高一数学必修三和必修四复习材料

360度?2
?
弧度
l?
?
r
?
?
1
?
?弧度

11
2
180
S?l r?
?
r
.

22
1 弧度?
180
?
度
180
?
?
?
弧度

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Si n
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z

Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?
角
?
与角?
?
关于x轴对称

?
?
?
?
??SinSin
?
Co
?
s?
?< br>?
?Co
?
s
?
?
?
?
??tan tan
?

?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称

?
?
?
?
?
?SinSin
?
Co
?< br>s
?
?
?
?
??Co
?
s
?
?
?
?
?
??tantan
?

?
角
?
?
?
与角
?
关于原点对称
?
??
?
?
??SinSin
?
Co
?
s
?
?
?
?
??Co
?
s
?
?
?< br>?
?
?tantan
?

?
角
?
2
?
?
与角
?
关于y?
?
?
?
?< br>?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?< br>Sin?
?
s
Cos
??
?Co
?
Sin< br>?
2
?
tan
?
2
Cot
?
?
Sec
Csc

x对称
?
?
?
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?Sin
?
Co
?
s?
?
?
??Sin
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
tan
?
?< br>?
?
?cot
?
?
2
?
?
?
?
tant
?
?
?
?
??co
?
?2
?
上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?ACo s
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?

?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?
?
?
T?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 ,
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

Ⅴ 三角函数的性质

性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x

R
y?Cos x

R
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?,k?z,增函数
??
22
??
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?,k?z,减函数??
22
??

?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数

?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

5
4
对称轴

图


像
?
2

,k?z

5
3
4
23
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-π 2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4
2π
8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5

-6



性 质
定义域


y?tan x
< br>??
?
xx?
??
?,
?
?z
??

2
??
R
?

奇函数
y?cot x

?
xx?
??
,
?
?z
?

R
?

奇函数
值 域
周期性
奇偶性
单调性
??
??
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z,增函数

22
??
?
k
?
,k
?
?
?
?
,k?z,增函数

?< br>??
,0
?
,k?z
?
k
?
?
2< br>??
对称中心
对称轴
?
k
?
,0
?
,k?z

无

无

xy?ASi
?
n
?
x?< br>?
?
?k
？ ?
怎样由y?Sin变化为
振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量 ；反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
?



x
1
?
?
x
2

x?

1?
?
OP
1
?
?
OP
2

y

1

?

?

y

2

.
OP?


y?
1?
?

1?
?


??
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式


x
1
?x
2
x?

2





y?
y
1
?y
2

2

线段中点向量公式


.

OP?

OP
1
?OP
2

2

Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0, 如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0,则a
∥
b
.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

Ⅺ
如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
三角形中的三角问题

A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2222 2
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A?B?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理：
abca?b?c

???2R?
SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理：
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222

b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
CosA ? , CosB ?
2bc2ac
变形：
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换
, S
(
?
?
?
)

? 两角的和与差 公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?Cos
?
?Cos
?
Sin
?

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?C os
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
? 二倍角公式：
Sin2
?
?2Sin
?
Cos
?

Cos2
?
?2Cos
2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos
2
?
?Sin
2
?
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?

? 半角公式：
Sin
?
2
??
1?Cos
?< br>2
tan
?
2
??
1?Cos
?
Cos??
22
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?

??
1?Cos
?
1?Cos
?
Sin
?


《解三角形》复习

1．正弦定理：txjy(1)形式 一：
形式二：
sinA＝
abc
= 2R ；
??
si nAsinBsinC
abc
；
sinB＝
；
sinC＝
； （角到边的转换）
2R2R2R
形式三：
a?2R?sinA
，
b ?2R?sinB
，
c?2R?sinC
；（边到角的转换）
111
形式四：
S?absinC?bcsinA?acsinB
；（求三角形的面积）
222
(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出
a，b,A
那么解的个数为：若
a?bsinA
，则无解；
若
a?bsinA或者a?bsinA
，则一解； 若
bsinA?a?b
，则两解；
2．余弦定理：txjy
(1)形式一 ：
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
，
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB
，
c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC

222
222222
b?c?a
a?c?ba?b?c
形式二：cosA?
，
cosB?
，
cosC?
，（角到边的转换）
2bc
2ac2ab
(2)解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【精典范例】
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
(1)若a
2
tanB=b
2
tanA；
(2)b
2
sin
2
C + c
2
sin
2
B=2bccosBcosC;
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.
【解】(1)由已知及正弦定理
sinBsinA
2
= (2RsinB)
?

cosBcosA
2sinAcosA=2sinBcosB
?
sin2A=sin2B
?

(2RsinA)
2
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90 或 A – B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sinBsinC=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90, A=90,故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1
?
[2sin
sin(A + B)] – [2cos
oo
22
o
A?BA?B
cos+
22
C
A?BA?B
2
cos+2cos
2
- 1]=0
22
A?BA?BA?BA?B
cos+ sin(A + B)] – 2coscos -
?
[2sin
2222
A?BA?BA?B
2
A?B
2sin=0
?
(sin- cos)(cos-
2222

sin
?
A?BA?BA?C?BA?B ?C
)=0
?
sin( - )sinsin=0
?
△ABC是Rt△.
4
2244
【例2】3 ．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
3sinC

①求证：△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求：
【解】①
?B?C?150
°
AB
的值
C D
?cosB?2sinB?3sinC?2sinB?3sin(150
?
?B)< br>13
?2sinB?3(cosB?sinB)

?tgB?2?3

?B?75
?

