高中数学必修四章末检测

第一章 三角函数(A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．sin 600°＋tan 240°的值是( )

A．－
3
2


C．－
1
2
＋3 ＋3

2．已知点P< br>?
?
sin
3
4
π，cos
3
4
π
?
?
落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(



3．已知tan α＝
3
4
，α∈
?
3
?
π，
2
π
?
?
，则cos α的值是( )

A．±
4
5
C．－
4
5


4．已知sin(2π－α)＝
4
5
，α∈(
3π
sin α＋cos α
2
，2π)，则
sin α－cos α
等于( )

B．－
1
7
C．－7 D．7

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝
π
8
对称，则φ可能取值是(

B．－
π
4


6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是(

∪
?
?
π，
5π
4
?
?
∪
?
?
π，
5π
4
?
?

∪
?
5π
?
4
，
3π
2
?
?
∪
?
3π
?
4
，π
?
?


7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )

)
)
)

π
2x－
?
的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( ) 8．为了得到函数y＝sin
?
6
??

π
A．向右平移个单位长度
6

π
B．向右平移个单位长度
3

π
C．向左平移个单位长度
6

π
D．向左平移个单位长度
3

π
9．电流强度I(安) 随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所
2
1
示，则当t＝秒时，电流强度是( )
100

A．－5 A B．5A C．53 A D．10 A

10．已知函数y ＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为
x
1
、x
2
，若|x
2
－x
1
|的最小值为π，则 ( )

π
1
π
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝
，θ＝

222

1
ππ
C．ω＝
，θ＝
D．ω＝2，θ＝
244

π4π
11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右 平移个单位后与原图象重合，则ω的最
33
小值是( )

D．3

4π
12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(
， 0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
3





题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12


答案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．

1
14．方程sin πx＝x的解的个数是________．
4

7π
15． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.
12

πx
16．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大 值，则正整数t的最小值是________．
3

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)求函数y＝3－4sin x－4cos
2
x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x
的值．

ππ
2x＋
?
＋3，x∈
?
0，
?
的最大 值为4，求实数a的值． 18．(12分)已知函数y＝acos
?
3
???
2
?

π
19. (12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ ≤)的图象与y轴交于点(0，
2
3)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

π
3
(2)已知点A(
，0)， 点P是该函数图象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，当y
0
＝
，x
0
∈
22
π
[，π]时，求x
0
的值．
2

sin?π－α?·cos?2π－α?·tan?－α－π?
20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
tan?－α?·sin?－π－α?

(1)化简f(α)；

3
1
α－π
?
＝
，求f(α)的值；
(2)若cos
?
?
2
?
5

(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

π
其中A>0，ω>0 ，0<φ<
?
的图象与x轴的交21．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) ，x∈R
?
2
??
2π
π
，－2
?
. < br>点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为M
?
3
??
2

(1)求f(x)的解析式；

ππ
?
(2 )当x∈
?
?
12
，
2
?
时，求f(x)的值域．

π
22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．
2

(1)求函数f(x)的解析式；

5π
0，
?
上有两个不同的实根，试求a的取值范围． (2)若方程f(x)＝a在
?
3
??

第一章 三角函数(A)

答案

1．B

44
3π
3
4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α∈(，2π)，∴cos α＝.
5525

sin α＋cos α
1
∴＝，故选A.]
sin α－cos α
7

π
??
π
＋φ
?
是否取到最值即可．] 5．C [检验f
?
＝sin
?
8
??
4
?

6．B [sin α－cos α>0且tan α>0，

ππ
?5
，
或α∈
?
π，π
?
.]
∴α∈
?
?
42
??
4
?

7．D [当a＝0时f(x)＝1，C符合，

当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，

当|a|>1时T<2π，B符合．

排除A、B、C，故选D.]
< br>π
π2π
2
π
π
2x－
?
＝cos
?
－
?
2x－
6
?
?
＝cos
?
－2x
?
＝cos
?
2x－
π
?
＝cos2
?
x－
?
.] 8．B [y＝sin
?
6
?
?
?
3
???
3
???
3
?
?
2< br>?

T411
9．A [由图象知A＝10，＝－＝，
2300300100

1
2π
∴T＝，∴ω＝＝100π.
50T

∴I＝10sin(100πt＋φ)．

1
(，10)为五点中的第二个点，
300

1
π
∴100π×＋φ＝.
3002

ππ
∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，
66

1
当t＝秒时，I＝－5 A，故选A.]
100

π
10．A [∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
2

∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x
1
，x
2
，

|x
2
－x
1
|
min
＝π，即T
min
＝π，

2π
∴＝π，ω＝2，故选A.]
ω

44
11．C [由函数向右平移
π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，
33

2π
433
∴·k＝
π，∴ω＝
k(k∈Z )，∴ω
min
＝.]
ω
322

4π4π
12．A [∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，即3cos(2×＋φ)＝0，
33

8ππ
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
32

13ππ
∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值.]
66

13．(6π＋40) cm

3π
解析 ∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.
10

∴周长为(6π＋40) cm.

