高中数学课堂研究措施-长沙高中数学一对一辅导
360度?2
?
弧度
l?
?
r
?
?
1
?
?弧度
11
2
180
S?l r?
?
r
.
22
1
弧度?
180
?
度
180
?
?
?
弧度
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Si
n
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
,
k?z
Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?
角
?
与角?
?
关于x轴对称
?
?
?
?
??SinSin
?
Co
?
s?
?<
br>?
?Co
?
s
?
?
?
?
??tan
tan
?
?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称
?
?
?
?
?
?SinSin
?
Co
?<
br>s
?
?
?
?
??Co
?
s
?
?
?
?
?
??tantan
?
?
角
?
?
?
与角
?
关于原点对称
?
??
?
?
??SinSin
?
Co
?
s
?
?
?
?
??Co
?
s
?
?
?<
br>?
?
?tantan
?
?
角
?
2
?
?
与角
?
关于y?
?
?
?
?<
br>?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?<
br>Sin?
?
s
Cos
??
?Co
?
Sin<
br>?
2
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tan
?
2
Cot
?
?
Sec
Csc
x对称
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?
?
?
Cos
?
?
?
?
?Sin
?
Co
?
s?
?
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??Sin
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
tan
?
?<
br>?
?
?cot
?
?
2
?
?
?
?
tant
?
?
?
?
??co
?
?2
?
上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”
Ⅳ
周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 ,
T?
?
?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
,
A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?ACo
s
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 ,
T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
?b
, A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0
,
?
? 0 , T?
2
?
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b
, A?0 ,
?
? 0 , b?0 ,
T?
?
?
?
?
T?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 ,
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
,
A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
,
A?0 ,
?
? 0 ,
T?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
Ⅴ 三角函数的性质
性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x
R
y?Cos x
R
?
?1,1
?
2
?
奇函数
?
?1,1
?
2
?
偶函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?,k?z,增函数
??
22
??
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?,k?z,减函数??
22
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z
x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k
?z
2
??
x?k
?
,k?z
5
4
对称轴
图
像
?
2
,k?z
5
3
4
23
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ
2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-π
2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π
2
2
π
4
2π
8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
性 质
定义域
y?tan x
<
br>??
?
xx?
??
?,
?
?z
??
2
??
R
?
奇函数
y?cot
x
?
xx?
??
,
?
?z
?
R
?
奇函数
值 域
周期性
奇偶性
单调性
??
??
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z,增函数
22
??
?
k
?
,k
?
?
?
?
,k?z,增函数
?<
br>??
,0
?
,k?z
?
k
?
?
2<
br>??
对称中心
对称轴
?
k
?
,0
?
,k?z
无
无
xy?ASi
?
n
?
x?<
br>?
?
?k
? ?
怎样由y?Sin变化为
振幅变化:
y?Sinx
y?ASinx
左右伸缩变化:
y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)
上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k
Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量
;反之如果b与a是共线向量
那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.
Ⅶ
线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2
.
线段定比分点坐标公式
线段定比分点向量公式
?
x
1
?
?
x
2
x?
1?
?
OP
1
?
?
OP
2
y
1
?
?
y
2
.
OP?
y?
1?
?
1?
?
??
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时
线段中点坐标公式
x
1
?x
2
x?
2
y?
y
1
?y
2
2
线段中点向量公式
.
OP?
OP
1
?OP
2
2
Ⅸ一般地,设向量
a?
?
x
1
,y
1?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,
如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
反过来,如果
x
1
y
2
?x<
br>2
y
1
?0,则a
∥
b
.
Ⅹ
一般地,对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
,其中θ为两向量的夹角。
Cos<
br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2
Ⅺ
如果
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 ,
则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的
, a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
三角形中的三角问题
A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2222
2
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A?B?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??
?
2
??
2
?
?
A?B
??<
br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理:
abca?b?c
???2R?
SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理:
a
2<
br>?b
2
?c
2
?2bcCosA ,
b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222
b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
CosA
? , CosB ?
2bc2ac
变形:
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
三角公式以及恒等变换
, S
(
?
?
?
)
? 两角的和与差
公式:
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?Cos
?
?Cos
?
Sin
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?C
os
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
,
C
(
?
?
?
)
tan
?
?tan
?
, T<
br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
?
二倍角公式:
Sin2
?
?2Sin
?
Cos
?
Cos2
?
?2Cos
2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos
2
?
