北师大版高中数学必修4全套教案 全册)

数学必修4第一章三角函数教案
(北师大版)数学必修4全套教案
§1 周期现象与周期函数（1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解周期现象在现 实中广泛存在；（2）感受周期现象对实
际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判 断简
单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季
变化等，让学生感知周期现象；从数学的 角度分析这种现象，就
可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以
应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受
生 活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好
数学的信心，学会运用联系的观点认识事物 。
二、教学重、难点
重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学 来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现
象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交 流、讨论，
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感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用
于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶
我们的情操。众所周知，海水会发生潮 汐现象，大约在每一昼夜
的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周
期现象 。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的
时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也 是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观
察钱塘 江潮的图片（投影图片）， 注意波浪是怎样变化的？可见，
波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种 周期现象。请你举出
生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师 引导学生
自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
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③如何理解图1-1中的“Hm”和“th”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义
的理解要掌握三个条件，即存在 不为0的常数T；x必须是定义
域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
（板书：二、周期函数的概念）
3．[展示投影]练习:
已知函数f(x)满足对 定义域内的任意x，均存在非零常数T，使
得f(x＋T)＝f(x)。
求f(x＋2T) ，f(x＋3T)
略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)
f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)
本题小结， 由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，
教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正 周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,
求f(11)
略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005
(3)已 知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，
求f(8)
略 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)
＝－2
【巩固深化，发展思维】
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1．请同学们先自主学习课本P4倒数第五行 ——P5倒数第四行，
然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数
吗？如果是，这个函数
y＝f(t)是不是周期函数？
例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线 MN的
距离y是时间t的函数，y＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明
g(t＋T)＝g( t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，
函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅 垂线MN的角θ的度
数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ
的周期函数 。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距
离y是时间t的函数。 假设水车5min转一圈，那么y的值每经
过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本P6的思考与交流
(2) (回答)今天是星期三 那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期
几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一 天是星期
几?
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
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主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题1.1第1,2,3题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的
特点．
七、课后反思













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§2 角的概念的推广（1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义 ；（2）
理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌
握所有与
?
角终边相同的角（包括
?
角）的表示方法；（4）能表
示特殊位置（或给定区 域内）的角的集合；（5）能进行简单的角
的集合之间运算。
过程与方法
类比初中 所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐
述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广 ，引入正角、
负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的
概念得到推广以后 ，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非
象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角 ，画
出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边
的角的表示；讲解例题，总 结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的 认识；树立
运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背
景，引发学生学习兴 趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的
学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美 的
追求。
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二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角
的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道 最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆
和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一 个平
面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；
通过角终边的旋转掌握终边 相同角的表示方法；我们在学习这部
分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外< br>还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两
个过程中，扳手分别所组成的两个角 之间又有什么关系呢？请几
个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定
义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静
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止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端
点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规
和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时 针转动而成角，
转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)
正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、
零角的形成过程)．
我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见
课件）。一条射线由原来的位置OA
，绕着它的端点
O
按逆时针方
向旋转到终止位置
OB
，就形成角
?
.旋转开始时的射线
OA
叫做角
的始边，
O B
叫终边，射线的端点
O
叫做叫
?
的顶点.按顺时针方
向旋 转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们
认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做 零角，如果α是零
角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是
负角．为了简 便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠
α”可以记成“α”。
过去我们研究了0° ～360°范围的角．如图（见课件）中的角
α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如 果我们将角
α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角
是多少度?是不是仍 为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，
让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋 转一周、
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两周……，分别得到390°，750°…… 的角．如果将OB继续旋
转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时
针方向 旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这
一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于 0°～360°的范
围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三
版)．如 图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝
210°，负角β＝—150°，γ＝－ 660°．在生活中，我们也经
常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体
720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)
这样的动作名称；紧固螺丝时 ，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内 讨论
角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负
半轴(包括原点)重合， 那么角的终边(除端点外)在第几象限，我
们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1 )中的
30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、
－60°角 都是第四象限角；585°角是第三象限角．
(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象
限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线 0A为
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x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过 程)在图(1)中，如
果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，
7 50°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过
的圈数不同，它们可以用30°角来表 示，如390°＝30°十
360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，如果将终 边
OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－
690°……的角，这些角的 终边与30°角终边也相同，也只是转
过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330° ＝
30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……
由此可以发现，上面旋转所 得到的所有的角(记为β)，都可以表
示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β ＝30°
十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|
β＝30° 十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边
相同的角，连同30°角(k＝0)在内 ，都是集合S的元素；反过
来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1.判断下列各角是第几象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．
解：(1) ∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)
∵585°＝360°十225°，∴585 °与225°终边相同，又∵225°
终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°12’＝
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－230°12’—2×360°，又∵－2 30°12’终边在第二象限，∴
—950°12’是第二象限角.
例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～
360°的角表示）. < br>解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°
与270°角，因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合S1＝{β
|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角 终边相同的角构
成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y
轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}
∪{β|β＝270°＋ k·360°，k∈Z}.
例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等
式－360°≤β＜270°的元素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z} ，S中适合－360°≤
β＜270°的元素是：
60°－1×360°＝－300°，60 °＋0×360°＝60°，60°＋1
×360°＝420°.
2．学生课堂练习
参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分
别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的
角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
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(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针
转过的角度为 。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；
若α与β的终边关于y
轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对
称，则α与β的关系是 ；若角α是第二象限角，则180°—
α是第 象限角。
[答案](1)是，不一定.
(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.
(3)—100°，—1200°．
(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈
Z)；
α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.
五、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何
推广的吗?
象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了
吗?
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1.2第2,3题．
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§3 弧度制（1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧 度的换
算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与
实数集R之间的一一 对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长
公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法
探究角度 制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度
制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和 习题使学生掌
握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立
学生正确的学习态 度。
情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制
下，角的加、减运算可以像十进制一 样进行，而不需要进行角度
制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来
的诸 多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比
较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发 学生的学习兴趣和
求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
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重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和
面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一
对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运
用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一
样，正因为这样，所以有必要引入弧度制； 在学习中，通过自主
学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧
度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量
1
角的．我们把周角的
36 0
规定为1度的角，而把这种用度作单位
来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中 我们还经
常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧
度制的有关概念．(板 书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义． (板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的
角(打开课件)．如图1—14( 见教材)，弧AB的长等于半径r，则
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弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。
在图1（课件）中，圆心角∠ AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC
的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长
1
的弧度数就是
2
rad；圆心角∠AOE
1
l＝
2
r，那么∠AOC
所对的弧长为l，那么∠AOE
的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我 们可以得到弧度制的
定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是
一个负数，零角的弧度数
是o；角α的弧度数的绝对值|α
心角时所对弧的长，r是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中， 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧
所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小< br>呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主
学习课本P12—P13，从课本 中我们可以看出，这个比值与所取
的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它
进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，
圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即
圆的半径)分别为r( r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式
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16 l
|＝
r
，其中l是以角α作为圆

