高中数学必修四 同角三角函数及诱导公式(第4讲)

第 4讲 同角三角函数及诱导公式
【开心自测】
1. . 已知角α的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求α的三个三角函数值。
2. 求函数
y?
cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
3、已知方程sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?)，求
sin(
?
?
?
)?5cos(2
?
?
?
)
的值
3
?
2sin(?
?
)?sin(?
?< br>)
2

【教学重难点及考点占比】
重点：任意角的正弦、余弦、正切的 定义（包括这三种三角函数的
定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（ 公式一），诱导公式、三角函
数线的正确理解四组诱导公式的记忆、理解、运用。难点: 任意角的正弦 、余弦、正切的定义（包括这
三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；四组诱导公式的推导、 记忆及符号的判断
【知识梳理】
一、同角三角函数的基本关系式


sin
?
cos
?
2．商数关系：
?tan
?

?cot
?


cos
?
sin
?

22
2222
3．平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
1+
tan
?
=
sec
?
1+
cot
?
?csc
?



同角三角 函数的的关系式揭示了：“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在：“同角”二字
上．
1．倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1
，cos
?
?sec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
?1

如
sin2
?
?cos2
?
?1
，
二、同角公式的主要应用
（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余三角函数值．
22
sin8
?
．
?tan8
?
等都成立，理由 是式子中的角为“同角”
cos8
?

1

（2）化简和证明三角恒等式．
三、诱导公式
公式一：
sin(k?360??
?
)?sin
?
,k?Z

cos(k?360??
?
)?cos
?
,k?Z


tan(k?360??
?
)?tan
?
,k?Z

公式二：
sin(180??
?
)??sin
?

cos(180??
?
)??cos
?

tan(180??
?
)?tan
?

公式三：
sin(?
?
)??sin
?

cos(?
?
)?cos
?


tan(?
?
)??tan
?

公式四：
sin(180??
?
)?sin
?

cos(180??
?
)??cos
?


tan(180??
?
)??tan
?

公式五：
sin(90??
?
)?cos
?

cos(90??
?
)?sin
?

公式六：
si n(
?
2
?
?
)?cos
?

cos(?
?
)??sin
?

2
?
诱导 公式是指角
?
的三角函数与诸如-
?
，
180??
?
，
90??
?
，
270??
?
，
360???
，
360??k?
?
等同角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易 混淆，其记忆规律是：
奇变偶不变，符号看象限

利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：





任意角的三角函数
正角的三角函数

0?~360?的角的三角函数

锐角的三角函数
【金题精讲】
例1. 求下列三角函数值：
（1）
sin960
； （2）
cos(?



（3）
sin
?
43
?
)
．
6
11
?
17
?
； （4）
sin(?)
．
63


2

例2．（1）化简




（2）化简




（3）化简
cos(180??
?
??si n(
?
?????)

sin(?
?
?????)?cos (?180??
?
?
sin(2
?
?
?
?cos(
?
?
?
?

cos(
?
?
??sin(3
?
?
?
?sin(?
?
?
??
tan(?150?)cos(?210?)cos(?420?)

cot(?600?)sin(?1050?)





例3. 求值.
3sin(?1200?)?cot





例4.已知
tan
?
?2
,则: (1)


3

11
?
37
?cos585??tan(?
?
)

34
2sin
?
?3cos
?
=
4sina?9cos
?

2sin
2
?
?3cos
2
?
(2) =
22
4sina?9cos
?




(3)
4sin
?
?3sin
?
cos
?
?5cos
?
=




22
1?c os
4
?
?sin
4
?
例5.化简
66
1?cos
?
?sin
?





【达标训练】
1．已知
cos
?
??,?
?(0,
?
)
,则
tan
?
=
A、
3
5
( )
C、
?
2
4

3
B、-
2
4

3
4

3
D、
?
3

4
（ ） 2．若
?
?
?
0,2
?
?
，且
1?cos
?
?1?sin
?
?sin
?
?cos
?
，则
?< br>的取值范围是
A、
?
0,
?
?
?

?
?
2
?
B、
?
?
?
?
,
?
?

?
2
?
C、
?
?
,
?
?
3
?
?

?
2
?
D、
?
?
3
?
?
,
?
?

?
2
?
（ ） 3．设
?
为锐角，且
lg (1?cos
?
)?m,lg(1?cos
?
)?n
，则
l gsin
?
?

A、
m?n

4．已知
B、
m?n
C、
1
(m?n)

2
D、
1
(m?n)

2
（ ）
1?sinx1cos
?
??
，则的值是
cosx2sinx?1

4

A、
1

2
B、-
1

2
C、2 D、-2
（ ）
D、
?
5．已知
sin
?
?
A、
3

4
3
,且cos
?
?cos
?< br>?0
，则
tan
?
的值为
5
33
B、- C、
?

44
4

3
6．
sin(
?
?2)?sin(
?
?2)?
．
13
?
,?
?
?2
?
，则
sin(3
?
?
?
)?
．
22
?
32
?
8．
cos(?
?
)?< br>，则
cos(?
?
)?
．
353
7．若
cos(
?
?
?
)??
?
?
?
)?
9．已知
sin(
?
?
?)?cos(
（1）
sin
?
?cos
?





10．若
1?sinx?1?sinx?











2
?
(?
?
?
?
）求值：
32
（2）
sin(2
?
?
?
)?cos(2
?
??
)

33
3
，求
cos(x?
?
) ?sin(x?
?
)
的值．

5