高中数学必修四任意角教案

1.1.1 任意角
【课题】：任意角
【学情分析】：教学对象是高一的学 生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出
角的概念的推广，引发学生的认知， 然后用具体例子，将初中学过的过
0?360
之间的角的概念推广到任
意角，在此基础 上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的
基础上，更好地 认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；
2、象限角的概念；
3、终边相同的角的表示方法；
二、过程与方法
1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2、掌握所有与
?
角终边相同的角（包括
?
角）的表示方法；
三、情感态度与价值观
树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
【教学难点】：终边相同的角的表示.
【课前准备】：几何画板课件。
【教学过程设计】：
教学环节
一、课程引
入


教学活动
教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表
快了 1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少
度？
教师讲解：[取出 一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正
向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以 上,这就是说角已不仅仅
局限于
0?360
之间，这正是我们这节课要研究的主要内容 ——任意角.
二、探究新
知


教师提问：
1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？
[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转
到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，

鼓励学生自己回顾
??
??
设计意图
创设问题情景，让
学生在问题解决的
过程中感知任意
角.
0
?
?360
?
角的概
念，积极用自己的
语言概括，引导学
生转向对任意角的
探索。





教师讲解： 一条射线由原来的位置
OA
，绕着它的端点
O
按逆时针方

向旋转到终止位置
OB
，就形成角
?
.旋转开始时的射线
OA
叫做角的始


??
?
0?360
边，
OB叫终边，射线的端点
O
叫做叫的顶点. 角的范围是。

教师提问：2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经

?
?
常听到这样的术语：“转体
720
” （即转体2周），“转体
1080
”（即转


?
体3周） 等,都是遇到大于
360
的角以及按不同方向旋转而成的角.同学

结合具体 实例，感
?
们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于
360
的角或按不 同方向旋
受角的概念推广的
转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这 些角必要性。
呢?
教师讲解：[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不
同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我
们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时
针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任
何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
教师讲解：[展示课件]如 教材图1-1-2(1)中的角是一个正角,它等于利用新概念重新认
识问题，并加深任
750
?
；图1-1-2(2)中，
意角的了解。







??
?
正角
?
?210
，负角
?
??150,
?
??660
；这样，我们就把角的 概念

推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，
在不引起混淆的前提下，“角
?
”或“
?
?
”可简记为?
.
教师提问：3.能否以同一条射线为始边作出下列角吗？ 让学生感受没有统一的参照系时，角
120
?
，
?135
?
,?540< br>?
。
的表示的不方便。
教师讲解：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必
须了解象限角这个概念. 为了讨论方便，在
角的顶点与原点重合，角的始边与
x轴的非负半轴重合。那么，角的直角坐标系中研究
终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是 第几象限角(quadrant 角，并给出象限角
的概念，同时也为
??
angle ).如教材图1-1-3中的
30
角、
?210
角分别是第一象限角和第三
下一步研究三角函
数奠定基础。









象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何

一个象限,称为非象限角.
教师提问：4.[展示投影]练习:
( 1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直
角、钝角来回答这两个问题.





(2)(回答)今天是星期三那么
7k(k?Z)
天后的那一天是星期几?


7k(k?Z)
天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

教师提问：5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就
有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线

OB
(如图1-1-4),以它为终边的
角是否唯一?如果不惟一,那么终边
相同的角有什么关系?请结合
4.(2)口答加以分析. 从具体问题入手，
教师讲解：[展示课件]不难发现,了解终边相同的角
的关系。
?
在教材图1-1-4中,如果
?32
的终


??
边是
OB
,那么
328,?392L
角的


???
???
终边都是
OB
,而,
328??3 2?1?360
，
?392??32?(?1)?360
.