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有
n
?
n
?
l
l＝
180r，l1＝
180
r1，所以
r
l
1
＝
r1
n
?
＝
180
，这表明以角α为圆
心角所对的弧长与 其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与
角α的大小有关．
用角度制和弧度制来 度量零角，单位不同，但量数相同(都
是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也< br>不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进
行换算，下面我们来讨论角度与弧 度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1
2< br>?
个周角＝360°＝
r
r，所以，(板书)360°
?
＝2 πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝
180
≈0．01745rad，
180
1rad＝（
?
）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad
这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不
写，而只写这个角所对应的弧度数． 例如，角α＝2就表示是2rad
??
的角，sin
3
就表示
3rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”
或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角 时，常把弧度
数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如
?
45°＝
4
rad ，不必写成45°＝0．785弧度．
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前面我们介绍了角度制下的终 边相同角的表示方法，而角度制与
弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在
内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用
的单位制必须一致．
角的概念 推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合
与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个 角都有唯一的
一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一
个实数也都有唯一 的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这
个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。
?
?
解：45°＝
180
×45rad＝
4
rad.
3
?
2．把
5
例rad化成度。
3
?
解 ：
5
3
rad＝
5
×180°＝108°.
例3．利用弧度制证明扇形面积公式
弧长，r是圆的半径。
证：∵圆心角为1
1
的扇形的面积为
2
?
1
S＝
2
lr，其中l是 扇形的
·πr2，又∵弧长为l的
l
S＝
r
l
扇形的圆心角 的大小为
r
，∴扇形的面积
1
·
2
?
·π
1
r2＝
2
lr.
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2．学生课堂练习
（1）填表
180
度 0°
弧

度
45° 60°
°
?
6

360

°
3
?
2

?
2




说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去
进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊
角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思





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数学必修4第一章三角函数教案

§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3正弦函数
y＝sinx的图像（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的
性质； （3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）
掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解 有向线段的概念；（6）
了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法
画出 [0，2π]上的正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定 义的；由于我
们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角
坐标系中，这样一 来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，
从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一 种重
要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的
性质中都有直接的应用；讲 解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的 概念有了一个新的认
识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体
会特殊与一 般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的
学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性 ；培养学生
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20

数学必修4第一章三角函数教案
分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点: 1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初 中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个
角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角 的终边与单位圆交
于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函
数定义的形式 引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像
时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出 其图像，再
归结为五点作图法。
教学用具:投影机、三角板

第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正
弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）
A
初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？
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21

数学必修4第一章三角函数教案
学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角α
a
如图：sinA＝
c
，由于
对 边
c
斜边
b
的正弦函数值：sinα＝
C a
，
B
a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。
由于我们通常都是将
角


y
r
放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
P(a，b)
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，
O M
?
2
））
x
的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：
sinαb
＝
r
.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α
b
，r
都
不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位
圆)，那么 sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于
P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐
角正弦函数的定义．你认为 该如何定义任意角的正弦函数?
一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与
单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐
标b，所以P点的纵坐标b是角 α的函数，称为正弦函数，记作
y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，
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22

数学必修4第一章三角函数教案
将正弦函数表示为y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
?
7
?
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：
3
角与
3
角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值
?
8
?
?
5
?
2
?
有什么关系？
3
角和
3
角呢？－
3
角和
3
角呢？－
3
角 和－
14
?
3
角呢？
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相
等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增
加2π的整数倍 ，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的
变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k ∈Z，k≠0）
为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期 。一般
地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的
正数，那么这个最小的 正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
课本P17的思考与交流。
课本P18的练习。
3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα
2
＝—
3
，求y值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在
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23

数学必修4第一章三角函数教案
函数y＝—3x (x≤0)
的图像上，则sinα＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思













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24

数学必修4第一章三角函数教案
第二课时 §4.3正弦函数y＝sinx的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活
中，有许多地方用到三角函数。今天我们来 学正弦函数y＝sinx
的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，
最小正 周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函
数的图像。
α的终边
P
y
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
M O x
【探究新知】
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计
一种方法加以解决?引出有向线段的概念．
有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方
向的线段，
y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示
角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，
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25

数学必修4第一章三角函数教案
运动的方向表明与y轴同向)．
y＜0时，把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象 限时
MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表
明与y轴反向)．
师生归纳：①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线
段．MP是从M→P，而P M则是从P→M。②不论哪种情况，都有
MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP 叫做α的
正弦线．
(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，
找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在
x轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx x?[0,2?]
作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
十二等分后得对应于
线，
将x轴上从0到2?一段分成12等份(2?≈6.28)，若变动比例，
今后图像将相应“变 形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得y=sinx x?[0,2?]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x?[2k?，
2(k+1)?] （k?Z，k?0）
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26
?
0,
6
?
,
3
?
,< br>2
,…2?等角，并作出相应的正弦

数学必修4第一章三角函数教案
与函数y=sinx x?[0,2?]图像相同，只是位置不同——每次向
左（右）平移2?单位长。
可以得到y＝sinx在R上的图像


-
4
?
-
3
?
-
2
?

五点作图法： 由上图我们不难发现，在函数y=sinx，x?[0,2?]的图像上，起
着关键作用的有以下五 个关键点： (0,0) (
3
?
(
2
?
2
,1) (?,0)
,-1) (2?,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，x?[0,2?]
的图像的 形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，
我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将 它们连接起
来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五
点法”。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx （2）y＝1＋sinx



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数学必修4第一章三角函数教案
解：（1）列表
x
y＝－
0
sinx
描点得y＝－sinx 的图像：（略，见教材P22）
2．学生练习
教材P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题1—4第1,2题．
四、课后反思






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28
0
?
2

π
0
3
?
2

2π
0 1 －1

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§4.4 正弦函数的性质（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）进 一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的
推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（ 4）能了解诱导公式
之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、
值域、周 期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运
用正弦函数的性质解题。
过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各
正弦线之间的关系；或从正 弦函数的图像中找出α,－α,π－α,
π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过 正
弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，
总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体
验 自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转
化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学 生形成实事求是的科
学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
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29

数学必修4第一章三角函数教案
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角
的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习
掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函 数的图像中，直观判断
出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的
性质；以 学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们 已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终
边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ＋α)＝ sinα (k
∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～
360°的角的 正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为
锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查 表求出。这就
是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：（公式1）sin(360?k+?) = sin?
对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中?为不大于90?的非
负角）
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30

数学必修4第一章三角函数教案
?
?当??0
?
，90
?
)
?
??
180
?
）
?
180??当??90，
??
?
? ?
270
?
）
?
180??当??180，
?
36 0
?
??当??270
?
，360
?
）
?
?
?
?
?
?为第一象限角
?为第二象限角
?为第三象限角< br>?为第四象限角
（以下设?为任意角）
公式2：

设?的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180?+?终边与单位圆交
于点P’(-x, -y)，由正弦线可知： sin(180?+?) = ?sin?




