的光滑斜面向上滑行
的作用下,沿斜面角
的距离(如图所示)




(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功;
(2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多少?
,,今有动点 从 开始,沿着与向量


开始,沿
,设 , 在
22. 已知
同的方向做匀速直线运动,速度为
着与向量
时分别在


;另一动点
相同的方向做匀速直线运动,速度为
, 处,问当 时所需的时间 为多少?



倍角公式和半角公式
知识讲解
一、倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?

< br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

tan2
?
?
2tan
?

1?tan
2
?
33
3tan
?
?tan
3
?
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?

co s3
?
?4cos
?
?3cos
?

tan3?
?
1?3tan
2
?
二、半角公式
sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?

cos??


2
22
1?cos
?
1? cos
?
sin
?

??
1?cos
?
s in
?
1?cos
?
tan
?
2
??
三、 万能公式
2tan
sin
?
?
?
2

c os
?
?
1?tan
2
1?tan
2
?
?
2

tan
?
?
2
2tan
?
2

1?tan
2
?
2
1?tan
2
?2
四、公式的推导
sin2
?
?sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
?2sin
?
cos
?

cos2
?
?cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
??sin
?
?sin
?
?cos
2
?
?sin
2
?

再利用
sin
2
?
?cos
2
?
?1
,可得:


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
2tan
?
?

1?tan
?
?tan
?
1?tan
2
?
tan
?
2
sin?
cos
?
?
2
??
2
2
??
1?cos
?

?
1?cos
?
cos
2
2
sin
2
?
tan
?
2
sin
?cos
sin
?
cos
?
?
2
?
2< br>2
?
1?cos
?

??
sin
?
2sincos
22
2
2
?
sin
?

? ?
1?cos
?
2coscos
22
2
cos
2s in
?
sin
?
tan
?
2
?
?
2
?
2
2cos
?
sin
?
?
2
【说明】
这里没有考虑
来单独讨论一下.
?sin
?
2
? 0
,实际处理题目的时候需要把等于0的情况分出
五、综合运用
1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用
1
)并项功能:
1?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?< br>?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

2
)升次功能



cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
? 2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

3
)降次功能:

cos
?
?
2
1?c os2
?
1?cos2
?
,sin
2
?
?

22
2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有:
1
)角的变换:和、差、 倍、半、互余、互补的相对性,有效沟通条件与结论中角的差异,

比如:
15??45??30??60??45??
30?
,
2< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?2?
?
2

ππ
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?(?< br>?
)?(?
?
)

44
?
??
2< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
2
??
4
??
4
??
3
??
6
?
2
?
π
??
π
??
π
??
π
??
π
?< br>π


?
π
??

??
π
??

??
π
??

?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
π

?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>4
??
4
??
3
??
3
??
6??
6
?
2
)函数名称的变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名 函数,在三角函数中正余弦
是基础,通常化切为弦,变异名为同名;有时可以使用万能公式将所有函数名 化为正切;

3
)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,

2222
例如:
1?sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan
?
?sin
ππππ
?tan?2sin?2s in


2464
4
)幂的变换:降幂是三角变换时常用的方法

常用的降幂 公式有:
cos
2
?
?
1?cos2
?
sin2
?
?
1?cos2
?
,但降幂并非绝对,有时也需要对某22
些式子进行升幂处理,比如
1?cos2
?
?2cos
2< br>?
,1?cos2
?
?2sin
2
?

< br>1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2


5
)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用, 逆用及变形应用,

例如:
tan
?
?tan
?
? tan(
?
?
?
)?(1tan
?
?tan
?)


6
)辅助角公式的运用:在求值问题中,要注意辅助角公式
y?asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
??
?
?
?
的应用,其中
tan
?
?
号 确定.

b
?
,所在的象限由
a,b
的符
a


典型例题
一.填空题(共1小题)
1.(2012?北京模拟)如果函数y=cos
2
ωx﹣sin
2
ωx的最小正周期是4π,那么正数
ω的值是 .

二.解答题(共12小题)
2.(2018春?晋江市校级期中)已知向量、是 两个相互垂直的单位向量,向
量=2﹣,=﹣+2.

(1)求以及向量在向量方向上的投影;

(2)设向量与的夹角为α,求tan2α;

(3)若t∈R,求|﹣t|的最小值.





3.(2018?辽宁模拟)已知函数f(x)=2cos2x+sin
2
x.

(Ⅰ)求f()的值;

(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.






4.(2017春?殷都区校级期末)已知函数f(x)=
∈R).

(1)求函数f(x)最小值和最小正周期;

(2)若A为锐角,且向量=(1,5)与向量=(1,f(﹣A))垂直,求cos2A.






5.(2017?青羊区校级模拟)设a,b, c分别是△ABC三个内角∠A,∠B,∠C
的对边,若向量,,且
sin
2
(x+)﹣cos
2
x﹣(x


(1)求tanA?tanB的值;

(2)求




6.(2015秋?硚口区期末)当α≠(2k+1)π,k∈Z时,等式
立,我们 把这个恒等式叫“半角公式”.

(1)证明上述半角公式;

(2)若α,β都是锐角,,试求的值.

恒成
的最大值.






7.(2014春?浏阳市校级月考)已知 0<β<<α<,cos(2α﹣β)=﹣,sin
(α﹣2β)=,求sin的值.

8.(2011春?天河区校级期中)已知sinα=,sin(α+β)=,α与β均为锐角,
求c os.(cos





9.已知







,求证:y=x
2
﹣4x+5.

10.(2017秋?烟台期中) 设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若
向量
(1)求a:b:c;

(2)若△ABC外接圆的半径为14,求△ABC的面积.


与向量共线,且A=120°.






11.(2016秋?黄陵县校级月考)已知向量
与为共线向量,且α∈[﹣π,0].

(Ⅰ)求sinα+cosα的值

(Ⅱ)求

12.(201 6春?长治校级期中)已知函数f(x)=sin(3x+).若α是第二象限的
的值.

角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.





13.(2015秋?临河区校级期末)已知
(1)求cos2α的值;

(2)求

,.

的值.

倍角公式和半角公式

一、选择题(共12小题;共60分)
1. 已知 ,则

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