14．7

1
解析 在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所
4
以方程有7个解．

15．0

3
5ππ2π
解析 方法一 由图可知，T＝－＝π，即T＝，
2443

2π
∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，
T

π3π
将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.
44

3π3π
∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.
44

7π7π3π
∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.
1244

3
5ππ2π
方法二 由图可知，T＝－＝π，即T＝.
2443

T
7ππππ
又由正弦图象性质可知，若f(x
0
)＝f(x
0
＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0.
212434

16．8

解析

5T
T＝6，则≤t，
4

15
∴t≥，∴t
min
＝8.
2

17．解 y＝3－4sin x－4cos
2
x＝4sin
2
x－4sin x－1

1
sin x－
?
2
－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1， ＝4
?
2
??

1
t－
?
2
－2 (－1≤t≤1)． ∴y＝4
?
?
2
?

1
π5π
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，
266

y
min
＝－2；

3π
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，y
max
＝7.
2

π
π
π4π
0，
?
，∴2x＋∈?
，
?
， 18．解 ∵x∈
?
?
2
?
3
?
33
?

π
1
2x＋
?
≤. ∴－1≤cos
?
3
?
2
?

π
11
2x＋
?
＝时，y取得最大值a＋3， 当a>0，cos
?
3
?
2
?
2

1
∴a＋3＝4，∴a＝2.
2

π
2x＋
?
＝－1时，y取得最大值－a＋3， 当a<0，cos
?
3
??

∴－a＋3＝4，∴a＝－1，

综上可知，实数a的值为2或－1.

19．解 (1)将x＝0，y＝3代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝

ππ
因为0≤θ≤，所以θ＝.
26

3
，
2
2π2π
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
T
π

π
(2)因为点A(，0)，Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，
2

3
π
y
0＝，所以点P的坐标为(2x
0
－，3)．
22

ππ
又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x
0
≤π，
62

5π
3
7π5π19π
所以cos(4x
0
－)＝，且≤4x
0
－≤，
62666

5π11π5π 13π2π3π
从而得4x
0
－＝，或4x
0
－＝，即x
0
＝，或x
0
＝.
666634

sin α·cos?－α?·[－tan?π＋α?]－sin α·cos α·tan α
20．解 (1)f(α)＝＝＝cos α.
－tan α[－sin?π＋α?]－tan α·sin α

33
α－π
?
＝cos
?
π－α
?< br>＝－sin α，
(2)∵cos
?
?
2
??
2
?

3
11
α－π
?
＝
，∴sin α＝－. 又cos
?
?
2
?
55

又α是第三象限角，

26
∴cos α＝－1－sin
2
α＝－
，
5

26
∴f(α)＝－.
5

1
(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝.
2

2π
，－2
?
得A＝2. 21．解 (1)由最低点为M
?
?
3
?

π
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
2

T
π2π2π
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
22T
π

2π2π
，－2
?
在图象上得2sin
?
2×＋φ
?
＝－2， 由点M
?
3
?
3
???

4π?
即sin
?
?
3
＋φ
?
＝－1，

4ππ
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
32

11π
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
6
π
π
0，
?
，∴φ＝， 又φ∈
?
?
2
?
6
π
2x＋
?
. 故f(x)＝2sin
?
6
??
ππ
?
π
π7π< br>，
，∴2x＋∈
?
，
?
， (2)∵x∈
?
?
122
?
6
?
36
?
πππ
当2x＋＝ ，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626
π7ππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
662
故f(x)的值域为[－1,2]．
22．解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
7π2π
?
T＝4×
?
?
6
－
3
?
＝2π，A＝1，所以ω＝1.
ππ
方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，
33
π
x＋
?
. 所以 函数解析式为f(x)＝sin
?
?
3
?
ππ
π
－ ，0
?
，则sin
?
－＋φ
?
＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈ Z. 方法二 由图象知f(x)过点
?
?
3
??
3
?3
π
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
3
π
π
0，
?
，∴φ＝， 又∵φ∈
?
?
2
?
3
π
x＋
?
. ∴f(x)＝sin
?
?
3
?
5π5π
0，
?上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在
?
0，
?
上有 两(2)方程f(x)＝a在
?
3
?
3
???
π5π
x＋
?
在
?
0，
?
上的图象，个交点，在图中作y＝a的 图象，如图为函数f(x)＝sin
?
当x＝0时，
3
??
3
??
3
5π
3
f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两 个交点时，a∈
?
，1
?
∪(－1,0)．
23
?
2
?