4．公式3：
如图：在单位圆中作出α与－α角的终边，同样可得：
sin(??) = ?sin?,
公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180???) = sin[180?+(??)] = ?sin(??) = sin?,
同理可得： sin(180???) = sin?,
6．公式5：sin(360???) = ?sin?
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
7
（1）sin(－1650?)； （2）sin(－150?15’)； (3)sin(－
4
π
P (x,y)

o
，
y
P(x,y)
x
P (-x,-y)
P’(x,-y)

M
y
o x
)
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数学必修4第一章三角函数教案
解：（1）sin(－1650?)＝－sin1650?＝－sin(4×360?＋210? )
1
＝－sin210? ＝－sin(180?＋30?)＝sin30?＝
2

(2) si n(－150?15’)＝－sin150?15’＝－sin(180?－
29?45’)＝－sin 29?45’＝－0.4962
7
(3) sin(－
4
π
2
?
?
)＝sin(－2π＋
4
)＝sin
4＝
2
?
例
sin
?
2
?
?
?
?
sin
?
3
?
?
?
?
2．化 简：
sin
?
?
?
?
?
?
sin
?
3
?
?
?
?
sin
?
?
??
?
?

解：（略，见教材P24）
学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思





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-
?
-
1
2
?
3
?
4
?
5
?
6

数学必修4第一章三角函数教案
第二课时 正弦函数的性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
同 学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数
性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上 一次课中，我们已经
学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像
一起讨 论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下
几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？
它的正负值区间如何分？
?(x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域：y=sinx的定义域为R
值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有
界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值
域为[-1，1]
?
3．最值：1?对于y＝sinx 当且仅当x＝2k?＋
2
,k?Z时 ymax
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数学必修4第一章三角函数教案
＝1
?
当且仅当时x＝2k?－
2
, k?Z时 ymin＝－1
2?当2k?＜x＜(2k+1)? (k?Z)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)?＜x＜2k? (k?Z)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复
出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出
现）
3?这个规律由诱导公式sin(2k?＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2?
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x
∈R)是奇函数
6．单调性
x
sin
－1
x
??
增区间为[－
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
?
3
?
减区间为[
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。
?
…
－
2

0 …

?
2

…

π …

3
?
2


0 1 0 －1

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数学必修4第一章三角函数教案
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像
和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思







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数学必修4第一章三角函数教案
§5 余弦函数（2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的 几何意
义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出
余弦函数在[0，2 π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推
导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间 的关系；（7）
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类 比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定
义的基础上，将三角函数定义推广到更加一 般的情况；让学生通
过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导
公式；能学 以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并
能结合图像分析得到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问
题 ，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问题、解决问题的能力；让学生体验自身 探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有
效途经；培 养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精
神。
二、教学重、难点
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数学必修4第一章三角函数教案
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念 是通过在单位圆中，以函数定义的
形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现
在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；
同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式 推出余弦函数的诱导公
式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由
图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板












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数学必修4第一章三角函数教案
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα< br>邻边
＝
斜边
。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可
以 得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义

y
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈
P(a，b)
R).
r
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
O M x
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为 ：sinα
b
＝
r
，cosα
a
＝
r
π< br>.
－α α

在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
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38

数学必修4第一章三角函数教案
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相
π＋α
等；
－α
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反
数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
P(x,y)
M
M’
o
P’

x
y
cos(π－α) ＝－cosα
?
请同学们观察右图，角α与角
2
＋α的正弦、余弦函数值有
什么关
系？由图 可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与
?
点P’的纵坐标sin(
2
＋α)
?
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(
2
＋α)互为相
反数。我们可以得到：
?
?
sin(
2
＋α)＝cosα cos(
2
＋α)＝－sinα
?
问题与思考：验证公式 sin(
2
＋α)＝cosα
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39

数学必修4第一章三角函数教案
?
cos(
2
＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，
y
可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问
题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评

例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角
－4
α的余
弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
∴cosα
5
x
＝
r
＝
5

5

P
2 x
例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么
怎样求角α的余弦函数值。
解：(提示：在r＝|OP|＝2
见教材P31)
例3．求值：
11
?
（1）cos
6
9
?
（2）cos
8
3
?
（3）cos(－
4
5
|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，
)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
11
?
解：（1）cos
6
3
??
＝cos（2π－
6
）＝cos
6
＝
2

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40

数学必修4第一章三角函数教案
9
?
（2）cos< br>8
??
＝cos（π＋
8
）＝－cos
8
≈－0.9 239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
例
cos
?< br>2
?
?
?
?
cos
?
3
?
?
?
?
4．化简：
cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
3
?
?
?
?
co s
?
?
?
?
?
?

解：（略，见教材P33）
学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思








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41

数学必修4第一章三角函数教案
第二课时 余弦函数的图像与性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我们知 道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分
单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以 采用
五点作图法得到。那么，对于余弦函数y＝cosx的图像是不是也
是这样得到的呢？有没 有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y＝cosx的图像
由诱导公式有：
?
与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[
2
?
sin(x＋
2
－(－x)]＝
)
?
y＝sin(x＋
2
结论：（1）y＝cosx, x?R与函数
相同
（2）将y＝sinx
?
的图象向左平移
2
) x?R的图象
即得y＝cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y＝cosx x?[0,2?]的五个点关
?
键是(0,1) (
2
3
?
,0) (?,-1) (
2
,0) (2?,1)
3
?
2

?
?
2


－1
y
1
o
-
1
1
y
?
2
?
2
?
x
x
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42

数学必修4第一章三角函数教案
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx
x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0的图像与 y＝cosx x?[0,2?] 图
像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）





y
x
-
4
?
-
3
?
-
2
?
-
?
1
-
y o
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
x
?
2．余弦函数y＝cosx的性质
观察上图可以得到余弦函数y＝cosx有以下性质：
（1）定义域：y=cosx的定义域为R
（2）值域： y=cosx的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界
性）
(3)最值：1?对于y＝cosx 当且仅当x＝2k?,k?Z时 ymax＝
1
当且仅当时x＝2k?＋π, k?Z时 ymin＝－1
2?当
当
?2k?-
2
?
2
(k?Z)时 y=cosx>0
?
2k?+
2
3
?
2
(k?Z)时 y=cosx<0
(4)周期性：y＝cosx的最小正周期为2?
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈
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43

数学必修4第一章三角函数教案
R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数
的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思


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44

数学必修4第一章三角函数教案
§6 正切函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变
量取值 范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切
线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正 切函数的图像推导出正
切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌
握利 用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正 切函数的概念；在此基础上，
比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数
图 像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能
学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱 导公式和正切函数的
性质。
情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的 体会；会用联系的观点看问
题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问 题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的 科学态度和锲而不
舍的钻研精神。
二、教学重、难点
西安市育才中学高一备课组
45

数学必修4第一章三角函数教案
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定
义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的
情况；现在我们就应该与正、余弦函数的 概念作比较，得出正切
函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正
切函数的 诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图
像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次 课中，我们学习了任意
角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今
天我们类 比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任
意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40 。
【探究新知】
正切函数的定义
?
在直角坐标系中，如果角α满足：α ∈R，α≠
2
＋kπ(k∈Z)，
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46

数学必修4第一章三角函数教案
那么，角α的终边与单位圆交于点
b
根据函数定义，比值
a
是角α
b
P（a，b），唯一确定比值
a
.
的函数，我们把它叫作角α的正切
?
函数，记作y＝tanα，其中α ∈R，α≠
2
＋kπ，k∈Z.
sin
?
＝
cos
?
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα
?
α≠
2
＋k π，k∈Z).
(α∈R，
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数
值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
o
y
30?

