高中数学必修4 任意角的三角函数

任意角的三角函数
知识与技能：
1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
过程与方法：
1理解并掌握任意角的三角函数的定义；
2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
3通过对定义域，三角函数值 的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、
探究、解决问题的能力。
2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：三角函数的定义 ；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象
限内的符号以及诱导公式一
教学难点：任意角三角函数的定义．
一．复习引入
思考：我们已经学过锐角三角函 数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函
数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来 表示锐角三角函数吗？

结论：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c ，锐角A的正弦，余弦，
aba
正切依次为：
sinA?,cosA?,tanA?< br>ccb

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数
思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角
?< br>的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在
?
的终边上任取一点
P(a,b)
,它与原点的距离
r?a
2
?b
2
?0
.过
P
作
x
轴的垂线,垂足为
M
,则线段
OM
的长度为
a
,线段MP
的长度为
b
.
MPb
?
; 则
sin< br>?
?
Y
OPr
OMa
cos
?
??
;
P(a,b)
OPr
MPb
?
?
. tan
?
?
x
OM
OMa
思考2：对于确定的角
?
，这三个比值是否会随点
P
在
?
的终边上的位置
的改变 而改变呢？为什么?

------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------
１

根据相似三角形的知识，对于确定的角
?
，三个比值不以
点P在
?
的终边上的位置的改变而改变大小.
Y
我们可以将点P取 在使线段
OP
的长
r?1
的特殊位置上，
?
这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
OM
A( 1,0)
MPOMMPb
sin
?
??b
;
cos
?
??a
;
tan
?
??
.
OPOPOMa
单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点
O
为圆心,以单位长 度为半径的圆称为单位
圆.
上述P点就是
?
的终边与单位圆的交点, 锐角
?
的三角函数可以用单位圆上点的坐
标表示.
二新课讲授
1.任意角的三角函数的定义
结合上述锐角
?
的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.
如图,设
?
是一个任 意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
(1)
y
叫 做
?
的正弦(sin),记做
sin
?
,
即
sin
?
?y
；
P(x,y)
?
O
A( 1,0)
1
P(a,b)
x
Y
（2）
x
叫做
?
的余弦(cos),记做
cos
?
,
即
cos
?
?x
；
y
（3）叫做
?的正切(tan),记做
tan
?
,
x
y
即
tan
?
?(x?0)
.
x
思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? < br>说明:(1)当
?
?
x
?
2
?k
?
(k?Z)
时，
?
的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐标
x
y
无意义,除此情况外，对于确定的值
?
，上述三各值都是
x< br>都等于
0
，所以
tan
?
?
唯一确定的实数. (2)当
?
是锐角时，此定义与初中定义相同；当
?
不是锐角时，也能够 找出三角函数，
因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点
P(x,y)，从而就必然能
够最终算出三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函
数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
2.利用定义求角的三角函数值
5
?
例1.求的正弦,余弦和正切值. < br>3
5
?
3
Y
---------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------
２

O
A(1,0)
x
B

解：在直角坐标系中，作
?AOB?
5
?
,
3
13
?AOB
的终边与单位圆的交点坐标为
(,?)，所以
22
sin
5
?
35
?
15
?
??,cos?,tan??3

32323
5
?
7
?
变为呢？
36
思考 ：如果将
例2．已知角
?
的终边过点
P
0
(?3,?4)< br>，求角
?
的正弦,余弦和正切值.
思考：如何根据例题1解答
思考：一般的，设角
a
终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则
yxy
sina?,cosa?,tana?
，你能自己给出证明吗？
rrx
思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？
3．三角函数的定义域和函数值符号
探究：
请根据上述任意角的三角函数定义，先 将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定
义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表

函
定 义 域
数
y?sin
?

y?cos
?

y?tan
?

R

R

{
?
|
?
?
?
2
? k
?
,k?Z}


例3. 求证：当下列不等式组成立时，角
a
为第三象限角，反之也对
---------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------
３

?
sina?0

?

?
tana?0
证明：如果
sina?0
成立 ，那么角
a
的终边可能位于第三或第四象限，也可能与
y
轴
的非负半 轴重合;如果
tana?0
，所以角
a
的终边可能位于第一或第三象限
所以，角
a
的终边只能位于第三象限，时第三象限角
反过来，请同学们自己证明
变式训练（一）判断下列各式的符号 1.
sin340
0
?cos265
0
2.
sin4?tan(?
（二）求函数
y?sina?tana
的定义域
4.诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得
到一组公式
sin(a?k?2
?
)?sina

cos(a?k?2
?
)?cosa

tan(a?k?2
?
)?tana

利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到
2
?
的三角函数值
例4.确定下列三角函数值的符号：
?
（1）
cos250
0
（2）
sin(?)
（3）
tan(?672
0
)
（4）
tan3
?