?Sin
2
?
tan2<
br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
? 半角公式:
Sin
?
2
??
1?Cos
?<
br>2
tan
?
2
??
1?Cos
?
Cos??
22
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?
??
1?Cos
?
1?Cos
?
Sin
?
《解三角形》复习
1.正弦定理:txjy(1)形式
一:
形式二:
sinA=
abc
= 2R ;
??
si
nAsinBsinC
abc
;
sinB=
;
sinC=
;
(角到边的转换)
2R2R2R
形式三:
a?2R?sinA
,
b
?2R?sinB
,
c?2R?sinC
;(边到角的转换)
111
形式四:
S?absinC?bcsinA?acsinB
;(求三角形的面积)
222
(2)解决以下两类问题:
1)、已知两角和任一边,求其他两边和一角;(唯一解)
2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)。
(3)若给出
a,b,A
那么解的个数为:若
a?bsinA
,则无解;
若
a?bsinA或者a?bsinA
,则一解;
若
bsinA?a?b
,则两解;
2.余弦定理:txjy
(1)形式一
:
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
,
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB
,
c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC
222
222222
b?c?a
a?c?ba?b?c
形式二:cosA?
,
cosB?
,
cosC?
,(角到边的转换)
2bc
2ac2ab
(2)解决以下两类问题:
1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们得夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)
【精典范例】
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状:
(1)若a
2
tanB=b
2
tanA;
(2)b
2
sin
2
C +
c
2
sin
2
B=2bccosBcosC;
(3)(sinA
+ sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.
【解】(1)由已知及正弦定理
sinBsinA
2
= (2RsinB)
?
cosBcosA
2sinAcosA=2sinBcosB
?
sin2A=sin2B
?
(2RsinA)
2
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90 或
A – B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sinBsinC=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴
sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90,
A=90,故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) –
(cosA + cosB + cosC)=1
?
[2sin
sin(A +
B)] – [2cos
oo
22
o
A?BA?B
cos+
22
C
A?BA?B
2
cos+2cos
2
-
1]=0
22
A?BA?BA?BA?B
cos+ sin(A + B)] –
2coscos -
?
[2sin
2222
A?BA?BA?B
2
A?B
2sin=0
?
(sin- cos)(cos-
2222
sin
?
A?BA?BA?C?BA?B
?C
)=0
?
sin( -
)sinsin=0
?
△ABC是Rt△.
4
2244
【例2】3
.△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB-
3sinC
①求证:△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2
求:
【解】①
?B?C?150
°
AB
的值
C
D
?cosB?2sinB?3sinC?2sinB?3sin(150
?
?B)<
br>13
?2sinB?3(cosB?sinB)
?tgB?2?3
?B?75
?
22
从而
C?75
?
?
△ABC是顶角为A的等腰三角形。
BC2
②在△ABC中由正弦定理
?BC?6?2
?
??
sin36sin75
在△BCD中由正弦定理
CD6?2
?<
br>
?CD?3?3
??
sin60sin45
?AD?2?CD?3?1
?
AD3?13
??
DC
3?3
3
1
.
3
【例3】在Δ
ABC中,角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c,且
cosA?
(Ⅰ)求
sin
2
(Ⅱ)若
a?
【解】(Ⅰ)
sin
2
=
B?C
?cos2A
的值;
2
3
,求bc的最大值.
1
B?C
2
?cos2A
=
[1?cos(B?C)]?(2cosA?1)
2
2
1112
1
(1?cosA)?(2cos
2
A?1)
=
(1?)?(?1)
=
?
22399
b
2
?c
2
?a
2
1
2
?cosA?
∴
bc?b
2?c
2
?a
2
?2bc?a
2
, (Ⅱ)
∵
2bc3
3
又∵
a?
3
∴
bc?
9399
.
且仅当
b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
4244
《数列》复习
1、数列
[数列的通项公式]
a
n
?
?
?a
1
?S
1
(n?1)
[数列的前n项和] S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a<
br>n
S?S(n?2)
n?1
?
n
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那
么这个数列
就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1. 定义法:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?a
n
?d
(常数),则数列?
a
n
?
是等差数列。
2.等差中项:对于数列
?
a
n
?
,若
2a
n?1
?a
n
?
a
n?2
,则数列
?
a
n
?
是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公差是
d
,则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1.
Sn
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
2.
S
n
?na
1
?