T
A

x
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
210?

当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
P
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因
此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域 ：
x?k
?
?
?
2
?
k?z
?

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47

数学必修4第一章三角函数教案
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：

?tan
?
x?
?
?
?
sin
?
x?
?
?< br>?sinx
?
??
??tanx
?
x?R,且x?k
?
?,k?z
?
cos
?
x?
?
?
?co sx2
??

?
??
y?tanx
?
x?R,且x ?k
?
?,k?z
?
2
??
的周期为
T?
?
∴（最小正
周期）
?
??
?
?
?,
?
（3）因此我们可选择
?
22
?
的区间作出它的图 象。












?
y
?
2
?
2
x
O
根据正切函数的周期性，把上述 图像向左、右扩展，得到正切函
数
y?tanxx?R
，且

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48
x?
?
2
?k
?
?
k?z
?
的图像，称“正切曲线”

数学必修4第一章三角函数教案












?
从上图可以看 出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝
2
＋kπ(k
3
?
?
2
?
?
?
?
2
0
y
?
2
?
3
x
?
2
∈Z)隔开的无穷多支 曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的
渐近线。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导学生观察，共同获得：
?
??
x|x??k
?
,k? z
??
2
?
， （1）定义域：
?
（2）值域：R < br>观察：当
x
从小于
k
?
?
?
2
?< br>k?z
?
，
x???k??
?
???

2
时，
tanx?
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49

数学必修4第一章三角函数教案
?
当
tanx?????
。
x
从大于
2
?k
??
k?z
?
，
x???
?
2
?k
?< br>时，
（3）周期性：
T?
?

（4）奇偶性：
tan
?
?x
?
??tanx
奇函数。
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
?
2
?
（5）单调性：在开区间
?
2
内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性
质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
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50

数学必修4第一章三角函数教案
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，
－α的正切函数值有何关系？
y












我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tanα
tan(－α)＝－tanα
tan(2π－α)＝－tanα
tan(π－α)＝－tanα
tan(π＋α)＝tanα
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1． 若tanα
2
＝
3
，借助三角函数定义求角α
3
?
?
2
?
?
?
?
2
0
?
2
?
3
x
?
2
的正弦函数值和
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51

数学必修4第一章三角函数教案
余弦函数值。
解：∵tanα
2
＝
3
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 2
＝
3
可知，角α（1）如果α是第一象限的角，则由tanα
必有一点 P（3，2）.
所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝
α
313
x＝
r
＝
13
终边上
13
∴sinα
y
＝
r
213
＝
13
， cos
.
y
＝
r
213
＝－
13
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα
cosα
例
313
x
＝
r
＝－
13
，
.
tan
?
2
?
?
?
?
tan
?
3
?
?
?
?
2．化简：
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
3
?
?
?< br>?
tan
?
?
?
?
?
?

?
?tan
?
?
tan
?
?tan
?
ta n
?
?
?
?
?
解：原式＝
?
?tan< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?
?< br>?
＝
tan
?
?
?tan
?
??
? tan
?
?
＝
1
－
tan
?
.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
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52

数学必修4第一章三角函数教案
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A组1—11
四、课后反思


§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）进一步理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx
＋φ的含义；（2）熟练掌握由
y?sinx
的图象得到函数
y＝Asin(ωxy?Asin(?x??)?k(x?R)
的图象的方法；（3）会由函数
＋φ)的图像讨 论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。
过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生 能正确作出函数y＝Asin(ωx
＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学 生的亲身实践，
引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习
态度；让学生感 受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
西安市育才中学高一备课组
53

数学必修4第一章三角函数教案
重点:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，函数y＝Asin(ωx＋φ)
的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、 正切函数的性质，如：定义域、
值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y＝Asin( ω
x＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个
问题。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函 数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，
是高中数学的重点内容，也是高考 的热点，因为，函数y＝Asin(ω
x＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息
息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由
y?sinx
的 图象得到函数
y?Asin(?x??)
的图
象？
（2）如何用五点法作
y?Asin(?x??)
的图象？
（3）
A、?、?
对函数
y?Asin(?x??)
图象的影响作用
函数
y?Asin(?x??),x?
?
0,??),(其中A?0,??0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
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54

数学必修4第一章三角函数教案
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：
f：
T?< br>2?
?
往复振动一次所需的时间，称为“周期”
1?
?
T2?
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
f?
?x??
：称为相位
?
：x = 0时的相位，称为“初相”
?
y?Asin(?x??),(A?0,??0,|?|?)
2
的最小值是 ?2，其图例一．函数
象最
高点与最低点横坐标差是3?，又：图象过点(0,1)，求函数解析
式。
T
2?
?3?
?6?
2
?
解：易知：A = 2 半周期 ∴T = 6? 即 从而：
??
1
3

1
y?2sin(x??)
3
设： 令
|?|?
x = 0 有
2sin??1

又：
?
?1?
??y?2sin(x?)
2
∴
6
∴所求函数解析式为
36

例二．函数f (x)的横坐标伸长为原来的2
单位所得的曲线是
解：将
即
y?
y?
?
倍，再向左平移
2
个
1
sinx
2
的图像，试求
y?f(x)
的解析式。
?
11?
sinxy?sin(x?)
222
的图像向右平移< br>2
个单位得：
1
2
1
y??cosx
2
的图 像再将横坐标压缩到原来的得：
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55

数学必修4第一章三角函数教案
1
y??cos2x
2

1
y?f(x)??cos2x
2
∴
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最
小值时x的集合。
411
（1）y＝sinx－2 (2)y＝
3
sin
2
x (3)y＝
2
cos(3x＋
?
4
)
?
解：（1 ）当x＝2kπ＋
2
(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数
y＝sinx－2 取最大值－1；
当x＝2kπ
3
?
＋
2
(k∈Z)时，s inx取最小值－1，此时函数y＝sinx
－2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59
例四．（1）求函数
（2）求函数1
?
y＝2sin(
2
x－
3
)的递增区间；
)的递减区间。
1
5
?
y＝
3
cos(4x＋< br>6
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
西安市育才中学高一备课组
56

数学必修4第一章三角函数教案
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题．
七、课后反思


§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ω
x＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周
期变换的规律，会对函数y＝sin x进行振幅和周期的变换；（4）
会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 ；
（5）能利用相位变换画出函数的图像。
过程与方法
通过学生自己动手画图像， 使他们知道列表、描点、连线是作图
的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图
像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图
法，正确作出函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结
方法，巩固练习。
西安市育才中学高一备课组
57

数学必修4第一章三角函数教案
情感态度与价值观
通过本节的学习 ，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学
会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践， 引发学
生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；
让学生感受图形的对称美 、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图像
难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx
＋φ)的图像
三、学法与教学用具
在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪
五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境
引入课题；主要让学生动手实践，两节课 尽可能多地让他们画图，
教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适
当的时 候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升
更高一层。
教学用具:投影机、三角板


