高中数学必修四 两角和差倍角的三角函数第5讲

第五讲 两角和差倍角的三角函数
【开心自测】
1
1. 已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos
2
α－sin
2
β的值 为（ ）
3
11
B．－ C．
33
C
2
2．在△ABC中，若sinAsinB=cos
2
，则△ABC是（ ）
A．－
A．等边三角形
C．不等边三角形
3. 已知
sin??
B．等腰三角形
D．直角三角形

2

3
D．
2

3

5?
,??(,?)
，求sin2?，cos2?，tan2?的值。
13 2
【教学重难点及考点占比】
重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积 公式
作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。难 点：
公式的灵活运用
。
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换 过程的设计，不断提
高从整体上把握变换过程的能力。
【知识梳理】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式







sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
?t an
?

1
?
?
??
?
?
sin
?
?cos
?
?[sin(
?
?
?
)?s in(
?
?
?
)]

sin
?
?sin
?
?2sin?cos
222

1
?
?
??
?
?
cos
?
?si n
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]

?
?
?
?
?

sin
?
?sin
?
?2cos?sin
222

1
?
?
??
?
?
cos
?
?co s
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]

?
?
?
?
?

cos
?
?cos
?
?2cos?cos
222

1
?
?
??
?
?
sin
?
?si n
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]

cos
?
?cos
?
??2sin?sin
222

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
22
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co2s
?
?co
2
s
?
?sin
??1?2sin
?
?2co
2
s
?
?1

2tan
?
tan2
?
?

1?tan
2
?
3．注意公式的逆用或变形应用

1

2

cos
?
?
1?cos2
?
2
2
sin
?
?
1?cos2
?

2
2
?
?2cos

1?cos
?
2
2
1?cos
?
?2sin
?
2

tan
?
1
?tan2
?

2
2
1?tanx

1?tan
??
1?ta n
??
?tan(?
?
)

?tan(?
?
)

1?tan
?
41?t an
?
4
sin
?
?cos
?
?
1
sin2
?
2

tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)(1?tan
?
?tan
?
)


tan
?
?tan
?
?tan (
?
?
?
)(1?tan
?
?tan
?
)

4．在公式的应用中，还要注意角的常见变形
如：
2
?< br>?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)


?
?(
?
?
?
)?
?

?
?
5．三倍角的正弦、余弦公式
?
?
?
2
?
?
?
?
2

sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
6．二倍角三角函数公式的主要功能
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?

（1）并项功能：并项功能的主要表现形式是：
1?sin2
?
?si n
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

（2）升次功能：升次功能的主要表现形式是：
cos2
?
?cos< br>2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

（3）降次功能：降次功能的主要表现形式是：
1?cos
?
2
【金题精讲】
cos
2
?
?sin
2
?
?
1?cos2
?
2

例1．不查表求下列各式的值.
(1)
sin555?
(2)
cot(?


（3）
cos75
； （4）
cos195
；


(5)
cos80?cos35??cos10?cos55?
(6)
sin

2
?
5
?
)

12
?
?
12
?3cos
?
12

（7）
cos54cos36?sin54sin36
． （8）
tan12??tan33??tan12?tan33?







例2．把已知
2sinx?3cosx
化 成
Asin(x?
?
)
的形式.




例3．已知
sin
?
?







例4．求值
????
2
?
33
?,
?
?(,
?
)
，
cos
?
??,< br>?
?(
?
,)
，求
sin(
?
?
?
)
，
cos(
?
?
?
),tan(
??
?
)
．
32
42
sin7??cos15?sin8?

cos7??sin15?sin8?






例5． 已知
sin??

5?
,??(,?)
，求
sin2
?
，
cos2
?
，
tan2
?
的值。
132
3

例6. 已知
?
?
?
?
?
?
3
?
123
,cos(
?
?
?
)?,sin(
?
?
?
)??
，求
sin2
?
的值.

24135





【达标训练】
1．
cot
?
2
?tan
?
2
可化简为（ ）
A、
2cot
?
B、
2sec
?
C、
1
2
sin
?

2．
1?tan20?
1?tan20?
等于（ ）
A、
tan65?
B、
tan25?
C、
?tan65?


3．若
tan(
?
?< br>?
4
)??
3
?
5
，则
tan(
?
?
4
)?
.

4．
tan20??tan40??3tan20??tan40?
=


5.求值：
（1）
sin22
?
30
?
?cos22
?
30
?
?
．

（2）
2cos
2
?
8
?1?
．
（3）
sin
2
?
8
?cos
2
?
8
?
．
（4）8sin
?
48
cos
?
48
cos
?
24
cos
?
12
?
.


4
D、
1
2
cos
?

D、
?tan25?

6.已知
tan(
?
?
?
)?








2
?
1
?
，
tan(
?
?)?
，求
tan(
?< br>?)
的值。
5444
7.利用三角公式化简：
sin50
?
(1?3tan10
?
)
．








5