< br>??
??
设
S?{
?
|
?
??32?k?3 60,k?Z}
,则
328,?392
角都是
S
的


??
元素,
?32
角也是
S
的元素.因此,所有 与
?32
角终边相同的角,连同


?
?32
?< br>角在内,都是集合
S
的元素；反过来，集合
S
的任一元素显然与
?32

角终边相同. 由具体到一般，认
一般地,我们有:所有与角
?< br>终边相同的角,连同角
?
在内,可构成一识终边相同的角的
关系及其表示。 < br>?
个集合
S?{
?
|
?
?
?
?k? 360,k?Z}
,即任一与角
?
终边相同的角,都

可以表示成角
?
与整数个周角的和.
教师出示例题：

??
例1. 在
0?360
范围内，找出与
－950?12'
角终边相同的角，并


??
??
判定它是第几象限角.（注：
0－360
是指< br>0?
?
?360
）
使学生能够熟练写
出终边相同的角的0'0'0??
解：
?95012?12948?3?360
，所以在
0 ?360
范围内，与
集合，并判定其为
第几象限角，为以
－950?12'< br>角终边相同的角是
?950
0
12
'
，它是第二象限角。 < br>后证明恒等式、化
简及利用诱导公式
??
小结：要求学生能在
0?36 0
范围内，找出与已知角终边相同的角，并
求三角函数的值等
判定其为第几象限角，为 以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函奠定基础。
数的值等奠定基础。
教师出示例题 例2.写出终边在
y
轴上的角的集合.

解：在
0?360
范围内，终边在
y
轴上的角有两个，即
9 0
，
270
角。
因此，所有与
90
角终边相同的角构成集合
0
??00
S
1
?
?
??
?90
0
?k?360
0,k?Z
?
，
而所有与
270
角终边相同的角构成集合 0
S
2
?
?
??
?270
0
?k?3 60
0
,k?Z
?
，
于是，终边在
y
轴上的角的集合
S?S
1
US
2
?
?
??
?90
0
?k?360
0
,k? Z
?
U
?
??
?270
0
?k?360
0
,k?Z
?
=
?
??
?90
0
?k?18 0
0
,k?Z
?

小结：让学生理解终边在坐标轴上的角的表示。教 学中引导学生体会用集
合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意用简约的形式。
教师出示例题 例3.写出终边直线在
y?x
上的角的集合
S
, 并把
S
中
适合不等式
?360?
?
?720
的元素
?
写出来.
解：在直角坐标系中画出直线
y?x
，可以发现它与< br>x
轴的夹角是
45
，
在
0?360
范围内，终边在< br>y?x
上的角有两个：
45
，
225
。因此，
终边直 线在
y?x
上的角的集合
??0
0
0
??
S?< br>?
??
?45
0
?k?360
0
,k?Z
?
U
?
??
?225
0
?k?360
0
,k ?Z
?
=
?
??
?45
0
?k?180
0
,k?Z
?
。
S
适合
?360
?
??
?720
?
的元素是：
45
0
?2?180
0
??315
0
，
45
0
?1?180
0
??135
0
，
45
0
?0?180
0
?45
0
，
45
0
?1?180
0
?225
0< br>，
45
0
?2?180
0
?405
0
，< br>45
0
?3?180
0
?585
0
，
小结：让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示。
三、练习巩
固




让学生理解终边在
坐标轴上的角的表
示。 教学中引导学
生体会用集合表示
终边相同的角时，
表示方法不唯一，
要注意用 简约的形
式。













让学生表示终边在
已知直线的角，巩
固终边相同的角的
表示。


1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始终与
x
轴的非负半轴重合， 巩固知识，培养技
作出下列各角，并指出它们是第几象限角： 能.
⑴
420
； ⑵
?75
； ⑶
855
； ⑷
?510
。
2. 在
0?360
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第
几象限角：
??
00
00

⑴
?5418
； ⑵
3958
； ⑶
?119030
。
3. 写出与下列各角 终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式
0'0'
0'
?720
0
?
?
p360
0
的元素
?
写出来.
⑴
130318
； ⑵
?225
。
4．若
?
是第四象限角时，则
2
?
，
0'
0
?< br>?
， 分别是第几象限的角？
23
答案：
1．解析：能作出给定的角，并判定是第几象限角。
⑴
420?360?60
，第一象限角； ⑵第四象限角；
⑶
855?720?135
，第二象限角； ⑷
?510??720?210
，
第三象限角。
2. 解析：能在给定范 围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几
象限角。⑴
?5418??360?3054 2
，第四象限角；
⑵
3958?360?358
，第一象限角；
⑶
?119030??1440?24930
，第三象限角。
3. 解析： 用集合表示法和符号语言写出指定角终边相同的角的集合，并
在给定范围内找出与指定的角终边相同的角 。
⑴
⑵