第一课时 y＝sinx和y＝Asinx的图像， y＝sinx和 y＝sin
（x＋φ）的图像
西安市育才中学高一备课组
58

数学必修4第一章三角函数教案
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会 遇到形如y＝Asin(ωx
＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就
是 形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的
图像与性质，今天先来学习它的图像 。
【探究新知】
例一．画出函数
1
y=2sinx x?R；y=
2
sinx x?R的图象（简图）。
解：由于周期T=2? ∴不妨在[0,2?]上作图，列表：







作





西安市育才中学高一备课组
59
x

sinx

2sinx

1
2
0
0
?
2

?
0
3
?
2

2?
1 -1 0
0 2 0 -2 0
0
sinx
y=2sinx
1
2

0
1
-
2

0
图：
y
2
1
-1
O
-2
?1
?2
2
1
y=sinx
y=
1
sinx
2
?
?
2?
2?
x

数学必修4第一章三角函数教案



配套练习：函数
关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x?R(A>0且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的
所有点的纵坐 标伸长(A>1)或缩短(02．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期
性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了
函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅。
??
例二．画出函数y=sin(x+
3
) (x?R)和y=sin(x?
4
) (x?R)的
2
y＝
3sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么
图像（简图）。
解：由于周期T=2? ∴不妨在[0,2?]上作图，列表：

?
x+
3

0
?
?
3
?
2
?
6


?
2
?
3
3
?
2
7
?
6


2?
5
?
3
x


西安市育才中学高一备课组
60

数学必修4第一章三角函数教案














sin(x+ 0 1
?
3
0 -1 0
)
y=sinx
1
?
y=sin(x+
?
O
?1
?
3
2?
3?
4?
?
)
4
x
)

y=sin(x-
?
配套练习：函数y＝sin（x－
15
）的图像与函数y ＝sinx的图像
有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
y=sin（x＋φ），x?R(φ?0)的图象可以看作把正数曲线上的所
有点向左平移φ( φ>0)个单位或向右平移－φ个单位(φ＜0＝
得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
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61

数学必修4第一章三角函数教案
由上例和练习可以看出：在函数y=sin（ x＋φ），x?R(φ?0)中，
φ决定了x＝0时的函数，通常称φ为初相，x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习：P52练习第3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 y＝sinx和y＝sinωx的图像， y＝sinx和 y＝
Asin(ωx＋φ)的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过y＝sinx和y＝Asinx的图像，y＝sinx和 y
＝sin（x ＋φ）的图像间的关系，请与y＝Asin(ωx＋φ)比较
一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
例一．画出函数
1
y=sin2x x?R；y=sin
2
x x?R的图象（简图）。
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62

数学必修4第一章三角函数教案
解：∵函数y=sin2x 周期T=? ∴在[0, ?]上作图
令t=2x 则
列表：
t=2x
x
0
0
?
2
?
4
t
x=
2
从而sint=sin2x


?
?
2
3
?
2
3
?
4


2?
?
0

sin2x 0
作图：







函数
x
y=sin
2
1 0 -1
y=sin
1
x
1
y
?
?
O
?1
y=sin2x
2?
4?
?


2?
3?
4
2
x
y=sinx
周期T=4? ∴在[0, 4?]上作图
列表
x
t=
2

0
0
?

2

?
3
?

2

2?
4? x

x
sin
2
2? 3?
?
0

1 0 -1 0
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63

数学必修4第一章三角函数教案
配套练习：函数
什么关系？
2
y＝sin
3
x的图像与函数y＝sinx的图像有
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1．函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω ?1)的图象，可看作把正弦
曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω
倍（纵坐标 不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)
2
?
1
<1)到原来的
?
中，ω决定了函数的周期T＝
?
，通常 称周期的倒数
为频率。
例二．画出函数
?
y=3sin(2x+
3
1
f＝
T
?
＝
2
?
) x?R的图象。
0
?
?
6
解：周期T=?（五点法），
设
?
t=2x+
3
?
2x+
3

?
2

?
?
3
3
?
2
7
?
12


2?
5
?
6
t?
?
则x=
3
?
t
?
?
226
x

3sin(2x
?
+
3

?
12







0
)
3 0 -3 0
y=sin(2x+
?
)

3
y=sin(x+
?
)

3
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64

数学必修4第一章三角函数教案







?
?
?
?
3
6
y
1
O
?1
?
5
?
?
6
3?
4?
x
小结平移法过程（步骤）














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65
作y=sinx（长度为2?的某闭区间）
沿x轴平 移|
φ
|个单位
得y=sin(x+φ)
横坐标伸 长或缩短
得y=sin(ωx+φ)
纵坐标伸 长或缩短
横坐标 伸长或缩短
得y=sinωx
沿x轴平 移|
?
|个单位
?
得y=sin(ωx+φ)
纵坐标伸 长或缩短
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一
个周期闭区间上再扩充到R上。

数学必修4第一章三角函数教案
两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材P58练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业:教材P62习题2、3、4
四、课后反思
§8 同角三角函数的关系（1课时）

教学目标：
知识与技能
（1）能根据 三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；
（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算；（3） 能运用同角
三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一
些三角运算的基本技 巧；（4）运用同角三角函数的基本关系式进
行三角函数恒等式的证明。
过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三
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66

数学必修4第一章三角函数教案
角函数之间的关系试着进行证 明；掌握几种同角三角函数关系的
应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三
角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和
解决问题的能力。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；
认 识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习
惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立 化归的数学思想方法。
二、教学重、难点
重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已 经见过同角三角函数之间的关系，在高中就要求
学生能对这些关系进行证明，最主要的还是在于运用。主 要有三
方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课通过例
题讲评和学生练习的形式 开展教学。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应
用不是很多，那么到底有哪些？ 它们成立的条件是什么？学习实
践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问
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67

数学必修4第一章三角函数教案
题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式： sin?
?tan?
sin
2
??cos
2
??1
cos?

理论证明：（采用定义）
1
?
?
x
2
?y
2
?r
2
yx
,c os
?
??sin
2
?
?cos
2
?
?1
rr
?
sin
?
yxyry
2
?
当
?
?k
?
?(k?Z)时，??????tan
?
2cos
?
rrrxx

且sin
?
?
注意：1?“同角”的概念与角的表达形式无关，
?
2
?tan
?
?
2
cos
22
如：
sin3??cos3??1

2

sin
2?上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3?据此，由一个角的任一三角函数值 可求出这个角的另两个三
角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会
出现两 解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．已知sinα
解：∵
sin
2
3＝－
5
，且α在第三象限，求cosα和tanα.
＝1－sin2α
3
16
＝1－(－
5
)2＝
25

??cos
2
??1
∴cos2α
又∵α在第三象限，cosα＜0 ∴cosα
4
＝－
5
，tanα＝
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68

数学必修4第一章三角函数教案
sin
?
cos
?
3
＝
4

求?的其他三角函数值。
例2．已知
cos??m(m?0,m??1),
解：若?在第一、二象限，则
si n
?
?1?m
2
1?m
2
tan
?
?m

若?在第三、四象限，则
sin
?
??1?m2
1?m
2
tan
?
??
m

2
?
例3．化简：
1?sin440

2
??2
?
2
??
?1?sin(360?80)?1?sin80?cos8 0?cos80
解：原式
例
cos?1?sin?
?
4．求证 ：
1?sin?cos?

