高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳

高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳
学号 姓名
一．任意角和弧度制
1．与
?
终边相同的角的集合是 ；第一或第三象限角的集合是 ；
x
轴上的角的集合是 ；
2.若
?
是锐角，则
?
?
?
是第 象限角；
?
?
?
是第 象限角；
2
?
?
?
是第 象
限角；
?
?
是第 象限角；
3
?
?
?
是第 象限角；
?
?
是第 象限角。
2
?
2
3.180°=
?
；1°= 弧度； 1弧度= ；
圆心角
?
弧度数的绝对值
|
?
|?
；扇形面积公式
S?
。
4.角
?
属于第二象限，且
1?sin
2
α
αα
??cos
，则角是 象限角。
2
22
y
T
B S

P


α

O





M
A x



二．任意角的三角函数

1.任意角的三角函数的定 义：设
?
是任意一个角，
P(x,y)
是
?
的终边
上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是
r?x
2
?y
2
?0
，那么
sin
?
?
，
cos
?
?
,
tan
?
?
。
2.如图，三角函数线：正弦线是 、余弦线是 、正
切线是 ；
4.已知角
?
的终边经过点
P (3,?4)
，则
sin
?
?tan
?
的值为 ；
5．函数
y?
sin
?
cos
?
tan
?
的值域是 ；
??
|sin
?
||cos
?
||tan
?< br>|
6．
sin
?
?cos
?
?
；
sin
?
?cos
?
?
。
7．特殊角的三角函数值：
0°





30°



45°

60°



90°



180°



270°





15°



75°

sin
?

cos
?

tan
?

三．同角三角函数的基本关系式及诱导公式
tan
?
?
；
sin
2
?
?cos
2
?
?
；1.平方关系：商数关系：
sin
?
?3cos
?
2.已知tan
?
?2
，则＝ ；
sin
?
?cos
?
＝ ；
sin
?
?cos
?

14
?
19
?
?tan(?)
的值为 ；
34
sin
2
(180?
?
)?cos(
?< br>?360)?sin(
?
?270)
5.化简
?
。
3
cos(?
?
?180)?cos(90?
?
) ?tan(180?
?
)
4.
cos

1

四．正弦、余弦、正切公式及倍角公式
1.基本公式及变式

令
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
????sin2
?
?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
?(sin
?
?co s
?
)
2
令
?
?
?
cos
??
?
?
?
?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
????cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2s in
2
?
　　　　　　　　? ?　　　　　　　　　　　　　　　
tan
?
?tan
?
2tan< br>?
1+cos2
?
1?cos2
?
22
　tan?
?
?
?
?
??　tan2
?
?　 co s
?
＝　,sin
?
＝
1tan
?
tan
?
1?tan
2
?
22
变式：
tan
?
? tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?< br>?tan
?
),
1?tan
??
?tan(?
?)
；
1?tan
?
4
?
3
),3sin?
?cos
?
?2sin(
?
?sin
?
?c os
?
?2sin(
?
?
?
4
),sin
?
?3cos
?
?2sin(
?
?
?
6
)
2.
cos
4
11
?
?sin
4
11?
?
；
sin163sin223?sin253sin313?
； < br>1212
3.在
?ABC
中，
sinA?
53
,co sB?
,则
cosC?
；
135
4.在直角
?ABC
中，
sinA?sinB
的 最大值为 ；

5.已知等腰三角形的一个底角的正弦值为
1
，则这个三角形的顶角的余弦值是 。
3

五．三角函数的图象与性质

1.正弦函
y
1
-1
o
y=sinx
x
y
1
-1
o< br>y=cosx
x
数和余弦
函数的图
象






2.余弦函数
y?cosx
定义域 ；值域是 ；当
x?
时，
y
取最
大值 ；当
x?
时，
y
取最小值 ；最小正周期为 ；奇
偶性为 ；递增区间为 ；递减区间

2

为 ；对称中心为 ，对称轴是直线 。
3.正切函数
y?tanx
定义域 ；值域是 ；最小正周期为 ；
奇偶性为 ；递增区间为 ；对称中心为 。
3
的解集是 ，
tan
?
?3
的解集是 ；
2
5
?
?2x)
的奇偶性是 ，对称轴方程是 ； 5.
y?sin(
2
4.
sinx?