4
25
?
15
?
?tan(?)
变式训练（一）求下列各式的值 1.
cos
34
2.
sin420
0
cos750
0
?sin(?690
0
)cos(?66 0
0
)


基础训练：
A组
1．
sin120??cos120?
= ( )
A．
1?3

2
23
?
)

4
B．
?1?3

2
C．
1+3

2
D．
3?1

2
si?n
相2．下列哪个三角函数值与
（ ）
A．
sin50?
B．
?cos50?
C．
cos50?
D．
?sin50?

3．
tan225??cos240?
=________________
??
4．化简：
sin(
?
?
?
)sin(
?< br>?
?
)?sin(?
?
)sin(?
?
)
= _____________
22
9
5．若
cos
?
?s in
?
，且
?
?(0,
?
)
，则
?
?
_______________
7
13
6．
cos(
?
?
?
)??,
?
?
?
?2
?
，则
sin(3
?
?
?
)?
______________
22
1
7．
cos(75??
?
)?
，且
?
为第三象限角，则
sin(
?
?105?)
=_________ ____
3
B组
----------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------------
４

等

8．设A、B、C为△ABC的三个内角，则表达式①
sin(A?B)?sinC
；②cos(
③
tan
A)?coBs?C
；
A?BCA?BCtan
；④
sin
2
?cos
2
，其中一定为常数的是 __________________
2222
9．已知
tan
?
?3
，则
2cos(
?
?
?
)?3sin(
?< br>?
?
)
=________________
4cos(?
?
)?sin(2
?
?
?
)
10．在△ABC中，若
sin(2
?
?A)??2sin(
?
?B)
，
3cos A??2cos(
?
?B)
，求△ABC
的三内角．






11．化简：









参考答案
1．D 命题目的：通 过诱导公式熟练掌握
sin120?
与
sin60?
，
cos120 ?
与
cos60?
之间
的关系；
2．B
sin220 ??sin(180??40?)??sin40???cos50?
，命题目的：复习
sin (
?
?
?
)
的诱
导公式以及正余弦之间的转化。
1
3．
?
；
tan225??tan(180??45?)? tan45??1
，
cos240??cos(180??60?)?

2< br>1
?cos60???
；命题目的：考核
tan(180??
?
)?tan
?
，
cos(
?
+
?
)??cos< br>?
；
2
??
4．
?1
；
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin(?
?
)sin(?
?
)
=
?sin
2
?
?c os
2
?
??1
；
22
11
9
?
91111
5．
?
?
?
；
cos
?
?s in
?
=
cos(?
?
)?cos(?
?
)?co s
?
，又因为
?
?(0,
?
)
，
147271414
11
所以
?
?
?
．
14------------------------------------------------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------
５

sin[(k?1)
?
?
?
]?cos[(k?1)?
?
?
]
，
k?Z
．
sin(k
?
?
?
)?cos(k
?
?
?
)

6．
sin(3
?
?
?
)?
11
3
；
cos(
?
?
?
)??,cos
?
?
，
sin(3
?
?
?
)??sin
?
，因为
22
2
3
33
?
?
?
?2
?
，所 以
sin
?
?0
，所以
sin
?
??
，< br>sin(3
?
?
?
)??sin
?
?
； < br>2
22
7．
sin(
?
?105?)?
22
?5?
?
；因为
cos(7
3
1
?)
，
7 5??
?
?(
?
?105?)?180?
，所以
3
1
cos
?
(?10?5?)?
，又因为
?
在第三象限，所 以
sin(
?
?105?)?0
，故
3
sin(
?
?105?)?
22
．
3
8．②③④
9．
2c os(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)< br>?2cos
?
?3sin
?
?2?3tan
?
=== 7
4cos
?
?sin
?
4?tan
?
4cos (?
?
)?sin(2
?
?
?
)
10．由已知条件 得
sinA?2sinB
，
3cosA?2cosB
，则A、B均为锐角，平 方相
加
sin
2
A+3cos
2
A?2
，即
2cos
2
A?1
，所以
A?45
?
，
B?30
?
，则
C?105
?
．
11．当
k?2m?1< br>，
m?Z
时，原式
?
sin[(2m?2)
?
??
]?cos[(2m?2)
?
?
?
]
??1
；
sin(2m
?
?
?
?
?
)?cos(2m< br>?
?
?
?
?
)
当
k?2m
，
m?Z
时，原式
?


sin[(2m?1)
?
?
?
]?cos[(2m?1)
?
?
?
]
??1< br>．
sin(2m
?
?
?
)?cos(2m
?
?
?
)
---------------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -------
６