左边?
cos?(1?sin?)cos? (1?sin?)cos?(1?sin?)
??
2
(1?sin?)(1?sin? )
1?sin?cos
2
?
证一：
?
1?sin?
?右边
cos?

?等式成立
（利用平方关系）
且1?sin??0,cos??0

22
?(1?sin?)(1?sin?)?1?sin??cos?
证二：

?
cos?1?sin?
?
1?sin?cos?
（利用比例关系）
cos?1?sin?cos
2
??(1?sin?)(1?si n?)cos
2
??(1?sin
2
?)
?
???
(1?sin?)cos?(1?sin?)cos?
证三：
1?sin?cos?
cos
2
??cos
2
?
cos?1?sin?
??0??
(1?sin?)cos?

1?sin?cos?
（作差）
2．学生课堂练习
教材P66练习1和P67练习2
五、归纳整理，整体认识
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69

数学必修4第一章三角函数教案
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材P68习题中1—6
七、课后反思


本章复习与小结（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；
（2）加 深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函
数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4） 掌握一定的解题方
法，形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数， 通过整理本章的各知识点以及它们
之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有
全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学
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70

数学必修4第一章三角函数教案
1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观
通过本节的复习， 使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩
证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助 学生
树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为
洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系，从 角到角的度量，从三角函
数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理
本章出 现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，
提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通 。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】





弧长与扇形
面积公式
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同角三角函
数的关系
诱导公式
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的
图像与性质

数学必修4第一章三角函数教案









【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所 产生的，那么就有旋转量与旋转方向的
问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式< br>在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公
式、扇形面积公式得以简化，也为 定义任意角的三角函数作好了
准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的 一种三
角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角
三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用
的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
60
R=45
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72

数学必修4第一章三角函数教案
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
l?
?
?R?
60
?
?
?
3

?
3
?45?3.14?15?47(m)

已知?是第三象限角且
解：∵
cos
?
2
?0
?
，问
2
是第几象限角？
(2k?1)
?
?
?
?(2k?1)
?< br>?
?
2

(k?Z)

∴
角
又∵
k
?
?
?
2
?
?
2
?k
?
?
3
?
4
?

(k?Z)
则
2
是第二或第四象限
cos
?
2
?0
?
则
2
是第二或第三象限角
?
∴
2
必为第二象限角
sin??4cos?
及sin
2
? ?2sin?cos?的值。
3．已知
sin??2cos?
，求
5sin? ?2cos?

?tan??2

例
解：
?sin??2c os?
?
sin??4cos?tan??4?21
????
5sin??2 cos?5tan??2126

2
sin
2
??2sin?cos ?tan
2
??2tan?4?26
sin??2sin?cos?????
222
4?15

sin??cos?tan??1
例
?
? ?
y?tan
?
3x?
?
3
?
的定义域、值域，并 指出它的周期性、
?
4．函数
奇偶性、单调性。
解：由
3x??
3
?k
?
?
?
2
得
x?
k
?
5
?
?
318
，
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73

数学必修4第一章三角函数教案
k
?
5?
??
?,k?z
??
x|x?R,且x?
318
?< br>
?
所求定义域为
?
值域为R，周期
T?
?
3
，是非奇非偶函数。
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
??
?
k?z
?
318318
?
在区间
?
上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有 那些？你在这节课中的表现
怎样？你的体会是什么？【布置作业】 教材P77复习题一A组
12—15
【课后反思】








第二章 平面向量
2.1从位移、速度、力到向量（1课时）

一、教学目标：
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74

数学必修4第一章三角函数教案
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，
并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻
辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助
学生 理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后
通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出 问题，善于独立思
考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观
通过 本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一
个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积 极性，陶冶学生的
情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇
于创新的精神 .
二.教学重、难点
重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的
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75

数学必修4第一章三角函数教案
内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体
系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
AB

注意：起点一定写在终点的前面。
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76
???
A B
a
A(起点)
B
（终点）

数学必修4第一章三角函数教案
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段
AB
的长
度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即< br>AB
可
表示为
a
（印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量
AB
的大小——长度称为向量的模。
记作：|
AB
| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量： < br>①零向量——长度（模）为0的向量，记作
0
。
0
的方向是任意
的.
注意
0
与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向
量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②
AB
与
BA
是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向
量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量
不一定相等。
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77
??????
???
??????
???

数学必修4第一章三角函数教案
5.向量间的关系：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
a
∥
b
∥
c

规定：
0
与任一向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：
a
=
b

规定：
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与
起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。




OA
=
a

OB
=
b

OC
=
c

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O 是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图
中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量；②分别写出图中与向量
OD
、
OE
、< br>OE
共线的向量.
??????
????????????
?????????
a
b
c
C O B A



C
B
O
F
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78
A
D E

数学必修4第一章三角函数教案





[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.
②向量的模.
③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量.
五.作业：P86 习题2—1
六. 课后反思










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79

数学必修4第一章三角函数教案












2.2从位移的合成到向量的加法（2课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法 则和平行四边
形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结
合律，并能熟练运 用它们进行向量计算.
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的
减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.
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80

数学必修4第一章三角函数教案
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法
教材利用同学们熟 悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我
们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们 利用
物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减
法；最后通过讲解例题， 指导发现知识结论，培养学生抽象概括
能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行
四边形法则有了一定的认识，进一步让学 生理解和领悟数形结合
的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助
于激发学 生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度
和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
难点: 向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的
内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
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81

数学必修4第一章三角函数教案
【创设情境】
提出课题：向量是否能进行运算？
某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
???
???
??????
A B C
???
??????
C A B
C
AB
+
BC
=
AC

??????
A B
C
船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB
+
BC
=
AC

提出课题：向量的加法
【探究新知】
A B
???
??????
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
a
a
C
b
a


A




强调：
b
a+b
A
a
B
b
B
a+b
C
C
a+b
A
B
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82

数学必修4第一章三角函数教案
① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一
个向量的起点
②可以推广到n个向量连加
③
a?0?0?a?a

④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，
作
OA?a

AB?b

a
????????
O
b
a
A
b
a
b
则
OB?a?b

【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则 ?????
思考：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同 验证结果相同
从而得到：1?向量加法的平行四边形法则
2?向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

4．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)（可请学生先上来
做，不足之处学生更正）
证：如图：使
AB?a
,
BC?b
,
CD?c

则(
a
+
b
) +
c
=
AC?CD?AD


a
+ (
b
+
c
) =
AB?BD?AD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
?????????
?????????
????????????
D
a+b+c
b+c
a+b
c
C
b
A
a
B
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来
西安市育才中学高一备课组
83

数学必修4第一章三角函数教案
进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点 出发以
23kmh
的速度
向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为
2kmh
，
求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设
AD
表示船垂直于对 岸的速度，
AB
表示水流
的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则
AC
就是船实际航行的速
度
在
Rt?ABC
中，
|AB|?2
，
|BC|?23