22
从而
C?75

?
?
△ABC是顶角为A的等腰三角形。
BC2
②在△ABC中由正弦定理
?BC?6?2

?
??
sin36sin75
在△BCD中由正弦定理
CD6?2
?< br>
?CD?3?3

??
sin60sin45
?AD?2?CD?3?1

?
AD3?13

??
DC
3?3
3
1
.
3
【例3】在Δ ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c，且
cosA?
（Ⅰ）求
sin
2
（Ⅱ）若
a?
【解】(Ⅰ)
sin
2
=
B?C
?cos2A
的值；
2
3
，求bc的最大值.
1
B?C
2
?cos2A
=
[1?cos(B?C)]?(2cosA?1)

2
2
1112 1
(1?cosA)?(2cos
2
A?1)
=
(1?)?(?1)
=
?

22399
b
2
?c
2
?a
2
1
2
?cosA?
∴
bc?b
2?c
2
?a
2
?2bc?a
2
, (Ⅱ) ∵
2bc3
3
又∵
a?




3
∴
bc?
9399
.
且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
4244

《数列》复习
1、数列
[数列的通项公式]
a
n
?
?
?a
1
?S
1
(n?1)
[数列的前n项和] S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a< br>n

S?S(n?2)
n?1
?
n
2、等差数列 [等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数列
就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常数)，则数列?
a
n
?
是等差数列。
2．等差中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
? a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1．
Sn
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
2.
S
n
?na
1
?
2
2
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?
a?b
或
2
2 A?a?b

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外） 都是它的前
一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是 等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，< br>且
m?n
，公差为
d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

2． 对于等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
? a
p
?a
q
。
a
1
?a
n
?? ?????????
a,a
2
,a
3
,
?
,an?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
? a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：< br>1
?????????
a
2
?a
n?1
*
3 ．若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其 前n项的和，
k?N
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
也就是：
a1
?a
n

成等差数列。如下图所示：
S3k
?????????????????????????
a
1
?a< br>2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1< br>?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
? a
3k

???????????????????????
S
k< br>S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
3、 等比数列
[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常
数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
（
q?0
）。
[等比中项]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等 比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中
项。 也就是，如果是的等比中项，那么
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0)
， 则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
G b
2
?
，即
G
aG
?ab
。
2
2．等比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n?1
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
[等比数列的通项公式]
n?1
如果等比数列
?< br>a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
， 则等比数列的通项为
a
n
?a
1
q
。
[等比数列的前n项和]
a?a
n
q
a
1
(1? q
n
)
(q?1)

○
1
S
n
?
2
S
n
?
1
3当
q?1
时，
S
n
?na
1

(q?1)

○○
1?q
1?q
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间 的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m是等差数列的第
m
项，
且
m?n
，公比为
q
， 则有
a
n
?a
m
q
n?m

3． 对于等 比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v

a< br>1
?a
n
???????????
a,a
2
,a3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
。如图所示：
1
?????????
a
2?a
n?1
也就是：
a
1
?a
n
4．若数列< br>?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和 ，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成
等比数列。如 下图所示：

S
3k
????????????????? ????????
a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k

????????? ??????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
4、数列前n项和
（1）重要公式：
1? 2?3??n?
n(n?1)
；
1
2
?2
2
?3< br>2
??n
2
?
n(n?1)(2n?1)
；
26
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n ?1)]
2

2
（2）等差数列中，
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd

nm
（3）等比数列中，S
m?n
?S
n
?qS
m
?S
m
?q S
n
（4）裂项求和：
111
??
；
n(n?1)nn?1
【追踪训练】
1、求下列数列的一个通项公式：
⑴
3,5,9,17,33,?,

⑵
1,0,?,0,,0,?
⑶
1
3
1
5
1
,0,?,

7
246810
,,,,,
?
,
⑷
1,3,6,10,15,21,?,

315356399
2、已知S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n项和，
a
1
?1,a
4
?7,S
n
?100< br>，则
n?
.
3.已知
5
个数成等差数列，它 们的和为
5
，平方和为
165
，求这
5
个数.
4、 已知
?
a
n
?
为等差数列，
a
15
?8,a
60
?20
，则
a
75
?

5、
已知
?
a
n
?
为等比数列，
a2
?2,a
6
?162
，则
a
10
?


6、已知
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
10
?100,S
100?10
，求
S
110
.

7、已知下列数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，分别求 它们的通项公式
a
n
.
n
2
⑴
S
n
?2n?3n
； ⑵
S
n
?3?1
.
【解题思路】利用
a
n
?
?
（
?
S
1
n?1)
，这是求数列通项的一个 重要公式.
S?S(n?2)
n?1
?
n
2a
n?1(n?2)
，求
a
2
,a
3
,a
4
, a
5
，并归纳出
a
n
.
2?a
n?1
8 、
数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1, a
n
?
2
9、数列
?
a
n
?
中，
a
n
?n?5n?4
.
⑴
18
是数列中的第几项？ ⑵
n
为何值时，
a
n
有最小值？并求最小值.