2
2
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果
a
,
A
,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即:
A?
a?b
或
2
2
A?a?b
[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)
都是它的前
一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1.等差数列任意两项间的关系:如果
a
n
是
等差数列的第
n
项,
a
m
是等差数列的第
m
项,<
br>且
m?n
,公差为
d
,则有
a
n
?a
m
?(n?m)d
2. 对于等差数列
?
a
n
?
,若
n?m?p?q
,则
a
n
?a
m
?
a
p
?a
q
。
a
1
?a
n
??
?????????
a,a
2
,a
3
,
?
,an?2
,a
n?1
,a
n
?a
2
?
a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
,如图所示:<
br>1
?????????
a
2
?a
n?1
*
3
.若数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
n
是其
前n项的和,
k?N
,那么
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
也就是:
a1
?a
n
成等差数列。如下图所示:
S3k
?????????????????????????
a
1
?a<
br>2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1<
br>?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?
a
3k
???????????????????????
S
k<
br>S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
3、
等比数列
[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个
常
数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示
(
q?0
)。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等
比数列,那么
G
叫做
a
与
b
的等比中
项。
也就是,如果是的等比中项,那么
[等比数列的判定方法]
1. 定义法:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?q(q?0)
,
则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
G
b
2
?
,即
G
aG
?ab
。
2
2.等比中项:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n
a
n?2
?a
n?1
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
[等比数列的通项公式]
n?1
如果等比数列
?<
br>a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,
则等比数列的通项为
a
n
?a
1
q
。
[等比数列的前n项和]
a?a
n
q
a
1
(1?
q
n
)
(q?1)
○
1
S
n
?
2
S
n
?
1
3当
q?1
时,
S
n
?na
1
(q?1)
○○
1?q
1?q
[等比数列的性质]
1.等比数列任意两项间
的关系:如果
a
n
是等比数列的第
n
项,
a
m是等差数列的第
m
项,
且
m?n
,公比为
q
,
则有
a
n
?a
m
q
n?m
3. 对于等
比数列
?
a
n
?
,若
n?m?u?v
,则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v
a<
br>1
?a
n
???????????
a,a
2
,a3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
。如图所示:
1
?????????
a
2?a
n?1
也就是:
a
1
?a
n
4.若数列<
br>?
a
n
?
是等比数列,
S
n
是其前n项的和
,
k?N
*
,那么
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成
等比数列。如
下图所示:
S
3k
?????????????????
????????
a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k
?????????
??????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
4、数列前n项和
(1)重要公式:
1?
2?3??n?
n(n?1)
;
1
2
?2
2
?3<
br>2
??n
2
?
n(n?1)(2n?1)
;
26
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n
?1)]
2
2
(2)等差数列中,
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd
nm
(3)等比数列中,S
m?n
?S
n
?qS
m
?S
m
?q
S
n
(4)裂项求和:
111
??
;
n(n?1)nn?1
【追踪训练】
1、求下列数列的一个通项公式:
⑴
3,5,9,17,33,?,
⑵
1,0,?,0,,0,?
⑶
1
3
1
5
1
,0,?,
7
246810
,,,,,
?
,
⑷
1,3,6,10,15,21,?,
315356399
2、已知S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n项和,
a
1
?1,a
4
?7,S
n
?100<
br>,则
n?
.
3.已知
5
个数成等差数列,它
们的和为
5
,平方和为
165
,求这
5
个数.
4、 已知
?
a
n
?
为等差数列,
a
15
?8,a
60
?20
,则
a
75
?
5、
已知
?
a
n
?
为等比数列,
a2
?2,a
6
?162
,则
a
10
?
6、已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
S
10
?100,S
100?10
,求
S
110
.
7、已知下列数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,分别求
它们的通项公式
a
n
.
n
2
⑴
S
n
?2n?3n
;
⑵
S
n
?3?1
.
【解题思路】利用
a
n
?
?
(
?
S
1
n?1)
,这是求数列通项的一个
重要公式.
S?S(n?2)
n?1
?
n
2a
n?1(n?2)
,求
a
2
,a
3
,a
4
,
a
5
,并归纳出
a
n
.
2?a
n?1
8
、
数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,
a
n
?
2
9、数列
?
a
n
?
中,
a
n
?n?5n?4
.
⑴
18
是数列中的第几项?
⑵
n
为何值时,
a
n
有最小值?并求最小值.
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