2
|AC|?|AB|?|BC|?4
所以
??????
2< br>???
??????
???
??????
因为
tan?CAB ?
23
?3??CBA?60
?
2

【探究新知】
?
?
?
?
思考：已知
a
，
b
，怎样求作
a?b
？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相
反向量”这个概念.
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作
?a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
西安市育才中学高一备课组
84

数学必修4第一章三角函数教案
如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b =
0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的
减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
7.请同学们自己解决思考题：
?
?

a?b
的作法：
?
?
方法一、 已知向量
a
、
b
，在平
面内任取一点
????????O，作
??
OA?a,OB?b
，则
BA
?a?b
。即
?
?
?
?
a?b
可以表示为从向量
b
的终 点指向向量
a
的终点的向量
???
方法二、在平面内任取一点O，作
OA?a,OB?b
则
AB
?a?b
。即
a?b
?
?
也可以表示为从向量
a
的起点指向向量
b
的起点的向量. 方法三、在平面内任取一点O，作
OA
???
??
????????????????
???
????
?a,OB??b
，则由向量加法??
的平行四边形法则可得
OC?

a?(?b)?a?b
.
[展示投影]思考与讨论：
?
?
?
?
思考：从向量
a
的终点指向向量
b
的终点的向量是什么？（
b?a
）
?
?
?
?
a
∥
b
时，讨论：如右图，怎样作出a?b
呢？
西安市育才中学高一备课组
85

数学必修4第一章三角函数教案






[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例3.已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。
解：在平面上取一点O，作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d, 作
???
????????????
BA
,
DC
, 则
BA
= a?b,
DC
= c?d
A
b
d
c
O
C
B
D
???
???
???








例
a
???
?
???
?
b
AC

.
C
4.平行四边形中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
、表示向量
D
，

DB
???
?
???
?
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b,
DB
=
AB
-
AD
= a?b

西安市育才中学高一备课组
86
???
?????????
A B

数学必修4第一章三角函数教案
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a, b互
相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线
方向不同）

例5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边
形。
证：由向量加法法则：

AB
=
AO
+
OB
,
DC
=
DO
+
OC

由已知：
AO
=
OC
,
OB
=
DO

∴
AB
=
DC
即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
②向量加法运算律.
③相反向量及向量减法的运算法则.
五、评价设计
1．作业：习题2.2 A组第1、2、3、4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量a.b
都有
②证明：
a?b?a?b?a?b
a?b?a?b
? ??
???
????????????
D C
??????
???
?????????
O
A B

并说明什么时候取等号？
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87

数学必修4第一章三角函数教案
提示：可用例5
?
?
的图当
a
、
b
不共线时，由三角形两边之和大于
第三边，而两边之 差小于第三边得
a?b?AC?AB?BC?a?b
a?b?AC?AB?BC?a?b、
即
a?b?a?b?a?b

六、课后反思：
















2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）

西安市育才中学高一备课组
88

数学必修4第一章三角函数教案

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基 本定理，能用两个不共线向量
表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使 学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，
平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简 单的
几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：
1．“模”与“方向”两点) 2 ．三个运算定律（结合律，第一分
配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为
了帮助学生消化和巩固相应的知识， 教材设置了几个例题；通过
讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思
维能 力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量 基
本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的
联系起来了，这样有助于激发 学生学习数学的兴趣和积极性，有
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89

数学必修4第一章三角函数教案
助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.
2. 平面向量基本定理的理解.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的
内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】
????
aa
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出+
a
+
a
和
???
aaa
(?)+(?)+(?)



??????
?
a

O
?
a

A
?
a

B
?
a

?
?a

N
??????
?
?a
M
?
?a
Q
?
?a
C
P
????
OC
=
OA?A B?BC
=
a
+
a
+
a
=3
a

????
aaaa
=(?)+(?)+(?)=?3
????
aaaa
讨论：① 3与方向相同且|3|=3|| < br>???
PN
=
PQ?QM?MN
?????????
????
aaaa
② ?3与方向相反且|?3|=3||
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90

数学必修4第一章三角函数教案
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ
λ
?
a

?
a
与向量的积，记作：
定义：实数λ
①|λ?
a
|=|λ
??
aa
与向量的积是一个向量，记作：λ
?
a
|||
②λ>0时λ
λ
??
a
与< br>a
方向相同；λ<0时λ
??
a
与
a
方向相反；λ= 0时
?
a
=
0
（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实 数与向量的积的是否满
足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律：λ(μ
?
a
)=(λμ
?
a
) ①
第一分配律：(λ+μ
第二分配律：λ
结合律证明：
如果λ=0，μ< br>如果λ?0，μ
|(λμ
???
aaa
)=λ+μ ②
?
?
?
?
(
a
+
b
)=λ< br>a
+λ
b
③
?
a
=0，=
0
至少有一个成立，则①式成立
?
a
?0，?
0
有：|λ(μ
?
a
)|=|λ||μ
?
a
|=|λ||μ
?
a
|||
?
a
)|=|λμ
?
a
|| |=|λ
?
a
)|=|(λ
||μ
μ
?
a
|||
∴|λ(μ
如果λ、μ
如果λ、μ
?
a
)|
?
a
同号，则①式两端向量的方向都与同向；
?
a
异号，则①式两端向量的方向都与反向。
?
a
)=(λ 从而λ(μμ
?
a
)
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91

数学必修4第一章三角函数教案
第一分配律证明：
如果λ=0，μ
如果λ?0，μ
?
a
= 0，=
0
至少有一个成立，则②式显然成立
?
a
?0，?
0

当λ、μ同号时，则λ
∴|(λ +μ
|λ
?
a
)|=|λ
??
a
和μ
a< br>同向，
?
a
|||=(|λ+μ|+|μ
?
a
|)||
?
a
|||=(|λ
????
a
+μ
a
|=|λ< br>a
|+|μ
a
|=|λ
?
a
|||+|μ|+|μ< br>?
a
|)||
∵λ、μ
?
a
同号 ∴②两边向量方向都与同向
???
aaa
)|=|λ+μ|
?
a
同向
即：|(λ+μ
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ
还可证：|(λ+μ
∴②式成立
第二分配律证明：
?
?
如果
a
=
0
，
b
=
0中至少有一个成立，或λ
?
a
同向
???
aaa
)|=|λ+μ|
=0，λ=1则③式显然成
立
?
?
当
a
?
0
，
b
?
0
且λ?0，λ?1时
B
1
B
1?当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O，
???
??????
??< br>???
??
OAAB
作
OA
=
a

AB
=
b

1
=λ
a

11
=λ
b

?
?
?
?
OB?
则
OB
=
a
+
b

1
λ
a
+λ
b

???
???
O
A
A
1
由作法知：
AB
∥
A
1
B
1
有?OAB=?OA1B1 |
AB
|=λ|
A
1
B
1
|
|OA1
|
???
???
???
???
???
???
?
|A
1
B
1
|
|AB|
???
???
?
∴
|OA|
λ ∴△OAB∽△OA1B1
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92