6. 函数
（
的递增区间是 ；
fx）?sin（-3x?）
4

7.
f(x)?cos2x?2sinx
的值域是 。
?

六．函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的图象及变换
1.函数
f(x)? Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的最小 正周期为 ；用“五点法”作图时五点
的横坐标依次令
?
x?
?
为 ；
2
?
2
2.
函数
y?2sinx
图象向 平移 长度单位可得到函数
f(x)?2sin(x?)
；

33
3
3.函数
y?sinx
图象经过
2
?
可得到函数
f(x)?2sin(x?)
图象；
33
?
?
4. 将函数
y?sin(2x?)
的图象上所有 点的横坐标向左平移个单位，再所得图象上的点
6
6
的横坐标变为原来的2倍，得到的 图象的函数解析式是 ；

5.使函数
f(x)?sinx?3cosx
取最小值的
x
的集合是 ；

6.函数
y?2cosx(sinx?cosx)
的图象的对称中心和 对称轴分别是_________ 。

七．三角恒等变换的常用方法与技巧
2
1.化名:
例如已知
sin 2
?
?2sin
?
?k(0?
?
?
?
)< br>，用
k
表示
sin
?
?cos
?
?
。
1?tan
?
4

2.变角：
?
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)?< br>?
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
，
2
?
?(
?
??
)?(
?
?
?
)
，
?
?
?
?
?
??
，
?
?
?
?2?
??
??
?
?
?
等。
222
2
??
1
2
①若
tan(
?
?
?
)?，
tan(
?
?)?
，则
tan(
?
?)?< br>__ ___ 。
4
44
5
??
??

②若
sin(x?

?
6
)?
3
?
5
?
(?x?)
，则
cosx?
。
536
3

3.平方：
①已知A是三角形的内角, 且
sinA?cosA?
, 则
cos2A?
；
②已知
cos
?< br>?cos
?
?
1
2
11
,sin
?
?sin
?
?
，则
cos(
?
?
?
)的值为 。
23
4.引角：
①
sin50(1?3tan10)?
；

②要使
sin
?
?3cos
?
?
4 m?6
有意义，则
m
的取值范围是 。
4?m
1?cos2
?
1?cos2
?
2
1? cos2
?
?2cos
2
?
，，
sin
?
?
与升幂公式：
22
5
9

2
5.降次：
降幂公式：
cos
?
?
1?cos2
?
?2sin
2
?
。
①已知
?
是第二象限的角，且
sin
4< br>?
?cos
4
?
?
，则
sin2
?
?
；

6.代换：
①“1”的代换
1?sin
2
x?cos
2
x?tanx? cotx?
?tan
?
?sin
?
?
等。
42< br>22
已知
tan
?
?2
，则
sin
?
?sin
?
cos
?
?3cos
?
?
；

t
2
?1
②数式的代换：设
sinx?cosx?t
，则
sinxcosx??
。
2
若

11
??1
，则
sin
?
?cos
?
?
。
cos
?
sin
?
八．正弦定理与余弦定理

1. 正弦定理：在
?ABC
中，
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，则 ；
bsinA
a
；
a?2RsinA
，
a?
等。
sinB
2R
2
2.余弦定理：在
?ABC
中，
A 、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，则
b?

正弦定理的一些变式：
a?b?c?sinA?sinB?sinC
；
sin A?
；
cosB?
；
3.
?ABC
的面积公式：
S?
；
b、c
分别是
?A
、
?B
、
?C
所对 的边。
b?22
，4.在
?ABC
中，
a、
若
?A ?105
?
，
?B?45
?
，
则
c?
；
?ABC
的面积
S?
；

5.在
?ABC
中，若
a?5,b?7,c?8
，则
B?
；
AB
边上的中线的长是 ；

2
(a?c)?c(a?b)
6.在
?ABC
中，已知< br>b?ac
，且
(a?c)
，则
?A?
，
bsinB
?
；
c

7.在
?ABC
中，已知
?ABC
面积
S?


4
3
2
(a?b
2
?c
2
)
,则角
C
的度数是 ；
4

8. 钝角三角形的三边是三个连续的自然数，则它的三边之长为 。





5