?
??
?130318?k?360,k?Z< br>?
，
?49642
，
?13642
，
22318；
0'0
0'0'0'
000
000000
0'00'
0'00'
0'00'
?
??
??225
0
?k?360< br>0
,k?Z
?
，
?585
0
，
?2250
，
135
0
。
注意: （1）
k?Z
；（ 2）
?
是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相
同的角不一定相等；但相等的角 ，终边一定相同；终边相同的角有无数多
个，它们相差
360
的整数倍.
4．解析：因为
?
是第四象限角，
所以
360?k?270p
?
p360?k?360,k?Z
， < br>所以
120?k?90p
00
0000
?
?
3
p120
0
?k?120
0
,k?Z
，所以
00
?
得终边在第二、
3
第三或第四象限；所以
180?k?135p
以
?
2
p180
0
?k?180
0
,k?Z
，所
?
得终边在第二或第四象限；
2
0000
所以
720 ?k?540p2
?
p720?k?720,k?Z
，所以
2
?得终边在第
三或第四象限，也可在
y
轴的负半轴上。

四、拓展与
提高
1．若
?
是第二象限的角，则
180?
?
是（ ）
A 第一象限 B第二象限
C第三象限 D第四象限
2．集合
A?
0
?
??
?k?90
0
?36
0
,k?Z
?
,
B?
?
??180
0
p
?
p180
0
?
,
则< br>AIB
等于（ ）
A
?36
0
,54
0
B
?126
0
,144
0

C
?126
0
,?36
0
,54
0
,144
0
D
?126
0
,54
0

3．如图1-1-6，终边落在阴影部分的角的集合是（ ）
A
C
D
????
??
??
?
?
?45
0
?
?
?120
0
?
B
?
?
120
0
?
?
?315
0
?

0
引导学会逆向思
考.







加深对角的概念及
相关性质的理解.

巩固知识，培养技
能.
?
?
k?360
?
?k?360
?45
0
?
?
?k?360
0
?1 20
0
,k?Z
?

?120
0
?
??k?360
0
?315
0
,k?Z
?

0
4．若角
?
与
?
的终边关于
x
轴对称，则
?
与
?
的关系是 ；
若角
?
与
?
的终边关于原点对称，则
?
与
?
的关系是 ；
若角
?
与
?
的终边关于
y
轴对称，则
?
与
?
的关系是 。
答案：
1．解析：?
是第二象限的角，所以
360k?90p
?
p360k?180
，
所以
?360k?180p?
?
p?360k?90
，
所以
?360kp180?
?
p?360k?90
，故选A。

2．解析：当
k?0
时，
?
??36
；当
k?1
时，
?
?90?36?54
；
当
k?2
时，
?
?2?90?36?144
；
当
k??1
时，
?
??90?36??126
；
答案：C
3．解析：如图1-1-6，阴影部分的角是从
?45?k?360
到
00
000
000
0000
0000
0000
0000
120
0
?k?360
0
,k?Z
的角，故选C。
4．解析：若角
?
与
?
的终边关于
x
轴对称，则< br>?
?k?360?
?
,k?Z
，
0

则
?
与
?
的关系是
?
?
?
?k?360,k ?Z
；若角
?
与
?
的终边关于原点
00
对称，则< br>?
?k?360?180?
?
,k?Z
，则
?
与?
的关系是
0
?
?
?
?k?360
0
?180
0
,k?Z
；若角
?
与
?
的终边关于y
轴对称，则
?
?k?360
0
?180
0
?
?
,k?Z
，则
?
与
?
的关系是
?
?
?
?k?360
0
?180
0
,k?Z
。 < br>答案：
?
?
?
?k?360,k?Z
；
?
?
?
?k?360?180,k?Z
；
000
?
?
?
?k?360
0
?180
0
,k?Z
。
五、小结
1．角是如何推广的？
2．角象限是如何定义的？
3．
你熟练掌握具有 相同终边角的表示了吗?会写终边落在
x
轴、
y
轴、直
反思归纳，培养学
生反思数学思想方
法的习惯。
线
y?x
上的角的集合.
六、作业


见本节课所附的“练习与测试”
巩固新知。