数学必修4第一章三角函数教案
|OB
1
|
???
???
?
∴
|OB|
λ ?AOB=? A1OB1
因此，O，B，B1
向也相同
λ
?
?
?
?
(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
< br>?
?
?
?
(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

A
1
B
1
O
B
A
在同一直线上，|
OB
1
|=|λ
OB
|
O B
1
与λ
OB
方
???
???
???
?? ?
当λ<0时 可类似证明：λ
∴ ③式成立

【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
?
??
若有向量
a
(
a
?
0
)、
b
，实数λ
?
?
b
a
，使=λ 则由实数与向量积
?
?
的定义知：< br>a
与
b
为共线向量
??
???
0
bbaaa
若与共线(?)且||：||=μ
??
??
bb
aa，则当与同向时=μ；
??
??
bb
aa
当与反向时=?μ < br>?
?
b
a
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个< br>非零实数λ
?
?
b
a
，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例2. （见P97例2）略
例3.（P97例3改编）如图：
OA
，
OB
不共线，P点在AB上，求< br>P
??????
证：存在实数
?
.
?
且
?
?
?
?1

使
OP?
?
OA?
?
OB

（证明过程与P97例3完全类似；略）
?????????
B
O
A
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
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93

数学必修4第一章三角函数教案
【巩固深化，加强基础】
1.见P98练习1、2、3、4题.
OA
，
OB
不共线，
OB
表示
OP
.
AP
=t
AB
(t?R)用
OA
，2.如例3图，
??????
??????
?????????
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是
唯一？
②．对于平面上两个不共线向量
e
1
，
e
2
是不是 平面上的所有向量
都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析
?
ee< br>a
设
1
，
2
是不共线向量，是平面内任一向量
M


e
1

a

C
N B
e
2

O
OA
=
e
1

OM
=λ1
e
1

OC
?
a< br>==
OM
+
ON
=λ1
e
1
+λ
2
e
2

OB
=
e
2

ON
=λ2
e
2

得平面向量基本定理：如果
e< br>1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向
?
a
量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，
λ2
?
a
使= λ1
e
1
+λ2
e
2
.
[注意几个问题]：
①
e
1
、
e
2
必须不共线，且它是这一平面内所 有向量的一组基底.
② 这个定理也叫共面向量定理.
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94

数学必修4第一章三角函数教案
③λ1，λ2
?a
是被，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量.
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组
合.
[展示投影]例题 讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学
生评讲，教师提示或适当补充；）
例4．1k g的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），
已知两细绳与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的
力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
|OP|
=1 (kg) ?P1OP=60? ?P2OP=30?
???
1
∴
|OP1
|
=
|OP|
cos60?=1?
2
=0.5 (kg)
??????
30?
60?
P
1
|OP< br>2
|
=
|OP|
cos30?=1?
???
???< br>3
2
=0.87 (kg)
P
2
P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
例5.如图 ABCD的两条对角线 交于点M，且
???
?
???
??????
?
b
M C
a
用，表示
MA
，
MB
，和
MD
???
?
???
?
AB
=
a
，
AD< br>=
b
，
解：在 ABCD中
∵
AC
=

DB
=
???
???
???
D
b
A
M
B
C
???
?
?
AB
+
AD
=
a
+
b

???
???
?
?< br>AB
?
AD
=
a
?
b

???
a
1
?
111
?
??
?
??
b
AC
aa
222
MA
∴=?=?(+)=??
2
b

1111
?
111
?
???
?
?
??
MB
=
2
DB
=
2
(
a
?
b
)=
2
a
?
2
b

MC
=
2
AC
=
2< br>a
+
2
b

???
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95

数学必修4第一章三角函数教案
111
?
? ??
?
MD
=?
MB
=?
2
DB
=?2
a
+
2
b

???
???
例6. 如图，在△ABC
???
?
?
中，
AB
=
a
,
BC
=
b
，AD
???
为边BC的中线，G
?
b
为△ABC的重心，求向量
AG

解法1：∵
A
???
???
AB
=
?
a
,
???
BC
= 则
1
?
1
?
??
a
BD
=
2
BC
=
2
b

B
???
b
∴
AD
=
???
???1
?
2
???
???
?
b
AG
a23
AB
+
BD
=+而=
AD

???
D C
2
1
?
?
A
3
b
∴
AG
=
3
a
+
a
E
F
解法
G
2：过G作BC的平行线，交AB、AC于
E、F
B
b
D
C
∵△AEF∽△ABC ∴
???
22
???
?
AE
=
3
AB
=
3
a

???
2
?
2
?
1
1
?
2
1
?
???????????
? ?????
?

EF
=
3
BC
=
3
b

EG
=
2
EF
=
3
b
∴
AG
=
AE
+
EG
=
3
a
+
3< br>b

例7．设
e
1
,
e
2
是两个不 共线向量，已知
AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
?
e
2
, 若三点
???
??????
???
???
???
A, B, D共线，求k的值.
解：
BD
=
CD
?
CB
=( 2
e
1
?
e
2
)?(
e
1
+3< br>e
2
)=
e
1
?4
e
2

∵A, B, D共线 ∴
AB
,
BD
共线 ∴存在λ使
AB
=λ
BD

即2
e
1
+k
e
2
=λ
?
2?
?
?
ee
(1
?4
2
) ∴
?
k??4
?
∴k=?8
????????????
【巩固深化，发展思维】
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96

数学必修4第一章三角函数教案
1．在 ABCD
??
??
?
?
?
中，设对角 线
AC
=
a
，
BD
=
b
试用
a< br>,
b
表示
AB
，
BC

???
2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证 ：
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
.
3.见P100练习1、2题.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①数乘向量的几何意义理解.
?
?
b
a
②向量与非零向量 共线的条件是：有且只有一个非零实数λ
?
?
b
a
使=λ.
???????????????
，
③平面向量基本定理的理解及注意的问题.
五、评价设计
1．作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．
2.（备选题）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N
???
??
???
??
分别是DC, AB中点，设
AD
=
a
,
AB
=
b
，试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
???
???
BC
,
MN

???
?? ?
11
?
???
解：
DC
=
2
AB
=
2
b
连
??????
ND 则DC╩ND
D
1
?
?
BCNDAN
a
AD
∴==?=?
2
b

???
???
N
M
O
M
C
A
B
1
?
1
?
??
又∵
DM
=
2
DC
=
4
b

???
∴
MN
=
DN
?
DM
???? ??
???
=
CB
?
DM
???
???
= ?
BC
?
DM
???
???

1
?
1
?
1
?
??
bbb
aa
244
=(? +)?=?
3.体会向量在平面几何中的应用．
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97

数学必修4第一章三角函数教案
六、课后反思：





















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2.4平面向量的坐标（2课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.
（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法
教材利用正交分解 引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线
性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例 题，
巩固知识结论，培养学生应用能力.
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99

数学必修4第一章三角函数教案
3.情感态度价值观
通过本节内容 的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐
标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点 或向量都
可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思
想；培养学生勇于创新 的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的
内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
?
a
（回忆）平面向量的基本定理（基底） =λ1
e
1
+λ2
e
2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向
量的线性组合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
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